Nulový morfismus - Zero morphism

V teorii kategorií , odvětví matematiky , je nulový morfismus speciální druh morfismu vykazující vlastnosti, jako jsou morfismy do az nulového objektu .

Definice

Předpokládejme, že C je kategorie , a f  : X → Y je morfismus v C . Morfismus f se nazývá konstantní morfismus (nebo někdy ponechán nulový morfismus ), pokud pro jakýkoli objekt W v C a jakékoli g , h  : W → X , fg = fh . Duálně, f se nazývá coconstant morphism (nebo někdy vpravo nula morphism ) pokud z nějakého objektu Z v C a jakékoli g , h  : Y → Z , gf = hf . Nula morfismus je ten, který je jak konstantní morfismus a coconstant morfismus.

Kategorie s nulovými morphisms je takový, kde pro každé dva objekty A a B na C , je zde pevné morfismus 0 AB  : → B , a tato kolekce morphisms je taková, že pro všechny objekty X , Y , Z v C a všechny morfismy f  : Y → Z , g  : X → Y , dojíždí následující diagram:

ZeroMorphism.png

Morfismy 0 XY nutně jsou nulové morfismy a tvoří kompatibilní systém nulových morfismů.

Pokud C je kategorie s nulovým morfismem, pak je kolekce 0 XY jedinečná.

Tento způsob definování „nulového morfismu“ a fráze „kategorie s nulovým morfismem“ samostatně je nešťastný, ale pokud má každý hom-set „nulový morfismus“, pak kategorie „má nulový morfismus“.

Příklady

  • V kategorii skupin (nebo modulů ), nula morfismus je homomorfismus f  : G → H , který mapuje všechny G na identity prvku z H . Nulovým objektem v kategorii skupin je triviální skupina 1 = {1}, která je jedinečná až do izomorfismu . Každý nula morfismus mohou být zapracovány do 1 , tj f  : G → 1 → H .
  • Obecněji předpokládejme, že C je jakákoli kategorie s nulovým objektem 0 . Pak pro všechny objekty X a Y existuje jedinečná posloupnost morfismů
    0 XY  : X → 0 → Y
    Rodina všech takto konstruovaných morfismů dává C strukturu kategorie s nulovým morfismem.
  • Pokud C je preadditivní kategorie , pak každá sada morfismu Mor ( X , Y ) je abelianská skupina, a proto má nulový prvek. Tyto nulové prvky tvoří kompatibilní rodinu nulových morfismů pro C, čímž se řadí do kategorie s nulovými morfismy.
  • Kategorie sestav nemá nulový objekt, ale to mají původní objekt , je prázdná množina ∅. Jediná pravá nula morfizmy v sadě jsou funkce ∅ → X na nastavenou X .

Související pojmy

Pokud C má nulovou objekt 0 vzhledem k tomu, dva objekty X a Y na C , existuje kanonické morfizmy f  : X → 0 a g  : 0 → Y . Potom gf je nulový morfismus v Mor C ( X , Y ). Tak, pro každou kategorii s nulovou objektem je kategorie s nulovými morphisms daných kompozice 0 XY  : X → 0 → Y .

Pokud má kategorie nulový morfismus, pak lze definovat pojmy jádra a kokeršálu pro jakýkoli morfismus v této kategorii.

Reference

  • Oddíl 1.7 Pareigis, Bodo (1970), Kategorie a funktory , Čistá a aplikovaná matematika, 39 , Academic Press , ISBN 978-0-12-545150-5
  • Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007), teorie kategorie , Heldermann Verlag.

Poznámky