Lefschetzova věta o hyperplánu - Lefschetz hyperplane theorem

V matematice , konkrétně v algebraické geometrii a algebraické topologii , je Lefschetzova hyperplošinová věta přesným vyjádřením určitých vztahů mezi tvarem algebraické odrůdy a tvarem jejích poddruhů. Přesněji řečeno, teorém říká, že pro různé X, vložené do projektivní prostoru a část nadrovina Y , na homologii , kohomologie a homotopických skupin z X určit ty Y . Výsledek tohoto druhu poprvé uvedl Solomon Lefschetz pro skupiny homologie složitých algebraických odrůd. Podobné výsledky byly od té doby nalezeny pro skupiny homotopy, v pozitivních charakteristikách a v jiných homologických a kohomologických teoriích.

Dalekosáhlé zobecnění tvrdé Lefschetzovy věty je dáno teorémem o rozkladu .

Lefschetzova hyperplošinová věta pro složité projektivní varianty

Nechť X je n -dimenzionální komplexní projektivní algebraická odrůda v CP ^N a nechť Y je nadrovinová část X tak, že U = X ∖ Y je hladký. Lefschetzova věta odkazuje na některý z následujících výroků:

1. Přirozená mapa H _k ( Y , Z ) → H _k ( X , Z ) v singulární homologii je izomorfismem pro k < n - 1 a je surjektivní pro k = n - 1 .
2. Přirozená mapa H ^k ( X , Z ) → H ^k ( Y , Z ) v singulární kohomologii je izomorfismem pro k < n - 1 a je injektivní pro k = n - 1 .
3. Přirozená mapa π _k ( Y , Z ) → π _k ( X , Z ) je izomorfismus pro k < n - 1 a je surjektivní pro k = n - 1 .

Pomocí dlouhé přesné sekvence lze ukázat, že každý z těchto výroků je ekvivalentní s mizející větou pro určité relativní topologické invarianty. V pořadí jsou to:

1. Relativní singulární homologie skupiny H _k ( X , Y , Z ) jsou nulové pro .${\ displaystyle k \ leq n-1}$
2. Relativní singulární kohomologické skupiny H ^k ( X , Y , Z ) jsou nulové pro .${\ displaystyle k \ leq n-1}$
3. Relativní homotopické skupiny π _k ( X , Y ) jsou nulové pro .${\ displaystyle k \ leq n-1}$

Lefschetzův důkaz

Solomon Lefschetz použil svou myšlenku Lefschetzovy tužky k prokázání věty. Spíše než uvažovat o samotném nadrovinovém řezu Y , vložil ho do rodiny nadrovinných řezů Y _t , kde Y = Y ₀ . Protože obecná část nadroviny je hladká, všechny až na konečný počet Y _t jsou hladké odrůdy. Po odstranění těchto bodů z t- roviny a vytvoření dalšího konečného počtu štěrbin je výsledná rodina sekcí nadroviny topologicky triviální. To znamená, že se jedná o produkt obecného Y _t s otevřenou podmnožinou t- roviny. X tedy lze pochopit, pokud pochopíme, jak jsou identifikovány nadrovinné úseky napříč štěrbinami a v singulárních bodech. Daleko od singulárních bodů lze identifikaci popsat indukčně. V singulárních bodech znamená Morseovo lemma, že existuje volba souřadného systému pro X obzvláště jednoduché formy. Tento souřadný systém lze použít k přímému prokázání věty.

Důkaz Andreottiho a Frankela

Aldo Andreotti a Theodore Frankel uznali, že Lefschetzova věta by mohla být přepracována pomocí Morseovy teorie . Zde parametr t hraje roli Morseovy funkce. Základním nástrojem v tomto přístupu je Andreotti-Frankelův teorém , který uvádí, že komplexní afinní variace komplexní dimenze n (a tedy reálná dimenze 2 n ) má homotopický typ CW-komplexu (skutečné) dimenze n . To znamená, že relativní homologické skupiny Y v X jsou triviální ve stupni menším než n . Dlouhá přesná sekvence relativní homologie pak dává teorém.

Důkazy Thoma a Botta

Ani Lefschetzův důkaz, ani Andreottiho a Frankelův důkaz přímo neimplikují Lefschetzovu hyperploškovou větu pro homotopické skupiny. Tento přístup našel René Thom nejpozději v roce 1957 a byl zjednodušen a publikován Raoul Bottem v roce 1959. Thom a Bott interpretují Y jako mizející lokus v X části svazku linek. Aplikace Morseovy teorie v této části naznačuje, že X lze zkonstruovat z Y sousedními buňkami dimenze n nebo více. Z toho vyplývá, že relativní homologie a homotopické skupiny Y v X jsou koncentrovány ve stupních n a vyšších, což vede k teorému.

Kodaira a Spencerův důkaz pro skupiny Hodge

Kunihiko Kodaira a Donald C. Spencer zjistili, že za určitých omezení je možné prokázat teorém typu Lefschetz pro Hodgeovy skupiny H ^{p , q} . Konkrétně předpokládejme, že Y je hladký a že svazek řádků je dostatečný. Pak restrikční mapa H ^{p , q} ( X ) → H ^{p , q} ( Y ) je izomorfismus, pokud p + q <n - 1, a je injektivní, pokud p + q = n - 1 . Podle Hodgeovy teorie se tyto kohomologické skupiny rovnají svazkovým kohomologickým skupinám a . Věta proto vyplývá z aplikace Vanizovy věty Akizuki – Nakano na a použití dlouhé přesné sekvence. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (Y)}$${\ displaystyle H ^ {q} (X, \ textstyle \ bigwedge ^ {p} \ Omega _ {X})}$${\ displaystyle H ^ {q} (Y, \ textstyle \ bigwedge ^ {p} \ Omega _ {Y})}$${\ displaystyle H ^ {q} (X, \ textstyle \ bigwedge ^ {p} \ Omega _ {X} | _ {Y})}$

Kombinace tohoto důkazu s teorémem univerzálních koeficientů téměř získá obvyklou Lefschetzovu teorém pro cohomologii s koeficienty v jakémkoli poli charakteristické nuly. Je však o něco slabší, protože z dalších předpokladů o Y .

Artin a Grothendieckův důkaz konstruktivních snopů

Michael Artin a Alexander Grothendieck našli zobecnění Lefschetzovy hyperplošinové věty na případ, kdy koeficienty kohomologie nespočívají v poli, nýbrž ve konstruovatelném svazku . Dokazují, že pro konstruktivní svazek F na afinní odrůdě U kohomologické skupiny kdykoli zmizí . ${\ displaystyle H ^ {k} (U, F)}$${\ displaystyle k> n}$

Lefschetzova věta v jiných kohomologických teoriích

Motivací Artinova a Grothendieckova důkazu pro konstruovatelné snopy bylo poskytnout důkaz, který lze přizpůsobit prostředí etalické a adické kohomologie. Až do jistých omezení konstruovatelného svazku zůstává Lefschetzova věta pravdivá pro konstruktivní svazky s pozitivní charakteristikou. ${\ displaystyle \ ell}$

Vetu lze také zobecnit na průsečíkovou homologii . V tomto nastavení platí věta pro vysoce singulární prostory.

Pro skupiny Picard platí také věta typu Lefschetz .

Tvrdá Lefschetzova věta

Nechť X je n -dimenzionální nesingulární komplexní projektivní odrůda . Poté v kohomologie kruhu z X se k násobně výrobek s třídou kohomologie části nadrovině dává izomorfismus mezi a . ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {N}}$${\ displaystyle H ^ {nk} (X)}$${\ displaystyle H ^ {n + k} (X)}$

Toto je tvrdá Lefschetzova věta , kterou francouzsky pokřtil Grothendieck více hovorově jako Théorème de Lefschetz vache . Okamžitě to implikuje injektivní část Lefschetzovy věty o hyperploše.

Tvrdá Lefschetzova věta ve skutečnosti platí pro jakékoli kompaktní Kählerovo potrubí , přičemž izomorfismus v de Rhamově kohomologii je dán vynásobením mocí třídy Kählerovy formy. Může selhat u jiných než Kählerových potrubí: například Hopfovy povrchy mají mizející druhé kohomologické skupiny, takže neexistuje obdoba druhé třídy kohomologie v sekci nadroviny.

Tvrdá Lefschetzova věta byla prokázána pro -adickou kohomologii hladkých projektivních odrůd nad algebraicky uzavřenými poli pozitivních charakteristik Pierre Deligne  ( 1980 ). ${\ displaystyle \ ell}$

Reference

Bibliografie

• Andreotti, Aldo ; Frankel, Theodore (1959), „The Lefschetz theorem on hyperplane sections“, Annals of Mathematics , Second Series, 69 : 713–717, doi : 10,2307 / 1970034 , ISSN  0003-486X , MR  0177422
• Beauville, Arnaud , Hodge Conjecture , CiteSeerX  10.1.1.74.2423
• Bott, Raoul (1959), „On a theorem of Lefschetz“ , Michigan Mathematical Journal , 6 (3): 211–216, doi : 10,1307 / mmj / 1028998225 , MR  0215323 , vyvoláno 2010-01-30
• Deligne, Pierre (1980), „La Conecture de Weil. II“ , Publikace Mathématiques de l'IHÉS (52): 137–252, ISSN  1618-1913 , MR  0601520
• Griffiths, Phillip ; Spencer, Donald C .; Whitehead, George W. (1992), "Solomon Lefschetz", v National Academy of Sciences, Office of the Home Secretary (ed.), Biografické paměti , 61 , The National Academies Press, ISBN 978-0-309-04746-3
• Lazarsfeld, Robert (2004), Pozitivita v algebraické geometrii. Já , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Řada moderních průzkumů v matematice [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech. 3. série. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 48 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10,1007 / 978-3-642-18808-4 , ISBN 978-3-540-22533-1, MR  2095471
• Lefschetz, Solomon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique , Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (ve francouzštině), Paříž: Gauthier-VillarsPřetištěno v Lefschetz, Solomon (1971), Selected papers , New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7, MR  0299447
• Milnor, John Willard (1963), Morseova teorie , Annals of Mathematics Studies, č. 51, Princeton University Press , MR  0163331
• Sabbah, Claude (2001), Théorie de Hodge et théorème de Lefschetz «difficile» (PDF) , archivovány z originálu (PDF) dne 7. července 2004
• Voisin, Claire (2003), Hodgeova teorie a komplexní algebraická geometrie. II , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 77 , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511615177 , ISBN 978-0-521-80283-3, MR  1997577