Nulový prvek - Zero element

V matematice je nulový prvek jednou z několika zobecnění čísla nula na jiné algebraické struktury . Tyto alternativní významy se mohou nebo nemusí snížit na stejnou věc, v závislosti na kontextu.

Aditivní identity

Identita přísady je element identity v aditivní skupiny . Odpovídá prvku 0 tak, že pro všechna x ve skupině 0 + x = x + 0 = x . Mezi příklady aditivní identity patří:

Nulový vektor podle sčítání vektoru : vektor délky 0 a jejichž součásti jsou 0. často označována jako nebo . ${\ displaystyle \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle {\ vec {0}}}$
Nula funkce nebo nula mapa definovaný Z ( x ) = 0 , za přidání bodové ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x )
Prázdná množina pod nastavenou unie
Prázdná suma nebo prázdná vedlejší produkt
Počáteční objekt v kategorii (prázdný vedlejší produkt, a proto identity v vedlejších produktů )

Absorpční prvky

Absorbující prvek multiplikativní pologrupa nebo semiring zobecňuje vlastnost 0 ⋅ x = 0 . Mezi příklady patří:

Prázdná množina , což je absorbující prvek podle kartézského součinu množin, protože {} x S = {}
Nula funkce nebo nula mapa definována z ( x ) = 0 v bodové násobení ( f ⋅ g ) ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x )

Mnoho absorbujících prvků je také aditivní identita, včetně prázdné množiny a nulové funkce. Dalším důležitým příkladem je rozlišující prvek 0 v poli nebo prstenci , který je aditivní identitou i multiplikativní absorpčním prvkem a jehož hlavní ideál je nejmenší ideál.

Nulové objekty

Nula objekt v kategorii je jak počáteční a koncový objekt (a proto identity v obou vedlejších produktů a výrobků ). Například triviální struktura (obsahující pouze identitu) je nulovým objektem v kategoriích, kde morfismy musí mapovat identity na identity. Mezi konkrétní příklady patří:

Triviální skupina , obsahující pouze identitu (nula objekt v kategorii skupin )
Nula modul , který obsahuje pouze identitu (nula objekt v kategorii modulů přes kruhu)

Nulové morfismy

Nula morfismus v kategorii je generalizovaná absorbující prvek pod funkcí složení : všechna morfismus skládá se z nulové morfismu dává nulové morphism. Konkrétně, pokud 0 _XY : X → Y je nulový morfismus mezi morfismy od X do Y , a f : A → X a g : Y → B jsou libovolné morfismy, pak g ∘ 0 _XY = 0 _XB a 0 _XY ∘ f = 0 _AY .

Pokud kategorie má nulový objekt 0 , pak jsou kanonické morfizmy X → 0 a 0 → Y , a skládání jim dává nulové morfizmus 0 _XY : X → Y . Například v kategorii skupin jsou nulové morfismy morfismy, které vždy vracejí identitu skupiny, čímž zobecňují funkci z ( x ) = 0.

Nejméně prvků

Nejmenší prvek v uspořádaná množina nebo mřížky mohou být někdy nazýván nulový prvek, a psaný buď 0 nebo ⊥.

Nulový modul

V matematiky je nula modul je modul se skládá z pouze aditivní identity pro modulu přidání funkcí. V celých číslech je tato identita nulová , což dává název nulový modul . To, že nulový modul je ve skutečnosti modul, je snadné ukázat; je uzavřen při sčítání a násobení triviálně.

Nula ideální

V matematice je nulový ideál v kruhu ideál skládající se pouze z aditivní identity (nebo nulového prvku). Skutečnost, že se jedná o ideál, vyplývá přímo z definice. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle \ {0 \}}$

Nulová matice

V matematiky , zejména lineární algebry , je nulová matice je matice s všechny jeho vstupy jsou nulové . Je střídavě označen symbolem . Některé příklady nulových matic jsou ${\ displaystyle O}$

{\ displaystyle 0_ {1,1} = {\ begin {bmatrix} 0 \ end {bmatrix}}, \ 0_ {2,2} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \ 0_ {2,3} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \}

Sada matic m × n se vstupy v kruhu K tvoří modul . Nulový matice v je matrice se všemi, rovnající se , kde je identita přísady v K . ${\ displaystyle K_ {m, n}}$ ${\ displaystyle 0_ {K_ {m, n}}}$ ${\ displaystyle K_ {m, n}}$ ${\ displaystyle 0_ {K}}$ ${\ displaystyle 0_ {K}}$

{\ displaystyle 0_ {K_ {m, n}} = {\ begin {bmatrix} 0_ {K} & 0_ {K} & \ cdots & 0_ {K} \\ 0_ {K} & 0_ {K} & \ cdots & 0_ {K } \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 0_ {K} & 0_ {K} & \ cdots & 0_ {K} \ end {bmatrix}}}

Nulová matice je aditivní identita v . To znamená pro všechny : ${\ displaystyle K_ {m, n}}$ ${\ displaystyle A \ v K_ {m, n}}$

{\ displaystyle 0_ {K_ {m, n}} + A = A + 0_ {K_ {m, n}} = A}

Tam je přesně jeden nulový matrice podle jakéhokoliv dané velikostní m x n (položkami z daného kruhu), takže pokud je kontext je jasný, se často označuje v nulové matrice. Obecně je nulový prvek prstenu jedinečný a obvykle se označuje jako 0 bez dolního indexu označujícího nadřazený kruh. Výše uvedené příklady tedy představují nulové matice nad jakýmkoli prstencem.

Nulová matice také představuje lineární transformaci, která posílá všechny vektory do nulového vektoru.

Nulový tenzor

V matematice je nula tensor je tensor , na libovolném pořadí, všichni jehož složky jsou nulové . Nulový tenzor řádu 1 je někdy známý jako nulový vektor.

Vezmeme-li tenzorový součin libovolného tenzoru s jakýmkoli nulovým tenzorem, vznikne další nulový tenzor. Přidání nulového tenzoru je ekvivalentní operaci identity.

Viz také

Reference

^ ^a ^b „Úplný seznam symbolů algebry“ . Matematický trezor . 2020-03-25 . Citováno 2020-08-12 .
^ Weisstein, Eric W. „Nulový vektor“ . mathworld.wolfram.com . Citováno 2020-08-12 .
^ „Definice NULOVÉHO VEKTORA“ . www.merriam-webster.com . Citováno 2020-08-12 .

[:0-1] „Úplný seznam symbolů algebry“ . Matematický trezor . 2020-03-25 . Citováno 2020-08-12 .

[2] Weisstein, Eric W. „Nulový vektor“ . mathworld.wolfram.com . Citováno 2020-08-12 .

[3] „Definice NULOVÉHO VEKTORA“ . www.merriam-webster.com . Citováno 2020-08-12 .

Languages

In other projects