Hypercube - Hypercube
Kostka (3 kostky) | Tesseract (4 kostky) |
---|
V geometrii , je hypercube je n rozměrný analog čtverce ( n = 2 ) a kostky ( n = 3 ). Je to uzavřená , kompaktní , konvexní postava, jejíž 1- kostra se skládá ze skupin protilehlých rovnoběžných segmentů zarovnaných v každém z rozměrů prostoru , kolmých na sebe a stejné délky. Nejdelší diagonála jednotky n krychle v n rozměrech se rovná .
N -dimenzionální hyperkostka je běžně označován jako n -CUBE nebo někdy jako N rozměrné krychle . Termín opatření mnohostěn (původem z Elte, 1912), se také používá, zejména v práci HSM Coxeter který také štítky v hypercubes gama n Polytopes.
Hyperkrychle je speciální případ hyperpravého úhlu (také nazývaného n-ortotop ).
Jednotka hypercube je hypercube, jehož strana je délka jedné jednotky . Často je hypercube jehož rohy (nebo vrcholy ) jsou 2 n bodů v R n s každou souřadnou rovno 0 nebo 1, se nazývá jednotka hypercube.
Konstrukce
Hyper kostku lze definovat zvýšením počtu rozměrů tvaru:
- 0 - Bod je hyper kostka nulové dimenze.
- 1 - Pokud jeden posune tento bod o jednu jednotku délky, smete úsečku, což je jednotková hyperkrychle dimenze jedna.
- 2 - Pokud někdo posune tento úsečkový úsek o jeho délku v kolmém směru od sebe; vymetá 2-dimenzionální čtverec.
- 3 -Pokud se člověk přesune o čtverec o jednu jednotku délky ve směru kolmém na rovinu, na které leží, vygeneruje trojrozměrnou krychli.
- 4 -Pokud někdo přesune kostku o jednu jednotku délky do čtvrté dimenze, vygeneruje 4-dimenzionální jednotkovou hyper kostku (unit tesseract ).
To lze zobecnit na libovolný počet dimenzí. Tento proces zametání objemů lze matematicky formalizovat jako Minkowského součet : d -dimenzionální hyperkrychle je Minkowského součet d vzájemně kolmých segmentů úseček jednotkové délky, a je proto příkladem zonotopu .
1- kostra hyperkrychle je hyperkrychlový graf .
Souřadnice vrcholů
Jednotková hyperkrychle dimenze je konvexní trup všech bodů, jejichž karteziánské souřadnice jsou rovné buď nebo . Tato Hyperkrychle je také kartézský produkt z kopií jednotky intervalu . Další jednotkovou hyperkrychli, soustředěnou na počátku okolního prostoru, lze z této získat překladem . Je to konvexní trup bodů, jejichž vektory jsou karteziánské souřadnice
Zde symbol znamená, že každá souřadnice je buď rovná nebo . Tato jednotková hyper kostka je také kartézským produktem . Libovolná jednotková hyper kostka má délku hrany a objemový objem .
-Dimenzionální hypercube získá ve formě konvexního obalu bodů o souřadnicích nebo ekvivalentně jako kartézský produkt je také často považován za v důsledku jednodušší formě jeho souřadnic vrcholů. Jeho délka okraje je a jeho -dimenzionální objem je .
Tváře
Každá hyper kostka připouští jako své tváře hyper kostky nižší dimenze obsažené v její hranici. Hyperkrychle dimenze připouští fasety nebo plochy dimenze : ( -dimenzionální) úsečka má koncové body; ( -dimenzionální) čtverec má strany nebo hrany; -dimenzionální kostka má čtverečních tváře; ( -dimenzionální) tesseract má jako fasety trojrozměrnou krychli. Počet vrcholů hyperkrychle dimenze je (například obvyklá -dimenzionální krychle má vrcholy).
Počet -dimenzionálních hyper kostek (odtud dále označovaných jako -kostky) obsažených na hranici -kostky je
- , Kde a značí faktoriál z .
Například hranice -cube ( ) obsahuje kostky ( -cubes), čtverce ( -cubes), úsečky ( -cubes) a vrcholy ( -cubes). Tuto identitu lze prokázat jednoduchým kombinatorickým argumentem: pro každý z vrcholů hyperkrychle existují způsoby, jak zvolit kolekci hran, které s tímto vrcholem souvisejí. Každá z těchto kolekcí definuje jednu z -dimenzionálních tváří dopadajících na uvažovaný vrchol. Když to provedeme pro všechny vrcholy hyperkrychle, každá z -dimenzionálních ploch hyperkrychle se započítá krát, protože má tolik vrcholů, a musíme toto číslo dělit .
Počet fazet hyperkrychle lze použít k výpočtu -dimenzionálního objemu jeho hranice: tento objem je násobkem objemu a -dimenzionální hyper krychle; to znamená, kde je délka hran hyperkrychle.
Tato čísla lze také generovat pomocí relace lineární rekurence
- S , a když , nebo .
Například rozšíření čtverce o 4 vrcholy přidá jeden vrchol navíc (hranu) na vrchol. Přidáním protějšího čtverce do krychle získáte úsečky.
m | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
n | n -kostka | Jména |
Schläfli Coxeter |
Vrchol 0-tvář |
Okraj 1-tvář |
Tvář 2-tvář |
Buňka 3-tvář |
4-tvář |
5 tváří |
6-tvář |
7 tváří |
8 tváří |
9 tváří |
10 tváří |
0 | 0 kostka | Point Monon |
() |
1 | ||||||||||
1 | 1 kostka |
Čárový segment Dion |
{} |
2 | 1 | |||||||||
2 | 2 kostky |
Náměstí Tetragon |
{4} |
4 | 4 | 1 | ||||||||
3 | 3 kostky |
Cube Hexahedron |
{4,3} |
8 | 12 | 6 | 1 | |||||||
4 | 4 kostky |
Tesseract Octachoron |
{4,3,3} |
16 | 32 | 24 | 8 | 1 | ||||||
5 | 5 kostek | Penteract Deca-5-tope |
{4,3,3,3} |
32 | 80 | 80 | 40 | 10 | 1 | |||||
6 | 6 kostek | Hexeract Dodeca-6-tope |
{4,3,3,3,3} |
64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 1 | ||||
7 | 7 kostek | Hepteract Tetradeca-7-tope |
{4,3,3,3,3,3,3} |
128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 1 | |||
8 | 8 kostek | Octeract Hexadeca-8-tope |
{4,3,3,3,3,3,3} |
256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 1 | ||
9 | 9 kostka | Enneract Octadeca-9-tope |
{4,3,3,3,3,3,3,3,3} |
512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 | 1 | |
10 | 10 kostek | Dekeract Icosa-10-top |
{4,3,3,3,3,3,3,3,3,3} |
1024 | 5120 | 11520 | 15360 | 13440 | 8064 | 3360 | 960 | 180 | 20 | 1 |
Grafy
N -CUBE lze promítnout v pravidelných 2 n -gonal polygonu prostřednictvím zkosení ortogonální projekce , znázorněném od úsečce na 15-krychle.
Směřovat |
Úsečka |
Náměstí |
Krychle |
Tesseract |
---|---|---|---|---|
5 kostek |
6 kostek |
7 kostek |
8 kostek |
|
9 kostka |
10 kostek |
11 kostek |
12 kostek |
|
13 kostek |
14 kostek |
15 kostek |
16 kostek |
Příbuzné rodiny polytopů
Hypercubes jsou jednou z mála rodin pravidelných polytopů, které jsou zastoupeny v libovolném počtu dimenzí.
Rodina hypercube (offset) je jednou ze tří pravidelných polytopních rodin, označených Coxeterem jako γ n . Zbylé dva jsou hypercube dual family, cross-polytopes , označené jako β n, a zjednodušení , označené jako α n . Čtvrtou rodinu, nekonečné mozaiky hyper kostek , označil jako δ n .
Další příbuznou rodinou semiregulárních a uniformních polytopů jsou demihypercubes , které jsou konstruovány z hypercubes s odstraněnými alternativními vrcholy a přidanými simplexními fazetami v mezerách, označenými jako hγ n .
n -kostky lze kombinovat s jejich duály ( křížové polytopy ) za vzniku složených polytopů:
- Ve dvou dimenzích získáme postavu oktagramové hvězdy {8/2},
- Ve třech rozměrech získáme sloučeninu krychle a osmistěnu ,
- Ve čtyřech rozměrech získáme sloučeninu tesseractu a 16 buněk .
Vztah k ( n -1) zjednodušením
Graf v n hran -hypercube je izomorfní s Hasse diagramu z ( n -1) - simplex je obličej mřížky . To lze vidět orientací n -hypercube tak, že dva protilehlé vrcholy leží svisle, což odpovídá samotnému ( n −1) -simplexu a nulovému polytopu. Každý vrchol spojený s horním vrcholem se pak jedinečně mapuje na jednu z fazet ( n −1) -simplex ( n −2 tváří) a každý vrchol spojený s těmito vrcholy se mapuje na jednu z n −3 tváří simplexu atd. , a vrcholy připojené ke spodní mapě vrcholů k vrcholům simplexu.
Tento vztah může být použit pro efektivní generování čelní mřížky ( n- 1) -simplexu, protože algoritmy výčtu obličejové mřížky použitelné pro obecné polytopy jsou výpočetně nákladnější.
Generalizované hyper kostky
Pravidelné komplexní polytopy lze definovat v komplexním Hilbertově prostoru nazývaném generalizované hyper kostky , γp
n= p {4} 2 {3} ... 2 {3} 2 , nebo... Skutečná řešení existují s p = 2, tj. Γ2
n= γ n = 2 {4} 2 {3} ... 2 {3} 2 = {4,3, .., 3}. Pro p > 2 existují v . Fazety jsou zobecněné ( n −1) krychle a vrcholová figura jsou pravidelné simplexy .
Pravidelný mnohoúhelník obvodu je vidět na těchto kolmými průměty se nazývá Petrie polygon . Zobecněné čtverce ( n = 2) jsou zobrazeny s okraji načrtnutými jako červené a modré střídající se barevné p -okraje, zatímco vyšší n -kostky jsou nakresleny černými obrysovými p -hranami.
Počet m -Face prvků v p -generalized n -CUBE jsou: . Jedná se o p n vrcholů a pn fazet.
p = 2 | p = 3 | p = 4 | p = 5 | p = 6 | p = 7 | p = 8 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
γ2 2= {4} = 4 vrcholy |
γ3 2 = 9 vrcholů |
γ4 2 = 16 vrcholů |
γ5 2 = 25 vrcholů |
γ6 2 = 36 vrcholů |
γ7 2 = 49 vrcholů |
γ8 2 = 64 vrcholů |
||
γ2 3= {4,3} = 8 vrcholů |
γ3 3 = 27 vrcholů |
γ4 3 = 64 vrcholů |
γ5 3 = 125 vrcholů |
γ6 3 = 216 vrcholů |
γ7 3 = 343 vrcholů |
γ8 3 = 512 vrcholů |
||
γ2 4= {4,3,3} = 16 vrcholů |
γ3 4 = 81 vrcholů |
γ4 4 = 256 vrcholů |
γ5 4 = 625 vrcholů |
γ6 4 = 1296 vrcholů |
γ7 4 = 2401 vrcholů |
γ8 4 = 4096 vrcholů |
||
γ2 5= {4,3,3,3} = 32 vrcholů |
γ3 5 = 243 vrcholů |
γ4 5 = 1024 vrcholů |
γ5 5 = 3125 vrcholů |
γ6 5 = 7776 vrcholů |
γ7 5 = 16 807 vrcholů |
γ8 5 = 32 768 vrcholů |
||
γ2 6= {4,3,3,3,3} = 64 vrcholů |
γ3 6 = 729 vrcholů |
γ4 6 = 4096 vrcholů |
γ5 6 = 15 625 vrcholů |
γ6 6 = 46 656 vrcholů |
γ7 6 = 117 649 vrcholů |
γ8 6 = 262 144 vrcholů |
||
γ2 7= {4,3,3,3,3,3} = 128 vrcholů |
γ3 7 = 2187 vrcholů |
γ4 7 = 16 384 vrcholů |
γ5 7 = 78 125 vrcholů |
γ6 7 = 279 936 vrcholů |
γ7 7 = 823 543 vrcholů |
γ8 7 = 2 097 152 vrcholů |
||
γ2 8= {4,3,3,3,3,3,3}} = 256 vrcholů |
γ3 8 = 6561 vrcholů |
γ4 8 = 65 536 vrcholů |
γ5 8 = 390 625 vrcholů |
γ6 8 = 1 679 616 vrcholů |
γ7 8 = 5 764 801 vrcholů |
γ8 8 = 16 777 216 vrcholů |
Viz také
- Propojovací síť Hypercube počítačové architektury
- Hyperoctahedral skupina , skupina symetrie hyperkrychle
- Hypersféra
- Jednostranně
- Rovnoběžník
- Ukřižování (Corpus Hypercubus) (slavné umělecké dílo)
Poznámky
Reference
- Bowen, JP (duben 1982). „Hypercube“ . Praktické výpočty . 5 (4): 97–99. Archivovány od originálu na 2008-06-30 . Citováno 30. června 2008 .
- Coxeter, HSM (1973). Pravidelné Polytopes (3. ed.). §7.2. viz obrázek Obr. 7-2 C : Dover . s. 122-123 . ISBN 0-486-61480-8.CS1 maint: location ( link )p. 296, tabulka I (iii): Pravidelné polytopy, tři pravidelné polytopy v n rozměrech ( n ≥ 5)
- Hill, Frederick J .; Gerald R. Peterson (1974). Úvod do teorie přepínání a logického designu: druhé vydání . New York: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-39882-9.Srov. Kapitola 7.1 „Krychlová reprezentace booleovských funkcí“, kde je pojem „hyper krychle“ představen jako prostředek k prokázání kódu vzdálenosti 1 ( šedý kód ) jako vrcholů hyperkocky a poté hyperkrychle s takto označenými vrcholy je zmáčknuté do dvou dimenzí, aby vytvořily buď Veitchův diagram nebo Karnaughovu mapu .
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. „Hypercube“ . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. „Hypercube grafy“ . MathWorld .
- www.4d-screen.de (Rotace 4D-7D-Cube)
- Rotace Hypercube od Enrique Zelenyho, Wolfram Demonstrations Project .
- Stereoskopická animovaná Hypercube
- Stahování Hypercube Rudy Ruckera a Farideha Dormishiana
- A001787 Počet hran v n-dimenzionální hyperkrychli. v OEIS