Sobolevův prostor - Sobolev space

V matematiky , je Sobolev prostor je vektorový prostor funkcí vybaven normou , která je kombinací L ^p -norms funkce spolu s jeho deriváty až daném pořadí. Deriváty jsou chápány ve vhodném slabém smyslu , aby byl prostor úplný , tj. Banachův prostor . Intuitivně je Sobolevův prostor prostorem funkcí, které mají pro některou aplikační doménu dostatečně mnoho derivátů, jako jsou parciální diferenciální rovnice , a vybavené normou, která měří velikost i pravidelnost funkce.

Sobolevovy prostory jsou pojmenovány podle ruského matematika Sergeje Soboleva . Jejich důležitost vychází ze skutečnosti, že ve vhodných sobolevských prostorech existují slabá řešení některých důležitých parciálních diferenciálních rovnic, i když v prostorech spojitých funkcí s derivacemi chápanými v klasickém smyslu neexistují žádná silná řešení .

Motivace

V této části a v celém článku je otevřená podmnožina of${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^{n}.}$

Pro hladkost matematických funkcí existuje mnoho kritérií . Nejzákladnějším kritériem může být kontinuita . Silnějším pojmem hladkosti je diferencovatelnost (protože funkce, které jsou diferencovatelné, jsou také spojité), a ještě silnějším pojmem hladkosti je, že derivát je také spojitý (o těchto funkcích se říká, že jsou třídní - viz třídy diferencovatelnosti ). Diferencovatelné funkce jsou důležité v mnoha oblastech, a zejména pro diferenciální rovnice . Ve dvacátém století však bylo pozorováno, že prostor (nebo atd.) Není přesně tím pravým prostorem pro studium řešení diferenciálních rovnic. Sobolevovy prostory jsou moderní náhradou za tyto prostory, ve kterých se hledají řešení parciálních diferenciálních rovnic. ${\ displaystyle C^{1}}$${\ displaystyle C^{1}}$${\ displaystyle C^{2}}$

Veličiny nebo vlastnosti základního modelu diferenciální rovnice jsou obvykle vyjádřeny spíše integrálními normami než jednotnou normou . Typickým příkladem je měření energie rozložení teploty nebo rychlosti pomocí -norm. Je proto důležité vyvinout nástroj pro rozlišení Lebesgueových vesmírných funkcí. ${\ displaystyle L^{2}}$

Per partes vzorce výnosy, že pro každé , kde je přirozené číslo , a pro všechny nekonečně diferencovatelné funkce s kompaktním nosičem${\ Displaystyle u \ in C^{k} (\ Omega)}$${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle \ varphi \ v C_ {c}^{\ infty} (\ Omega),}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} u \, D^{\ alpha \!} \ varphi \, dx = (-1)^{| \ alpha |} \ int _ {\ Omega} \ varphi \, D ^{\ alpha \!} u \, dx,}$

kde je multiindex řádu a my používáme notaci: ${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle | \ alpha | = k}$

${\ Displaystyle D^{\ alpha \!} f = {\ frac {\ částečné^{| \ alpha |} \! f} {\ částečné x_ {1}^{\ alpha _ {1}} \ tečky \ částečné x_ {n}^{\ alpha _ {n}}}}.}$

Levá strana této rovnice má stále smysl, pokud předpokládáme, že jsou lokálně integrovatelné . Pokud existuje místně integrovatelná funkce , taková ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} u \, D^{\ alpha \!} \ varphi \; dx = (-1)^{| \ alpha |} \ int _ {\ Omega} v \, \ varphi \; dx \ qquad {\ text {pro všechny}} \ varphi \ v C_ {c}^{\ infty} (\ Omega),}$

pak nazýváme na slabý tý parciální derivace z . Pokud existuje slabá -tá částečná derivace , pak je jedinečně definována téměř všude , a proto je jednoznačně určena jako prvek Lebesgueova prostoru . Na druhou stranu, pokud , pak se shoduje klasický a slabý derivát. Pokud je tedy slabá -tá částečná derivace , můžeme ji označit jako . ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle u}$${\ Displaystyle u \ in C^{k} (\ Omega)}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle u}$${\ Displaystyle D^{\ alpha} u: = v}$

Například funkce

${\ Displaystyle u (x) = {\ begin {cases} 1+x & -1 <x <0 \\ 10 & x = 0 \\ 1-x & 0 <x <1 \\ 0 & {\ text {else}} \ end { případy}}}$

není spojitý při nule a není diferencovatelný při -1, 0 nebo 1. Přesto funkce

${\ Displaystyle v (x) = {\ begin {cases} 1 & -1 <x <0 \\-1 & 0 <x <1 \\ 0 & {\ text {else}} \ end {cases}}}$

splňuje definici jako slabý derivát, který se pak kvalifikuje jako v Sobolevově prostoru (pro jakékoli povolené , viz definice níže). ${\ displaystyle u (x),}$${\ displaystyle W^{1, p}}$${\ displaystyle p}$

Sobolevovy prostory kombinují koncepty slabé odlišnosti a Lebesgueovy normy . ${\ Displaystyle W^{k, p} (\ Omega)}$

Sobolevovy mezery s celým číslem k

Jednorozměrný případ

V jednorozměrném případě Sobolev prostor pro je definována jako část funkcí v tak, že: a její slabé derivátů až účelem mají konečný L ^p normu . Jak bylo uvedeno výše, je třeba věnovat určitou pozornost definici derivátů ve správném smyslu. V jednorozměrném problému stačí předpokládat, že -tá derivace je téměř všude diferencovatelná a téměř všude se rovná Lebesgueovu integrálu jeho derivace (to vylučuje irelevantní příklady, jako je Cantorova funkce ). ${\ Displaystyle W^{k, p} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle L^{p} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle (k {-} 1)}$${\ Displaystyle f^{(k-1)}}$

S touto definicí Sobolevovy prostory připouštějí přirozenou normu ,

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {k, p} = \ left (\ sum _ {i = 0}^{k} \ left \ | f^{(i)} \ right \ | _ {p}^ {p} \ right)^{\ frac {1} {p}} = \ left (\ sum _ {i = 0}^{k} \ int \ left | f^{(i)} (t) \ right |^{p} \, dt \ right)^{\ frac {1} {p}}.}$

Dá se rozšířit tento případ , s normou pak definována s použitím základní supremum o ${\ displaystyle p = \ infty}$

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {k, \ infty} = \ max _ {i = 0, \ ldots, k} \ left \ | f^{(i)} \ right \ | _ {\ infty} = \ max _ {i = 0, \ ldots, k} \ left ({\ text {ess}} \, \ sup _ {t} \ left | f^{(i)} (t) \ right | \ right) .}$

Vybaven normou se stane Banachovým prostorem . Ukazuje se, že stačí vzít pouze první a poslední v pořadí, tj. Normu definovanou ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k, p}, W^{k, p}}$

${\ Displaystyle \ left \ | f^{(k)} \ right \ | _ {p}+\ | f \ | _ {p}}$

je ekvivalentní výše uvedené normě (tj. indukované topologie norem jsou stejné).

Případ p = 2

Sobolevovy prostory s p = 2 jsou obzvláště důležité kvůli jejich spojení s Fourierovými řadami a protože tvoří Hilbertův prostor . Pro pokrytí tohoto případu vznikla speciální notace, protože prostor je Hilbertův prostor:

${\ Displaystyle H^{k} = W^{k, 2}.}$

Prostor lze přirozeně definovat pomocí Fourierových řad, jejichž koeficienty se dostatečně rychle rozpadají, tj. ${\ displaystyle H^{k}}$

${\ Displaystyle H^{k} (\ mathbb {T}) = \ left \ {f \ in L^{2} (\ mathbb {T}): \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty } \ left (1+n^{2}+n^{4}+\ dots+n^{2k} \ right) \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right |^{2} < \ infty \ right \}}$

kde je Fourierova řada a označuje 1-torus. Jak je uvedeno výše, lze použít ekvivalentní normu ${\ displaystyle {\ widehat {f}}}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle \ mathbb {T}}$

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {k, 2}^{2} = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} \ left (1+ | n |^{2} \ right)^ {k} \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right |^{2}.}$

Obě reprezentace snadno vyplývají z Parsevalovy věty a ze skutečnosti, že diferenciace je ekvivalentní vynásobení Fourierova koeficientu in .

Kromě toho prostor připouští vnitřní produkt , jako je prostor Ve skutečnosti je vnitřní produkt definován z hlediska vnitřního produktu: ${\ displaystyle H^{k}}$${\ Displaystyle H^{0} = L^{2}.}$${\ displaystyle H^{k}}$${\ displaystyle L^{2}}$

${\ Displaystyle \ langle u, v \ rangle _ {H^{k}} = \ sum _ {i = 0}^{k} \ left \ langle D^{i} u, D^{i} v \ right \ rangle _ {L^{2}}.}$

S tímto vnitřním produktem se prostor stává Hilbertovým prostorem. ${\ displaystyle H^{k}}$

Další příklady

V jedné dimenzi umožňují některé další Sobolevovy prostory jednodušší popis. Například, je prostor absolutně spojitých funkcí na (0, 1) (nebo spíše, třídy ekvivalence funkcí, které se rovnají téměř všude takový), přičemž je prostor lipschitzovská funkcí na I , pro každý interval I . Tyto vlastnosti jsou však ztraceny nebo nejsou tak jednoduché pro funkce více než jedné proměnné. ${\ Displaystyle W^{1,1} (0,1)}$${\ Displaystyle W^{1, \ infty} (I)}$

Všechny prostory jsou (normované) algebry , tj. Součin dvou prvků je opět funkcí tohoto Sobolevova prostoru, což neplatí pro (Např. Funkce chující se jako | x | ^−1/3 na počátku jsou in, ale součin dvou takových funkcí není in ). ${\ Displaystyle W^{k, \ infty}}$${\ Displaystyle p <\ infty.}$${\ displaystyle L^{2},}$${\ displaystyle L^{2}}$

Vícerozměrný případ

Přechod do více dimenzí přináší více obtíží, počínaje samotnou definicí. Požadavek, který je integrálem , negeneralizuje a nejjednodušším řešením je uvažovat o derivátech ve smyslu teorie distribuce . ${\ Displaystyle f^{(k-1)}}$${\ displaystyle f^{(k)}}$

Nyní následuje formální definice. Nechť Sobolev prostor je definován jako množina všech funkcí na taková, že pro každý multi-index se směsné parciální derivace${\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N}, 1 \ leqslant p \ leqslant \ infty.}$${\ Displaystyle W^{k, p} (\ Omega)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle | \ alpha | \ leqslant k,}$

${\ Displaystyle f^{(\ alpha)} = {\ frac {\ částečné^{| \ alpha | \!} f} {\ částečné x_ {1}^{\ alpha _ {1}} \ tečky \ částečné x_ {n}^{\ alpha _ {n}}}}}$

existuje ve slabém smyslu a je v ie ${\ Displaystyle L^{p} (\ Omega),}$

${\ Displaystyle \ left \ | f^{(\ alpha)} \ right \ | _ {L^{p}} <\ infty.}$

To znamená, že Sobolevův prostor je definován jako ${\ Displaystyle W^{k, p} (\ Omega)}$

${\ Displaystyle W^{k, p} (\ Omega) = \ left \ {u \ v L^{p} (\ Omega): D^{\ alpha} u \ v L^{p} (\ Omega) \, \, \ forall | \ alpha | \ leqslant k \ right \}.}$

Přirozené číslo se nazývá řád Sobolev prostoru${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle W^{k, p} (\ Omega).}$

Existuje několik možností pro normu pro Následující dvě jsou společné a jsou ekvivalentní ve smyslu rovnocennosti norem : ${\ Displaystyle W^{k, p} (\ Omega).}$

${\ Displaystyle \ | u \ | _ {W^{k, p} (\ Omega)}: = {\ begin {cases} \ left (\ sum _ {| \ alpha | \ leqslant k} \ left \ | D ^{\ alpha} u \ right \ | _ {L^{p} (\ Omega)}^{p} \ right)^{\ frac {1} {p}} & 1 \ leqslant p <\ infty; \\ \ max _ {| \ alpha | \ leqslant k} \ left \ | D^{\ alpha} u \ right \ | _ {L^{\ infty} (\ Omega)} & p = \ infty; \ end {cases} }}$

a

${\ Displaystyle \ | u \ | '_ {W^{k, p} (\ Omega)}: = {\ begin {cases} \ sum _ {| \ alpha | \ leqslant k} \ left \ | D^{ \ alpha} u \ right \ | _ {L^{p} (\ Omega)} & 1 \ leqslant p <\ infty; \\\ sum _ {| \ alpha | \ leqslant k} \ left \ | D^{\ alfa} u \ right \ | _ {L^{\ infty} (\ Omega)} & p = \ infty. \ end {cases}}}$

S ohledem na kteroukoli z těchto norem je Banachův prostor. For je také oddělitelný prostor . Je obvyklé označovat tím, že je to Hilbertův prostor s normou . ${\ Displaystyle W^{k, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle p <\ infty, W^{k, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle W^{k, 2} (\ Omega)}$${\ Displaystyle H^{k} (\ Omega)}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {W^{k, 2} (\ Omega)}}$

Aproximace plynulými funkcemi

Je docela těžké pracovat se Sobolevovými prostory, které se spoléhají pouze na jejich definici. Je proto zajímavé vědět, že pomocí Meyersovy - Serrinovy ​​věty lze funkci aproximovat hladkými funkcemi . Tato skutečnost nám často umožňuje přeložit vlastnosti hladkých funkcí do Sobolevových funkcí. Pokud je konečný a je otevřený, pak existuje pro jakýkoli přibližný sled funkcí takový, že: ${\ Displaystyle u \ in W^{k, p} (\ Omega)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle u \ in W^{k, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle u_ {m} \ v C^{\ infty} (\ Omega)}$

${\ Displaystyle \ left \ | u_ {m} -u \ right \ | _ {W^{k, p} (\ Omega)} \ do 0.}$

Pokud má Lipschitzovu hranici , můžeme dokonce předpokládat, že jsou omezením hladkých funkcí s kompaktní podporou všech${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle u_ {m}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^{n}.}$

Příklady

Ve vyšších dimenzích již neplatí, že například obsahuje pouze spojité funkce. Například, pokud je jednotka míč ve třech rozměrech. Pro k > n / p bude prostor obsahovat pouze spojité funkce, ale pro které k to již platí, závisí jak na p, tak na dimenzi. Například, jak lze snadno zkontrolovat pomocí sférických polárních souřadnic pro funkci definovanou na n -rozměrné kouli, máme: ${\ Displaystyle W^{1,1}}$${\ displaystyle | x |^{-1} \ in W^{1,1} (\ mathbb {B}^{3})}$${\ displaystyle \ mathbb {B} ^{3}}$${\ Displaystyle W^{k, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle f: \ mathbb {B} ^{n} \ to \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \}}$

${\ Displaystyle f (x) = | x |^{-\ alpha} \ ve W^{k, p} (\ mathbb {B}^{n}) \ Longleftrightarrow \ alpha <{\ tfrac {n} {p }}-k.}$

Intuitivně se vyhodnocení f při 0 "počítá za méně", když n je velké, protože míček jednotky má ve vyšších dimenzích "více venku a méně uvnitř".

Absolutně kontinuální on -line (ACL) charakterizace Sobolevových funkcí

Nechť Jestliže funkce je pak, případně po změně funkce na sadě nulové míry, omezení na téměř každé linie rovnoběžné s souřadnicových směrech , je absolutně kontinuální ; A co víc, klasická derivace podél linií, které jsou rovnoběžné se směry souřadnic, je in Naopak, pokud je omezení téměř každé přímky rovnoběžné se směry souřadnic absolutně spojité, pak bodový gradient existuje téměř všude a je k dispozici v zejména v tomto případě se slabé parciální derivace a bodové parciální derivace shodují téměř všude. Charakterizaci ACL prostorů Sobolev vytvořil Otto M. Nikodym ( 1933 ); viz ( Maz'ya 2011 , §1.1.3). ${\ Displaystyle 1 \ leqslant p \ leqslant \ infty.}$${\ Displaystyle W^{1, p} (\ Omega),}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ Displaystyle L^{p} (\ Omega).}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ nabla f}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle W^{1, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle f, | \ nabla f | \ in L^{p} (\ Omega).}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Silnější výsledek platí, když funkce A je, po úpravě na sadě nulové míry, Hölderova spojnice exponentu podle Morreyovy nerovnosti . Zejména pokud a má Lipschitzovu hranici, pak je funkce Lipschitzova spojitá . ${\ Displaystyle p> n.}$${\ Displaystyle W^{1, p} (\ Omega)}$${\ displaystyle \ gamma = 1-{\ tfrac {n} {p}},}$${\ displaystyle p = \ infty}$${\ displaystyle \ Omega}$

Funkce mizející na hranici

Sobolevův prostor je také označován It je Hilbertův prostor, s důležitým podprostor definovaný být uzavření nekonečně diferencovatelné funkce kompaktně podporovaných v The Sobolev normě výše definovaného zde redukuje na ${\ Displaystyle W^{1,2} (\ Omega)}$${\ Displaystyle H^{1} \! (\ Omega).}$${\ displaystyle H_ {0}^{1} \! (\ Omega)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle H^{1} \! (\ Omega).}$

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {H^{1}} = \ left (\ int _ {\ Omega} \! | f |^{2} \!+\! | \ nabla \! f |^{ 2} \ right)^{\! {\ Frac {1} {2}}}.}$

Když má pravidelnou hranici, lze ji popsat jako prostor funkcí, které na hranici zmizí, ve smyslu stop ( viz níže ). Když if je ohraničený interval, pak se skládá ze spojitých funkcí ve formuláři ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle H_ {0}^{1} \! (\ Omega)}$${\ Displaystyle H^{1} \! (\ Omega)}$${\ displaystyle n = 1,}$${\ displaystyle \ Omega = (a, b)}$${\ displaystyle H_ {0}^{1} (a, b)}$${\ displaystyle [a, b]}$

${\ Displaystyle f (x) = \ int _ {a}^{x} f '(t) \, \ mathrm {d} t, \ qquad x \ in [a, b]}$

kde generalizovaný derivát je a má 0 integrál, takže${\ displaystyle f '}$${\ Displaystyle L^{2} (a, b)}$${\ Displaystyle f (b) = f (a) = 0.}$

Když je ohraničena, Poincaré nerovnost uvádí, že existuje konstanta taková, že: ${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle C = C (\ Omega)}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} | f |^{2} \ leqslant C^{2} \ int _ {\ Omega} | \ nabla f |^{2}, \ qquad f \ v H_ {0} ^{1} (\ Omega).}$

Když je ohraničen, injekce od do je kompaktní . Tato skutečnost hraje roli při studiu problematiky Dirichletův , a v tom, že existuje ortonormální báze a skládající se z charakteristických vektorů Laplaceova operátoru (s Dirichletovy okrajové podmínky ). ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle H_ {0}^{1} \! (\ Omega)}$${\ Displaystyle L^{2} \! (\ Omega),}$${\ Displaystyle L^{2} (\ Omega)}$

Stopy

Sobolevovy prostory jsou často zvažovány při zkoumání parciálních diferenciálních rovnic. Je nezbytné vzít v úvahu hraniční hodnoty Sobolevových funkcí. Pokud jsou tyto mezní hodnoty popsány omezením . Není však jasné, jak popsat hodnoty na hranici pro , protože n -dimenzionální míra hranice je nulová. Následující věta řeší problém: ${\ displaystyle u \ v C (\ Omega)}$${\ displaystyle u | _ {\ partial \ Omega}}$${\ Displaystyle u \ in W^{k, p} (\ Omega)}$

Trasovací věta. Předpokládejme, že Ω je ohraničen Lipschitzovou hranicí . Pak existuje omezený lineární operátor takový, že ${\ Displaystyle T: W^{1, p} (\ Omega) \ to L^{p} (\ partial \ Omega)}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} Tu & = u | _ {\ partial \ Omega} && u \ v W^{1, p} (\ Omega) \ cap C ({\ overline {\ Omega}}) \\\ | Tu \ | _ {L^{p} (\ partial \ Omega)} & \ leqslant c (p, \ Omega) \ | u \ | _ {W^{1, p} (\ Omega)} && u \ in W^{1, p} (\ Omega). \ End {aligned}}}$

Tu se nazývá stopa u . Zhruba řečeno, tato věta rozšiřuje operátor omezení na Sobolevův prostor pro dobře vychované Ω. Všimněte si, že operátor trasování T obecně není surjektivní, ale pro 1 < p <∞ mapuje souvisle do prostoru Sobolev-Slobodeckij${\ Displaystyle W^{1, p} (\ Omega)}$ ${\ Displaystyle W^{1-{\ frac {1} {p}}, p} (\ částečné \ Omega).}$

Intuitivně bere trasování 1/ p derivátu. Funkce u ve W ^{1, p} (Ω) s nulovou stopou, tj. Tu  = 0, lze charakterizovat rovností

${\ Displaystyle W_ {0}^{1, p} (\ Omega) = \ left \ {u \ in W^{1, p} (\ Omega): Tu = 0 \ right \},}$

kde

${\ Displaystyle W_ {0}^{1, p} (\ Omega): = \ left \ {u \ v W^{1, p} (\ Omega): \ existuje \ {u_ {m} \} _ { m = 1}^{\ infty} \ podmnožina C_ {c}^{\ infty} (\ Omega), \ {\ text {takový, že}} \ u_ {m} \ to u \ {\ textrm {in}} \ W^{1, p} (\ Omega) \ vpravo \}.}$

Jinými slovy, pro Ω ohraničené Lipschitzovou hranicí lze funkce stopové nuly v aproximovat hladkými funkcemi s kompaktní podporou. ${\ Displaystyle W^{1, p} (\ Omega)}$

Sobolevovy mezery s neceločíselným k

Besselovy potenciální mezery

Pro přirozené číslo k a 1 < p <∞ lze ukázat (pomocí Fourierových multiplikátorů ), že prostor lze ekvivalentně definovat jako ${\ Displaystyle W ^{k, p} (\ mathbb {R} ^{n})}$

${\ Displaystyle W ^{k, p} (\ mathbb {R} ^{n}) = H ^{k, p} (\ mathbb {R} ^{n}): = \ left \ {f \ v L ^{p} (\ mathbb {R}^{n}): {\ mathcal {F}}^{-1} \ left [(1+ | \ xi |^{2})^{\ frac {k} {2}} {\ mathcal {F}} f \ right] \ in L ^{p} (\ mathbb {R} ^{n}) \ right \},}$

s normou

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {H^{k, p} (\ mathbb {R}^{n})}: = \ left \ | {\ mathcal {F}}^{-1} \ left [ \ left (1+ | \ xi |^{2} \ right)^{\ frac {k} {2}} {\ mathcal {F}} f \ right] \ right \ | _ {L^{p} ( \ mathbb {R} ^{n})}.}$

To motivuje Sobolevovy prostory neceločíselným řádem, protože ve výše uvedené definici můžeme nahradit k libovolným skutečným číslem s . Výsledné mezery

${\ Displaystyle H ^{s, p} (\ mathbb {R} ^{n}): = \ left \ {f \ in {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^{n}): {\ mathcal {F}}^{-1} \ left [\ left (1+ | \ xi |^{2} \ right)^{\ frac {s} {2}} {\ mathcal {F}} f \ right] \ v L ^{p} (\ mathbb {R} ^{n}) \ vpravo \}}$

se nazývají Besselovy potenciální prostory (pojmenované podle Friedricha Bessela ). Jsou to Banachovy prostory obecně a Hilbertovy prostory ve zvláštním případě p = 2.

For je sada omezení funkcí od do Ω vybavená normou ${\ Displaystyle s \ geq 0, H^{s, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle H ^{s, p} (\ mathbb {R} ^{n})}$

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {H^{s, p} (\ Omega)}: = \ inf \ left \ {\ | g \ | _ {H^{s, p} (\ mathbb {R} ^{n})}: g \ v H ^{s, p} (\ mathbb {R} ^{n}), g | _ {\ Omega} = f \ vpravo \}}$.

Opět platí, že H ^{s, p} (Ω) je Banachův prostor a v případě p = 2 Hilbertův prostor.

Pomocí věty o rozšíření pro Sobolevovy prostory lze ukázat, že také W ^{k, p} (Ω) = H ^{k, p} (Ω) platí ve smyslu ekvivalentních norem, pokud Ω je doména s jednotnou hranicí C ^k , k přirozená číslo a 1 <p <∞ . Podle vložení

${\ Displaystyle H^{k+1, p} (\ mathbb {R}^{n}) \ hookrightarrow H^{s ', p} (\ mathbb {R}^{n}) \ hookrightarrow H^{s , p} (\ mathbb {R} ^{n}) \ hookrightarrow H ^{k, p} (\ mathbb {R} ^{n}), \ quad k \ leqslant s \ leqslant s '\ leqslant k+1 }$

Besselovy potenciální prostory tvoří spojité měřítko mezi Sobolevovými prostory Z abstraktního hlediska se Besselovy potenciální prostory vyskytují jako komplexní interpolační prostory Sobolevových prostorů, tj. ve smyslu ekvivalentních norem platí, že ${\ Displaystyle H ^{s, p} (\ mathbb {R} ^{n})}$${\ Displaystyle W ^{k, p} (\ mathbb {R} ^{n}).}$

${\ Displaystyle \ left [W ^{k, p} (\ mathbb {R} ^{n}), W ^{k+1, p} (\ mathbb {R} ^{n}) \ right] _ { \ theta} = H ^{s, p} (\ mathbb {R} ^{n}),}$

kde:

${\ Displaystyle 1 \ leqslant p \ leqslant \ infty, \ 0 <\ theta <1, \ s = (1- \ theta) k+\ theta (k+1) = k+\ theta.}$

Prostory Sobolev – Slobodeckij

Další přístup k definování Sobolevových prostorů ve zlomkovém pořadí vychází z myšlenky zobecnit Hölderovu podmínku na nastavení L ^p . Pro a Slobodeckij seminorm (hrubě analogický k držáku seminorm) je definován ${\ Displaystyle 1 \ leqslant p <\ infty, \ theta \ in (0,1)}$${\ Displaystyle f \ v L^{p} (\ Omega),}$

${\ Displaystyle [f] _ {\ theta, p, \ Omega}: = \ left (\ int _ {\ Omega} \ int _ {\ Omega} {\ frac {| f (x) -f (y) | ^{p}} {| xy |^{\ theta p+n}}} \; dx \; dy \ right)^{\ frac {1} {p}}.}$

Nechť s > 0 není celé číslo a množina . Používání stejný nápad jako pro Holder prostorů se Sobolev-Slobodeckij prostor je definován jako ${\ Displaystyle \ theta = s- \ lfloor s \ rfloor \ in (0,1)}$ ${\ Displaystyle W^{s, p} (\ Omega)}$

${\ Displaystyle W^{s, p} (\ Omega): = \ left \ {f \ in W^{\ lfloor s \ rfloor, p} (\ Omega): \ sup _ {| \ alpha | = \ lfloor s \ rfloor} [D^{\ alpha} f] _ {\ theta, p, \ Omega} <\ infty \ right \}.}$

Je to Banachův prostor pro normu

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {W^{s, p} (\ Omega)}: = \ | f \ | _ {W^{\ lfloor s \ rfloor, p} (\ Omega)}+\ sup _ {| \ alpha | = \ lfloor s \ rfloor} [D^{\ alpha} f] _ {\ theta, p, \ Omega}.}$

Pokud je to přiměřeně pravidelné v tom smyslu, že existují určité operátory rozšíření, pak také Sobolev – Slobodeckij mezery tvoří měřítko Banachových prostorů, tj. Člověk má spojité injekce nebo vložení${\ displaystyle \ Omega}$

${\ Displaystyle W^{k+1, p} (\ Omega) \ hookrightarrow W^{s ', p} (\ Omega) \ hookrightarrow W^{s, p} (\ Omega) \ hookrightarrow W^{k, p} (\ Omega), \ quad k \ leqslant s \ leqslant s '\ leqslant k+1.}$

Existují příklady nepravidelných Ω, které nejsou ani vektorovým podprostorem pro 0 < s <1 (viz příklad 9.1 z) ${\ Displaystyle W^{1, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle W^{s, p} (\ Omega)}$

Z abstraktního hlediska se prostory shodují se skutečnými interpolačními prostory Sobolevových prostorů, tj. Ve smyslu ekvivalentních norem platí následující: ${\ Displaystyle W^{s, p} (\ Omega)}$

${\ Displaystyle W^{s, p} (\ Omega) = \ left (W^{k, p} (\ Omega), W^{k+1, p} (\ Omega) \ right) _ {\ theta , p}, \ quad k \ in \ mathbb {N}, s \ in (k, k+1), \ theta = s- \ lfloor s \ rfloor}$.

Prostory Sobolev – Slobodeckij hrají důležitou roli při studiu stop Sobolevových funkcí. Jsou to speciální případy besovských prostor .

Operátory rozšíření

Pokud se jedná o doménu, jejíž hranice není chována příliš špatně (např. Pokud je její hranice rozmanitá nebo splňuje tolerantnější „ podmínku kužele “), pak existuje operátor A mapující funkce funkcí takových, že: ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

1. Au ( x ) = u ( x ) pro téměř každé x in a${\ displaystyle \ Omega}$
2. ${\ Displaystyle A: W^{k, p} (\ Omega) \ to W^{k, p} (\ mathbb {R}^{n})}$je spojité pro libovolné 1 ≤ p ≤ ∞ a celé číslo k .

Takovému operátorovi A budeme říkat operátor rozšíření${\ displaystyle \ Omega.}$

Případ p = 2

Provozovatelé Extension jsou nejpřirozenější způsob, jak definovat pro non-celé číslo y (nemůžeme pracovat přímo od svého nástupu do Fourierova transformace je globální provoz). Definujeme tím, že říkáme, že právě tehdy, pokud Ekvivalentně, komplexní interpolace poskytuje stejné mezery, pokud má operátor rozšíření. Pokud nemá operátor rozšíření, je jediným způsobem, jak získat mezery , komplexní interpolace . ${\ Displaystyle H^{s} (\ Omega)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle H^{s} (\ Omega)}$${\ Displaystyle u \ v H^{s} (\ Omega)}$${\ Displaystyle Au \ in H ^{s} (\ mathbb {R} ^{n}).}$${\ Displaystyle H^{s} (\ Omega)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle H^{s} (\ Omega)}$

Výsledkem je, že interpolační nerovnost stále platí.

Rozšíření o nulu

Stejně jako výše definujeme jako uzavření prostoru nekonečně odlišitelných kompaktně podporovaných funkcí. Vzhledem k výše uvedené definici stopy můžeme uvést následující ${\ displaystyle H_ {0}^{s} (\ Omega)}$${\ Displaystyle H^{s} (\ Omega)}$${\ displaystyle C_ {c}^{\ infty} (\ Omega)}$

Teorém. Dovolit být rovnoměrně C ^m pravidelné m ≥ y a nechť P být lineární mapa odesílání u v k ${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle H^{s} (\ Omega)}$

${\ Displaystyle \ left. \ left (u, {\ frac {du} {dn}}, \ dots, {\ frac {d^{k} u} {dn^{k}}} \ right) \ right | _{G}}$

kde d/dn je derivace normální k G a k je největší celé číslo menší než s . Pak je právě jádro P .${\ displaystyle H_ {0}^{s}}$

Pokud můžeme definovat jeho rozšíření nulou přirozenou cestou, jmenovitě ${\ Displaystyle u \ v H_ {0}^{s} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle {\ tilde {u}} \ in L ^{2} (\ mathbb {R} ^{n})}$

${\ displaystyle {\ tilde {u}} (x) = {\ begin {cases} u (x) & x \ in \ Omega \\ 0 & {\ text {else}} \ end {cases}}}$

Teorém. Nechť Mapa je spojitá do právě tehdy, pokud s není ve tvaru pro n celé číslo.${\ displaystyle s> {\ tfrac {1} {2}}.}$${\ displaystyle u \ mapsto {\ tilde {u}}}$${\ Displaystyle H ^{s} (\ mathbb {R} ^{n})}$${\ displaystyle n+{\ tfrac {1} {2}}}$

Pro f  ∈  L ^p (Ω) jeho rozšíření o nulu,

${\ displaystyle Ef: = {\ begin {cases} f & {\ textrm {on}} \ \ Omega, \\ 0 & {\ textrm {else}} \ end {cases}}}$

je prvkem Dále, ${\ Displaystyle L ^{p} (\ mathbb {R} ^{n}).}$

${\ Displaystyle \ | Ef \ | _ {L^{p} (\ mathbb {R}^{n})} = \ | f \ | _ {L^{p} (\ Omega)}.}$

V případě Sobolevova prostoru W ^{1, p} (Ω) pro 1 ≤ p ≤ ∞ nemusí rozšíření funkce u nulou nutně znamenat prvek But, pokud je Ω ohraničeno Lipschitzovou hranicí (např. ∂Ω je C ¹ ) , pak pro jakoukoli ohraničenou otevřenou množinu O takovou, že Ω⊂⊂O (tj. Ω je kompaktně obsažena v O), existuje ohraničený lineární operátor ${\ Displaystyle W ^{1, p} (\ mathbb {R} ^{n}).}$

${\ Displaystyle E: W^{1, p} (\ Omega) \ to W^{1, p} (\ mathbb {R}^{n}),}$

tak, že pro každé ae na Ω má Eu kompaktní podporu uvnitř O a existuje konstanta C závislá pouze na p , Ω, O a rozměru n , takže ${\ Displaystyle u \ in W^{1, p} (\ Omega): Eu = u}$

${\ Displaystyle \ | Eu \ | _ {W^{1, p} (\ mathbb {R}^{n})} \ leqslant C \ | u \ | _ {W^{1, p} (\ Omega) }.}$

Eu nazýváme rozšířením u to${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^{n}.}$

Sobolevova vložení

Je přirozenou otázkou položit si otázku, zda je sobolevská funkce spojitá nebo dokonce spojitě diferencovatelná. Zhruba řečeno, dostatečně mnoho slabých derivací (tj. Velkých k ) má za následek klasickou derivaci. Tato myšlenka je zobecněna a upřesněna v Sobolevově větě pro vkládání .

Napište pro Sobolevův prostor nějakého kompaktního riemannianského rozměru dimenze n . Zde k může být jakékoli skutečné číslo a 1 ≤  p  ≤ ∞. (Pro p  = ∞ je Sobolevův prostor definován jako Hölderův prostor C ^{n , α} kde k  =  n  + α a 0 <α ≤ 1.) Sobolevova věta pro vkládání uvádí, že pokud a pak ${\ Displaystyle W^{k, p}}$${\ Displaystyle W^{k, \ infty}}$ ${\ Displaystyle k \ geqslant m}$${\ Displaystyle k-{\ tfrac {n} {p}} \ geqslant m-{\ tfrac {n} {q}}}$

${\ Displaystyle W^{k, p} \ subseteq W^{m, q}}$

a vkládání je nepřetržité. Navíc, když a pak je vkládání zcela souvislé (někdy se tomu říká Kondrachovova věta nebo Rellich-Kondrachovova věta ). Funkce v mají všechny deriváty řádu menší než m spojité, takže to zejména dává podmínky v Sobolevových prostorech, aby různé derivace byly spojité. Neformálně tato vložení říkají, že převést odhad L ^{p na} odhad omezenosti stojí deriváty 1/ p na dimenzi. ${\ Displaystyle k> m}$${\ Displaystyle k-{\ tfrac {n} {p}}> m-{\ tfrac {n} {q}}}$${\ Displaystyle W^{m, \ infty}}$

Existují podobné variace vkládací věty pro nekompaktní rozdělovače jako ( Stein 1970 ). Sobolevova vložení, která nejsou kompaktní, mají často související, ale slabší vlastnost souběžnosti . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Poznámky

Reference

• Adams, Robert A .; Fournier, John (2003) [1975]. Sobolevovy prostory . Čistá a aplikovaná matematika. 140 (2. vyd.). Boston, MA: Academic Press . ISBN 978-0-12-044143-3..
• Aubin, Thierry (1982), nelineární analýza potrubí. Monge-Ampèreovy rovnice , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 252 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-5734-9 , ISBN 978-0-387-90704-8, MR  0681859.
• Bergh, Jöran; Löfström, Jörgen (1976), Interpolation Spaces, An Introduction , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 223 , Springer-Verlag, s. X + 207, ISBN 978-7-5062-6011-4, MR  0482275 , Zbl  0344.46071
• Evans, Lawrence C. (2010) [1998]. Dílčí diferenciální rovnice . Postgraduální studium matematiky . 19 (2. vyd.). Americká matematická společnost. p. 749. ISBN 978-0-8218-4974-3.
• Leoni, Giovanni (2009). První kurz v Sobolevových prostorech . Postgraduální studium matematiky . 105 . Americká matematická společnost. s. xvi+607. ISBN 978-0-8218-4768-8. MR  2527916 . Zbl  1180,46001 .
• Maz'ja, Vladimir G. (1985), Sobolev Spaces , Springer Series in Soviet Mathematics, Berlin – Heidelberg – New York: Springer-Verlag , pp. Xix+486, doi : 10.1007/978-3-662-09922-3 , ISBN 0-387-13589-8, MR  0817985 , Zbl  0692.46023
• Maz'ya, Vladimir G .; Poborchi, Sergei V. (1997), Differentiable Functions on Bad Domains , Singapur – New Jersey – Londýn – Hong Kong: World Scientific , s. Xx+481, ISBN 981-02-2767-1, MR  1643072 , Zbl  0918.46033.
• Maz'ya, Vladimir G. (2011) [1985], Sobolevovy prostory. With Applications to Eliptic Partial Differential Equations , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 342 (2nd revised and augmented ed.), Berlin – Heidelberg – New York: Springer Verlag , pp. Xxviii+866, doi : 10.1007/978-3-642-15564 -2 , ISBN 978-3-642-15563-5, MR  2777530 , Zbl  1217.46002.
• Lunardi, Alessandra (1995), Analytické pologrupy a optimální pravidelnost v parabolických problémech , Basilej: Birkhäuser Verlag.
• Nikodym, Otto (1933), „Sur une classe de fonctions considérée dans l'étude du problème de Dirichlet“ , Fund. Matematika. , 21 : 129–150, doi : 10,4064/fm-21-1-129-150.
• Nikol'skii, SM (2001) [1994], „Vkládací věty“ , Encyklopedie matematiky , EMS Press.
• Nikol'skii, SM (2001) [1994], „Sobolevův prostor“ , encyklopedie matematiky , EMS Press.
• Sobolev, SL (1963), „O větě funkční analýzy“, Transl. Amer. Matematika. Soc. , American Mathematical Society Translations: Series 2, 34 (2): 39–68, doi : 10,1090/trans2/034/02 , ISBN 9780821817346; překlad Mat. Sb., 4 (1938) s. 471–497.
• Sobolev, SL (1963), Některé aplikace funkční analýzy v matematické fyzice , Amer. Matematika. Soc..
• Stein, E (1970), Singulární integrály a vlastnosti odlišitelnosti funkcí , Princeton Univ. Tisk, ISBN 0-691-08079-8.
• Triebel, H. (1995), Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators , Heidelberg: Johann Ambrosius Barth.
• Ziemer, William P. (1989), Slabě diferencovatelné funkce , Absolventské texty z matematiky, 120 , Berlín, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-1015-3 , hdl : 10338.dmlcz/143849 , ISBN 978-0-387-97017-2, MR  1014685.

externí odkazy

• Eleonora Di Nezza, Giampiero Palatucci, Enrico Valdinoci (2011). „Stopařův průvodce po zlomkových sobolevských prostorech“.