Zobecněný průměr - Generalized mean

V matematice jsou zobecněné prostředky (nebo mocnina nebo Hölderův průměr od Otto Höldera ) rodina funkcí pro agregaci množin čísel. Mezi ně patří ve zvláštních případech Pythagorovy prostředky ( aritmetické , geometrické a harmonické prostředky ).

Definice

Pokud $p$ je nenulové reálné číslo a jsou kladná reálná čísla, pak zobecněný průměr nebo mocnina s exponentem $p$ těchto kladných reálných čísel je: ${\ Displaystyle x_ {1}, \ tečky, x_ {n}}$

{\ Displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1}^{n} x_ {i }^{p} \ vpravo)^{\ frac {1} {p}}.}

(Viz $p$ -norm ). Pro $p = 0$ ho nastavíme rovně geometrickému průměru (což je limit průměrů s exponenty blížícími se nule, jak je ukázáno níže):

{\ Displaystyle M_ {0} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ sqrt [{n}] {\ prod _ {i = 1}^{n} x_ {i}}}}

Dále pro posloupnost kladných vah $w i$ se součtem definujeme vážený průměr výkonu jako: ${\ displaystyle \ textstyle {\ sum _ {i} w_ {i} = 1}}$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) & = \ left (\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ { i}^{p} \ right)^{\ frac {1} {p}} \\ M_ {0} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) & = \ prod _ {i = 1} ^{n} x_ {i}^{w_ {i}} \ end {aligned}}}

Nevážené prostředky odpovídají nastavení všech $w i = 1/ n$ .

Speciální případy

Vizuální zobrazení některých uvedených případů pro

n = 2

s

a = x 1 = M \infty

a

b = x 2 = M -\infty

:

harmonický průměr,

H = M -1 (a, b)

,

geometrický průměr,

G = M 0 (a, b)

aritmetický průměr,

A = M 1 (a, b)

kvadratický průměr,

Q = M 2 (a, b)

Několik konkrétních hodnot $p$ přináší speciální případy s jejich vlastními názvy:

${\ Displaystyle M _ { -\ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to -\ infty} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ { n}) = \ min \ {x_ {1}, \ tečky, x_ {n} \}}$	minimální
${\ Displaystyle M _ {-1} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ frac {n} {{\ frac {1} {x_ {1}}} +\ tečky +{\ frac {1} {x_ {n}}}}}}$	harmonický průměr
${\ Displaystyle M_ {0} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to 0} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ cdot \ dots \ cdot x_ {n}}}}$	geometrický průměr
${\ Displaystyle M_ {1} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ frac {x_ {1} +\ dots +x_ {n}} {n}}}$	aritmetický průměr
${\ Displaystyle M_ {2} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ sqrt {\ frac {x_ {1}^{2} +\ dots +x_ {n}^{2}} {n}}}}$	střední kvadratická nebo kvadratický průměr
${\ Displaystyle M_ {3} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ sqrt [{3}] {\ frac {x_ {1}^{3} +\ dots +x_ {n} ^{3}} {n}}}}$	kubický průměr
${\ Displaystyle M _ {+\ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to \ infty} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n }) = \ max \ {x_ {1}, \ tečky, x_ {n} \}}$	maximum

Důkaz (geometrický průměr) Definici $M$ $p$ můžeme přepsat pomocí exponenciální funkce ${\ Displaystyle \ textstyle \ lim _ {p \ to 0} M_ {p} = M_ {0}}$

{\ Displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ tečky, x_ {n}) = \ exp {\ left (\ ln {\ left [\ left (\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^{p} \ right)^{1/p} \ right]} \ right)} = \ exp {\ left ({\ frac {\ ln {\ left (\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^{p} \ right)}} {p}} \ right)}}

V limitu $p \to 0$ můžeme na argument exponenciální funkce aplikovat L'Hôpitalovo pravidlo . Rozlišením čitatele a jmenovatele vzhledem k $p$ máme

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ lim _ {p \ to 0} {\ frac {\ ln {\ left (\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^{ p} \ right)}} {p}} & = \ lim _ {p \ to 0} {\ frac {\ frac {\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^ {p} \ ln {x_ {i}}} {\ sum _ {j = 1}^{n} w_ {j} x_ {j}^{p}}} {1}} \\ & = \ lim _ {p \ to 0} {\ frac {\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^{p} \ ln {x_ {i}}} {\ sum _ {j = 1}^{n} w_ {j} x_ {j}^{p}}} \\ & = \ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {w_ {i} \ ln {x_ {i }}} {\ lim _ {p \ to 0} \ sum _ {j = 1}^{n} w_ {j} \ left ({\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} \ right )^{p}}} \\ & = \ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} \ ln {x_ {i}} \\ & = \ ln {\ left (\ prod _ {i = 1}^{n} x_ {i}^{w_ {i}} \ right)} \ end {aligned}}}

Díky kontinuitě exponenciální funkce můžeme dosadit zpět do výše uvedeného vztahu, abychom získali

{\ Displaystyle \ lim _ {p \ to 0} M_ {p} (x_ {1}, \ tečky, x_ {n}) = \ exp {\ left (\ ln {\ left (\ prod _ {i = 1 }^{n} x_ {i}^{w_ {i}} \ right)} \ right)} = \ prod _ {i = 1}^{n} x_ {i}^{w_ {i}} = M_ {0} (x_ {1}, \ tečky, x_ {n})}

podle přání.

Důkaz a ${\ Displaystyle \ textstyle \ lim _ {p \ to \ infty} M_ {p} = M _ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ lim _ {p \ to -\ infty} M_ {p} = M _ { -\ infty}}$ -

Předpokládejme (možná po novém označení a kombinaci výrazů dohromady), že . Pak ${\ Displaystyle x_ {1} \ geq \ dots \ geq x_ {n}}$

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ lim _ {p \ to \ infty} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) & = \ lim _ {p \ to \ infty} \ vlevo (\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^{p} \ right)^{1/p} \\ & = x_ {1} \ lim _ {p \ to \ infty} \ left (\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} \ left ({\ frac {x_ {i}} {x_ {1}}} \ right)^{p} \ right )^{1/p} \\ & = x_ {1} = M _ {\ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}). \ End {aligned}}}

Vzorec pro vyplývá z ${\ displaystyle M _ {-\ infty}}$ ${\ Displaystyle M _ {-\ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ frac {1} {M _ {\ infty} (1/x_ {1}, \ dots, 1/x_ {n})}}.}$

Vlastnosti

Nechť je posloupnost kladných reálných čísel, pak platí následující vlastnosti: ${\ Displaystyle x_ {1}, \ tečky, x_ {n}}$

${\ Displaystyle \ min (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ leq M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ leq \ max (x_ {1}, \ tečky, x_ {n})}$ .
Každý zobecněný průměr vždy leží mezi nejmenší a největší z hodnot $x$ .
${\ Displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = M_ {p} (P (x_ {1}, \ dots, x_ {n}))}$ , kde je operátor permutace. ${\ displaystyle P}$
Každý zobecněný průměr je symetrická funkce jeho argumentů; permutace argumentů generalizovaného průměru nemění jeho hodnotu.
${\ Displaystyle M_ {p} (bx_ {1}, \ dots, bx_ {n}) = b \ cdot M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ .
Jako většina prostředků je generalizovaný průměr homogenní funkcí jeho argumentů $x 1, ..., x n$ . To znamená, že pokud $b$ je kladné reálné číslo, pak zobecněný průměr s exponentem $p$ čísel je roven $b$ násobku zobecněného průměru čísel $x$ $1$ $, ...,$ $x$ $n$ . ${\ Displaystyle b \ cdot x_ {1}, \ dots, b \ cdot x_ {n}}$
${\ Displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n \ cdot k}) = M_ {p} \ left [M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) , M_ {p} (x_ {k+1}, \ tečky, x_ {2 \ cdot k}), \ tečky, M_ {p} (x _ {(n-1) \ cdot k+1}, \ tečky, x_ {n \ cdot k}) \ vpravo]}$ .
Stejně jako kvazi-aritmetické prostředky lze i výpočet průměru rozdělit na výpočty stejně velkých dílčích bloků. To umožňuje v případě potřeby použít k rozdělení prostředků algoritmus rozděl a panuj .

Zobecněná střední nerovnost

Geometrický důkaz beze slov , že max ( , b ) > střední kvadratická ( RMS ) nebo kvadratický průměr ( QM ) > aritmetický průměr ( AM ) > geometrický průměr ( GM ) > Harmonická střední ( HM ) > min ( , b ) z dvě kladná čísla a a b

Obecně platí, že pokud $p < q$ , pak

{\ Displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ tečky, x_ {n}) \ leq M_ {q} (x_ {1}, \ tečky, x_ {n})}

a tyto dva prostředky jsou stejné právě tehdy, když $x 1 = x 2 = ... = x n$ .

Nerovnost platí pro skutečné hodnoty $p$ a $q$ , stejně jako pro kladné a záporné hodnoty nekonečna.

To vyplývá ze skutečnosti, že pro všechna reálná $p$ ,

{\ Displaystyle {\ frac {\ částečná} {\ částečná p}} M_ {p} (x_ {1}, \ tečky, x_ {n}) \ geq 0}

což lze dokázat pomocí Jensenovy nerovnosti .

Zejména pro $p$ v ${-1, 0, 1}$ generalizovaná průměrná nerovnost znamená Pythagorovu střední nerovnost a také nerovnost aritmetických a geometrických průměrů .

Důkaz moci znamená nerovnost

Prokážeme váženou moc znamená nerovnost, pro účely důkazu budeme předpokládat následující bez ztráty obecnosti:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} w_ {i} \ in [0,1] \\\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} = 1 \ end {aligned}}}

Důkaz nevážených výkonových prostředků lze snadno získat nahrazením $w i = 1/ n$ .

Rovnocennost nerovností mezi prostředky opačných znamének

Předpokládejme, že průměr mezi silovými prostředky s exponenty $p$ a $q$ platí:

{\ Displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^{p}}} \ geq {\ sqrt [{q}] {\ součet _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^{q}}}}

aplikovat toto, pak:

{\ Displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {w_ {i}} {x_ {i}^{p}}}}} \ geq {\ sqrt [{q}] {\ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {w_ {i}} {x_ {i}^{q}}}}}}

Zvedneme obě strany na sílu −1 (striktně klesající funkce v kladných realích):

{\ Displaystyle {\ sqrt [{-p}] {\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^{-p}}} = {\ sqrt [{p}] { \ frac {1} {\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} {\ frac {1} {x_ {i}^{p}}}}}} \ leq {\ sqrt [{q }] {\ frac {1} {\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} {\ frac {1} {x_ {i}^{q}}}}}} = {\ sqrt [ {-q}] {\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^{-q}}}}

Získáme nerovnost pro prostředky s exponenty $-p$ a $-q$ a můžeme použít stejné uvažování pozpátku, čímž dokážeme nerovnosti jako rovnocenné, což bude použito v některých pozdějších důkazech.

Geometrický průměr

Pro jakékoli $q > 0$ a záporné váhy součtu do 1 platí následující nerovnost:

{\ Displaystyle {\ sqrt [{-q}] {\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^{-q}}} \ leq \ prod _ {i = 1} ^{n} x_ {i}^{w_ {i}} \ leq {\ sqrt [{q}] {\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^{q} }}.}

Důkaz vyplývá z Jensenovy nerovnosti s využitím faktu, že logaritmus je konkávní:

{\ Displaystyle \ log \ prod _ {i = 1}^{n} x_ {i}^{w_ {i}} = \ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} \ log x_ {i } \ leq \ log \ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}.}

Aplikací exponenciální funkce na obě strany a pozorováním, že jako přísně rostoucí funkce zachovává znak nerovnosti, dostaneme

{\ Displaystyle \ prod _ {i = 1}^{n} x_ {i}^{w_ {i}} \ leq \ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}.}

Vezmeme -li $q$ th mocniny $x i$ , skončíme pro nerovnost s kladným $q$ ; případ pro negativy je identický.

Nerovnost mezi jakýmikoli dvěma mocenskými prostředky

Máme dokázat, že pro jakékoli $p < q$ platí následující nerovnost:

{\ Displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^{p}}} \ leq {\ sqrt [{q}] {\ součet _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^{q}}}}

pokud $p$ je záporné a $q$ je kladné, nerovnost je ekvivalentní té, která byla prokázána výše:

{\ Displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^{p}}} \ leq \ prod _ {i = 1}^{ n} x_ {i}^{w_ {i}} \ leq {\ sqrt [{q}] {\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^{q}}} }

Důkaz pro kladné $p$ a $q$ je následující: Definujte následující funkci: $f : R + \to R +$ . $f$ je mocninová funkce, takže má druhou derivaci: ${\ Displaystyle f (x) = x^{\ frac {q} {p}}}$

{\ Displaystyle f '(x) = \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}}-1 \ right) x^{{\ frac {q} {p}}-2}}

což je v oblasti $f$ přísně kladné , protože $q > p$ , takže víme, že $f$ je konvexní.

Pomocí toho a Jensenovy nerovnosti získáme:

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} f \ left (\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^{p} \ right) & \ leq \ sum _ {i = 1 }^{n} w_ {i} f (x_ {i}^{p}) \\ [3pt] {\ sqrt [{\ frac {p} {q}}] {\ sum _ {i = 1}^ {n} w_ {i} x_ {i}^{p}}} & \ leq \ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^{q} \ end {aligned}} }

po zvýšení obou stran na sílu $1/ q$ (rostoucí funkce, protože $1/ q$ je kladná) dostaneme nerovnost, která měla být prokázána:

{\ Displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^{p}}} \ leq {\ sqrt [{q}] {\ součet _ {i = 1}^{n} w_ {i} x_ {i}^{q}}}}

Pomocí dříve prokázáno rovnocennost dokážeme nerovnost o negativní $p$ a $q$ jejich nahrazením $-q$ a $-p$ , v tomto pořadí.

Zobecněné f -průměr

Průměr výkonu by mohl být zobecněn dále na zobecněný $f$ -průměr :

{\ Displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = f^{-1} \ left ({{\ frac {1} {n}} \ cdot \ sum _ {i = 1}^{n} {f (x_ {i})}} \ right)}

To pokrývá geometrický průměr bez použití limitu s $f (x) = log (x)$ . Výkonový průměr se získá pro $f (x) = x p$ .

Aplikace

Zpracování signálu

Výkonový průměr slouží nelineárnímu klouzavému průměru, který je posunut směrem k malým hodnotám signálu pro malé $p$ a zdůrazňuje velké hodnoty signálu pro velké $p$ . Vzhledem k efektivní implementaci pohyblivého aritmetického průměru nazývaného smoothjeden lze implementovat průměr pohyblivého výkonu podle následujícího kódu Haskell .

 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)

Pro velké $p$ může sloužit jako detektor obálek na usměrněném signálu.
Pro malé $p$ může sloužit jako základní detektor v hmotnostním spektru .

Viz také

Aritmeticko -geometrický průměr
Průměrný
Heronian průměr
Nerovnost aritmetických a geometrických průměrů
Lehmer průměr - také průměr související s mocnostmi
Minkowského vzdálenost
Kvaziaritmetický průměr -další název pro zobecněný f-průměr uvedený výše
Střední kvadratická

Poznámky

^ ^a ^b Sýkora, Stanislav (2009). Matematické prostředky a průměry: základní vlastnosti . 3 . Stanova knihovna: Castano Primo, Itálie. doi : 10,3247/SL3Math09.001 .
^ ^a ^b P. S. Bullen: Příručka prostředků a jejich nerovností . Dordrecht, Nizozemsko: Kluwer, 2003, s. 175-177
^ Weisstein, Eric W. „Power Mean“ . MathWorld . (vyvoláno 17. srpna 2019)
^ Thompson, Sylvanus P. (1965). Calculus Made Easy . Macmillan International Higher Education. p. 185. ISBN 9781349004874. Citováno 5. července 2020 .
^ Jones, Alan R. (2018). Pravděpodobnost, statistika a další děsivé věci . Routledge. p. 48. ISBN 9781351661386. Citováno 5. července 2020 .
^ Pokud AC = a a BC = b . OC = AM za b , a poloměr r = QO = OH. Pomocí Pythagorovy věty QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM . Pomocí Pythagorovy věty OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² - OG² = GM . Pomocí podobné trojúhelníky ,

HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC= HM .

Reference a další čtení

PS Bullen: Příručka prostředků a jejich nerovností . Dordrecht, Nizozemsko: Kluwer, 2003, kapitola III (The Power Means), s. 175-265

externí odkazy

[sykora-1] Sýkora, Stanislav (2009). Matematické prostředky a průměry: základní vlastnosti . 3 . Stanova knihovna: Castano Primo, Itálie. doi : 10,3247/SL3Math09.001 .

[Bullen1-2] P. S. Bullen: Příručka prostředků a jejich nerovností . Dordrecht, Nizozemsko: Kluwer, 2003, s. 175-177

[mw-3] Weisstein, Eric W. „Power Mean“ . MathWorld . (vyvoláno 17. srpna 2019)

[4] Thompson, Sylvanus P. (1965). Calculus Made Easy . Macmillan International Higher Education. p. 185. ISBN 9781349004874. Citováno 5. července 2020 .

[5] Jones, Alan R. (2018). Pravděpodobnost, statistika a další děsivé věci . Routledge. p. 48. ISBN 9781351661386. Citováno 5. července 2020 .

[6] Pokud AC = a a BC = b . OC = AM za b , a poloměr r = QO = OH. Pomocí Pythagorovy věty QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM . Pomocí Pythagorovy věty OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² - OG² = GM . Pomocí podobné trojúhelníky ,

HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC= HM .

Languages

In other projects