Incidence algebra - Incidence algebra

V teorii objednávky , pole z matematiky , An výskyt algebry je asociativní algebry , je definováno pro každý místně omezené uspořádaná množina a komutativního prstenu s jednoty. Subalgebry zvané algebry se sníženým výskytem poskytují přirozenou konstrukci různých typů generujících funkcí používaných v kombinatorice a teorii čísel.

Definice

Místně konečný poset je ten, ve kterém každý uzavřený interval

[ a, b ] = { x  : a ≤ x ≤ b }

je konečný .

Členy algebry dopadu jsou funkce f přiřazující každému neprázdnému intervalu [ a, b ] skalární f ( a , b ), které je převzato z prstence skalárů , komutativního prstence s jednotou. Na této základní množině definujeme sčítání a skalární násobení bodově a „násobení“ v algebře výskytu je konvoluce definovaná

${\ displaystyle (f * g) (a, b) = \ součet _ {a \ leq x \ leq b} f (a, x) g (x, b).}$

Algebra dopadu je konečně-dimenzionální právě tehdy, je-li základní poset konečný.

Související pojmy

Algebra dopadu je analogická k algebře skupiny ; jak skupinová algebra, tak algebra dopadu jsou speciální případy algebry kategorie definované analogicky; skupiny a posety, které jsou zvláštními druhy kategorií .

Horní trojúhelníkové matice

Uvažujme případ částečného stavu ≤ přes nějaký n -element set S . Vyjmenujeme S jako s ₁ ,…, s _n , a to tak, že výčet je kompatibilní s řádem ≤ na S , to znamená, že s _i ≤ s _j znamená i ≤ j , což je vždy možné.

Potom lze funkce f jak je uvedeno výše, od intervalů po skaláry, považovat za matice A _ij , kde A _ij = f ( s _i , s _j ) kdykoli i ≤ j , a A _ij = 0 jinak . Protože jsme uspořádali S způsobem, který je konzistentní s obvyklým řádem na indexech matic, budou se jevit jako matice s horním trojúhelníkem s předepsaným nulovým vzorem určeným nesrovnatelnými prvky v S pod ≤.

Algebra dopadu ≤ je pak isomorfní s algebrou matic vyšších trojúhelníků s tímto předepsaným nulovým vzorem a libovolnými (včetně případně nulovými) skalárními položkami všude jinde, přičemž operace jsou běžné sčítání matice, škálování a násobení.

Speciální prvky

Multiplikativní prvek identity algebry dopadu je funkce delta , kterou definuje

${\ displaystyle \ delta (a, b) = {\ begin {případů} 1 & {\ text {if}} a = b, \\ 0 & {\ text {if}} a \ neq b. \ end {případů}} }$

Funkce zeta algebry dopadu je konstantní funkce ζ ( a , b ) = 1 pro každý neprázdný interval [ a, b ]. Vynásobení ζ je analogické integraci.

Lze ukázat, že ζ je invertibilní v algebře dopadu (s ohledem na výše definovanou konvoluci). (Obecně platí, že člen h algebry dopadu je invertibilní právě tehdy, když h ( x , x ) je invertibilní pro každé x .) Multiplikativní inverzní funkcí zeta je Möbiova funkce μ ( a, b ); každá hodnota μ ( a, b ) je integrálním násobkem 1 v základním kruhu.

Funkci Möbius lze definovat také indukčně následujícím vztahem:

${\ displaystyle \ mu (x, y) = {\ začátek {případy} {} \ qquad 1 & {\ text {if}} x = y \\ [6pt] \ displaystyle - \! \! \! \! \ součet _ {z \,: \, x \, \ leq \, z \, <\, y} \ mu (x, z) & {\ text {for}} x <y \\ {} \ qquad 0 & {\ text {jinak}}. \ end {cases}}}$

Vynásobení μ je analogické diferenciaci a nazývá se Möbiova inverze .

Čtverec funkce zeta počítá počet prvků v intervalu:

Příklady

Kladná celá čísla seřazená podle dělitelnosti

Konvoluce spojená s incidenční algebrou pro intervaly [1, n ] se stává Dirichletovou konvolucí , proto je Möbiova funkce μ ( a, b ) = μ ( b / a ), kde druhé „ μ “ je klasická Möbiova funkce zavedená do teorie čísel v 19. století.

Konečné podmnožiny nějaké množiny E , seřazené podle zařazení

Funkce Möbius je

$${\ displaystyle \ mu (S, T) = (- 1) ^ {\ vlevo | T \ setminus S \ vpravo |}}$$

kdykoli jsou S a T konečné podmnožiny E s S ⊆ T a Möbiova inverze se nazývá princip inkluze-exkluze .

Geometricky se jedná o hyperkrychli :${\ displaystyle 2 ^ {E} = \ {0,1 \} ^ {E}.}$

Přirozená čísla v jejich obvyklém pořadí

Funkce Möbius je

$${\ displaystyle \ mu (x, y) = {\ začátek {případů} 1 & {\ text {if}} y = x, \\ - 1 & {\ text {if}} y = x + 1, \\ 0 & { \ text {if}} y> x + 1, \ end {cases}}}$$

a Möbiova inverze se nazývá (zpětný) operátor rozdílu .

Geometricky to odpovídá diskrétní číselné řadě .

Konvoluce funkcí v incidenční algebře odpovídá znásobení formálních mocenských řad : viz diskuse o redukovaných incidenčních algebrách níže. Möbiova funkce odpovídá posloupnosti (1, -1, 0, 0, 0, ...) koeficientů formální mocenské řady 1 - t a funkce zeta odpovídá posloupnosti koeficientů (1, 1, 1 , 1, ...) formální mocenské řady , která je inverzní. Funkce delta v této algebře dopadu podobně odpovídá formální mocninové řadě 1.${\ displaystyle (1-t) ^ {- 1} = 1 + t + t ^ {2} + t ^ {3} + \ cdots}$

Konečné dílčí multisety nějaké multiset E , seřazené podle zařazení

Výše uvedené tři příklady mohou být sjednoceny a zobecnit zvažuje multimnožina E, a konečné dílčí multimnozin S a T na E . Funkce Möbius je

$${\ displaystyle \ mu (S, T) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} T \ setminus S {\ text {je správná multiset (má opakované prvky)}} \\ (- 1) ^ {\ left | T \ setminus S \ right |} & {\ text {if}} T \ setminus S {\ text {je sada (nemá opakované prvky)}}. \ end {případy}}}$$

Toto zevšeobecňuje kladná celá čísla seřazená podle dělitelnosti kladným celým číslem odpovídajícím jeho multisetu prvočíselných dělitelů s multiplicitou, např. 12 odpovídá multisetu ${\ displaystyle \ {2,2,3 \}.}$

To zevšeobecňuje přirozená čísla s jejich obvyklým pořadím přirozeným číslem odpovídajícím multisetu jednoho podkladového prvku a mohutností rovnou tomuto číslu, např. 3 odpovídá multisetu ${\ displaystyle \ {1,1,1 \}.}$

Podskupiny konečné p -skupiny G seřazené podle zařazení

Funkce Möbius je

$${\ displaystyle \ mu _ {G} (H_ {1}, H_ {2}) = (- 1) ^ {k} p ^ {\ binom {k} {2}}}$$

if je normální podskupina a a jinak je 0. Toto je Weisnerova věta (1935).${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$${\ displaystyle H_ {2} / H_ {1} \ cong (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) ^ {k}}$

Příčky sady

Částečně objednejte množinu všech oddílů konečné množiny vyslovením σ ≤ τ, pokud je σ jemnější oddíl než τ. Zejména nechme τ mít t bloky, které se rozdělí na s ₁ , ..., s _t jemnější bloky σ, které mají celkem s = s ₁ + ··· + s _t bloky. Pak je Möbiova funkce:

$${\ displaystyle \ mu (\ sigma, \ tau) = (- 1) ^ {st} (s_ {1} {-} 1)! \ cdots (s_ {t} {-} 1)!}$$

Eulerova charakteristika

Poset je ohraničený, pokud má nejmenší a největší prvky, které nazýváme 0 a 1 (nezaměňovat s 0 a 1 prstence skalárů). Eulerova charakteristika z ohraničené konečných uspořádané množiny je μ (0,1). Důvod této terminologie je následující: Pokud má P 0 a 1, pak μ (0,1) je redukovaná Eulerova charakteristika zjednodušeného komplexu, jehož plochy jsou řetězce v P  \ {0, 1}. To lze ukázat pomocí věty Philipa Halla, která spojuje hodnotu μ (0,1) s počtem řetězců délky i.

Algebry se sníženým výskytem

Snížený výskyt algebry se skládá z funkcí, které přiřadit stejnou váhu jakýchkoli dvou úseků, které jsou ekvivalentní ve vhodném smyslu, což znamená, obvykle izomorfní jako Posets. Toto je subalgebra incidenční algebry a jasně obsahuje prvek identity algebry incence a funkci zeta. Jakýkoli prvek algebry se sníženou incidencí, který je invertibilní v algebře s větší incidencí, má inverzní funkci v algebře se sníženou incidencí. Möbiova funkce je tedy také v algebře se sníženým výskytem.

Algebry se sníženým výskytem zavedly Doubillet, Rota a Stanley, aby poskytly přirozenou konstrukci různých prstenců generujících funkcí .

Přirozená čísla a běžné generující funkce

Pro poset algebra se sníženým výskytem sestává z funkcí invariantních při překladu, pro všechny tak, aby měla stejnou hodnotu v izomorfních intervalech [a + k, b + k] a [a, b]. Nechť t značí funkci s t (a, a + 1) = 1 at (a, b) = 0, jinak, jakousi invariantní delta funkcí na izomorfistických třídách intervalů. Jejími silami v algebře dopadu jsou ostatní invariantní delta funkce t ⁿ (a, a + n) = 1 at jinak ( ^n, x, y) = 0. Ty tvoří základ pro algebru se sníženým výskytem a můžeme libovolnou invariantní funkci zapsat jako . Tato notace objasňuje izomorfismus mezi algebrou se sníženým výskytem a prstencem formálních mocninných řad nad skaláry R, také známým jako prstenec běžných generujících funkcí . Můžeme napsat funkci zeta jako převrácenou Möbiovu funkci${\ displaystyle (\ mathbb {N}, \ leq),}$${\ displaystyle f (a, b)}$${\ displaystyle f (a + k, b + k) = f (a, b)}$${\ displaystyle k \ geq 0,}$${\ displaystyle \ textstyle f = \ součet _ {n \ geq 0} f (0, n) t ^ {n}}$${\ displaystyle R [[t]]}$${\ displaystyle \ zeta = 1 + t + t ^ {2} + \ cdots = {\ tfrac {1} {1-t}},}$${\ displaystyle \ mu = 1-t.}$

Podmnožina posetových a exponenciálních generujících funkcí

U booleovské posety konečných podmnožin seřazených podle zařazení se algebra se sníženou incidencí skládá z invariantních funkcí definovaných tak, aby měly stejnou hodnotu v izomorfních intervalech [S, T] a [S ', T'] s | T \ S | = | T '\ S' |. Opět nechme t označit invariantní delta funkci s t (S, T) = 1 pro | T \ S | = 1 at (S, T) = 0 jinak. Jeho pravomoci jsou:${\ displaystyle S \ podmnožina \ {1,2,3, \ ldots \}}$${\ displaystyle S \ podmnožina T}$${\ displaystyle f (S, T),}$

kde součet je přes všechny řetězce a jediné nenulové členy se vyskytují pro nasycené řetězce s, protože tyto odpovídají permutacím n, dostaneme jedinečnou nenulovou hodnotu n !. Tedy invariantní delta funkce jsou dělené mocniny a můžeme napsat jakoukoli invariantní funkci jako kde [n] = {1,. . . , n}. To dává přirozený izomorfismus mezi algebrou se sníženým výskytem a prstencem funkcí exponenciálních generování . Funkce zeta je s funkcí Möbius:${\ displaystyle S = T_ {0} \ podmnožina T_ {1} \ podmnožina \ cdots \ podmnožina T_ {n} = T,}$${\ displaystyle | T_ {i} {\ setminus} T_ {i-1} | = 1;}$${\ displaystyle {\ tfrac {t ^ {n}} {n!}},}$${\ displaystyle \ textstyle f = \ součet _ {n \ geq 0} f (\ emptyset, [n]) {\ frac {t ^ {n}} {n!}},}$${\ displaystyle \ textstyle \ zeta = \ součet _ {n \ geq 0} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} = \ exp (t),}$

$${\ displaystyle \ textstyle \ mu \ = \ {\ frac {1} {\ zeta}} \ = \ \ exp (-t) \ = \ \ součet _ {n \ geq 0} (- 1) ^ {n} {\ frac {t ^ {n}} {n!}}.}$$

Tento výpočet s formálními výkonovými řadami skutečně dokazuje, že mnoho kombinačních počitacích sekvencí zahrnujících podmnožiny nebo označené objekty lze interpretovat z hlediska algebry se sníženým výskytem a vypočítat pomocí funkcí exponenciálního generování. ${\ displaystyle \ mu (S, T) = (- 1) ^ {| T {\ setminus} S |}.}$

Divetor poset a série Dirichlet

Zvažte poset D kladných celých čísel seřazených podle dělitelnosti , označených Algebra se sníženým výskytem se skládá z funkcí invariantních při násobení, pro všechny (Tato multiplikační ekvivalence intervalů je mnohem silnějším vztahem než posetový izomorfismus: pro prvočíslo p jsou intervaly dvou prvků [ 1, p] jsou nerovná.) U invariantní funkce závisí

f (a, b) pouze na b / a, takže přirozený základ se skládá z invariantních delta funkcí definovaných if b / a = n a 0 jinak: libovolný invariant lze zapsat funkci${\ displaystyle a | b.}$${\ displaystyle f (a, b)}$${\ displaystyle f (ka, kb) = f (a, b)}$${\ displaystyle k \ geq 1.}$${\ displaystyle \ delta _ {n}}$${\ displaystyle \ delta _ {n} (a, b) = 1}$${\ displaystyle \ textstyle f \ = \ \ součet _ {n \ geq 0} f (1, n) \, \ delta _ {n}.}$

Produktem dvou invariantních delta funkcí je:

${\ displaystyle (\ delta _ {n} \ delta _ {m}) (a, b) \ = \ \ součet _ {a | c | b} \ delta _ {n} (a, c) \, \ delta _ {m} (c, b) = \ delta _ {nm} (a, b),}$

protože jediný nenulový člen pochází z c = na a b = mc = nma. Proto jsme se izomorfismus ze sníženého výskytu algebry ke kruhu formálního Dirichletův série zasláním do takže

f odpovídá na${\ displaystyle \ delta _ {n}}$${\ displaystyle n ^ {- s} \ !,}$${\ textstyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {f (1, n)} {n ^ {s}}}.}$

Incidence algebraové zeta funkce ζ _D (a, b) = 1 odpovídá klasické Riemannově zeta funkci, která má převrácenou hodnotu, kde je klasická

Möbiova funkce teorie čísel. Mnoho dalších aritmetických funkcí vzniká přirozeně v algebře se sníženým výskytem a ekvivalentně z hlediska Dirichletovy řady. Například funkce dělitele je čtverec funkce zeta, zvláštní případ výše uvedeného výsledku, který počítá počet prvků v intervalu [x, y]; ekvivalent,${\ displaystyle \ zeta (s) = \ textový styl \ součet _ {n \ geq 1} {\ frac {1} {n ^ {s}}},}$${\ textstyle {\ frac {1} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}},}$${\ displaystyle \ mu (n) = \ mu _ {D} (1, n)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {0} (n)}$${\ displaystyle \ sigma _ {0} (n) = \ zeta ^ {2} \! (1, n),}$${\ displaystyle \ zeta ^ {2} \! (x, y)}$${\ textstyle \ zeta (s) ^ {2} = \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {\ sigma _ {0} (n)} {n ^ {s}}}.}$

Struktura produktu dělícího posetu usnadňuje výpočet jeho Möbiovy funkce. Jedinečná faktorizace do prvočísel znamená, že D je izomorfní s nekonečným kartézským součinem , přičemž pořadí je dáno porovnáním souřadnic: kde, kde je

k ^th prvočíslo, odpovídá jeho posloupnosti exponentů Nyní je Möbiova funkce D součinem Möbiových funkcí pro faktorové posety, vypočtené výše, dávající klasický vzorec: ${\ displaystyle \ mathbb {N} \ krát \ mathbb {N} \ krát \ cdots}$${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {e_ {1}} p_ {2} ^ {e_ {2}} \ cdots}$${\ displaystyle p_ {k}}$${\ displaystyle (e_ {1}, e_ {2}, \ ldots).}$

${\ displaystyle \ mu (n) = \ mu _ {D} (1, n) = \ prod _ {k \ geq 1} \ mu _ {\ mathbb {N}} (0, e_ {k}) \, = \, \ left \ {{\ begin {array} {cl} (- 1) ^ {d} & {\ text {for}} n {\ text {squarefree with}} d {\ text {prime factors}} \\ 0 & {\ text {jinak.}} \ End {pole}} \ vpravo.}$

Struktura produktu také vysvětluje klasický produkt Euler pro funkci zeta. Zeta funkce D odpovídá karteziánskému součinu zeta funkcí faktorů, vypočítaných výše tak, že kde pravá strana je kartézský součin. Použitím izomorfismu, který posílá

t v k ^-tom faktoru , získáme obvyklý Eulerův produkt. ${\ textstyle {\ frac {1} {1-t}},}$${\ textstyle \ zeta _ {D} \ cong \ prod _ {k \ geq 1} \! {\ frac {1} {1-t}},}$${\ displaystyle p_ {k} ^ {- s}}$

Viz také

• Grafová algebra
• Výskyt uhlí
• Path algebra

Literatura

Algebry výskytu lokálně konečných posetů byly zpracovány v řadě článků Gian-Carlo Roty počínaje

rokem 1964 a mnoha pozdějšími kombinatoriky . Rota 1964 papír byl:

• Rota, Gian-Carlo (1964), „Na základech kombinatorické teorie I: Teorie Möbiových funkcí“,

Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete , 2 (4): 340–368, doi : 10,1007 / BF00531932 , S2CID  1213340

Jacobson , základní algebra . I, WH Freeman and Co., 1974. Viz část 8.6, kde jsou popsány Mobiusovy funkce na posetech

Další čtení

• Spiegel, Eugene; O'Donnell, Christopher J. (1997), Incidence algebras , Čistá a aplikovaná matematika, 206 , Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0036-8