Morfismus - Morphism

V matematice , zejména v teorii kategorií , je morfismus mapou zachovávající strukturu z jedné matematické struktury do jiné stejného typu. Pojem morfismus se opakuje ve většině současné matematiky. V teorii množin jsou morfismy funkce ; v lineární algebry , lineární transformace ; v teorii skupiny , homomorfizmy skupiny ; v topologii , spojité funkce atd.

V teorii kategorie , morphism je velmi podobný nápad: matematického objekty zapojeni nemusí být soubory a vztahy mezi nimi může být něco jiného než mapy, ačkoli morphisms mezi objekty dané kategorie mají chovat podobně jako mapy v tom, že musí připustit asociativní operaci podobnou složení funkce . Morfismus v teorii kategorií je abstrakcí homomorfismu .

Studium morfismů a struktur (nazývaných „objekty“), nad nimiž jsou definovány, je ústředním bodem teorie kategorií. Velká část terminologie morfismů, stejně jako intuice, která je jejich základem, pochází z konkrétních kategorií , kde jsou objekty jednoduše nastaveny s nějakou další strukturou a morfismy jsou funkce zachovávající strukturu . V teorii kategorií se morfismům někdy také říká šípy .

Definice

Kategorie C se skládá ze dvou tříd , jeden z objektů a druhý z morphisms . Ke každému morfismu jsou přidruženy dva objekty, zdroj a cíl . Morfizmus f se zdrojem X a cílové Y se zapisuje f  : X → Y , a je schematicky znázorněno pomocí šipky z X k Y .

Pro mnoho běžných kategorií jsou objekty množiny (často s nějakou další strukturou) a morfismy jsou funkce od objektu k jinému objektu. Proto se často nazývá zdroj a cíl morfismu doména acodomain .

Morfismy jsou vybaveny částečnou binární operací zvanou kompozice . Složení dvou morfismů f a g je definováno přesně, když cíl f je zdrojem g , a je označeno g ∘ f (nebo někdy jednoduše gf ). Zdroj g ∘ f je zdrojem f a cíl g ∘ f je cílem g . Kompozice splňuje dva axiomy :

Identita
Pro každý objekt X , tam existuje morfizmus id X  : X → X s názvem Identita morphism na X , takový to pro každý morfizmus f  : A → B máme id B ∘ f = f = f ∘ id A .
Asociativita
h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f kdykoli jsou definovány všechny kompozice, tj. když cíl f je zdrojem g a cíl g je zdrojem h .

Pro konkrétní kategorii (kategorie, ve které jsou objekty množiny, případně s další strukturou a morfismy jsou funkce zachovávající strukturu), je morfismus identity pouze funkcí identity a složení je pouze obyčejným složením funkcí .

Složení morfismů je často reprezentováno komutativním diagramem . Například,

Komutativní diagram pro morphism.svg

Soubor všech morphisms z X k Y je označován Hom C ( X , Y ) nebo jednoduše Hom ( X , Y ) a nazvaný hom-set mezi X a Y . Někteří autoři píší Mor C ( X , Y ), Mor ( X , Y ) nebo C ( X , Y ). Všimněte si, že termín hom-set je něco nesprávného pojmenování, protože kolekce morfismů nemusí být set; kategorie, kde Hom ( X , Y ) je množina pro všechny objekty X a Y, se nazývá místně malá . Protože hom-sety nemusí být sety, někteří lidé raději používají termín „hom-class“.

Všimněte si, že doména a codomain jsou ve skutečnosti součástí informací určujících morfismus. Například v kategorii množin , kde morfismy jsou funkce, mohou být dvě funkce identické jako množiny uspořádaných párů (mohou mít stejný rozsah ), přičemž mají různé domény. Tyto dvě funkce jsou odlišné z hlediska teorie kategorií. Mnoho autorů tedy vyžaduje, aby hom-třídy Hom ( X , Y ) byly disjunktní . V praxi to není problém, protože pokud tato disjunktivita neplatí, lze ji zajistit připojením domény a codomain k morfismům (řekněme jako druhá a třetí složka uspořádané trojice).

Některé speciální morfismy

Monomorfismy a epimorfismy

Morfismus f : X → Y se nazývá monomorfizmus pokud f ∘ g 1 = f ∘ g 2 vyplývá, g 1 = g 2 pro všechny morphisms g 1 , g 2 : Z → X . Monomorfismus lze zkrátka nazvat mono a jako adjektivum můžeme použít monic . Morfizmus f má levou inverzní nebo je dělený monomorfizmus pokud je morfizmus g : Y → X tak, že g ∘ f = id X . Tak f ∘ g : Y → Y je idempotentní ; tj. ( f ∘ g ) 2 = f ∘ ( g ∘ f ) ∘ g = f ∘ g . Levá inverzní g je také nazýván zatažení z f .

Morfismy s levými inverzemi jsou vždy monomorfismy, ale obrácení není obecně pravdivé; monomorfismus nemusí mít levou inverzní funkci. V konkrétních kategoriích je funkce, která má levou inverzní funkci, injektivní . V konkrétních kategoriích jsou tedy monomorfismy často, ale ne vždy, injektivní. Podmínka být injekcí je silnější než podmínka monomorfismu, ale slabší než podmínka být rozděleným monomorfismem.

Duálně na monomorphisms, morfismus f : X → Y se nazývá epimorfizmus pokud g 1 ∘ f = g 2 ∘ f znamená, g 1 = g 2 pro všechny morphisms g 1 , g 2 : Y → Z . Epimorfismus lze zkrátka nazvat epi a jako adjektivum můžeme použít epos . Morfizmus f má právo inverzní nebo je dělený epimorfizmus pokud je morfizmus g : Y → X tak, že f ∘ g = id Y . Pravý inverzní g je také nazýván část z f . Morfismy, které mají správnou inverzi, jsou vždy epimorfizmy, ale obrácení není obecně pravdivé, protože epimorfismus nemusí mít správnou inverzi.

Pokud se monomorfismus f rozdělí s levou inverzní g , pak g je split epimorfismus s pravou inverzní f . V konkrétních kategoriích je funkce, která má pravou inverzi, surjektivní . V konkrétních kategoriích jsou tedy epimorfismy často, ale ne vždy, surjektivní. Podmínka být surjection je silnější než podmínka být epimorfismem, ale slabší než podmínka být split epimorfismem. V kategorii množin je tvrzení, že každé surjekce má část, ekvivalentní s axiomem volby .

Morfismus, který je epimorfismem i monomorfismem, se nazývá bimorfismus .

Izomorfismy

Morfismus f : X → Y se nazývá izomorfismus jestliže existuje morfizmus g : Y → X tak, že f ∘ g = id Y a g ∘ f = id X . Pokud má morfismus jak levou inverzi, tak pravou inverzi, pak jsou obě inverze stejné, takže f je izomorfismus a g se nazývá jednoduše inverzní funkce f . Inverzní morfismy, pokud existují, jsou jedinečné. Inverzní g je také izomorfismus, s inverzní f . Dva objekty s izomorfismem mezi nimi jsou považovány za izomorfní nebo ekvivalentní.

Zatímco každý izomorfismus je bimorfismus, bimorfismus nemusí být nutně izomorfismus. Například v kategorii komutativních kruhů je zahrnutí Z → Q bimorfismus, který není izomorfismem. Jakýkoli morfismus, který je epimorfismem i rozděleným monomorfismem, nebo monomorfismem i rozděleným epimorfismem, však musí být izomorfismem. Kategorie, jako je Sada , ve které je každý bimorfismus izomorfismem, se nazývá vyvážená kategorie .

Endomorfismy a automorfismy

Morfismus f : X → X (to je, morfismus se stejným zdrojem a cílem) je endomorphism z X . Dělená endomorfizmus je idempotent endomorphism f , jestliže f připouští rozklad f = h ∘ g s g ∘ h = id. Zejména obálka kategorie Karoubi rozděluje každý idempotentní morfismus.

Automorphism je Morfizmus která je jak endomorphism a izomorfismus. V každé kategorii tvoří automorfismus objektu vždy skupinu , která se nazývá automorfismus skupiny objektu.

Příklady

Další příklady najdete v teorii vstupní kategorie .

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy