Lagrangeova koherentní struktura - Lagrangian coherent structure

${\ Displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^{3}}$

${\ displaystyle Q (t)}$

${\ displaystyle 3 \ times 3}$

${\ displaystyle b (t)}$

${\ displaystyle 3}$

${\ Displaystyle S (x, t)}$

${\ Displaystyle W (x, t)}$

$${\ Displaystyle S (x, t) = {\ frac {1} {2}} \ left (\ nabla v (x, t)+(\ nabla v (x, t))^{T} \ right), \ qquad W (x, t) = {\ frac {1} {2}} \ left (\ nabla v (x, t)-(\ nabla v (x, t))^{T} \ right),}$$

$${\ Displaystyle {\ tilde {S}} (y, t) = Q (t)^{T} S (x, t) Q (t), \ qquad {\ tilde {W}} (y, t) = Q (t)^{T} S (x, t) Q (t) -Q (t)^{T} {\ tečka {Q}} (t).}$$

Euklidovská změna rámce je tedy ekvivalentní transformaci podobnosti pro , a proto je přístup LCS závislý pouze na vlastních číslech a vlastních vektorech automaticky invariantní k rámci. Naproti tomu přístup LCS v závislosti na vlastních hodnotách obecně není invariantní vůči rámci. ${\ Displaystyle S (x, t)}$${\ Displaystyle S (x, t)}$${\ Displaystyle W (x, t)}$

Řada množství rámových závislé, jako je například , , , jakož i průměry nebo vlastních hodnot těchto veličin, se běžně používají v heuristické detekci LCS. I když taková množství mohou účinně označovat rysy pole okamžité rychlosti , schopnost těchto veličin zachytit míchání materiálu, transport a koherenci je omezená a v jakémkoli daném rámci a priori neznámá. Jako příklad uvažujme lineární nestabilní pohyb tekutých částic ${\ Displaystyle \ nabla v (x, t)}$${\ displaystyle {W} (y, t)}$${\ Displaystyle \ nabla F_ {t_ {0}}^{t}}$${\ Displaystyle v (x, t)}$

$${\ Displaystyle {\ dot {x}} = v (x, t) = {\ begin {pmatrix} \ sin {4t} & 2+\ cos {4t} \\-2+ \ cos {4t} &-\ sin { 4t} \ end {pmatrix}} x,}$$

což je přesné řešení dvojrozměrných Navier – Stokesových rovnic . Kritérium Okubo-Weiss (závislé na snímku) klasifikuje celou doménu v tomto toku jako eliptickou (vířivou), protože platí s odkazem na euklidovskou maticovou normu. Jak je vidět na obr. 3, trajektorie rostou exponenciálně podél rotující čáry a zmenšují se exponenciálně podél další rotující linie. Z věcného hlediska je tedy tok v každém rámci hyperbolický (sedlový). ${\ Displaystyle q = {\ frac {1} {2}} ({\ vert S \ vert}^{2}-{\ vert W \ vert}^{2}) <0}$${\ Displaystyle \ vert \, \ cdot \, \ vert}$

Obrázek 3: Okamžité proudnice a vývoj trajektorií vycházejících z nitra jedné z nich v lineárním řešení Navier -Stokesovy rovnice. Tento dynamický systém je klasifikován jako eliptický řadou diagnostiky koherence závislé na rámci, jako je například kritérium Okubo – Weiss. (Obrázek: Francisco Beron-Vera)

Vzhledem k tomu, že Newtonova rovnice pro pohyb částic a Navier-Stokesovy rovnice pro pohyb tekutin jsou dobře známé jako závislé na rámci, může se nejprve zdát neintuitivní vyžadovat invariantnost rámců pro LCS, které jsou složeny z řešení těchto rámcových závislých rovnic. Připomeňme však, že Newtonova a Navierova -Stokesova rovnice představují objektivní fyzikální principy pro trajektorie hmotných částic . Dokud jsou tyto rovnice správně transformovány z jednoho rámce do druhého, generují v novém rámci fyzicky stejné trajektorie materiálu. Ve skutečnosti se rozhodujeme, jak transformovat pohybové rovnice z -rámce na -rám pomocí změny souřadnic, přesně tak, že budeme tvrdit, že trajektorie jsou mapovány do trajektorií, tj. Tím, že budeme muset platit po celou dobu. Časová diferenciace této identity a substituce do původní rovnice v -rámci pak poskytne transformovanou rovnici v -rámci. Tento proces sice přidává do pohybových rovnic nové termíny (setrvačné síly), ale tyto setrvačné termíny vznikají právě proto, aby byla zajištěna neměnnost trajektorií materiálu. LCS, plně složené z materiálových trajektorií, zůstávají neměnné v transformované pohybové rovnici definované v referenčním rámci. V důsledku toho musí být každá self-konzistentní definice nebo metoda detekce LCS také invariantní vůči rámcům. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle x = Q (t) y+b (t)}$${\ Displaystyle x (t) = Q (t) y (t)+b (t)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$

Hyperbolické LCS

Obrázek 4. Přilákání a odpuzování LCS v rozšířeném fázovém prostoru dvojrozměrného dynamického systému.

Motivováno výše uvedenou diskusí, nejjednodušší způsob, jak definovat přitahující LCS, je požadavek, aby to byl lokálně nejsilnější povrch přitahující materiál v rozšířeném fázovém prostoru (viz obr. 4). Podobně

${\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ times {\ mathcal {I}}}$

Diagnostický přístup: hřebeny Lyapunovova exponentu (FTLE) konečného času

Heuristicky lze hledat počáteční polohy odpuzujících LCS jako soubor počátečních podmínek, při kterých nekonečně malé odchylky na trajektorie začínající místně rostou nejvyšší rychlostí ve srovnání s trajektoriemi začínajícími . Heuristickým prvkem je, že místo konstrukce vysoce odpuzujícího povrchu materiálu člověk jednoduše hledá body velké separace částic. Takové oddělení může být dobře způsobeno silným smykem podél takto identifikovaných bodů; tato sada vůbec nezaručuje normální odpuzování na blízkých trajektoriích. ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (t_ {0})}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (t_ {0})}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (t_ {0})}$

Růst nekonečně malé poruchy podél trajektorie se řídí gradientem mapy toku . Nechť je malá odchylka od počátečního stavu s , a s označením libovolného jednotkového vektoru v . Tato porucha obecně roste po trajektorii do poruchového vektoru . Potom lze maximální relativní roztažení nekonečně malých poruch v bodě vypočítat jako ${\ displaystyle {\ xi} (t)}$${\ Displaystyle x (t, t_ {0}, x_ {0})}$${\ Displaystyle \ nabla F_ {t_ {0}}^{t}}$${\ displaystyle \ epsilon {\ xi} (t_ {0})}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle 0 <\ epsilon \ ll 1}$${\ displaystyle \ xi (t_ {0})}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ Displaystyle x (t, t_ {0}, x_ {0})}$${\ Displaystyle {\ xi} _ {\ epsilon} (t_ {1}; x_ {0}) = \ nabla F_ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0}) \ epsilon {\ xi} (t_ {0})}$${\ displaystyle x_ {0}}$

$${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ delta _ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0}) & = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ frac {1} { \ epsilon}} \ max _ {\ left | \ xi (t_ {0}) \ right | = 1} \ left | \ xi _ {\ epsilon} (t_ {1}; x_ {0}) \ right | \ \ & = \ max _ {\ left | \ xi (t_ {0}) \ right | = 1} {\ sqrt {\ left \ langle \ nabla F_ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0}) \ xi (t_ {0}), \ nabla F_ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0}) \ xi (t_ {0}) \ right \ rangle}} \ \ & = \ max _ {\ vlevo | \ xi (t_ {0}) \ vpravo | = 1} {\ sqrt {\ left \ langle \ xi (t_ {0}), C_ {t_ {0}}^{ t_ {1}} (x_ {0}) \ xi (t_ {0}) \ right \ rangle}} \\\ end {aligned}}}$$

kde označuje

${\ Displaystyle C_ {t_ {0}}^{t_ {1}} = \ left [\ nabla F_ {t_ {0}}^{t_ {1}} \ right]^{T} \ nabla F_ {t_ { 0}}^{t_ {1}}}$

${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ Displaystyle \ delta _ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0}) = {\ sqrt {\ lambda _ {n} (x_ {0})}}}$

${\ displaystyle (\ log {\ delta _ {t_ {0}}^{t_ {1}}})/(t_ {1} -t_ {0})}$

$${\ displaystyle \ mathrm {FTLE} _ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0}) = {\ frac {1} {2 (t_ {1} -t_ {0})}} \ log \ lambda _ {n} (x_ {0}).}$$

Obrázek 5a. Přitahování (červené) a odpuzující (modré) LCS extrahované jako hřebeny FTLE z dvourozměrného turbulenčního experimentu (Obrázek: Manikandan Mathur)

Proto se očekává, že hyperbolické LCS se objeví jako kodimension-one lokální maximalizující povrchy (nebo hřebeny ) pole FTLE. Toto očekávání se ve většině případů ukazuje jako oprávněné: časové polohy odpuzujících LCS jsou označeny hřebeny . Použitím stejného argumentu ve zpětném čase získáme, že časové polohy přitahujících LCS jsou označeny hřebeny zpětného pole FTLE . ${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle \ mathrm {FTLE} _ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0})}$${\ displaystyle t_ {1}}$${\ displaystyle \ mathrm {FTLE} _ {t_ {1}}^{t_ {0}}}$

Klasickým způsobem výpočtu Lyapunovových exponentů je řešení lineární diferenciální rovnice pro linearizovanou mapu toku . Vhodnější způsob je vypočítat pole FTLE z jednoduché aproximace konečných rozdílů na deformační gradient. Například v trojrozměrném toku spouštíme trajektorii z jakéhokoli prvku mřížky počátečních podmínek. Pomocí zobrazení souřadnic pro vyvíjející se trajektorii aproximujeme gradient mapy toku jako ${\ displaystyle \ nabla F_ {t_ {0}}^{t} (x_ {0})}$${\ Displaystyle x (t; t_ {0}, x_ {0})}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle x = (x^{1}, x^{2}, x^{3})}$${\ Displaystyle x (t; t_ {0}, x_ {0})}$

$${\ Displaystyle \ nabla F_ {t_ {0}}^{t} (x_ {0}) \ cca {\ begin {pmatrix} {\ frac {x^{1} (t; t_ {0}, x_ {0 }+\ delta _ {1})-x^{1} (t; t_ {0}, x_ {0}-\ delta _ {1})} {\ vlevo | 2 \ delta _ {1} \ vpravo | }} & {\ frac {x^{1} (t; t_ {0}, x_ {0}+\ delta _ {2})-x^{1} (t; t_ {0}, x_ {0} -\ delta _ {2})} {\ left | 2 \ delta _ {2} \ right |}} & {\ frac {x^{1} (t; t_ {0}, x_ {0}+\ delta _ {3})-x^{1} (t; t_ {0}, x_ {0}-\ delta _ {3})} {\ left | 2 \ delta _ {3} \ right |}} \\ {\ frac {x^{2} (t; t_ {0}, x_ {0}+\ delta _ {1})-x^{2} (t; t_ {0}, x_ {0}-\ delta _ {1})} {\ left | 2 \ delta _ {1} \ right |}} & {\ frac {x^{2} (t; t_ {0}, x_ {0}+\ delta _ {2 })-x^{2} (t; t_ {0}, x_ {0}-\ delta _ {2})} {\ left | 2 \ delta _ {2} \ right |}} & {\ frac { x^{2} (t; t_ {0}, x_ {0}+\ delta _ {3})-x^{2} (t; t_ {0}, x_ {0}-\ delta _ {3} )} {\ left | 2 \ delta _ {3} \ right |}} \\ {\ frac {x^{3} (t; t_ {0}, x_ {0}+\ delta _ {1})- x^{3} (t; t_ {0}, x_ {0}-\ delta _ {1})} {\ left | 2 \ delta _ {1} \ right |}} & {\ frac {x^{ 3} (t; t_ {0}, x_ {0}+\ delta _ {2})-x^{3} (t; t_ {0}, x_ {0}-\ delta _ {2})} { \ left | 2 \ delta _ {2} \ right |}} & {\ frac {x^{3} (t; t_ {0}, x_ {0}+\ delta _ {3})-x^{3 } (t; t_ {0}, x_ {0}-\ delta _ {3})} {\ left | 2 \ delta _ {3} \ right |}} \ end {p matice}},}$$

Obrázek 5b. Přitahují (modré) a odpuzující (červené) LCS extrahované jako hřebeny FTLE z dvojrozměrné simulace von Karmanovy vírové ulice (Obrázek: Jens Kasten)

s malým vektorem směřujícím ve směru souřadnic. Pro dvojrozměrné toky je relevantní pouze první vedlejší matice výše uvedené matice. ${\ displaystyle \ delta _ {i}}$${\ displaystyle x^{i}}$${\ displaystyle 2 \ times 2}$

Obrázek 6. Hřebeny FTLE zvýrazňují jak hyperbolické LCS, tak střihové materiálové linie, jako jsou hranice koryta v 3D modelu New River Inlet, Onslow, Severní Karolína (Obrázek: Allen Sanderson).

Problémy s odvozováním hyperbolických LCS z hřebenů FTLE

Hřebeny FTLE se ukázaly být jednoduchým a efektivním nástrojem pro vizualizaci hyperbolických LCS v řadě fyzických problémů, čímž se získají zajímavé obrazy počátečních poloh hyperbolických LCS v různých aplikacích (viz např. Obr. 5a-b). Hřebeny FTLE získané přes posuvná časová okna však netvoří materiálové povrchy. Hřebeny pod proměnlivými tedy nelze použít k

${\ displaystyle [t_ {0}+T, t_ {1}+T]}$

${\ displaystyle \ mathrm {FTLE} _ {t_ {0}+T}^{t_ {1}+T} (x_ {0})}$

${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle [t_ {0}, t_ {1}]}$

${\ displaystyle [t_ {0}+T, t_ {1}+T]}$

${\ displaystyle t_ {0}+T}$

${\ Displaystyle \ mathrm {FTLE} _ {t_ {0}+T}^{t_ {1}+T}}$

${\ displaystyle [t_ {0}+T, t_ {1}+T]}$

Identifikace „FTLE hřeben = LCS“ však trpí následujícími koncepčními a matematickými problémy:

• Hřebeny FTLE druhé derivace jsou nutně přímky, a proto ve fyzických problémech neexistují.
• Hřebeny FTLE počítané v klouzavých časových oknech s proměnlivými obecně

${\ displaystyle [t_ {0}+T, t_ {1}+T]}$

${\ displaystyle T}$

Místní variační přístup: Smršťovací a napínací povrchy

Místní variační teorie hyperbolických LCS staví na své původní definici jako nejsilnější odpuzující nebo odpuzující materiálové povrchy v toku v časovém intervalu . V počáteční teplotou , ať znamenají jednotku kolmo k počáteční povrchu materiálu (viz obr. 6). O neměnnosti hmotných linky,

${\ displaystyle [t_ {0}, t_ {1}]}$

${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle n_ {0}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (t_ {0})}$

${\ displaystyle T_ {x_ {0}} {\ mathcal {M}} (t_ {0})}$

${\ displaystyle T_ {x_ {1}} {\ mathcal {M}} (t_ {1})}$

${\ displaystyle \ nabla F_ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0})}$

${\ displaystyle n_ {0}}$

${\ displaystyle \ nabla F_ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0})}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (t_ {1})}$

${\ Displaystyle \ rho _ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0,} n_ {0})}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0}, n_ {0})}$

Obrázek 7. Linearizovaná geometrie toku podél povrchu vyvíjejícího se materiálu.

Pokud , pak se vyvíjející se povrch materiálu přísně odpuzuje blízké trajektorie do konce časového intervalu . Podobně signály, které přísně přitahují blízké trajektorie podél svých normálních směrů.

${\ Displaystyle \ rho _ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0}, n_ {0})> 1}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (t)}$

${\ displaystyle [t_ {0}, t_ {1}]}$

${\ Displaystyle \ rho _ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0}, n_ {0}) <1}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (t)}$

${\ displaystyle [t_ {0}, t_ {1}]}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (t)}$

${\ Displaystyle \ rho _ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0}, n_ {0})}$

${\ displaystyle n_ {0}}$

Řešení těchto lokálních extrémních principů pro hyperbolické LCS ve dvou a třech dimenzích poskytuje jednotku normálních vektorových polí, ke kterým by hyperbolické LCS měly být všude tečné. Existence takových normálních povrchů také vyžaduje podmínku integrability typu Frobenius v trojrozměrném případě. Všechny tyto výsledky lze shrnout následovně:

Hyperbolické podmínky LCS z lokální variační teorie v dimenzích n = 2 a n = 3

LCS	Normální vektorové pole pro${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (t_ {0})}$${\ Displaystyle n = 2,3}$	ODE pro n = 2 ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (t_ {0})}$	PDE typu Frobenius pro n = 3 ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (t_ {0})}$
Přitahování	${\ displaystyle \ xi _ {1} (x_ {0})}$	${\ displaystyle x_ {0}^{\ prime} = \ xi _ {2} (x_ {0})}$( natahovací čáry )	${\ Displaystyle \ left \ langle \ nabla \ times \ xi _ {1} (x_ {0}), \ xi _ {1} (x_ {0}) \ right \ rangle = 0}$( strečové povrchy )
Odpuzování	${\ displaystyle \ xi _ {n} (x_ {0})}$	${\ displaystyle x_ {0}^{\ prime} = \ xi _ {1} (x_ {0})}$( zmenšit řádky )	${\ Displaystyle \ left \ langle \ nabla \ times \ xi _ {3} (x_ {0}), \ xi _ {3} (x_ {0}) \ right \ rangle = 0}$( smršťovací povrchy )

Odpuzující LCS se získávají jako většina odpuzujících smršťovacích čar, počínaje místními maximy . Atraktivní LCS jsou získány jako nejatraktivnější úseky, počínaje místními minimy . Tyto výchozí body slouží jako počáteční polohy výjimečných trajektorií sedlového typu v toku. Příklad místního variačního výpočtu odpuzujícího LCS je uveden v FIg. 8. Výpočtový algoritmus je k dispozici v nástroji LCS. ${\ displaystyle \ lambda _ {2} (x_ {0})}$${\ displaystyle \ lambda _ {1} (x_ {0})}$

Obrázek 8. Odpuzující LCS vizualizovaný jako hřeben FTLE (vlevo) a vypočítaný přesně jako smršťovací čára (vpravo), tj. Řešení ODE začínající od globálního maxima . (Obrázek: Mohammad Farazmand)${\ displaystyle x_ {0}^{\ prime} = \ xi _ {1} (x_ {0})}$${\ displaystyle \ lambda _ {2} (x_ {0})}$

Ve 3D toky je namísto řešení Frobenius PDE (viz tabulka výše) pro hyperbolické LCS jednodušší přístup sestrojit průsečíky hyperbolických LCS s vybranými 2D rovinami a numericky přizpůsobit povrch velkému počtu takových křivek průsečíků. Označme jednotku normální z 2D rovině strany . Průsečíková křivka 2D odpuzujícího povrchu LCS s rovinou je kolmá k oběma a k normálovému měřítku LCS. V důsledku toho ODE splňuje průsečná křivka${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle n _ {\ Pi}}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle n _ {\ Pi}}$${\ displaystyle \ xi _ {3} (x_ {0})}$${\ displaystyle x_ {0} (s)}$

$${\ displaystyle x_ {0}^{\ prime} = \ xi _ {3} (x_ {0}) \ times n _ {\ Pi},}$$

jehož trajektorie označujeme jako zmenšené smršťovací linie . (Přesně řečeno, tato rovnice není obyčejnou diferenciální rovnicí, protože její pravá strana není vektorové pole, ale směrové pole, které obecně není globálně orientovatelné). Průsečíky hyperbolických LCS s nejrychlejšími smršťovacími zmenšujícími se liniemi. Určení takových smršťovacích čar v hladké rodině blízkých rovin, potom přizpůsobení povrchu k takto získané rodině křivek poskytuje numerickou aproximaci 2D odpuzujícího LCS. ${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ Pi}$

Globální variační přístup: smršťovací a natahovací linie jako nulová geodetika

Obecný povrch materiálu zažívá ve své deformaci střih a napětí, přičemž oba kontinuálně závisí na počátečních podmínkách na kontinuitě mapy . Zprůměrované napětí a střih uvnitř pásu uzavřených linií materiálu proto typicky vykazují variace uvnitř takového pásu. Dvourozměrná

${\ displaystyle F_ {t_ {0}}^{t}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (\ epsilon)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (\ epsilon)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (\ epsilon)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (\ epsilon)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (\ epsilon)}$

Shearless LCSs se zjistí, že je nulový geodetiky příslušníky Lorentzian metrický tensor je definován jako ${\ displaystyle D_ {t_ {0}}^{t_ {1}}}$

$${\ displaystyle D_ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0}) = {\ frac {1} {2}} \ left [C_ {t_ {0}}^{t_ {1} } (x_ {0}) \ Omega -\ Omega C_ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0}) \ right], \ qquad \ Omega = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 a 0 \\\ end {pmatrix}}.}$$

Taková nulová geodetika může být prokázána jako tenzorové linie tenzoru Cauchy – Greenova napětí, tj. Jsou tečné ke směrovému poli tvořenému poli vlastních vektorů napětí . Konkrétně,

${\ displaystyle \ xi _ {i} (x_ {0})}$

${\ displaystyle x_ {0}^{\ prime} = \ xi _ {1} (x_ {0})}$

${\ displaystyle \ lambda _ {2} (x_ {0})}$

${\ displaystyle x_ {0}^{\ prime} = \ xi _ {2} (x_ {0})}$

${\ displaystyle \ lambda _ {1} (x_ {0})}$

Ukázka aplikace je znázorněna na obr. 9, kde náhlý výskyt hyperbolického jádra (nejsilnější přitahující část úsečky) uvnitř ropné skvrny způsobil pozoruhodnou nestabilitu Tiger-Tail ve tvaru ropné skvrny.

Eliptické LCS

Elliptc LCS jsou uzavřené a vnořené materiálové povrchy, které fungují jako stavební kameny Lagrangeových ekvivalentů vírů, tj. Rotačních oblastí trajektorií, které obecně procházejí fázovým prostorem bez podstatného roztahování nebo skládání. Napodobují chování tormů Kolmogorov – Arnold – Moser (KAM), které tvoří eliptické oblasti v hamiltonovských systémech . K soudržnosti lze přistupovat buď prostřednictvím jejich homogenní rotace materiálu, nebo prostřednictvím jejich homogenních natahovacích vlastností.

Soudržnost otáčení z úhlu polárního otáčení (PRA)

Jako nejjednodušší přístup k rotační koherenci lze definovat eliptický LCS jako povrch trubkovitého materiálu, podél kterého malé objemy materiálu dokončují stejnou čistou rotaci v průběhu časového intervenčního zájmu. Problém v tom, že v každém prvku objemu materiálu všechna jednotlivá materiálová vlákna (tečné vektory k trajektoriím) provádějí různé rotace. ${\ displaystyle [t_ {0}, t_ {1}]}$

K získání dobře definované objemové rotace pro každý materiálový prvek lze použít jedinečné levé a pravé polární rozložení gradientu toku ve formě

$${\ Displaystyle \ nabla F_ {t_ {0}}^{t_ {1}} = R_ {t_ {0}}^{t_ {1}} U_ {t_ {0}}^{t_ {1}} = V_ {t_ {0}}^{t_ {1}} R_ {t_ {0}}^{t_ {1}},}$$

${\ displaystyle R_ {t_ {0}}^{t_ {1}}}$

${\ displaystyle U_ {t_ {0}}^{t_ {1}}, V_ {t_ {0}}^{t_ {1}}}$

Protože tenzor tenzoru Cauchy – Green lze zapsat jako

$${\ Displaystyle C_ {t_ {0}}^{t_ {1}} = [\ nabla F_ {t_ {0}}^{t_ {1}}]^{T} \ nabla F_ {t_ {0}}^ {t_ {1}} = U_ {t_ {0}}^{t_ {1}} U_ {t_ {0}}^{t_ {1}} = V_ {t_ {0}}^{t_ {1}} V_ {t_ {0}}^{t_ {1}},}$$

${\ displaystyle C_ {t_ {0}}^{t_ {1}}}$

${\ displaystyle R_ {t_ {0}}^{t_ {1}}}$

${\ displaystyle R_ {t_ {0}}^{t_ {1}}}$

Obrázek 10a. Eliptické LCS odhalené křivkami uzavřené úrovně distribuce PRA v simulaci dvojrozměrné turbulence. (Obrázek: Mohammad Farazmand)

Obrázek 10b. Eliptické LCS odhalené uzavřenými hladinovými křivkami distribuce PRA v ustáleném toku ABC . (Obrázek: Mohammad Farazmand)

Ve dvou a třech dimenzích tedy existuje polární úhel otočení (PRA), který charakterizuje rotaci materiálu generovanou pro objemový prvek se středem v počátečních podmínkách . Tato PRA je dobře definována až do násobků . U dvojrozměrných toků lze PRA vypočítat z invarianty použití vzorců ${\ displaystyle \ theta _ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0})}$${\ displaystyle R_ {t_ {0}}^{t_ {1}}}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle C_ {t_ {0}}^{t_ {1}}}$

$${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ cos \ theta _ {t_ {0}}^{t_ {1}} & = {\ frac {\ langle \ xi _ {i}, \ nabla F_ {t_ {0} }^{t_ {1}} \ xi _ {i} \ rangle} {\ sqrt {\ lambda _ {i}}}}, \ quad i = 1 \, \, or \, \, \, 2, \ \\ sin \ theta _ {t_ {0}}^{t_ {1}} & = \ left (-1 \ right)^{j} {\ frac {\ langle \ xi _ {i}, \ nabla F_ { t_ {0}}^{t_ {1}} \ xi _ {j} \ rangle} {\ sqrt {\ lambda _ {j}}}}, \ qquad (i, j) = (1,2) \, \, nebo \, \, (2,1), \\\ end {zarovnáno}}}$$

které poskytnou čtyřkvadrantovou verzi PRA podle vzorce

$${\ Displaystyle \ theta _ {t_ {0}}^{t} = \ left [1-{\ rm {sign \,}} \ left (\ sin \ theta _ {t_ {0}}^{t} \ vpravo) \ vpravo] \ pi +{\ rm {znak \,}} \ vlevo (\ sin \ theta _ {t_ {0}} ^{t} \ right) \ cos ^{-1} \ left (\ cos \ theta _ {t_ {0}}^{t} \ right).}$$

U trojrozměrných toků lze PRA opět vypočítat z invarianty ze vzorců ${\ displaystyle C_ {t_ {0}}^{t_ {1}}}$

$${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ cos \ theta _ {t_ {0}}^{t} & = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1}^{3 } {\ frac {\ left \ langle \ xi _ {i}, \ nabla F_ {t_ {0}}^{t_ {1}} \ xi _ {i} \ right \ rangle} {\ sqrt {\ lambda _ {i}}}}-1 \ right), \\\ sin \ theta _ {t_ {0}}^{t} & = {\ frac {\ left \ langle \ xi _ {i}, \ nabla F_ { t_ {0}}^{t_ {1}} \ xi _ {j} \ right \ rangle -\ left \ langle \ xi _ {j}, \ nabla F_ {t_ {0}}^{t_ {1}} \ xi _ {i} \ right \ rangle} {2 \ epsilon _ {ijk} e_ {k}}}, \ qquad i \ neq j, \ end {zarovnáno}}}$$

${\ displaystyle \ epsilon _ {ijk}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {e} = \ left \ {e_ {k} \ right \}}$

${\ Displaystyle \ left [K_ {t_ {0}}^{t} \ right] _ {jk} = \ left \ langle \ xi _ {j}, \ nabla F_ {t_ {0}}^{t_ {1 }} \ xi _ {k} \ vpravo \ rangle /{\ sqrt {\ lambda _ {k}}}}$

Časové polohy eliptických LCS jsou vizualizovány jako sady tubulárních úrovní distribuce PRA . Ve dvou dimenzích jsou tedy (polární) eliptické LCS jednoduše uzavřenými křivkami úrovně PRA, které se ukazují jako objektivní. Ve třech rozměrech jsou (polární) eliptické LCS toroidní nebo válcové povrchové plochy PRA, které však nejsou objektivní, a proto se v rotujících rámcích obecně mění. Koherentní Lagrangeovy hranice vírů lze zobrazit jako nejvzdálenější členy vnořených rodin eliptických LCS. Dvourozměrné a trojrozměrné příklady eliptických LCS odhalené povrchy PRA trubkovitých úrovní jsou znázorněny na obr. 10a-b. ${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle \ theta _ {t_ {0}}^{t}}$

Rotační soudržnost z Lagrangeově průměrované odchylky vorticity (LAVD)

Sady úrovní PRA jsou objektivní ve dvou dimenzích, ale ne ve třech dimenzích. Dalším nedostatkem tenzoru polární rotace je její dynamická nekonzistence: polární rotace vypočítané v sousedních dílčích intervalech celkové deformace se nesčítají s rotací vypočítanou pro plný časový interval stejné deformace. I když je tedy tenzor rotace nejbližší pevnému časovému intervalu v normě v pevném časovém intervalu , nevytvářejí po částech nejvhodnější rotace tuhého tělesa a jsou různé. Z tohoto důvodu se rotace předpovídané tenzorem polární rotace v různých časových intervalech odklání od experimentálně pozorované střední rotace materiálu tekutých prvků. ${\ displaystyle R_ {t_ {0}}^{t_ {1}}}$${\ displaystyle \ nabla F_ {t_ {0}}^{t_ {1}}}$${\ displaystyle L^{2}}$${\ displaystyle [t_ {0}, t_ {1}]}$${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle t_ {1}}$

Obrázek 11a: Rotačně koherentní mezoskálové vířivé hranice v oceánu v čase t0 = 11. listopadu 2006, identifikované ze satelitních povrchových rychlostí pomocí integračního času t1-t0 = 90 dní. Hranice jsou identifikovány jako nejvzdálenější uzavřené obrysy LAVD s malým nedostatkem konvexity. Na pozadí je také zobrazen obrysový graf pole LAVD pro referenci. (Obrázek: Alireza Hadjighasem)

Obrázek 11b: Materiálně advekčně rotované koherentní mezoskálové vířivé hranice a vířivá centra v oceánu spolu s reprezentativními trajektoriemi inerciálních částic inicializovanými na vířivých hranicích. Vířivá centra jsou získána jako lokální maxima pole LAVD. Jak lze matematicky dokázat, těžké částice (azurové) konvergují do center anticyklonických (ve směru hodinových ručiček) vírů. Částice světla (černé) konvergují do center cyklónových (pravotočivých) vírů. (Film: Alireza Hadjighasem)

Alternativa ke klasickému polárnímu rozkladu poskytuje řešení problému neobjektivity i dynamické nekonzistence. Konkrétně je ve formě také dynamický polární rozklad (DPD) deformačního gradientu

$${\ Displaystyle \ nabla F_ {t_ {0}}^{t} = O_ {t_ {0}}^{t} M_ {t_ {0}}^{t} = N_ {t_ {0}}^{t } O_ {t_ {0}}^{t},}$$

kde správné ortogonální tenzor je

${\ displaystyle O_ {t_ {0}}^{t}}$

${\ displaystyle M_ {t_ {0}}^{t}, N_ {t_ {0}}^{t}}$

${\ Displaystyle O_ {t_ {0}}^{t} = \ nabla _ {a_ {0}} a (t)}$

$${\ displaystyle {\ dot {a}} = W \ left (x (t; x_ {0}), t \ right) a,}$$

a je deformačním gradientem čistě napínacího toku ${\ Displaystyle M_ {t_ {0}}^{t} = \ nabla _ {b_ {0}} b (t)}$

$${\ Displaystyle {\ dot {b}} = O_ {t}^{t_ {0}} S \ left (x (t; x_ {0}), t \ right) O_ {t_ {0}}^{t } b.}$$

Tenzor dynamické rotace lze dále rozložit na dva deformační gradienty: jeden pro prostorově rovnoměrné (tuhé těleso) otáčení a druhý, který se od tohoto rovnoměrného otáčení odchyluje: ${\ displaystyle O_ {t_ {0}}^{t}}$

$${\ Displaystyle O_ {t_ {0}}^{t} = \ Phi _ {t_ {0}}^{t} \ Theta _ {t_ {0}}^{t}.}$$

Jako prostorově nezávislá rotace tuhého tělesa je správný ortogonální tenzor relativní rotace dynamicky konzistentní a slouží jako deformační gradient relativního rotačního toku ${\ Displaystyle \ Phi _ {t_ {0}}^{t} = \ částečná _ {\ alpha _ {0}} \ alpha (t)}$

$${\ Displaystyle {\ dot {\ alpha}} = \ left [W \ left (x (t; x_ {0}), t \ right)-{\ bar {W}} \ left (t \ right) \ right ] \ alpha.}$$

Naproti tomu správný ortogonální tenzor střední rotace je deformační gradient toku střední rotace ${\ displaystyle \ Theta _ {t_ {0}}^{t} = D _ {\ beta _ {0}} \ beta (t)}$

$${\ displaystyle {\ dot {\ beta}} = \ Phi _ {t}^{t_ {0}} {\ bar {W}} \ left (t \ right) \ Phi _ {t_ {0}}^{ t} \ beta.}$$

${\ displaystyle \ Phi _ {t_ {0}}^{t}}$

${\ displaystyle \ Phi _ {t_ {0}}^{t}}$

${\ Displaystyle \ psi _ {t_ {0}}^{t} (x_ {0})}$

${\ Displaystyle \ omega (x, t) = \ nabla \ times v (x, t)}$

$${\ Displaystyle {\ bar {\ omega}} (t) = {\ frac {\ int _ {U (t)} \ omega (x, t) \, dV} {\ mathrm {vol} \, (U ( t))}},}$$

${\ displaystyle [t_ {0}, t_ {1}]}$

$${\ Displaystyle \ mathrm {LAVD} _ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0}): = \ int _ {t_ {0}}^{t_ {1}} \ left | \ omega (x (s; x_ {0}), s)-{\ bar {\ omega}} (s) \ right | \, ds,}$$

s označením (případně časově proměnné) oblasti definice rychlostního pole . Tento výsledek platí jak ve dvou, tak ve třech rozměrech, a umožňuje výpočet dobře definovaného, ​​objektivního a dynamicky konzistentního úhlu rotace materiálu podél jakékoli trajektorie. ${\ Displaystyle U (t)}$${\ Displaystyle v (x, t)}$

Obrázek 11c: Rotačně koherentní mezoskálová vířivá (žlutá) v oceánském modelu South Ocean State Estimate (SOSE) v čase t0 = 15. května 2006, počítáno jako trubkovitý povrch na úrovni LAVD po dobu t1-t0 = 120 dní. Rovněž jsou ukázány blízké povrchy na úrovni LAVD, které ilustrují rotační nesoudržnost mimo vír. (Obrázek: Alireza Hadjighasem)

Nejvzdálenější komplexní tubulární hladinové křivky LAVD definují počáteční polohy rotačně koherentních hranic víru materiálu v dvojrozměrných nestabilních tocích (viz obr. 11a). Konstrukčně mohou tyto hranice vykazovat příčné filamentace, ale jakékoli vyvíjející se vlákno se stále otáčí s hranicí, aniž by globální příčný odchod tvořil materiální vír. (Výjimkou jsou nevidomé toky, kde je možné takové globální opuštění povrchů na úrovni LAVD z víru, protože tekuté prvky si po celou dobu zachovávají rychlost rotace materiálu). Je pozoruhodné, že centra rotačně koherentních vírů (definovaných lokálními maximy pole LAVD) mohou být prokázána jako pozorovaná centra přitažlivosti nebo odpudivosti pro pohyb částic konečné velikosti (inerciální) v geofyzikálních tocích (viz obr. 11b). V trojrozměrných proudech definují povrchy tubulárních hladin LAVD počáteční polohy dvourozměrných vířivých hraničních povrchů (viz obr. 11c), které zůstávají rotačně koherentní v časovém intcentru | ervalu (viz obr. 11d). ${\ displaystyle [t_ {0}, t_ {1}]}$

Obr. 11c Materiálová advekce rotačně soudržného Lagrangeova víru a jeho jádra v datové sadě 3D SOSE modelu. (Animace: Alireza Hadjighasem)

Soudržnost založená na protahování z místního variačního přístupu: smykové povrchy

Místní variační teorie eliptických LCS se zaměřuje na materiálové povrchy, které lokálně maximalizují střih materiálu v konečném časovém intervalu, který nás zajímá. To znamená, že v počátečním bodě každého bodu eliptického LCS je tečný prostor rovinou, podél které je místní Lagrangianův smyk maximální (viz obr. 7). ${\ displaystyle [t_ {0}, t_ {1}]}$${\ displaystyle x_ {0} \ in {\ mathcal {M}} (t_ {0})}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (t)}$${\ displaystyle T_ {x_ {0}} {\ mathcal {M}} (t_ {0})}$${\ displaystyle \ sigma _ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0})}$

Představujeme dvojrozměrné smykové vektorové pole

$${\ Displaystyle \ eta ^{\ pm} (x_ {0}): = {\ sqrt {\ frac {\ lambda _ {2} (x_ {0})-1} {\ lambda _ {2} (x_ { 0})-\ lambda _ {1} (x_ {0})}}} \ xi _ {1} (x_ {0}) \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ lambda _ {1} (x_ {0})} {\ lambda _ {2} (x_ {0})-\ lambda _ {1} (x_ {0})}}} \ xi _ {2} (x_ {0}),}$$

$${\ displaystyle n _ {\ pm} (x_ {0}) = {\ sqrt {\ frac {\ sqrt {\ lambda _ {1} (x_ {0})}} {{\ sqrt {\ lambda _ {1} (x_ {0})}}+{\ sqrt {\ lambda _ {3} (x_ {0})}}}}}} \ xi _ {1} (x_ {0}) \ pm {\ sqrt {\ frac {\ sqrt {\ lambda _ {3} (x_ {0})}} {{\ sqrt {\ lambda _ {1} (x_ {0})}}+{\ sqrt {\ lambda _ {3} (x_ {0})}}}}} \ xi _ {3} (x_ {0}),}$$

kritéria pro dvou a trojrozměrné eliptické LCS lze shrnout následovně:

Elipitické podmínky LCS z lokální variační teorie v rozměrech n = 2 a n = 3

LCS	Normální vektorové pole pro n = 3 ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (t_ {0})}$	ODE pro n = 2 ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (t_ {0})}$	PDE typu Frobenius pro n = 3 ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (t_ {0})}$
Eliptický	${\ displaystyle n _ {\ pm} (x_ {0})}$	${\ Displaystyle x_ {0} ^{\ prime} = \ eta ^{\ pm} (x_ {0})}$( smykové čáry )	${\ Displaystyle \ langle \ nabla \ times n _ {\ pm} (x_ {0}), n _ {\ pm} (x_ {0}) \ rangle = 0}$( smykové povrchy )

U 3D toků, jako v případě hyperbolických LCS, se lze vyhnout řešení Frobenius PDE. Místo toho lze sestrojit průsečíky trubicového eliptického LCS s vybranými 2D rovinami a povrch numericky přizpůsobit velkému počtu těchto křivek průsečíků. Pokud jde o výše uvedené hyperbolické LCS, označme normálovou jednotku 2D roviny vztahem . Křižovatkové křivky eliptických LCS s rovinou jsou opět normální pro obě a pro normálovou jednotku LCS. V důsledku toho křivka průsečíku splňuje sníženou smykovou ODE ${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle n _ {\ Pi}}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle n _ {\ Pi}}$${\ displaystyle n _ {\ pm} (x_ {0})}$${\ displaystyle x_ {0} (s)}$

$${\ displaystyle x_ {0}^{\ prime} = n _ {\ pm} (x_ {0}) \ times n _ {\ Pi},}$$

${\ displaystyle \ Pi}$

${\ displaystyle \ Pi}$

Obrázek 11: Eliptická Lagrangeova koherentní struktura (nebo LCS, zeleně, vlevo) a její advekovaná poloha pod mapou toku (vpravo) chaoticky vynuceného toku ABC. Zeleně je také zobrazen kruh počátečních podmínek umístěný kolem LCS (vlevo), propagovaný po stejnou dobu (vpravo). Obrázek: Daniel Blazevski.

Soudržnost založená na protahování z globálního variačního přístupu: lambda linky

Obrázek 13. Vnořená rodina eliptických LCS, získaná jako linie, tvořící transportní bariéry kolem Velké červené skvrny (GRS) Jupitera. Tyto LCS byly identifikovány ve dvourozměrném nestabilním rychlostním poli rekonstruovaném z videozáznamu Jupitera. Barva označuje odpovídající hodnoty parametru . Rovněž je ukázán dokonale koherentní ( -line) ohraničující jádro GRS, stejně jako nejvzdálenější eliptický LCS sloužící jako Lagrangianova vortexová hranice GRS. Obrázek: Alireza Hadjighasem.${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ lambda = 1}$

Jak je uvedeno výše u hyperbolických LCS, byl vyvinut globální variační přístup ve dvou dimenzích k zachycení eliptických LCS jako uzavřených stacionárních křivek funkčních průměrů Lagrangianů průměrovaných v materiálové linii. Ukázalo se, že takové křivky jsou uzavřenou nulovou geodetikou generalizované rodiny tenzorů Green – Lagrangeova napětí , kde je kladný parametr (Lagrangeův multiplikátor). Uzavřenou nulovou geodetiku lze ukázat, že se shoduje s mezními cykly rodiny směrových polí ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (C_ {t_ {0}}^{t_ {1}}-\ lambda I)}$${\ displaystyle \ lambda> 0}$

$${\ Displaystyle \ eta _ {\ lambda} ^{\ pm} (x_ {0}): = {\ sqrt {\ frac {\ lambda _ {2} (x_ {0})-\ lambda ^{2}} {\ lambda _ {2} (x_ {0})-\ lambda _ {1} (x_ {0})}}} \ xi _ {1} (x_ {0}) \ pm {\ sqrt {\ frac { \ lambda ^{2}-\ lambda _ {1} (x_ {0})} {\ lambda _ {2} (x_ {0})-\ lambda _ {1} (x_ {0})}}}} \ xi _ {2} (x_ {0}),}$$

Všimněte si, že pro , směrové pole se shoduje se směrovým polem pro smykové linie získané výše z místní variační teorie LCS. ${\ Displaystyle \ lambda = 1}$${\ Displaystyle \ eta _ {\ lambda}^{\ pm} (x_ {0}}$${\ Displaystyle \ eta ^{\ pm} (x_ {0}}$

Trajektorie jsou označovány jako -line. Pozoruhodné jsou počáteční polohy hmotných linií, které se

${\ Displaystyle \ eta _ {\ lambda}^{\ pm}}$

${\ Displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle F_ {t_ {0}}^{t_ {1}}}$

${\ Displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle t_ {0}}$

${\ displaystyle t_ {1}}$

${\ Displaystyle \ lambda}$

Parabolické LCS

Parabolické LCS jsou povrchy materiálu bez střihu, které vymezují jádra sad trajektorií tryskového typu. Takové LCS se vyznačují jednak nízkým roztažením (protože jsou uvnitř neroztažné struktury), ale také nízkým střihem (protože střih materiálu je v paprskových jádrech minimální).

Diagnostický přístup: příkopy Lyapunovových exponentů (FTLE) konečného času

Protože jak stříhání, tak roztahování jsou podél parabolického LCS tak nízké, jak je to jen možné, lze hledat počáteční polohy takových povrchů materiálu, jako jsou příkopy pole FTLE . Geofyzikální příklad parabolického LCS (generalizované tryskové jádro) odhalený jako příkop pole FTLE je znázorněn na obr. 14a. ${\ displaystyle FTLE_ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x_ {0})}$

Globální variační přístup: Heteroklinické řetězce nulové geodetiky

Ve dvou dimenzích jsou parabolické LCS také řešení globálního bezstřižného variačního principu popsaného výše pro hyperbolické LCS. Parabolické LCS jako takové se skládají ze smršťovacích čar a úseček, které představují geodetiku Lorentzianova metrického tenzoru . Na rozdíl od hyperbolických LCS však parabolické LCS splňují robustnější okrajové podmínky: zůstávají stacionárními křivkami průměrného smykového průměru materiálové linie i při změnách jejich koncových bodů. To vysvětluje vysoký stupeň robustnosti a pozorovatelnosti, který trysková jádra vykazují při míchání. To je v kontrastu s vysoce citlivou a blednoucí stopou hyperbolických LCS od silně hyperbolických oblastí v difuzních sledovacích vzorcích. ${\ displaystyle D_ {t_ {0}}^{t_ {1}}}$

Za hraničních podmínek variabilního koncového bodu se počáteční polohy parabolických LCS ukáží jako střídající se řetězce smršťovacích čar a úseček, které spojují singularity těchto liniových polí. Tyto singularity se vyskytují v bodech, kde , a tudíž nedochází k nekonečně malé deformaci mezi těmito dvěma časovými instancemi a . Obr. 14b ukazuje příklad parabolických LCS v atmosféře Jupitera, umístěných pomocí této variační teorie. Tvary typu chevron, které se tvoří z kruhových bloků materiálu umístěných podél jádra paprsku, jsou charakteristické pro deformaci indikátoru poblíž parabolických LCS. ${\ displaystyle \ lambda _ {1} (x_ {0}) = \ lambda _ {2} (x_ {0})}$${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle t_ {1}}$

Obrázek 14b: Parabolické LCS vymezující nestabilní Lagrangeova proudová jádra v atmosféře Jupitera. Rovněž je ukázán vývoj eliptického LCS označujícího hranici Velké červené skvrny. Video: Alireza Hadjighasem.

Softwarové balíčky pro výpočty LCS

Geodetický výpočet 2D hyperbolických a eliptických LCS:

• Nástroj LCS ( zdrojový kód )

Automatizovaný geodetický výpočet 2D eliptického LCS:

• Elliptic_LCS_2D ( https://github.com/LCSETH zdrojový kód])

Výpočet 2D a 3D rotačního eliptického LCS:

• Lagrangian-Averaged-Vorticity-Deviation-LAVD ( https://github.com/LCSETH source code])

Advekce částic a konečný čas Lyapunov Výpočet

• ManGen ( zdrojový kód )
• LCS MATLAB Kit ( zdrojový kód )
• FlowVC ( zdrojový kód )
• cuda_ftle ( zdrojový kód )
• CTRAJ
• Newman ( zdrojový kód )
• FlowTK ( zdrojový kód )

Viz také

• Turbulence
• Teorie chaosu
• Teorie dynamických systémů

Reference

Další související dokumenty

• Salman, H .; Hesthaven, JS; Warburton, T .; Haller, G. (2006). „Predikce transportu pomocí Lagrangeových koherentních struktur metodou vysokého řádu“ . Teoretická a výpočetní dynamika tekutin . 21 (1): 39–58. Bibcode : 2007ThCFD..21 ... 39S . doi : 10,1007/s00162-006-0031-0 . S2CID  11159109 .
• Green, MA; Rowley, CW; Haller, G. (2007). „Detekce Lagrangeových koherentních struktur v trojrozměrné turbulenci“. Journal of Fluid Mechanics . 572 : 111–120. Bibcode : 2007JFM ... 572..111G . CiteSeerX  10.1.1.506.7756 . doi : 10,1017/S0022112006003648 . S2CID  1074531 .