Absorpční prvek - Absorbing element

V matematice je absorpční prvek (nebo anihilační prvek ) speciální typ prvku množiny s ohledem na binární operaci na této sadě. Výsledkem kombinace absorpčního prvku s jakýmkoli prvkem sady je samotný absorpční prvek. V teorii poloskupiny se absorpční prvek nazývá nulový prvek, protože neexistuje riziko záměny s jinými pojmy nuly , s výraznou výjimkou: pod aditivní notací může nula zcela přirozeně označovat neutrální prvek monoidu. V tomto článku jsou „nulový prvek“ a „absorbující prvek“ synonyma.

Definice

Formálně nechť ( S , •) je množina S s uzavřenou binární operací • (známé jako magma ). Nula prvek je prvek z tak, že pro všechny S v S , z • y = y • z = z . Zdokonalení jsou pojmy vlevo nula , kde pouze jeden požaduje, aby z • s = z a pravé nuly , kde s • z = z .

Absorpční prvky jsou zvláště zajímavé pro poloskupiny , zejména pro multiplikační poloskupinu semiringů . V případě semiring s 0 je definice absorpčního prvku někdy uvolněna, takže není nutné absorbovat 0; jinak by 0 byl jediným absorbujícím prvkem.

Vlastnosti

  • Pokud má magma levou nulu z i pravou nulu z ′, pak má nulu, protože z = z • z ′ = z ′ .
  • Magma může mít maximálně jeden nulový prvek.

Příklady

  • Nejznámější příklad absorbujícího prvku pochází z elementární algebry, kde jakékoli číslo vynásobené nulou se rovná nule. Nula je tedy absorbujícím prvkem.
  • Nula jakéhokoli prstenu je také absorpčním prvkem. Pro prvek r prstencové R , r 0 = r (0 + 0) = r0 + R0 , takže 0 = r0 , jako nula je unikátní prvek pro které rr = a pro všechny r v kruhovém R . Tato vlastnost platí také v rng, protože multiplikativní identita není vyžadována.
  • Aritmetika s pohyblivou řádovou čárkou, jak je definována ve standardu IEEE-754, obsahuje speciální hodnotu s názvem Not-a-Number („NaN“). Je to absorpční prvek pro každou operaci; tj. x + NaN = NaN + x = NaN , x - NaN = NaN - x = NaN atd.
  • Množina binárních vztahů nad množinou X spolu se složením vztahů tvoří monoid s nulou, kde nulový prvek je prázdný vztah ( prázdná množina ).
  • Uzavřený interval H = [0, 1] s x • y = min ( x , y ) je také monoid s nulou a nulový prvek je 0.
  • Další příklady:
Doména Úkon Absorbér
Skutečná čísla ⋅ Násobení 0
Celá čísla Největší společný dělitel 1
n -by- n čtvercových matic Násobení matice Matice všech nul
Rozšířená reálná čísla Minimum/infimum −∞
Maximum/supremum +∞
Sady ∩ Průsečík ∅ Prázdná sada
Podskupiny sady M ∪ unie M
Booleovská logika ∧ Logické a ⊥ Faleš
∨ Logické nebo ⊤ Pravda

Viz také

Poznámky

Reference

  • Howie, John M. (1995). Základy teorie semigroup . Clarendon Press . ISBN 0-19-851194-9.
  • M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN  3-11-015248-7 .
  • Golan, Jonathan S. (1999). Semirings a jejich aplikace . Springer. ISBN 0-7923-5786-8.

externí odkazy