Bézoutova věta - Bézout's theorem

Bézout teorém je prohlášení, v algebraické geometrii ohledně počtu společných nul z n polynomy v n indeterminates. Ve své původní podobě teorém říká, že celkově se počet společných nul se rovná součin stupňů těchto polynomů. Je pojmenována po Étienne Bézoutovi .

V některých základních textech odkazuje Bézoutova věta pouze na případ dvou proměnných a tvrdí, že pokud mají dvě rovinné algebraické křivky stupňů a nemají žádnou společnou složku, mají průsečíky, počítané s jejich multiplicitou , včetně bodů v nekonečnu a body se složitými souřadnicemi. ${\ displaystyle d_ {1}}$${\ displaystyle d_ {2}}$${\ displaystyle d_ {1} d_ {2}}$

Ve své moderní formulaci věty uvádí, že v případě, N je počet společných bodů přes algebraicky uzavřené oblasti z n projektivní nadploch definovaných homogenních polynomy v n + 1 indeterminates, pak N je buď nekonečný, nebo rovná součinu stupňů polynomů. Konečný případ se navíc vyskytuje téměř vždy.

V případě dvou proměnných a v případě afinních hyperplošin, pokud se nepočítají multiplicity a body v nekonečnu, poskytuje tato věta pouze horní hranici počtu bodů, které je téměř vždy dosaženo. Tato vazba se často označuje jako vazba Bézout .

Bézoutova věta je základem počítačové algebry a efektivní algebraické geometrie , protože ukazuje, že většina problémů má výpočetní složitost, která je v počtu proměnných alespoň exponenciální. Z toho vyplývá, že v těchto oblastech dojde k nejlepší složitosti, v kterou lze doufat, u algoritmů, jejichž složitost je polynomická ve vazbě Bézout.

Dějiny

V případě rovinných křivek uvedl Bézoutovu větu v zásadě Isaac Newton ve svém důkazu o lemmatu 28 svazku 1 jeho Principia v roce 1687, kde tvrdí, že dvě křivky mají řadu průsečíků daných součinem jejich stupňů.

Obecný teorém byl později vydáván v roce 1779 v Étienne Bézout ‚s Théorie générale des rovnice algébriques . Předpokládal, že rovnice jsou „úplné“, což by se v moderní terminologii dalo přeložit jako obecné . Protože u obecných polynomů neexistují žádné body v nekonečnu a všechny multiplicity se rovnají jedné, Bézoutova formulace je správná, i když jeho důkaz neřídí moderní požadavky přísnosti.

Toto a skutečnost, že koncept multiplicity křižovatky byl mimo znalosti jeho doby, vedlo k sentimentu vyjádřenému některými autory, že jeho důkaz nebyl ani správný, ani první důkaz, který měl být předložen.

Důkaz tvrzení, který zahrnuje multiplicitu, nebyl možný před 20. stoletím zavedením abstraktní algebry a algebraické geometrie .

Prohlášení

Rovinné křivky

Předpokládejme, že X a Y jsou dvě rovinné projektivní křivky definované nad polem F, které nemají společnou složku (tato podmínka znamená, že X a Y jsou definovány polynomy, které nejsou násobky běžného nekonstantního polynomu; zejména to platí pro pár „obecných“ křivek). Pak celkový počet průsečících X a Y s souřadnicích s algebraicky uzavřené pole E , který obsahuje F , které se počítají s jejich multiplicity , je rovna součinu stupňů X a Y .

Obecný případ

Zobecnění ve vyšší dimenzi lze konstatovat jako:

Nechť n projektivní hyperplochy jsou dány v projektivním prostoru dimenze n nad algebraicky uzavřeným polem, které jsou definovány n homogenními polynomy v n + 1 proměnných, stupňů Pak je buď počet průsečíků nekonečný, nebo počet průsečíků , počítáno s multiplicitou, se rovná produktu Pokud jsou hyperplochy neredukovatelné a v relativní obecné poloze , pak existují průsečíky, všechny s multiplicitou 1. ${\ displaystyle d_ {1}, \ ldots, d_ {n}.}$${\ displaystyle d_ {1} \ cdots d_ {n}.}$${\ displaystyle d_ {1} \ cdots d_ {n}}$

Existují různé důkazy této věty, které jsou buď vyjádřeny čistě algebraickými termíny, nebo používají jazyk nebo algebraickou geometrii . Níže jsou načrtnuty tři algebraické důkazy.

Bézoutova věta byla zobecněna jako takzvaná multi-homogenní Bézoutova věta .

Příklady (rovinné křivky)

Dva řádky

Rovnice přímky v euklidovské rovině je lineární , to znamená, že se rovná nule polynomu prvního stupně. Takže Bézout vázaný na dvě čáry je 1 , což znamená, že dvě čáry se buď protínají v jednom bodě, nebo se neprotínají. V druhém případě jsou čáry rovnoběžné a setkávají se v bodě v nekonečnu .

Lze to ověřit pomocí rovnic. Rovnice první linie může být napsán v sklonu zachycovacího formě nebo v projektivní souřadnic (v případě, že linka je vertikální, může se vyměňovat x a y ). Pokud je rovnice druhého řádku (v projektivních souřadnicích) dosazením za y , získá se Pokud dostane souřadnice x průsečíku řešením druhé rovnice v x a zadáním t = 1.${\ displaystyle y = sx + m}$ ${\ displaystyle y = sx + mt}$${\ displaystyle ax + by + ct = 0,}$${\ displaystyle sx + mt}$${\ displaystyle (a + bs) x + (c + bm) t = 0.}$${\ displaystyle a + bs \ neq 0,}$

Pokud je to tak, jsou dvě čáry rovnoběžné se stejným sklonem. Pokud jsou odlišné a substituovaná rovnice dává t = 0 . To dává bodu v nekonečnu projektivních souřadnic (1, s , 0) . ${\ displaystyle a + bs = 0,}$${\ displaystyle s = -a / b,}$${\ displaystyle m \ neq -c / b,}$

Čára a křivka

Jak je uvedeno výše, lze rovnici přímky zapsat do projektivních souřadnic jako Pokud je křivka definována v projektivních souřadnicích homogenním polynomem stupně n , substituce y poskytuje homogenní polynom stupně n v x a t . Základní věta algebry znamená, že může být do lineárních faktorů. Každý faktor udává poměr souřadnic x a t průsečíku a multiplicita faktoru je multiplicita průsečíku. ${\ displaystyle y = sx + mt.}$ ${\ displaystyle p (x, y, t)}$

Pokud je t považováno za souřadnici nekonečna , faktor rovný t představuje průsečík nekonečna.

Pokud alespoň jedna parciální derivace polynomu p není v průsečíku nula, pak je v tomto bodě definována tečna křivky (viz Algebraická křivka § tečna v bodě ) a multiplicita průsečíku je větší než jedna, jestliže a pouze pokud je přímka tečná ke křivce. Pokud jsou všechny parciální derivace nula, je průsečíkem singulární bod a multiplicita průsečíku je alespoň dva.

Dvě kuželovité sekce

Dva kuželovité úseky se obecně protínají ve čtyřech bodech, z nichž některé se mohou shodovat. Aby bylo možné správně zohlednit všechny průsečíky, může být nutné povolit složité souřadnice a zahrnout body na nekonečné přímce do projektivní roviny. Například:

• Dva kruhy se nikdy neprotínají ve více než dvou bodech v rovině, zatímco Bézoutova věta předpovídá čtyři. Rozpor pochází ze skutečnosti, že každý kruh prochází stejnými dvěma složitými body na přímce v nekonečnu. Psaní kruhu

${\ displaystyle (xa) ^ {2} + (yb) ^ {2} = r ^ {2}}$

v homogenních souřadnicích dostaneme

${\ displaystyle (x-az) ^ {2} + (y-bz) ^ {2} -r ^ {2} z ^ {2} = 0,}$

ze kterého je zřejmé, že dva body (1: i  : 0) a (1: - i  : 0) leží na každém kruhu. Když se dva kruhy vůbec nesetkávají ve skutečné rovině, další dva průniky mají nenulové imaginární části, nebo pokud jsou soustředné, setkávají se přesně ve dvou bodech na přímce v nekonečnu s průsečíkem multiplicity of two.

• Jakákoli kuželosečka by se podle věty měla setkat s přímkou ​​v nekonečnu ve dvou bodech. Hyperbola se s ní setkává ve dvou reálných bodech odpovídajících dvěma směrům asymptot. Elipsa se s ní setkává ve dvou komplexních bodech, které jsou navzájem konjugované --- v případě kruhu body (1: i  : 0) a (1: - i  : 0) . Parabola se s ní setkává pouze v jednom bodě, ale je tečným bodem, a proto se počítá dvakrát.
• Následující obrázky ukazují příklady, ve kterých kružnice x ² + y ² - 1 = 0 splňuje jinou elipsu v méně průsečících, protože alespoň jeden z nich má multiplicitu větší než jeden:

Násobnost

Koncept multiplicity je pro Bézoutovu větu zásadní, protože umožňuje mít rovnost místo mnohem slabší nerovnosti.

Intuitivně je multiplicita společné nuly několika polynomů počet nul, na které se může rozdělit, když se koeficienty mírně změní. Například tečna ke křivce je čára, která křivku ořízne v bodě, který se rozdělí na několik bodů, pokud je čára mírně posunuta. Toto číslo je obecně dva (obyčejné body), ale může být vyšší (tři pro inflexní body , čtyři pro zvlněné body atd.). Toto číslo je „multiplicitou kontaktu“ tečny.

Tato definice multiplicity pomocí deformace byla dostatečná až do konce 19. století, ale má několik problémů, které vedly k pohodlnějším moderním definicím: Deformace je obtížné manipulovat; například v případě kořene části jednorozměrných polynomu , pro prokázání, že mnohočetnost získané deformace rovná multiplicity odpovídající lineární faktor polynomu, je třeba vědět, že kořeny jsou spojité funkce koeficientů. Deformace nelze použít na pole s pozitivní charakteristikou . Kromě toho existují případy, kdy je obtížné definovat vhodnou deformaci (jako v případě více než dvou rovin mají křivky společný průsečík), a dokonce i případy, kdy není možná žádná deformace.

V současné době, po Jean-Pierre Serre , Velké množství je obecně definována jako délka jednoho místního kruhu spojeného s v místě, kde je považováno za rozmanitost. Nejkonkrétnější definice lze ukázat jako speciální případ Serreovy definice.

V případě Bézoutovy věty se lze obecné teorii průniku vyhnout, protože existují důkazy (viz níže), které spojují ke každému vstupnímu datu věty polynom v koeficientech rovnic, který se rozdělí na lineární faktory, z nichž každý odpovídá jediný průsečík. Takže multiplicita průsečíku je multiplicita odpovídajícího faktoru. Důkaz, že se tato multiplicita rovná té, která se získá deformací, vyplývá ze skutečnosti, že průsečíky a faktorovaný polynom jsou nepřetržitě závislé na kořenech.

Důkazy

Použití výslednice (rovinné křivky)

Nechť P a Q jsou dva homogenní polynomy v neurčitých x , y , t příslušných stupňů p a q . Jejich nuly jsou homogenní souřadnice dvou projektivních křivek . Tak homogenní souřadnice jejich průsečíků jsou společné nuly P a Q .

Shromážděním mocností jednoho neurčitého, řekněme y , získáme jednorozměrné polynomy, jejichž koeficienty jsou homogenní polynomy v x a t .

Z technických důvodů je třeba změnit souřadnic , aby se stupně v y z P a Q se rovná své celkové stupňů ( p a q ), a každý řádek procházející dvěma průsečíky neprochází bodem (0, 1, 0 ) (to znamená, že žádné dva bod mají stejný kartézský x -coordinate .

Výsledný R ( x , t ) z P a Q ve vztahu k Y , je homogenní polynom v x a t , která má následující vlastnosti: s pouze v případě, že existují tak, že je společný nulový z P a Q (viz Výsledný § nuly ). Výše uvedený technický stav zajišťuje, že je jedinečný. První výše uvedený technický stav znamená, že stupně použité při definici výslednice jsou p a q ; to znamená, že stupeň R je pq (viz Výsledný § Homogenita ). ${\ displaystyle R (\ alpha, \ tau) = 0}$${\ displaystyle (\ alpha, \ tau) \ neq (0,0)}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ tau}$${\ displaystyle \ beta}$

Jelikož R je homogenní polynom ve dvou neurčitostech, základní věta o algebře naznačuje, že R je produktem pq lineárních polynomů. Definujeme-li multiplicitu společné nuly P a Q jako počet výskytů odpovídajícího faktoru v produktu, je dokázána Bézoutova věta.

Pro prokázání, že průsečík multiplicita, která byla právě definována rovná definice z hlediska deformace, postačí poznamenat, že výsledné a tím i jeho lineární faktory jsou spojité funkce koeficientů z P a Q .

Prokázání rovnosti s jinými definicemi multiplikací průsečíků závisí na technických aspektech těchto definic, a je proto mimo rozsah tohoto článku.

Použití U -resultant

Na počátku 20. století, Francis Sowerby Macaulay představil multivariační výsledné (také známý jako Macaulay je výslednice ) z n homogenních polynomů v n indeterminates, který je zobecněním obvyklé výslednice dvou polynomů. Macaulayova výslednice je polynomiální funkcí koeficientů n homogenních polynomů, která je nulová, pokud a pouze polynomy mají netriviální (tj. Některá složka je nenulová) společnou nulu v algebraicky uzavřeném poli obsahujícím koeficienty.

U -resultant je zvláštní případ Macaulay je výslednice, který byl zaveden také Macaulay. Vzhledem k n homogenním polynomům v n + 1 neurčitých je U -výsledek výsledkem a kde jsou koeficienty pomocnými neurčitými. U -resultant je homogenní polynom v jehož stupeň je součin stupních${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n}}$${\ displaystyle x_ {0}, \ ldots, x_ {n},}$${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n},}$${\ displaystyle U_ {0} x_ {0} + \ cdots + U_ {n} x_ {n},}$${\ displaystyle U_ {0}, \ ldots, U_ {n}}$${\ displaystyle U_ {0}, \ ldots, U_ {n},}$${\ displaystyle f_ {i}.}$

Ačkoli je vícerozměrný polynom obecně neredukovatelný , lze U- výsledek rozdělit na lineární (v ) polynomech přes algebraicky uzavřené pole obsahující koeficienty těchto lineárních faktorů, které odpovídají běžným nulam následujícím způsobem: každému společnému nula odpovídá lineárnímu faktoru a naopak. ${\ displaystyle U_ {i}}$${\ displaystyle f_ {i}.}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle (\ alpha _ {0}, \ ldots, \ alpha _ {n})}$${\ displaystyle (\ alpha _ {0} U_ {0} + \ cdots + \ alpha _ {n} U_ {n}),}$

To dokazuje Bézoutovu větu, pokud je multiplicita společné nuly definována jako multiplicita odpovídajícího lineárního faktoru U -výsledku. Pokud jde o předchozí důkaz, rovnost této multiplicity s definicí deformací vyplývá z kontinuity U -výsledku jako funkce koeficientů${\ displaystyle f_ {i}.}$

Tento důkaz Bézoutovy věty se jeví jako nejstarší důkaz, který splňuje moderní kritéria přísnosti.

Využití míry ideálu

Bézoutovu větu lze dokázat opakováním počtu polynomů pomocí následující věty.

Nechť V být projektivní algebraické sada z rozměru a stupni , a H být nadplochy (vymezeno jediným polynomem) stupně , který neobsahuje žádné neredukovatelnou složku z V ; podle těchto hypotéz má průnik V a H rozměr a stupeň${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle d_ {1}}$${\ displaystyle d_ {2}}$${\ displaystyle \ delta -1}$${\ displaystyle d_ {1} d_ {2}.}$

Pro (načrtnutý) důkaz pomocí Hilbertovy řady viz Hilbertova řada a Hilbertov polynomiální § Stupeň projektivní odrůdy a Bézoutova věta .

Kromě umožnění koncepčně jednoduchého důkazu Bézoutovy věty je tato věta zásadní pro teorii průniku , protože tato teorie je v zásadě věnována studiu multiplicit průniku, když hypotézy výše uvedené věty neplatí.

Viz také

• Věta AF + BG  - O algebraických křivkách procházejících všemi průsečíky dvou dalších křivek
• Bernstein – Kushnirenkoova věta  - O počtu běžných komplexních nul Laurentových polynomů

Poznámky

Reference

• William Fulton (1974). Algebraické křivky . Série přednášek z matematiky. WA Benjamin. p. 112. ISBN  0-8053-3081-4 .
• Newton, I. (1966), Principia sv. I The Motion of Bodies (na základě 2. vydání Newtona (1713); přeložil Andrew Motte (1729) a revidoval Florian Cajori (1934) ed.), Berkeley, CA: University of California Press, ISBN 978-0-520-00928-8Alternativní překlad dřívějšího (2.) vydání Newtonovy knihy Principia .
• (zobecnění věty) https://mathoverflow.net/q/42127

externí odkazy

• „Bezoutova věta“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Bézoutova věta“ . MathWorld .
• Bezoutova věta na MathPages