Středové potrubí - Center manifold

V matematice vyvíjejících se systémů byl koncept středového potrubí původně vyvinut pro stanovení stability degenerovaných rovnováh. Následně byl koncept středových potrubí realizován jako zásadní pro matematické modelování .

Středové rozdělovače hrají důležitou roli v bifurkační teorii, protože zajímavé chování se odehrává na středovém rozdělovači a ve víceúrovňové matematice, protože dlouhodobá dynamika mikroškály je často přitahována relativně jednoduchým středovým rozdělovačem zahrnujícím proměnné hrubého měřítka.

Neformální příklad

Saturnovy prstence sedí ve středovém potrubí definovaném slapovými silami .

Saturnovy prstence poskytují hrubý příklad středového potrubí slapových sil působících na částice uvnitř prstenců. Slapové síly mají na tělesa charakteristický účinek „stlačení a natažení“, přičemž směr stlačení definuje stabilní potrubí , směr roztažení definuje nestabilní potrubí a neutrální směr je středním potrubím. V případě Saturnu částice na oběžné dráze nad nebo pod prstenci překročí prstence a z hlediska prstenů se zdá, že osciluje shora dolů pod rovinu a zpět. Zdá se tedy, že prsteny jsou „atraktivní“. Tření prostřednictvím kolizí s jinými částicemi v prstencích tlumí tyto kmity; tak budou klesat. Tyto konvergující trajektorie jsou charakteristické pro stabilní potrubí: částice ve stabilním potrubí se k sobě přibližují. Částice v prstenci budou mít poloměr oběžné dráhy, což je náhodná procházka : jak se setkají v blízkých setkáních s jinými částicemi v prstenci, budou si v těchto setkáních vyměňovat energii, a tím měnit jejich poloměr. V tomto smyslu je prostor, kde leží prstence, neutrální: neexistují žádné další síly směrem nahoru nebo dolů (mimo rovinu prstenců), ani dovnitř nebo ven (změna poloměru v prstencích).

Tento příklad je trochu matoucí, protože, správně řečeno, stabilní, nestabilní a neutrální rozdělovače nerozdělují souřadnicový prostor ; rozdělují fázový prostor . V tomto případě má fázový prostor strukturu tečného potrubí : pro každý bod v prostoru (3D poloha) existuje soubor „tečných vektorů“: všechny možné rychlosti, které může částice mít. Některé páry polohy a rychlosti jsou poháněny směrem ke středovému potrubí, jiné jsou od něj odhozeny. Ty, které jsou ve středním potrubí, jsou náchylné k malým poruchám, které je obecně tlačí náhodně a často je vytlačují ze středního potrubí. To znamená, že malé poruchy mají tendenci destabilizovat body ve středním potrubí: středové potrubí se chová jako sedlový bod , nebo spíše rozšířená sbírka sedlových bodů. K této myšlence nestability ve středu potrubí existují dramatické protipříklady; podrobné příklady najdete v Lagrangeově koherentní struktuře .

Mnohem sofistikovanějším příkladem je tok Anosova na tečných svazcích Riemannových povrchů. V takovém případě lze napsat velmi explicitní a přesné rozdělení tangentového prostoru na tři části: nestabilní a stabilní svazky, přičemž neutrální potrubí je mezi nimi zaklíněno uprostřed. Tento příklad je elegantní v tom smyslu, že nevyžaduje žádné aproximace ani ruční mávání: je přesně řešitelný. Je to poměrně přímočarý a jednoduchý příklad pro ty, kteří jsou obeznámeni s obecným obrysem Lieových skupin a Riemannových povrchů .

Definice

Středové (červené) a nestabilní (zelené) rozdělovače bodu rovnováhy systému sedlového uzlu .${\ displaystyle {\ dot {x}} = x^{2},}$ ${\ displaystyle {\ dot {y}} = y}$

Náhodně vybrané body 2D fázového prostoru se exponenciálně sbíhají do 1D středového potrubí, na kterém je dynamika pomalá (neexponenciální). Studium dynamiky středového potrubí určuje stabilitu nehyperbolického pevného bodu na počátku.

Střed rozdělovači z dynamického systému je založen na bodu rovnováhy tohoto systému. Centrum potrubí rovnováhy se pak skládá z těchto sousedních drahách , že ani rozpad exponenciálně rychle, ani rostou exponenciálně rychle.

Matematicky je prvním krokem při studiu rovnovážných bodů dynamických systémů linearizace systému a poté výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů . Tyto vektory (a generalizované vektory v případě, že se vyskytují) odpovídající čísel s negativní reálnou část tvoří základ pro stabilní eigenspace . (Zobecněné) vlastní vektory odpovídající vlastním číslům s kladnou skutečnou částí tvoří nestabilní vlastní prostor. Pokud je rovnovážný bod hyperbolický (to znamená, že všechna vlastní čísla linearizace mají nenulovou skutečnou část), pak Hartmanova-Grobmanova věta zaručuje, že tato vlastní čísla a vlastní vektory zcela charakterizují dynamiku systémů poblíž rovnováhy.

Pokud však má rovnováha vlastní čísla, jejichž skutečná část je nulová, pak odpovídající (zobecněné) vlastní vektory tvoří středový vlastní prostor - u koule je středový vlastní prostor celým souborem nevynucené dynamiky tuhých těles . Když překročíme linearizaci, když počítáme s poruchami nelinearitou nebo vynucením v dynamickém systému, centrální vlastní prostor se deformuje na blízké středové potrubí. Pokud jsou vlastní čísla přesně nulová (jako jsou pro míč), spíše než jen skutečná část je nulová, pak odpovídající vlastní prostor konkrétněji vede k pomalému potrubí . Chování na středním (pomalém) potrubí není obecně určeno linearizací, a proto může být obtížné jej sestavit.

Analogicky, nelinearita nebo vynucení v systému narušuje stabilní a nestabilní vlastní prostory na blízké stabilní potrubí a blízké nestabilní potrubí . Tyto tři typy potrubí jsou tři případy invariantního potrubí .

Algebraicky, nechť být dynamický systém s rovnovážným bodem . Linearizace systému poblíž bodu rovnováhy je ${\ displaystyle {\ frac {d {\ textbf {x}}} {dt}} = {\ textbf {f}} ({\ textbf {x}})}$ ${\ displaystyle {\ textbf {x}}^{*}}$

${\ Displaystyle {\ frac {d {\ textbf {x}}} {dt}} = A {\ textbf {x}}, \ quad {\ text {where}} A = {\ frac {d {\ textbf { f}}} {d {\ textbf {x}}}} ({\ textbf {x}}^{*}).}$

Jacobiho matice definuje tři hlavní podprostory: ${\ displaystyle A}$

• stabilní podprostor, který je překlenut zobecněnými vlastními vektory odpovídajícími vlastním číslům s ;${\ Displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ lambda <0}$
• nestabilní podprostor, který je překlenut zobecněnými vlastními vektory odpovídajícími vlastním číslům s ;${\ Displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ lambda> 0}$
• středový podprostor, který je překlenut zobecněnými vlastními vektory odpovídajícími vlastním číslům s .${\ Displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ lambda = 0}$

V závislosti na aplikaci zahrnují další zajímavé podprostory středově stabilní, středově nestabilní, subcentrované, pomalé a rychlé podprostory. Tyto podprostory jsou všechny invariantní podprostory linearizované rovnice.

Nelineární systém, který odpovídá linearizovanému systému, má invariantní potrubí , z nichž každé se skládá ze sad oběžných drah nelineárního systému.

• Neměnný rozdělovač tečný ke stabilnímu podprostoru a se stejnou dimenzí je stabilní rozdělovač .
• Nestabilní potrubí má stejnou dimenzi a dotýká se nestabilního podprostoru.
• Středové potrubí má stejnou dimenzi a dotýká se středního podprostoru. Pokud jsou, jak je běžné, vlastní čísla středního podprostoru přesně nulová, a ne jen skutečná nulová část, pak se střední potrubí často nazývá pomalé potrubí .

Věty o středovém potrubí

Středový rozmanité existence teorém říká, že v případě, že funkce pravá strana je ( časy nepřetržitě differentiable), pak se při každém bodu rovnováhy existuje sousedství nějaké konečné velikosti, ve kterém je alespoň jeden z ${\ displaystyle {\ textbf {f}} ({\ textbf {x}})}$${\ displaystyle C^{r}}$${\ displaystyle r}$

• jedinečný stabilní rozdělovač ,${\ displaystyle C^{r}}$
• unikátní nestabilní potrubí ,${\ displaystyle C^{r}}$
• a (ne nutně jedinečné) středové potrubí.${\ Displaystyle C^{r-1}}$

V příkladových aplikacích může nelineární transformace souřadnic do normální formy jasně oddělit tyto tři rozdělovače. Webová služba [1] v současné době zajišťuje nezbytnou počítačovou algebru pro řadu konečno-dimenzionálních systémů.

V případě, že nestabilní potrubí neexistuje, jsou pro modelování často relevantní středové potrubí. Věta o vzniku vícefázového centra pak říká, že sousedství může být zvoleno tak, že všechna řešení systému pobývajícího v sousedství exponenciálně rychle směřují k nějakému řešení na středovém potrubí. Tedy za nějakou cenu . Tato věta tvrdí, že pro celou řadu počátečních podmínek se řešení celého systému exponenciálně rychle rozkládají na řešení na relativně nízkém rozměrovém středovém potrubí. ${\ displaystyle {\ textbf {y}} (t)}$${\ Displaystyle {\ textbf {x}} (t) = {\ textbf {y}} (t)+{\ mathcal {O}} (e^{-\ beta 't}) \ quad {\ text {jako }} t \ do \ infty \ ,,}$${\ displaystyle \ beta '}$

Třetí věta, aproximační věta, tvrdí, že pokud přibližný výraz pro takové invariantní potrubí, řekněme , splňuje diferenciální rovnici systému na zbytky jako , pak je invariantní potrubí aproximováno chybou stejného řádu, konkrétně . ${\ displaystyle {\ textbf {x}} = {\ textbf {X}} ({\ textbf {s}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (| {{\ textbf {s}} |^{p})}$${\ displaystyle {\ textbf {s}} \ to {\ textbf {0}}}$${\ displaystyle {\ textbf {x}} = {\ textbf {X}} ({\ textbf {s}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (| {{\ textbf {s}} |^{p})}$

Středová potrubí nekonečného D a/nebo neautonomních systémů

Některé aplikace, jako je disperze v trubkách nebo kanálech, však vyžadují nekonečně rozměrné středové potrubí. Nejobecnější a nejsilnější teorii vytvořili Aulbach a Wanner. Oslovovali neautonomní dynamické systémy v nekonečných dimenzích, s potenciálně nekonečně dimenzionálně stabilními, nestabilními a středovými rozdělovači. Dále užitečně zobecnili definici sběrných potrubí, takže středový rozdělovač je spojen s vlastními hodnotami tak , že stabilní řada s vlastními čísly a nestabilní mnohočetná s vlastními hodnotami . Dokázali existenci těchto potrubí a vznik středového potrubí prostřednictvím nelineárních transformací souřadnic. ${\ displaystyle {\ frac {d {\ textbf {x}}} {dt}} = {\ textbf {f}} ({\ textbf {x}}, t)}$${\ displaystyle | \ operatorname {Re} \ lambda | \ leq \ alpha}$${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ lambda \ leq -\ beta <-r \ alpha}$${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ lambda \ geq \ beta> r \ alpha}$

Potzsche a Rasmussen vytvořili odpovídající aproximační větu pro takové nekonečně dimenzionální, neautonomní systémy.

Alternativní zpětná teorie

Všechny existující teorie uvedené výše se snaží stanovit invariantní mnohostranné vlastnosti konkrétního daného problému. Zejména se konstruuje potrubí, které se blíží invariantnímu potrubí daného systému. Alternativním přístupem je sestrojení přesných invariantních variet pro systém, který se danému systému přibližuje-nazývá se zpětná teorie. Cílem je užitečně aplikovat teorii na širší škálu systémů a odhadnout chyby a velikosti oblasti platnosti.

Tento přístup je spojen s dobře zavedenou zpětnou analýzou chyb v numerickém modelování.

Středové potrubí a analýza nelineárních systémů

Protože stabilita rovnováhy koreluje se „stabilitou“ jejích potrubí, existence středového potrubí vyvolává otázku o dynamice na středním potrubí. Toto je analyzováno redukcí středového potrubí , což v kombinaci s některými systémovými parametry μ vede k pojmům bifurkací .

Odpovídajícím způsobem dvě webové služby v současné době provádějí nezbytnou počítačovou algebru pro konstrukci pouze středového potrubí pro širokou škálu konečno-dimenzionálních systémů (za předpokladu, že jsou v multinomiální formě).

• Jedna webová služba [2] konstruuje pomalé rozvody pro systémy, které jsou lineárně diagonalizované, ale které mohou být neautonomní nebo stochastické.
• Jiná webová služba [3] konstruuje středová potrubí pro systémy s obecnou linearizací, ale pouze pro autonomní systémy.

Příklady

Další příklady uvádí záznam Wikipedie na pomalých sběrných potrubích .

Jednoduchý příklad

Zvažte systém

${\ Displaystyle {\ dot {x}} = x^{2}, \ quad {\ dot {y}} = y.}$

Nestabilní potrubí na počátku je osa y a stabilní potrubí je triviální množina {(0, 0)}. Každá oběžná dráha není na stabilní připojovacích splňuje rovnici formuláře pro nějaké skutečné konstantní A . Z toho vyplývá, že pro jakékoli skutečné A můžeme vytvořit středové potrubí spojením křivky pro x  > 0 se zápornou osou x (včetně počátku). Navíc všechna středová potrubí mají tuto potenciální jedinečnost, ačkoli často se nejedinečnost vyskytuje pouze v nefyzických komplexních hodnotách proměnných. ${\ displaystyle y = Ae^{-1/x}}$${\ displaystyle y = Ae^{-1/x}}$

Zpožďovací diferenciální rovnice mají často Hopfovy bifurkace

Další příklad ukazuje, jak středový rozdělovač modeluje Hopfovu bifurkaci, ke které dochází pro parametr v diferenciální rovnici zpoždění . Přísně, díky zpoždění je tento DE nekonečně dimenzionální. ${\ displaystyle a \ cca 4}$ ${\ Displaystyle {dx}/{dt} =-sekera (t-1) -2x^{2} -x^{3}}$

Naštěstí můžeme taková zpoždění přiblížit následujícím trikem, který udržuje rozměrnost konečnou. Definujte a sbližujte časově zpožděnou proměnnou pomocí prostředníků a . ${\ Displaystyle u_ {1} (t) = x (t)}$${\ Displaystyle x (t-1) \ zhruba u_ {3} (t)}$${\ displaystyle {du_ {2}}/{dt} = 2 (u_ {1} -u_ {2})}$${\ displaystyle {du_ {3}}/{dt} = 2 (u_ {2} -u_ {3})}$

Pro parametr v blízkosti kritické, je zpoždění diferenciální rovnice je pak aproximována systémem ${\ Displaystyle a = 4+\ alpha}$

${\ Displaystyle {\ frac {d {\ textbf {u}}} {dt}} = \ left [{\ begin {array} {ccc} 0 & 0 & -4 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \ end {array }} \ right] {\ textbf {u}}+\ left [{\ begin {array} {c}-\ alpha u_ {3} -2u_ {1}^{2} -u_ {1}^{3} \\ 0 \\ 0 \ end {array}} \ right].}$

Zkopírováním a vložením příslušných záznamů webová služba [4] zjistila, že pokud jde o komplexní amplitudu a její komplexní konjugát , středové potrubí ${\ Displaystyle s (t)}$${\ displaystyle {\ bar {s}} (t)}$

${\ Displaystyle {\ textbf {u}} = \ left [{\ begin {array} {c} e^{i2t} s+e^{-i2t} {\ bar {s}} \\ {\ frac {1 -i} {2}} e^{i2t} s+{\ frac {1+i} {2}} e^{-i2t} {\ bar {s}} \\-{\ frac {i} {2} } e^{i2t} s+{\ frac {i} {2}} e^{-i2t} {\ bar {s}} \ end {array}} \ right]+{O} (\ alpha+| s | ^{2})}$

a evoluce na středovém potrubí je

${\ Displaystyle {\ frac {ds} {dt}} = \ left [{\ frac {1+2i} {10}} \ alpha s-{\ frac {3+16i} {15}} | s |^{ 2} s \ right]+{O} (\ alpha ^{2}+| s | ^{4})}$

Tato evoluce ukazuje, že původ je lineárně nestabilní , ale kubická nelinearita pak stabilizuje blízké mezní cykly jako u klasické Hopfovy bifurkace . ${\ Displaystyle \ alpha> 0 \ (a> 4)}$

Viz také

• Invariantní potrubí
• Stabilní rozdělovač
• Lagrangeova koherentní struktura
• Normálně hyperbolické invariantní potrubí

Poznámky

Reference

• Guckenheimer, John; Holmes, Philip (1997), Nelineární oscilace, dynamické systémy a bifurkace vektorových polí , Applied Mathematical Sciences, 42 , Berlín, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90819-9, opravený pátý tisk.

externí odkazy

• Jack Carr (ed.). „Středové potrubí“ . Scholarpedia .