Teorie eliminace - Elimination theory

V komutativní algebry a algebraické geometrie , teorie eliminace je klasický název pro algoritmické přístupy k eliminaci některé proměnné mezi polynomů více proměnných, s cílem vyřešit systémy polynomiálních rovnic .

Klasická teorie eliminace vyvrcholil prací Francis Sowerby Macaulay na vícerozměrné charakteristické veličiny , a jeho popis v kapitole Odstranění teorie prvního vydání (1930) z Bartel Leendert Van der Waerden ‚s Moderne algebře . Poté byla většina algebraických geometrů téměř třicet let ignorována teorie eliminace až do zavedení nových metod řešení polynomiálních rovnic, jako jsou Gröbnerovy báze , které byly potřebné pro počítačovou algebru .

Historie a souvislost s moderními teoriemi

Pole teorie eliminace bylo motivováno potřebou metod řešení systémů polynomiálních rovnic .

Jedním z prvních výsledků byla Bézoutova věta , která ohraničuje počet řešení (v případě dvou polynomů ve dvou proměnných v Bézoutově čase).

Kromě Bézoutovy věty bylo obecným přístupem eliminovat proměnné pro redukci problému na jedinou rovnici v jedné proměnné.

Případ lineárních rovnic byl zcela vyřešen Gaussovou eliminací , kde starší metoda Cramerova pravidla nepostupuje eliminací a funguje pouze tehdy, když se počet rovnic rovná počtu proměnných. Během 19. století to bylo rozšířeno na lineární diofantické rovnice a abelianskou skupinu s Hermitovou normální formou a Smithovou normální formou .

Před 20. stoletím byly zavedeny různé typy eliminantů , včetně výslednic , a různé druhy diskriminujících . Obecně jsou tyto eliminanty také neměnné a jsou také zásadní v invariantní teorii .

Všechny tyto koncepty jsou účinné v tom smyslu, že jejich definice zahrnuje metodu výpočtu. Kolem roku 1890 zavedl David Hilbert neúčinné metody, což bylo považováno za revoluci, která vedla většinu algebraických geometrů první poloviny 20. století k pokusu „eliminovat eliminaci“. Nicméně Hilbertův Nullstellensatz lze považovat za patřící do teorie eliminace, protože tvrdí, že systém polynomiálních rovnic nemá řešení, pokud a pouze jeden může eliminovat všechny neznámé pro získání 1.

Teorie eliminace vyvrcholila prací Leopolda Kroneckera a nakonec Macaulaye , který představil vícerozměrné výslednice a U-výslednice a poskytl kompletní eliminační metody pro systémy polynomiálních rovnic, které byly popsány v kapitole Eliminační teorie prvních vydání (1930) of van der Waerden je Moderne algebře .

Poté byla teorie eliminace považována za staromódní, odstraněna z příštích vydání Moderne Algebra a obecně ignorována až do zavedení počítačů a konkrétněji počítačové algebry , která stanovila problém navrhování eliminačních algoritmů, které jsou dostatečně účinné pro probíhá. Hlavními metodami pro toto obnovení teorie eliminace jsou Gröbnerovy báze a válcový algebraický rozklad , které byly zavedeny kolem roku 1970.

Připojení k logice

Existuje také logický aspekt teorie eliminace, jak je vidět v booleovském problému uspokojivosti . V nejhorším případě je pravděpodobně těžké výpočetně eliminovat proměnné. Eliminace kvantifikátoru je termín používaný v matematické logice k vysvětlení, že v některých teoriích je každý vzorec ekvivalentní vzorci bez kvantifikátoru. To je případ teorie polynomů nad algebraicky uzavřeným polem , kde lze na eliminační teorii pohlížet jako na teorii metod, jak zajistit eliminaci kvantifikátoru algoritmicky účinnou. Dalším příkladem je eliminace kvantifikátoru nad reálemi , která má zásadní význam ve výpočetní algebraické geometrii .

Viz také

Reference

  • Israel Gelfand , Michail Kapranov, Andrey Zelevinsky , Diskriminanti, výsledníci a multidimenzionální determinanty . Matematika: Teorie a aplikace. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1994. x + 523 stran ISBN  0-8176-3660-9
  • Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556
  • David Cox, John Little, Donal O'Shea, pomocí algebraické geometrie . Přepracované druhé vydání. Postgraduální texty z matematiky , sv. 185. Springer-Verlag , 2005, xii + 558 stran, ISBN  978-0-387-20733-9