Zobecněný vlastní vektor - Generalized eigenvector

V lineární algebře , je zobecněný vlastní vektor z matice je vektor , který splňuje určitá kritéria, která jsou uvolněnější, než pro An (běžné) vlastní vektor . ${\ displaystyle n \ times n}$ ${\ displaystyle A}$

Nechť je -dimenzionální vektorový prostor ; nechť je lineární mapa v L ( V ) , množina všech lineárních map od sebe do sebe; a nechat je maticová reprezentace of vzhledem k nějakému objednané bázi . ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ phi}$

Vždy nemusí existovat úplná sada lineárně nezávislých vlastních vektorů, které tvoří úplný základ pro . To znamená, že matice nemusí být diagonalizovatelná . K tomu dochází, když je algebraická multiplicita alespoň jednoho vlastního čísla větší než jeho geometrická multiplicita ( neplatnost matice nebo rozměr jejího nulového prostoru ). V tomto případě se nazývá defektní vlastní číslo a nazývá se defektní matice . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ Displaystyle (A- \ lambda _ {i} I)}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle A}$

Zobecněný vlastní vektor odpovídající , spolu s matricí generovat Jordan řetězec lineárně nezávislých všeobecných charakteristických vektorů, které tvoří základ pro invariantní podprostoru části . ${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ Displaystyle (A- \ lambda _ {i} I)}$${\ displaystyle V}$

Pomocí zobecněných vlastních vektorů lze v případě potřeby rozšířit sadu lineárně nezávislých vlastních vektorů o na úplný základ pro . Tento základ může být použit pro stanovení „téměř diagonální matice“ ve Jordán normální formě , podobný k , což je užitečné při výpočtu určitých maticové funkce z . Matice je také užitečná při řešení systému lineárních diferenciálních rovnic, kde nemusí být diagonalizovatelné. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle J}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '= A \ mathbf {x},}$${\ displaystyle A}$

Dimenze zobecněného vlastního prostoru, která odpovídá danému vlastnímu číslu, je algebraickou multiplicitou . ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ lambda}$

Přehled a definice

Existuje několik ekvivalentních způsobů, jak definovat běžný vlastní vektor . Pro naše účely je vlastní vektor spojený s vlastní hodnotou matice × nenulový vektor , kde kde je matice × identity a je nulový vektor délky . To znamená, že je v jádru této přeměny . Pokud má lineárně nezávislé vlastní vektory, pak je podobný diagonální matici . To znamená, že existuje invertibilní matice , která je diagonalizovatelná prostřednictvím transformace podobnosti . Matice se nazývá spektrální matice pro . Matice se nazývá modální matice pro . Diagonalizovatelné matice jsou obzvláště zajímavé, protože jejich maticové funkce lze snadno vypočítat. ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle (A- \ lambda I) \ mathbf {u} = \ mathbf {0}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ Displaystyle (A- \ lambda I)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle D = M^{-1} AM}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A}$

Na druhou stranu, pokud nemá lineárně nezávislé vlastní vektory s ním spojené, pak není diagonalizable. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$

Definice: Vektor je zobecněný vlastní vektor s hodností m matice a odpovídající vlastní hodnotě, pokud ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {m}}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle (A- \ lambda I)^{m} \ mathbf {x} _ {m} = \ mathbf {0}}$

ale

${\ Displaystyle (A- \ lambda I)^{m-1} \ mathbf {x} _ {m} \ neq \ mathbf {0}.}$

Je zřejmé, že zobecněný vlastní vektor 1. úrovně je obyčejný vlastní vektor. Každá matice × má k sobě lineárně nezávislé generalizované vlastní vektory a lze ji ukázat jako podobnou „téměř diagonální“ matici v jordánské normální formě. To znamená, že existuje regulární matice tak, že . Matice se v tomto případě nazývá zobecněná modální matice pro . Pokud je vlastní číslo algebraické multiplicity , pak bude mít lineárně nezávislé generalizované vlastní vektory odpovídající . Tyto výsledky zase poskytují přímou metodu pro výpočet určitých maticových funkcí . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle J = M^{-1} AM}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle A}$

Poznámka: Aby byla matice nad polem vyjádřena v Jordanově normální formě, musí být všechna vlastní čísla v . To znamená, že charakteristický polynom musí být plně lineární. Například, pokud je reálná prvky, pak může být nezbytné pro vlastní hodnoty a komponenty vektorů mít komplexní hodnoty . ${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle A}$

Sada, kterou pokrývají všechny zobecněné vlastní vektory pro daný typ , tvoří zobecněný vlastní prostor pro . ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ lambda}$

Příklady

Zde je několik příkladů pro ilustraci konceptu generalizovaných vlastních vektorů. Některé z podrobností budou popsány později.

Příklad 1

Tento příklad je jednoduchý, ale jasně ukazuje smysl. Tento typ matice se často používá v učebnicích. Předpokládat

${\ Displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}$

Pak existuje pouze jedno vlastní číslo a jeho algebraická multiplicita je m = 2. ${\ Displaystyle \ lambda = 1}$

Všimněte si, že tato matice je v Jordánsku normální formou, ale není diagonální . Tato matice proto není diagonalizovatelná. Protože existuje jeden superdiagonální záznam, bude existovat jeden zobecněný vlastní vektor s hodností větší než 1 (nebo by bylo možné poznamenat, že vektorový prostor má rozměr 2, takže může existovat nejvýše jeden zobecněný vlastní vektor s hodností větší než 1). Alternativně by bylo možné vypočítat rozměr nulového prostoru tak, aby byl p = 1, a tedy existuje m - p = 1 zobecněných vlastních vektorů s hodností větší než 1. ${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle A- \ lambda I}$

Běžný vlastní vektor se počítá jako obvykle ( příklady najdete na stránce vlastního vektoru ). Pomocí tohoto vlastního vektoru vypočítáme zobecněný vlastní vektor řešením ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {2}}$

${\ Displaystyle (A- \ lambda I) \ mathbf {v} _ {2} = \ mathbf {v} _ {1}.}$

Zápis hodnot:

${\ Displaystyle \ left ({\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}-1 {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ right) {\ begin {pmatrix} v_ {21} \\ v_ {22} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} v_ {21} \\ v_ {22} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}.}$

To zjednodušuje na

${\ displaystyle v_ {22} = 1.}$

Prvek nemá žádná omezení. Zobecněný vlastní vektor stupně 2 pak je , kde a může mít jakoukoli skalární hodnotu. Volba a = 0 je obvykle nejjednodušší. ${\ displaystyle v_ {21}}$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {2} = {\ begin {pmatrix} a \\ 1 \ end {pmatrix}}}$

Všimněte si, že

${\ Displaystyle (A- \ lambda I) \ mathbf {v} _ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a \\ 1 \ end {pmatrix }} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} = \ mathbf {v} _ {1},}$

tak to je zobecněný vlastní vektor, ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {2}}$

${\ Displaystyle (A- \ lambda I) \ mathbf {v} _ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix }} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \ end {pmatrix}} = \ mathbf {0},}$

tak to je obyčejný vlastní vektor, a že a jsou lineárně nezávislé, a proto tvoří základ pro vektorový prostor . ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {2}}$${\ displaystyle V}$

Příklad 2

Tento příklad je složitější než příklad 1 . Postavit zajímavý příklad nízkého řádu je bohužel trochu obtížné. Matice

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 10 & 6 & 3 & 2 & 0 \\ 15 & 10 & 6 & 3 & 2 \ end {pmatrix}}}$

má vlastní čísla a s algebraickými multiplicitami a , ale geometrickými multiplicitami a . ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = 1}$${\ displaystyle \ lambda _ {2} = 2}$ ${\ Displaystyle \ mu _ {1} = 2}$${\ Displaystyle \ mu _ {2} = 3}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1} = 1}$${\ displaystyle \ gamma _ {2} = 1}$

Tyto všeobecné eigenspaces ze jsou vypočteny níže. je běžný vlastní vektor spojený s . je zobecněný vlastní vektor spojený s . je běžný vlastní vektor spojený s . a jsou zobecněnými vlastními vektory spojenými s . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {1}}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {2}}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {1}}$${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {3}}$${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$

${\ Displaystyle (A-1I) \ mathbf {x} _ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 10 & 6 & 3 & 1 & 0 \\ 15 & 10 & 6 & 3 & 1 \ end {pmatrix}} {\ 0 pmat \\ 3 \\-9 \\ 9 \\-3 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}} = \ mathbf { 0},}$

${\ Displaystyle (A-1I) \ mathbf {x} _ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 10 & 6 & 3 & 1 & 0 \\ 15 & 10 & 6 & 3 & 1 \ end {pmatrix}} {\ 1 pmat \\-15 \\ 30 \\-1 \\-45 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 3 \\-9 \\ 9 \\-3 \ end {pmatrix}} = \ mathbf {x} _ {1},}$

${\ Displaystyle (A-2I) \ mathbf {y} _ {1} = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \ 0 \\ 3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 10 & 6 & 3 & 0 & 0 \\ 15 & 10 & 6 & 3 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin { pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}} = \ mathbf {0},}$

${\ displaystyle (A-2I) \ mathbf {y} _ {2} = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \ 0 \\ 3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 10 & 6 & 3 & 0 & 0 \\ 15 & 10 & 6 & 3 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin { pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9 \ end {pmatrix}} = \ mathbf {y} _ {1},}$

${\ Displaystyle (A-2I) \ mathbf {y} _ {3} = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \ 0 \\ 3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 10 & 6 & 3 & 0 & 0 \\ 15 & 10 & 6 & 3 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin { pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\-2 \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ end {pmatrix}} = \ mathbf {y} _ {2}.}$

To má za následek základ pro každou ze všeobecných eigenspaces z . Dva řetězce generalizovaných vlastních vektorů společně pokrývají prostor všech 5-rozměrných sloupcových vektorů. ${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ left \ {\ mathbf {x} _ {1}, \ mathbf {x} _ {2} \ right \} = \ left \ {{\ begin {pmatrix} 0 \\ 3 \\-9 \ \ 9 \\-3 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 \\-15 \\ 30 \\-1 \\-45 \ end {pmatrix}} \ right \}, \ left \ {\ mathbf {y} _ {1}, \ mathbf {y} _ {2}, \ mathbf {y} _ {3} \ right \} = \ left \ {{\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\-2 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ right \}.}$

"Téměř diagonální" matice v jordánské normální formě , podobná jako, se získá takto: ${\ displaystyle J}$${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle M = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {x} _ {1} & \ mathbf {x} _ {2} & \ mathbf {y} _ {1} & \ mathbf {y} _ {2} & \ mathbf {y} _ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 \\ 3 & -15 & 0 & 0 & 0 \\-9 & 30 & 0 & 0 & 1 \\ 9 & -1 & 0 & 3 & -2 \\-3 & -45 & 9 & 0 & 0 \ end {pmatrix }},}$

${\ displaystyle J = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \ end {pmatrix}},}$

kde je generalizovaná modální matice pro , sloupce jsou kanonickým základem pro a . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle AM ​​= MJ}$

Jordánské řetězy

Definice: Dovolme být zobecněným vlastním vektorem hodnosti m odpovídající matici a vlastní hodnotě . Vytvořený řetězec je sada vektorů daných ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {m}}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {m}}$${\ Displaystyle \ left \ {\ mathbf {x} _ {m}, \ mathbf {x} _ {m-1}, \ dots, \ mathbf {x} _ {1} \ right \}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {m-1} = (A- \ lambda I) \ mathbf {x} _ {m},}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {m-2} = (A- \ lambda I)^{2} \ mathbf {x} _ {m} = (A- \ lambda I) \ mathbf {x} _ { m-1},}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {m-3} = (A- \ lambda I)^{3} \ mathbf {x} _ {m} = (A- \ lambda I) \ mathbf {x} _ { m-2},}$ ${\ displaystyle \ vdots}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {1} = (A- \ lambda I)^{m-1} \ mathbf {x} _ {m} = (A- \ lambda I) \ mathbf {x} _ { 2}.}$

( 1 )

Obecně tedy platí,

${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {j} = (A- \ lambda I)^{mj} \ mathbf {x} _ {m} = (A- \ lambda I) \ mathbf {x} _ {j+ 1} \ qquad (j = 1,2, \ tečky, m-1).}$

( 2 )

Vektor daný ( 2 ) je zobecněným vlastním vektorem hodnosti j odpovídající vlastní hodnotě . Řetězec je lineárně nezávislá sada vektorů. ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {j}}$${\ Displaystyle \ lambda}$

Kanonický základ

Definice: Sada n lineárně nezávislých generalizovaných vlastních vektorů je kanonickým základem, pokud je složena výhradně z Jordanových řetězců.

Jakmile tedy určíme, že zobecněný vlastní vektor hodnosti m je v kanonickém základě, vyplývá z toho, že vektory m - 1, které jsou v Jordanově řetězci generovány, jsou také v kanonickém základě. ${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {m-1}, \ mathbf {x} _ {m-2}, \ ldots, \ mathbf {x} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {m}}$

Nechť je vlastní číslo algebraické multiplicity . Nejprve najděte pozice (řady matic) matic . Celé číslo je určeno jako první celé číslo, pro které má pořadí ( n je počet řádků nebo sloupců , tj. Je n × n ). ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mu _ {i}}$${\ Displaystyle (A- \ lambda _ {i} I), (A- \ lambda _ {i} I)^{2}, \ ldots, (A- \ lambda _ {i} I)^{m_ {i }}}$${\ displaystyle m_ {i}}$${\ Displaystyle (A- \ lambda _ {i} I)^{m_ {i}}}$${\ Displaystyle n- \ mu _ {i}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Nyní definujte

${\ Displaystyle \ rho _ {k} = \ operatorname {rank} (A- \ lambda _ {i} I)^{k-1}-\ operatorname {rank} (A- \ lambda _ {i} I)^ {k} \ qquad (k = 1,2, \ ldots, m_ {i}).}$

Proměnná označuje počet lineárně nezávislých generalizovaných vlastních vektorů hodnosti k odpovídající vlastní hodnotě, která se objeví v kanonickém základě pro . Všimněte si, že ${\ displaystyle \ rho _ {k}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ operatorname {rank} (A- \ lambda _ {i} I)^{0} = \ operatorname {rank} (I) = n}$.

Výpočet zobecněných vlastních vektorů

V předchozích částech jsme viděli techniky pro získání lineárně nezávislých generalizovaných vlastních vektorů kanonického základu pro vektorový prostor spojený s maticí . Tyto techniky lze kombinovat do postupu: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle A}$

Vyřešit charakteristické rovnice o pro čísel a jejich algebraických multiplicit ;${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle \ mu _ {i}}$

Pro každého ${\ displaystyle \ lambda _ {i}:}$

Určit ;${\ Displaystyle n- \ mu _ {i}}$

Určit ;${\ displaystyle m_ {i}}$

Určete pro ;${\ displaystyle \ rho _ {k}}$${\ Displaystyle (k = 1, \ ldots, m_ {i})}$

Určete každý řetězec Jordan pro ;${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$

Příklad 3

Matice

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 5 & 1 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \ end {pmatrix}}}$

má vlastní číslo algebraické multiplicity a vlastní číslo algebraické multiplicity . Také máme . Protože máme . ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = 5}$${\ displaystyle \ mu _ {1} = 3}$${\ displaystyle \ lambda _ {2} = 4}$${\ displaystyle \ mu _ {2} = 1}$${\ displaystyle n = 4}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$${\ Displaystyle n- \ mu _ {1} = 4-3 = 1}$

${\ Displaystyle (A-5I) = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}}, \ qquad \ operatorname {rank} (A-5I) = 3 .}$

${\ Displaystyle (A-5I)^{2} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 2 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}, \ qquad \ operatorname {rank} (A- 5I)^{2} = 2.}$

${\ Displaystyle (A-5I)^{3} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}}, \ qquad \ operatorname {rank} (A- 5I)^{3} = 1.}$

První celé číslo, pro které má pořadí, je . ${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle (A-5I)^{m_ {1}}}$${\ Displaystyle n- \ mu _ {1} = 1}$${\ displaystyle m_ {1} = 3}$

Nyní definujeme

${\ Displaystyle \ rho _ {3} = \ operatorname {rank} (A-5I)^{2}-\ operatorname {rank} (A-5I)^{3} = 2-1 = 1,}$

${\ Displaystyle \ rho _ {2} = \ operatorname {rank} (A-5I)^{1}-\ operatorname {rank} (A-5I)^{2} = 3-2 = 1,}$

${\ displaystyle \ rho _ {1} = \ operatorname {rank} (A-5I)^{0}-\ operatorname {rank} (A-5I)^{1} = 4-3 = 1.}$

V důsledku toho budou existovat tři lineárně nezávislé generalizované vlastní vektory; jeden každý z řad 3, 2 a 1. Protože odpovídá jednomu řetězci tří lineárně nezávislých generalizovaných vlastních vektorů, víme, že existuje generalizovaný vlastní vektor vektoru úrovně 3 odpovídající tak, že ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {3}}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$

${\ Displaystyle (A-5I)^{3} \ mathbf {x} _ {3} = \ mathbf {0}}$

( 3 )

ale

${\ Displaystyle (A-5I)^{2} \ mathbf {x} _ {3} \ neq \ mathbf {0}.}$

( 4 )

Rovnice ( 3 ) a ( 4 ) představují lineární systémy, pro které lze řešit . Nechat ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {3}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {3} = {\ begin {pmatrix} x_ {31} \\ x_ {32} \\ x_ {33} \\ x_ {34} \ end {pmatrix}}.}$

Pak

${\ Displaystyle (A-5I)^{3} \ mathbf {x} _ {3} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x_ {31} \\ x_ {32} \\ x_ {33} \\ x_ {34} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 14x_ {34} \\-4x_ {34} \\ 3x_ {34} \\-x_ {34} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$

a

${\ Displaystyle (A-5I)^{2} \ mathbf {x} _ {3} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 2 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x_ {31} \\ x_ {32} \\ x_ {33} \\ x_ {34} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 2x_ {33} -8x_ {34} \\ 4x_ {34} \\-3x_ {34} \\ x_ {34} \ end {pmatrix}} \ neq {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}.}$

Abychom tedy splnili podmínky ( 3 ) a ( 4 ), musíme mít a . Žádná omezení jsou umístěny na a . Volbou získáváme ${\ displaystyle x_ {34} = 0}$${\ displaystyle x_ {33} \ neq 0}$${\ displaystyle x_ {31}}$${\ displaystyle x_ {32}}$${\ displaystyle x_ {31} = x_ {32} = x_ {34} = 0, x_ {33} = 1}$

${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {3} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$

jako zobecněný vlastní vektor 3. úrovně odpovídající . Všimněte si, že je možné získat nekonečně mnoho dalších generalizovaných vlastních vektorů úrovně 3 výběrem různých hodnot , a , s . Naše první volba je však nejjednodušší. ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = 5}$${\ displaystyle x_ {31}}$${\ displaystyle x_ {32}}$${\ displaystyle x_ {33}}$${\ displaystyle x_ {33} \ neq 0}$

Nyní pomocí rovnic ( 1 ) získáme a jako zobecněné vlastní vektory pořadí 2, respektive 1, kde ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {1}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {2} = (A-5I) \ mathbf {x} _ {3} = {\ begin {pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} },}$

a

${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {1} = (A-5I) \ mathbf {x} _ {2} = {\ begin {pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}} .}$

Jednoduchý eigenvalue lze řešit s využitím standardních technik a má obvyklou vlastní vektor ${\ displaystyle \ lambda _ {2} = 4}$

${\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {1} = {\ begin {pmatrix} -14 \\ 4 \\-3 \\ 1 \ end {pmatrix}}.}$

Kanonický základ pro je ${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ left \ {\ mathbf {x} _ {3}, \ mathbf {x} _ {2}, \ mathbf {x} _ {1}, \ mathbf {y} _ {1} \ right \} = \ left \ {{\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} -14 \\ 4 \\-3 \\ 1 \ end {pmatrix}} \ right \} .}$

${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {1}, \ mathbf {x} _ {2}}$a jsou zobecněnými vlastními vektory spojenými s , zatímco je běžný vlastní vektor spojený s . ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {3}}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {1}}$${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$

Toto je celkem jednoduchý příklad. Obecně platí, že počty lineárně nezávislých generalizovaných vlastních vektorů pořadí nebudou vždy stejné. To znamená, že může existovat několik řetězců různých délek odpovídajících určitému vlastnímu číslu. ${\ displaystyle \ rho _ {k}}$${\ displaystyle k}$

Zobecněná modální matice

Nechť je matice n × n . Generalizovaná modální matice k je n x n matice, jejíž sloupce, které se považují jako vektory, tvoří základ pro kanonický a objeví se v souladu s následujícími pravidly: ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$

• Všechny řetězce Jordan skládající se z jednoho vektoru (tj. Jednoho vektoru na délku) se objeví v prvních sloupcích .${\ displaystyle M}$
• Všechny vektory jednoho řetězce se objevují společně v sousedních sloupcích .${\ displaystyle M}$
• Každý řetězec se objeví v pořadí podle rostoucího pořadí (to znamená, že zobecněný vlastní vektor stupně 1 se objeví před zobecněným vlastním vektorem stupně 2 stejného řetězce, který se objeví před zobecněným vlastním vektorem stupně 3 stejného řetězce atd.).${\ displaystyle M}$

Jordánsko normální forma

Nechť je n -dimenzionální vektorový prostor; nechť je lineární mapa v L ( V ) , množina všech lineárních map od sebe do sebe; a nechme být maticovou reprezentací s ohledem na nějaký uspořádaný základ. To může být prokázáno, že v případě, že charakteristický polynom z faktorů do lineárních faktorů, tak, že má tvar ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ phi}$ ${\ Displaystyle f (\ lambda)}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle f (\ lambda)}$

${\ Displaystyle f (\ lambda) = \ pm (\ lambda -\ lambda _ {1})^{\ mu _ {1}} (\ lambda -\ lambda _ {2})^{\ mu _ {2} } \ cdots (\ lambda -\ lambda _ {r})^{\ mu _ {r}},}$

kde jsou odlišná vlastní čísla , pak každá je algebraickou multiplicitou odpovídající vlastní číselné hodnoty a je podobná matici v jordánské normální formě , kde se každá objeví po sobě jdoucí časy na diagonále a vstup přímo nad každým (tj. na superdiagonálním ) je buď 0 nebo 1: položka nad prvním výskytem každého z nich je vždy 0; všechny ostatní položky na superdiagonální jsou 1. Všechny ostatní položky (tj. mimo diagonální a superdiagonální) jsou 0. Matice je tak blízko, jak je možné dosáhnout diagonalizace . Pokud je diagonalizovatelný, pak všechny položky nad úhlopříčkou jsou nulové. Všimněte si, že některé učebnice mají ty na subdiagonálním , tedy bezprostředně pod hlavní diagonálou místo na superdiagonální. Vlastní čísla jsou stále na hlavní úhlopříčce. ${\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ ldots, \ lambda _ {r}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mu _ {i}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle \ mu _ {i}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Každá n × n matice je podobná matici v Jordanově normální formě, získané transformací podobnosti , kde je generalizovaná modální matice pro . (Viz poznámka výše.) ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle J = M^{-1} AM}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A}$

Příklad 4

Najděte matici v Jordánsku v normální formě, která je podobná

${\ Displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & 4 & 2 \\-3 & 8 & 3 \\ 4 & -8 & -2 \ end {pmatrix}}.}$

Řešení: Charakteristická rovnice pro je tedy vlastní číslo algebraické multiplicity tři. Podle postupů z předchozích částí to zjišťujeme ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle (\ lambda -2)^{3} = 0}$${\ Displaystyle \ lambda = 2}$

${\ displaystyle \ operatorname {rank} (A-2I) = 1}$

a

${\ displaystyle \ operatorname {rank} (A-2I)^{2} = 0 = n- \ mu.}$

Tedy a , což znamená, že kanonický základ pro bude obsahovat jeden lineárně nezávislý generalizovaný vlastní vektor stupně 2 a dva lineárně nezávislé generalizované vlastní vektory pořadí 1 nebo ekvivalentně jeden řetězec dvou vektorů a jeden řetězec jednoho vektoru . Když to určíme, zjistíme to ${\ displaystyle \ rho _ {2} = 1}$${\ displaystyle \ rho _ {1} = 2}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ left \ {\ mathbf {x} _ {2}, \ mathbf {x} _ {1} \ right \}}$${\ Displaystyle \ left \ {\ mathbf {y} _ {1} \ right \}}$${\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {y} _ {1} & \ mathbf {x} _ {1} & \ mathbf {x} _ {2} \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & -4 & 1 \ end {pmatrix}},}$

a

${\ displaystyle J = {\ begin {pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \ end {pmatrix}},}$

kde je generalizovaná modální matice pro , sloupce jsou kanonickým základem pro a . Všimněte si toho, protože generalizované vlastní vektory samy o sobě nejsou jedinečné a protože některé sloupce obou a mohou být zaměněny, vyplývá, že oba a nejsou jedinečné. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle AM ​​= MJ}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle J}$

Příklad 5

V příkladu 3 jsme našli kanonický základ lineárně nezávislých generalizovaných vlastních vektorů pro matici . Zobecněná modální matice pro je ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle M = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {y} _ {1} & \ mathbf {x} _ {1} & \ mathbf {x} _ {2} & \ mathbf {x} _ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -14 & 2 & -2 & 0 \\ 4 & 0 & 2 & 0 \\-3 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}.}$

Matice v jordánské normální formě, podobná jako je ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle J = {\ begin {pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \ end {pmatrix}},}$

tak to . ${\ displaystyle AM ​​= MJ}$

Aplikace

Maticové funkce

Tři z nejzákladnějších operací, které lze na čtvercových maticích provádět, jsou sčítání matice, násobení skalárem a násobení matice. To jsou přesně ty operace nutné k definování polynomiální funkce matice n × n . Pokud si ze základního počtu připomeneme, že mnoho funkcí lze zapsat jako řadu Maclaurinů , pak můžeme obecnější funkce matic definovat docela snadno. Pokud je to diagonalizovatelné, to je ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle D = M^{-1} dopoledne,}$

s

${\ Displaystyle D = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {1} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ lambda _ {2} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {n} \ end {pmatrix}},}$

pak

${\ Displaystyle D^{k} = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {1}^{k} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ lambda _ {2}^{k} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {n}^{k} \ end {pmatrix}}}$

a hodnocení řady Maclaurin pro funkce je značně zjednodušeno. Například k získání jakéhokoli zdroje k, o , potřebujeme jen spočítat , premultiply tím , a postmultiply výsledku číslem . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle D^{k}}$${\ displaystyle D^{k}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M^{-1}}$

Pomocí zobecněných vlastních vektorů můžeme získat Jordanův normální tvar pro a tyto výsledky lze zobecnit na přímou metodu pro výpočet funkcí nediagonalizovatelných matic. (Viz funkce Matrix#Jordanův rozklad .) ${\ displaystyle A}$

Diferenciální rovnice

Zvažte problém řešení soustavy lineárních obyčejných diferenciálních rovnic

${\ displaystyle \ mathbf {x} '= A \ mathbf {x},}$

( 5 )

kde

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = {\ begin {pmatrix} x_ {1} (t) \\ x_ {2} (t) \\\ vdots \\ x_ {n} (t) \ end {pmatrix}} , \ quad \ mathbf {x} '= {\ begin {pmatrix} x_ {1}' (t) \\ x_ {2} '(t) \\\ vdots \\ x_ {n}' (t) \ end {pmatrix}},}$      a      ${\ Displaystyle A = (a_ {ij}).}$

Pokud je matice diagonální matice, takže pro , pak se systém ( 5 ) redukuje na soustavu n rovnic, které mají tvar ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a_ {ij} = 0}$${\ Displaystyle i \ neq j}$

${\ displaystyle x_ {1} '= a_ {11} x_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {2} '= a_ {22} x_ {2}}$ ${\ displaystyle \ vdots}$ ${\ displaystyle x_ {n} '= a_ {nn} x_ {n}.}$

( 6 )

V tomto případě je obecné řešení dáno vztahem

${\ displaystyle x_ {1} = k_ {1} e^{a_ {11} t}}$

${\ displaystyle x_ {2} = k_ {2} e^{a_ {22} t}}$

${\ displaystyle \ vdots}$

${\ Displaystyle x_ {n} = k_ {n} e^{a_ {nn} t}.}$

V obecném případě se snažíme systém ( 5 ) diagonalizovat a redukovat na systém jako ( 6 ) následujícím způsobem. Pokud je diagonalizovatelná, máme , kde je modální matice pro . Dosazením má rovnice ( 5 ) tvar , popř ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle D = M^{-1} AM}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A = MDM^{-1}}$${\ Displaystyle M^{-1} \ mathbf {x} '= D (M^{-1} \ mathbf {x})}$

${\ Displaystyle \ mathbf {y} '= D \ mathbf {y},}$

( 7 )

kde

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = M \ mathbf {y}.}$

( 8 )

Řešení podle ( 7 ) je

${\ Displaystyle y_ {1} = k_ {1} e^{\ lambda _ {1} t}}$

${\ Displaystyle y_ {2} = k_ {2} e^{\ lambda _ {2} t}}$

${\ displaystyle \ vdots}$

${\ Displaystyle y_ {n} = k_ {n} e^{\ lambda _ {n} t}.}$

Roztok ( 5 ) se pak získá pomocí vztahu ( 8 ). ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

Na druhou stranu, pokud to není diagonalizovatelné, rozhodli jsme se být generalizovanou modální maticí pro , takovou, která je Jordanovou normální formou . Systém má formu ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle J = M^{-1} AM}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mathbf {y} '= J \ mathbf {y}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} y_ {1} '& = \ lambda _ {1} y_ {1}+\ epsilon _ {1} y_ {2} \\ & \ vdots \\ y_ {n-1} '& = \ lambda _ {n-1} y_ {n-1}+\ epsilon _ {n-1} y_ {n} \\ y_ {n}' & = \ lambda _ {n} y_ {n}, \ end {aligned}}}$

( 9 )

kde jsou vlastní hodnoty z hlavní úhlopříčky a a jsou ty a nuly ze superdiagonálu . Systém ( 9 ) je často řešitelný snadněji než ( 5 ). Poslední rovnici v ( 9 ) můžeme vyřešit pro , získání . Toto řešení pak dosadíme do předposlední rovnice v ( 9 ) a vyřešíme pro . Pokračováním tohoto postupu procházíme ( 9 ) od poslední rovnice k první a řešíme celý systém pro . Roztok se poté získá pomocí vztahu ( 8 ). ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle \ epsilon _ {i}}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle y_ {n}}$${\ Displaystyle y_ {n} = k_ {n} e^{\ lambda _ {n} t}}$${\ displaystyle y_ {n}}$${\ displaystyle y_ {n-1}}$${\ displaystyle \ mathbf {y}}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

Poznámky

Reference

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Axler, Sheldon (1997). Lineární algebra provedená vpravo (2. vydání). Springer. ISBN 978-0-387-98258-8.
• Beauregard, Raymond A .; Fraleigh, John B. (1973), první kurz lineární algebry: s volitelným úvodem do skupin, prstenů a polí , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction , New York: Academic Press , LCCN  70097490
• Burden, Richard L .; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (5th ed.), Boston: Prindle, Weber and Schmidt , ISBN 0-534-93219-3
• Cullen, Charles G. (1966), Matice a lineární transformace , Reading: Addison-Wesley , LCCN  66021267
• Franklin, Joel N. (1968), The Matrix Theory , Englewood Cliffs: Prentice-Hall , LCCN  68016345
• Golub, Gene H .; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3. vyd.), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 0-8018-5414-8
• Harper, Charlie (1976), Úvod do matematické fyziky , New Jersey: Prentice-Hall , ISBN 0-13-487538-9
• Herstein, IN (1964), Témata v algebře , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3. vyd.), New York: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
• Nering, Evar D. (1970), Lineární algebra a maticová teorie (2. vydání), New York: Wiley , LCCN  76091646