Afinní odrůda - Affine variety

V algebraické geometrii , k afinní odrůdy nebo afinní algebraické odrůdy , přes algebraicky uzavřené pole k je nula-lokusu v afinního prostoru k ⁿ některých konečných rodiny polynomů z n veličin s koeficienty v K , které vytvářejí vynikající ideální . Pokud je podmínka generování primárního ideálu odstraněna, nazývá se taková množina (afinní) algebraická množina . Zariski otevřený Subvariety afinního odrůdy se nazývá kvazi-afinní odrůdy .

Některé texty nevyžadují primární ideál a nazývají neredukovatelnou algebraickou rozmanitost definovanou primárním ideálem. Tento článek se týká nulových lokusů ne nutně primárních ideálů jako afinních algebraických množin .

V některých kontextech je užitečné odlišit pole k, ve kterém jsou koeficienty uvažovány, od algebraicky uzavřeného pole K (obsahujícího k ), nad kterým je uvažován nulový lokus (to znamená, že body afinní odrůdy jsou v K ⁿ ). V tomto případě je odrůda řečena definována přes k a body odrůdy, které patří do k ^n, jsou uvedené k -racionální nebo racionální nad k . V běžném případě, kde k je pole reálných čísel , se k -racionální bod nazývá skutečný bod . Pokud pole k není zadáno, je racionálním bodem bod, který je racionální nad racionálními čísly . Například Fermatova poslední věta tvrdí, že afinní algebraická odrůda (je to křivka) definovaná x ⁿ  +  y ⁿ  - 1 = 0 nemá žádné racionální body pro celé číslo n větší než dvě.

Úvod

Afinní algebraická sada je množina řešení v algebraicky uzavřené pole k systému polynomiálních rovnic s koeficienty v k . Přesněji, pokud jsou polynomy s koeficienty v k , definují afinní algebraickou množinu ${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {m}}$

${\ Displaystyle V (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}) = \ left \ {(a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ in k^{n} \; | \; f_ {1} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ ldots = f_ {m} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = 0 \ right \}.}$

Afinní (algebraická) odrůda je afinní algebraické souprava, která není spojení dvou vhodných afinního algebraických podskupin. O takové afinní algebraické sadě se často říká, že je neredukovatelná .

Je -li X afinní algebraická množina a I je ideál všech polynomů, které jsou na X nulové , pak se kvocientový prstenec nazývá${\ Displaystyle R = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]/I}$ koordinovat kroužek zX. PokudXje afinní odrůda, pakIje prvočíslo, takže souřadnicový kruh je integrální doménou. Prvky souřadnicového prstenceRse také nazývajípravidelné funkcenebopolynomické funkcena odrůdě. Tvoříkruh pravidelných funkcí na odrůdě, nebo jednodušeprsten odrůdy; Jinými slovy (viz#Structure snop), to je prostor globálních částí konstrukce svazekX.

Rozměr palety je celé číslo spojené každé odrůdy, a to i pro každou algebraické souprava, jejíž význam spočívá na velkém počtu jeho ekvivalentní definice (viz rozměr algebraické odrůdy ).

Příklady

• Komplement hyperpovrchu v afinní odrůdě X (to je X - { f = 0} pro nějaký polynom f ) je afinní. Jeho definující rovnice se získají nasycením podle f definující ideálu X . Souřadnicový prstenec je tedy lokalizací .${\ Displaystyle k [X] [f^{-1}]}$
• Zejména (afinní linie s odstraněným původem) je afinní.${\ displaystyle \ mathbb {C} -0}$
• Na druhou stranu (afinní rovina s odstraněným původem) není afinitní odrůdou; srov. Hartogsova věta o prodloužení .${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^{2} -0}$
• Subvariety kodimenze jedna v afinním prostoru jsou přesně hypersurfaces, to jsou odrůdy definované jediným polynomem.${\ displaystyle k^{n}}$
• Normalizace z nedělitelný afinní odrůdy je afinní; souřadnicový prstenec normalizace je integrální uzavření souřadnicového prstence odrůdy. (Podobně normalizace projektivní odrůdy je projektivní odrůda.)

Racionální body

Pro afinního různými přes algebraicky uzavřené pole K a subfield k z K , a k - racionální bod z V, je bod, To znamená, že bod V , jehož souřadnice jsou prvky k . Sbírka k -racionálních bodů afinní odrůdy V je často označována často, pokud jsou základním polem komplexní čísla C , body, které jsou R -racionální (kde R jsou skutečná čísla ), se nazývají skutečné body odrůdy a Q -rational body ( Q jsou racionální čísla ) jsou často jednoduše nazvaný racionální bodů . ${\ Displaystyle V \ subseteq K^{n}}$${\ Displaystyle p \ in V \ cap k^{n}.}$${\ Displaystyle V (k).}$

Například (1, 0) je Q -racionální a R -racionální bod odrůdy, jak je ve V a všechny jeho souřadnice jsou celá čísla. Bod ( √ 2 /2, √ 2 /2) je skutečný bod V, který není Q -racionální, a je bodem V, který není R -racionální. Tato rozmanitost se nazývá kruh , protože množina jejích R -racionálních bodů je jednotková kružnice . Má nekonečně mnoho Q -racionálních bodů, které jsou body ${\ Displaystyle V = V (x^{2}+y^{2} -1) \ subseteq \ mathbf {C}^{2},}$${\ displaystyle (i, {\ sqrt {2}})}$

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {1-t^{2}} {1+t^{2}}}, {\ frac {2t} {1+t^{2}}} \ right)}$

kde t je racionální číslo.

Kruh je příkladem algebraické křivky stupně dva, která nemá žádný Q -racionální bod. To lze odvodit ze skutečnosti, že, modulo 4 , součet dvou čtverců nemůže být 3 . ${\ Displaystyle V (x^{2}+y^{2} -3) \ subseteq \ mathbf {C}^{2}}$

Lze dokázat, že algebraická křivka stupně dva s Q -racionálním bodem má nekonečně mnoho dalších Q -racionálních bodů; každý takový bod je druhým průsečíkem křivky a přímkou ​​s racionálním sklonem procházející racionálním bodem.

Složitá odrůda nemá žádné racionální body R , ale má mnoho složitých bodů. ${\ Displaystyle V (x^{2}+y^{2} +1) \ subseteq \ mathbf {C}^{2}}$

Pokud V je afinní odrůda v C ² definovaná přes komplexní čísla C , R -racionální body V lze nakreslit na kus papíru nebo pomocí grafického softwaru. Obrázek vpravo ukazuje R -racionální body${\ Displaystyle V (y^{2} -x^{3}+x^{2}+16x) \ subseteq \ mathbf {C}^{2}.}$

Jedinečné body a tečný prostor

Nechť V být afinní odrůda definován polynomů a být bodem V . ${\ Displaystyle f_ {1}, \ dots, f_ {r} \ in k [x_ {1}, \ dots, x_ {n}],}$${\ Displaystyle a = (a_ {1}, \ tečky, a_ {n})}$

Jacobiho matice J _V ( ) z V, v je matice parciálních derivací

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečné f_ {j}} {\ částečné {x_ {i}}}} (a_ {1}, \ tečky, a_ {n}).}$

Bod je pravidelný , pokud hodnost J _V ( ) se rovná codimension z V , a singulární jinak.

Pokud je pravidelný je tečný prostor k V, na je afinní podprostor z definován lineárních rovnic${\ displaystyle k^{n}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {\ částečné f_ {j}} {\ částečné {x_ {i}}}} (a_ {1}, \ tečky, a_ {n} ) (x_ {i} -a_ {i}) = 0, \ quad j = 1, \ tečky, r.}$

Pokud je bod singulární, je afinní podprostor definovaný těmito rovnicemi některými autory také nazýván tečným prostorem, zatímco jiní autoři říkají, že v singulárním bodě neexistuje žádný dotykový prostor. Vnitřnější definice, která nepoužívá souřadnice, je dána Zariskiho tečným prostorem .

Topologie Zariski

Afinní algebraické sady k ⁿ tvoří uzavřené množiny topologie na k ⁿ , zvané Zariskiho topologie . To vyplývá z faktu, že a (ve skutečnosti je počitatelný průnik afinních algebraických množin afinní algebraickou sadou). ${\ Displaystyle V (0) = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}],}$ ${\ Displaystyle V (1) = \ emptyset,}$ ${\ Displaystyle V (S) \ cup V (T) = V (ST),}$${\ Displaystyle V (S) \ cap V (T) = V (S+T)}$

Topologii Zariski lze také popsat pomocí základních otevřených množin , kde zariski-otevřené množiny jsou počitatelné svazky množin formuláře pro Tyto základní otevřené množiny jsou doplňky v k ⁿ uzavřených množin nulových lokusů jednoho polynomu. Pokud k je noetherian (například pokud k je pole nebo hlavní ideální doména ), pak každý ideál k je vygenerován konečně, takže každá otevřená sada je konečným spojením základních otevřených sad. ${\ Displaystyle U_ {f} = \ {p \ in k^{n}: f (p) \ neq 0 \}}$${\ Displaystyle f \ in k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}].}$${\ Displaystyle V (f) = D_ {f} = \ {p \ in k^{n}: f (p) = 0 \},}$

Je -li V afinní subvarieta k ^n, je Zariskiho topologie na V jednoduše subprostorová topologie zděděná z topologie Zariski na k ⁿ .

Korespondence mezi geometrií a algebrou

Geometrická struktura afinní odrůdy je hluboce spojena s algebraickou strukturou jejího souřadnicového prstence. Nechť I a J se ideály K [V] , souřadnic kruh afinního odrůdy V . Nechť I (V) je množina všech polynomů, ve kterých mizí na V , a značme radikál ideálu I , množinu polynomů f, pro které je v I nějaká mocnina f . Důvod, že je zapotřebí základní pole, které mají být algebraicky zavřené, že afinní odrůdy automaticky uspokojí Hilbertova věta o nulách : za ideální J ve kterém k je algebraicky uzavřené těleso,${\ Displaystyle k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}],}$${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}$${\ Displaystyle k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}],}$${\ Displaystyle I (V (J)) = {\ sqrt {J}}.}$

Radikální ideály (ideály, které jsou vlastní radikál) z K [V] , odpovídají algebraických podskupin V . Ve skutečnosti, pro radikální ideály I a J , jestliže a pouze v případě, tedy V (I) = V (J), pouze v případě I = J . Kromě toho funkce, která bere afinní algebraickou množinu W a vrací I (W) , množinu všech funkcí, které také mizí ve všech bodech W , je inverzní k funkci přiřazující algebraickou množinu radikálnímu ideálu pomocí nullstellensatz. Proto korespondence mezi afinními algebraickými množinami a radikálními ideály je bijekce. Souřadnicový kruh afinní algebraické množiny je redukován (bez potenciálu), protože ideální I v kruhu R je radikální právě tehdy, když je redukován kvocient kruhu R/I . ${\ displaystyle I \ subseteq J}$${\ Displaystyle V (J) \ subseteq V (I).}$

Primární ideály souřadnicového kruhu odpovídají afinním dílčím odrůdám. Afinní algebraickou množinu V (I) lze zapsat jako spojení dvou dalších algebraických množin právě tehdy, když I = JK pro vlastní ideály J a K není rovno I (v takovém případě ). Je tomu tak tehdy, když mi není prvočíslo. Afinní dílčí odrůdy jsou přesně ty, jejichž souřadnicový kruh je integrální doménou. Důvodem je, že ideál je primární právě tehdy, pokud je podíl kruhu ideálu integrální doménou. ${\ Displaystyle V (I) = V (J) \ cup V (K)}$

Maximální ideály K [V] odpovídají body V . Pokud I a J jsou radikální ideály, pak tehdy, když jako maximální ideál jsou radikální, maximální ideál odpovídají minimální algebraické sady (takové, které neobsahují správné algebraické podskupin), které jsou body V . Je -li V afinitní odrůda se souřadnicovým prstencem, tato korespondence se stane explicitní prostřednictvím mapy, kde označuje obraz v kvocientové algebře R polynomu Algebraická podmnožina je bod tehdy a jen tehdy, je -li souřadnicovým prstenem podmnožiny pole, protože podíl kruhu na maximálním ideálu je pole. ${\ Displaystyle V (J) \ subseteq V (I)}$${\ Displaystyle I \ subseteq J.}$${\ Displaystyle R = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]/\ langle f_ {1}, \ ldots, f_ {m} \ rangle,}$${\ Displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ mapsto \ langle {\ overline {x_ {1} -a_ {1}}}, \ ldots, {\ overline {x_ {n} -a_ {n}}} \ rangle,}$${\ displaystyle {\ overline {x_ {i} -a_ {i}}}}$${\ displaystyle x_ {i} -a_ {i}.}$

Následující tabulka shrnuje tuto korespondenci pro algebraické podmnožiny afinní odrůdy a ideály odpovídajícího souřadnicového prstence:

Typ algebraické sady	Typ ideálu	Typ souřadnicového prstence
podmnožina afinní algebraiky	radikální ideál	zmenšený prsten
afinní subvarieta	prvotní ideál	integrální doména
směřovat	maximální ideál	pole

Produkty afinních odrůd

Produkt afinních odrůd lze definovat pomocí izomorfismu A ⁿ  ×  A ^m  =  A ^{n + m} , poté vložením produktu do tohoto nového afinního prostoru. Nechť A ⁿ a A ^m mají souřadnicové prstence k [ x ₁ , ...,  x _n ] a k [ y ₁ , ...,  y _m ] , takže jejich součin A ^{n + m} má souřadnicový kruh k [ x ₁ , ...,  x _n ,  y ₁ , ...,  y _m ] . Nechť V  =  V (  f ₁ , ...,  f _N ) je algebraická podmnožina A ⁿ , a W  =  V (  g ₁ , ...,  g _M ) algebraická podmnožina A ^m . Pak každé f _i je polynom v k [ x ₁ , ...,  x _n ] a každé g _j je v k [ y ₁ , ...,  y _m ] . Produkt z V a W je definováno jako algebraický sada V  x  W  =  V (  f ₁ , ...,  f _N ,  g ₁ , ...,  g _M ) v A ^{n + m} . Produkt je neredukovatelný, pokud je každý V , W neredukovatelný.

Je důležité si uvědomit, že Zariskiho topologie na A ⁿ  ×  A ^m  není topologickým produktem Zariskiho topologie na těchto dvou prostorech. Topologie produktu je skutečně generována součinem základních otevřených množin U _f  =  A ⁿ  -  V (  f  ) a T _g  =  A ^m  -  V (  g  ). Z tohoto důvodu, polynomy, které jsou v k [ x ₁ , ...,  x _n ,  y ₁ , ...,  y _m ] , ale ne k [ x ₁ , ...,  x _n ] nebo k [ y ₁ ,. ..,  y _m ] definuje algebraické sady, které jsou v Zariski topologii na A ⁿ  ×  A ^m  , ale ne v produktové topologii.

Morfismy afinních odrůd

Morfismus nebo pravidelná mapa afinních odrůd je funkcí mezi afinními odrůdami, která je polynomická v každé souřadnici: přesněji pro afinní odrůdy V ⊆ k ⁿ a W ⊆ k ^m je morfismus od V do W mapa φ  : V → W tvaru φ ( a ₁ , ..., a _n ) = ( f ₁ ( a ₁ , ..., a _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., a _n )), kde f _i ∈ k [ X ₁ , ..., X _n ] pro každé i = 1, ..., m . Toto jsou morfismy v kategorii afinních odrůd.

K dispozici je jedna ku jedné korespondence mezi morphisms afinních druhů přes algebraicky uzavřené pole k , a homomorfismy souřadného kroužky afinních druhů než k jdou ve směru opačném. Z tohoto důvodu, spolu se skutečností, že existuje jedna ku jedné korespondence mezi afinních druhů nad K a jejich souřadnic kroužky, kategorie afinních druhů než k je dvojí do kategorie souřadnic kroužky afinních druhů než k . Kategorie souřadnicových prstenců afinních odrůd nad k je přesně kategorie konečně generovaných, nilpotentních algeber nad k .

Přesněji, pro každý morfismus φ  : V → W afinních odrůd existuje homomorfismus φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] mezi souřadnicovými prstenci (jde opačným směrem) a pro každý takový homomorfismus existuje je morfismus odrůd spojených se souřadnicovými prstenci. To lze explicitně ukázat: nechť V ⊆ k ⁿ a W ⊆ k ^m jsou afinní odrůdy se souřadnicovými prstenci k [ V ] = k [ X ₁ , ..., X _n ] / I a k [ W ] = k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J v tomto pořadí. Nechť φ  : V → W je morfismus. Homomorfismus mezi polynomiálními kruhy θ  : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] / I faktory jedinečně prostřednictvím prstence k [ X ₁ , .. ., X _n ] a homomorfismus ψ  : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] je určen jednoznačně obrazy Y ₁ , .. ., Y _m . Každý homomorfismus φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] tedy jednoznačně odpovídá výběru obrazu pro každé Y _i . Pak dojde ke kterémukoli morfismus φ = ( f ₁ , ..., f _m ) od V do W , homomorphism mohou být konstruovány cp ^#  : K [ W ] → K [ V ] , který pošle Y _i na , kde je ekvivalence třída f _i v k [ V ]. ${\ displaystyle {\ overline {f_ {i}}},}$${\ displaystyle {\ overline {f_ {i}}}}$

Podobně pro každý homomorfismus souřadnicových prstenců může být morfismus afinních odrůd konstruován v opačném směru. Zrcadlením výše uvedeného odstavce odešle homomorfismus φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] Y _i na polynom v k [ V ] . To odpovídá morfismu odrůd φ  : V → W definovaných φ ( a ₁ , ..., a _n ) = ( f ₁ ( a ₁ , ..., a _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., a _n )). ${\ displaystyle f_ {i} (X_ {1}, \ tečky, X_ {n})}$

Struktura svazku

Afinní odrůda, vybavená níže popsaným strukturním svazkem, je místně kroužkovaný prostor .

Vzhledem k tomu, afinní odrůda X na základě souřadnic kruh A je svazek k- -algebras je definován tím, že nechá je kruh pravidelných funkcí na U . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

Nechť D ( f ) = { x | f ( x ) ≠ 0} pro každý f v A . Tvoří základ pro topologii X, a tak je určen jeho hodnotami na otevřených množinách D ( f ). (Viz také: svazek modulů#Svazek přidružený k modulu .) ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

Klíčovým faktem, který se v zásadě opírá o Hilberta nullstellensatz , je následující:

Důkaz: Zahrnutí ⊃ je jasné. Naopak nechť je g na levé straně a , což je ideální. Pokud x je v D ( f ), pak, protože g je pravidelné blízko x , existuje nějaké otevřené afinní okolí D ( h ) x takové, že ; to znamená, že h ^m g je v A, a tedy x není ve V ( J ). Jinými slovy, a tedy Hilbert nullstellensatz implikuje, že f je v radikálu J ; tj .${\ Displaystyle J = \ {h \ v A | hg \ v A \}}$${\ Displaystyle g \ in k [D (h)] = A [h^{-1}]}$ ${\ Displaystyle V (J) \ podmnožina \ {x | f (x) = 0 \}}$${\ Displaystyle f^{n} g \ v A}$${\ displaystyle \ square}$

Tvrzení v první řadě naznačuje, že X je od té doby „místně prstencový“ prostor

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, x} = \ varinjlim _ {f (x) \ neq 0} A [f^{-1}] = A _ {{\ \ mathfrak {m}} _ { X}}}$

kde . Za druhé, z tvrzení vyplývá, že jde o svazek; skutečně říká, že pokud je funkce na D ( f ) pravidelná (bodová) , pak musí být v souřadnicovém prstenci D ( f ); to znamená, že „pravidelnost“ lze spojovat dohromady. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x} = \ {f \ v A | f (x) = 0 \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

Jedná se tedy o místně prstencový prostor. ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

Serreova věta o spřízněnosti

Věta Serre dává Kohomologické charakterizaci afinní odrůdy; se říká, že algebraické odrůda je afinní tehdy a jen tehdy, pokud pro jakýkoli a jakýkoli kvazi-koherentního svazek F na X . (srov. Cartanova věta B. ) Díky tomu neexistuje kohomologická studie afinitní odrůdy, což je v ostrém kontrastu k projektivnímu případu, kdy jsou středobodem zájmu kohomologické skupiny liniových svazků. ${\ Displaystyle H^{i} (X, F) = 0}$${\ displaystyle i> 0}$

Afinní algebraické skupiny

Afinní odrůda G nad algebraicky uzavřeným polem k se nazývá afinní algebraická skupina, pokud má:

• Násobení μ :  G  x  G  →  G , který je pravidelný morfismus který následuje asociativní axióma-to je tak, že μ ( μ ( f ,  g ),  h ) =  μ ( f ,  u Stabilizátory ( g ,  h )) pro všechny body f , g a h v G ;
• Prvek identity e takový, že μ ( e ,  g ) =  μ ( g ,  e ) =  g pro každé g v G ;
• Inverzní morfismus , pravidelný bijection ι :  G  →  G tak, že μ ( ι ( g ),  g ) =  μ ( ι ( g ),  g ) =  e pro každou g v G .

Společně definují skupinovou strukturu odrůdy. Výše uvedené morfizmy jsou často psány s použitím běžného skupina notace: u Stabilizátory ( f ,  g ) lze zapsat jako f  +  g , f ⋅ g , nebo fg ; inverzní ι ( g ) lze zapsat jako - g nebo g ⁻¹ . Pomocí multiplikativní notace lze asociativitu, identitu a inverzní zákony přepsat jako: f ( gh ) = ( fg ) h , ge  =  eg  =  g a gg ⁻¹  =  g ⁻¹ g  =  e .

Nejvýznamnějším příkladem afinního algebraické skupiny je GL _n ( k ), obecný lineární skupina ze studia n . Toto je skupina lineárních transformací vektorového prostoru k ⁿ ; v případě, že základ o k ⁿ , je pevná, to je ekvivalentní skupiny n x n invertible matrices se záznamy v k . Lze ukázat, že jakákoli afinní algebraická skupina je izomorfní k podskupině GL _n ( k ) . Z tohoto důvodu se afinní algebraické skupiny často nazývají lineární algebraické skupiny .

Afinní algebraické skupiny hrají důležitou roli při klasifikaci konečných jednoduchých skupin , protože skupiny typu Lie jsou všechny sady F _q -racionálních bodů afinní algebraické skupiny, kde F _q je konečné pole.

Zobecnění

• Pokud autor požaduje, aby bylo algebraicky uzavřeno základní pole afinní odrůdy (jako tento článek), pak neredukovatelné afinní algebraické sady nad nealgebraicky uzavřenými poli jsou zobecněním afinních odrůd. Toto zobecnění zejména zahrnuje afinní odrůdy nad skutečná čísla .

• Afinitní odrůda hraje roli místního grafu pro algebraické odrůdy ; to znamená, že obecné algebraické odrůdy, jako jsou projektivní odrůdy, se získávají lepením afinních odrůd. Lineární struktury, které jsou připojeny k odrůdám, jsou také (triviálně) afinní odrůdy; např. tečné prostory, vlákna algebraických vektorových svazků .

• Afinitní odrůda je zvláštním případem afinního schématu , místně prstencového prostoru, který je izomorfní vůči spektru komutativního prstence (až do rovnocennosti kategorií ). Každá afinní odrůda má přidružené afinní schéma: pokud V (I) je afinitní odrůda v k ⁿ se souřadnicovým kruhem R = k [ x ₁ , ..., x _n ] / I , pak schéma odpovídající V ( I) je Spec ( R ), množina primárních ideálů R . Afinní schéma má „klasické body“, které odpovídají bodům odrůdy (a tedy maximálním ideálům souřadnicového prstence odrůdy), a také bod pro každou uzavřenou podrozmanitost odrůdy (tyto body odpovídají prvnímu, ne maximálnímu ideály souřadnicového prstence). To vytváří přesněji definovaný pojem „obecného bodu“ afinní odrůdy přiřazením každé uzavřené subvariety otevřeného bodu, který je v subvarietě hustý. Obecněji řečeno, afinní schéma je afinní odrůda, pokud je redukovaná , neredukovatelná a konečného typu přes algebraicky uzavřené pole k .

Poznámky

Viz také

• algebraická odrůda
• afinní schéma
• Vyobrazení na souřadnicových prstencích

Reference

Původní článek byl napsán jako částečný lidský překlad odpovídajícího francouzského článku.

• Hartshorne, Robin (1977), algebraická geometrie , maturitní texty z matematiky , 52 , New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157
• Fulton, William (1969). Algebraické křivky (PDF) . Addison-Wesley. ISBN 0-201-510103.
• Milne, JS (2017). „Algebraická geometrie“ (PDF) . www.jmilne.org . Citováno 16. července 2021 .
• Milne, Přednášky o Étale cohomologii
• Mumford, David (1999). Červená kniha odrůd a schémat: Zahrnuje Michiganské přednášky (1974) o křivkách a jejich Jacobianech . Přednášky z matematiky. 1358 (2. vyd.). Springer-Verlag . doi : 10,1007/b62130 . ISBN 354063293X.
• Reid, Miles (1988). Vysokoškolská algebraická geometrie . Cambridge University Press. ISBN 0-521-35662-8.