Skalární (matematika) - Scalar (mathematics)

Skalární je prvek pole , který se používá pro definování vektorový prostor . Veličina popsaná několika skaláry, například mající směr i velikost, se nazývá vektor .

V lineární algebře se reálná čísla nebo obecně prvky pole nazývají skaláry a vztahují se k vektorům v přidruženém vektorovém prostoru prostřednictvím operace skalárního násobení (definované ve vektorovém prostoru), ve kterém může být vektor vynásoben skalárem v definovaný způsob výroby dalšího vektoru. Obecně lze vektorový prostor definovat použitím libovolného pole namísto reálných čísel (například komplexních čísel ). Potom budou skaláry tohoto vektorového prostoru prvky přidruženého pole (například komplexní čísla).

Skalární součin provoz - nezaměňovat se skalárním násobení - mohou být definovány na vektorovém prostoru, což umožňuje dva vektory se násobí v definované způsobem, že vznikne skalární. Vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá vnitřní součinový prostor .

Skutečná složka čtveřice se také nazývá její skalární část .

Termín skalární je také někdy používán neformálně ve smyslu vektoru, matice , tenzoru nebo jiné, obvykle „složené“ hodnoty, která je ve skutečnosti redukována na jednu složku. Tak například o produktu matice 1 ×  n a matice n  × 1, která je formálně maticí 1 × 1, se často říká, že je skalární .

Termín skalární matice se používá k označení matice tvaru kI, kde k je skalární a I je matice identity .

Etymologie

Slovo scalar pochází z latinského slova scalaris , adjektivní formy scala (latinsky „žebřík“), ze které také pochází anglické slovo scale . První zaznamenané použití slova „skalární“ v matematice se vyskytuje v François Viète ‚s analytické techniky ( V artem analyticem isagoge ) (1591):

Veličiny, které stoupají nebo sestupují proporcionálně podle jejich povahy z jednoho druhu na druhý, lze nazvat skalárními pojmy.
(Latinsky: Magnitudines quae ex genere ad rodus sua vi proportionaliter adscendunt vel descendunt, vocentur Scalares. )

Podle citace Oxfordského anglického slovníku přišlo první zaznamenané použití výrazu „skalární“ v angličtině s WR Hamiltonem v roce 1846 s odkazem na skutečnou část čtveřice:

Algebraicky reálná část může obdržet, podle otázky, ve které se vyskytuje, všechny hodnoty obsažené na jedné stupnici postupu čísel od negativního po pozitivní nekonečno; budeme tomu říkat skalární část.

Definice a vlastnosti

Skaláry jsou reálná čísla používaná v lineární algebře, na rozdíl od vektorů . Tento obrázek ukazuje euklidovský vektor . Jeho souřadnice x a y jsou skalární, stejně jako jeho délka, ale v není skalární.

Skaláry vektorových prostorů

Vektorový prostor je definován jako sada vektorů (aditivní abelian skupina ), soubor scalars ( pole ), a skalární operace násobení, která bere skalární K a vektor V do jiného vektoru K V . Například v souřadnicovém prostoru se získá skalární násobení . V (lineárním) funkčním prostoru je kƒ funkcí x ↦ k ( ƒ ( x )).

Skaláry lze převzít z libovolného pole, včetně racionálních , algebraických , reálných a komplexních čísel a konečných polí .

Skaláry jako vektorové komponenty

Podle základní věty o lineární algebře má každý vektorový prostor základ . Z toho vyplývá, že každý vektorový prostor nad polem K je izomorfní s odpovídajícím vektorem souřadnicového prostoru, kde každá souřadnice sestává z prvků K (např. Souřadnice ( a 1 , a 2 , ..., a n ), kde a i ∈ K a n je rozměr uvažovaného vektorového prostoru.). Například každý skutečný vektorový prostor dimenze n je izomorfní s n -dimenzionálním reálným prostorem R n .

Skaláry v normovaných vektorových prostorech

Alternativně může být vektorový prostor V vybaven normovanou funkcí, která přiřadí každému vektoru v ve V skalární || v ||. Podle definice vynásobením v skalárním k také vynásobíte jeho normu znakem | k |. Pokud || v || je interpretován jako délka části V , tato operace může být popsána jako měřítko délku V o k . Vektorový prostor vybavený normou se nazývá normovaný vektorový prostor (nebo normovaný lineární prostor ).

Norma je obvykle definována tak, že se prvek V je skalární pole K , který omezuje druhý na pole, které podporují představu znamení. Kromě toho, pokud má V rozměr 2 nebo více, musí být K uzavřeno pod druhou odmocninou, stejně jako čtyři aritmetické operace; racionální čísla Q jsou tedy vyloučena, ale pole surd je přijatelné. Z tohoto důvodu není každý prostor skalárního produktu normovaným vektorovým prostorem.

Skaláry v modulech

Když je požadavek, aby množina skalárů vytvořila pole, uvolněn tak, že potřebuje pouze vytvoření prstence (takže například nemusí být definováno rozdělení skalárů, nebo nemusí být skaláry komutativní ), výsledný obecnější algebraická struktura se nazývá modul .

V tomto případě mohou být „skaláry“ komplikované objekty. Například, pokud R je kruh, vektory produktového prostoru R n mohou být vytvořeny do modulu s maticemi n × n se vstupy z R jako skaláry. Další příklad pochází z potrubí teorie , kde je prostor úseků na svazku tangenty tvoří modul nad algebry reálných funkcí na potrubí.

Změna měřítka

Skalární násobení vektorových prostorů a modulů je zvláštním případem škálování , druh lineární transformace .

Skalární operace (informatika)

Operace, které se vztahují na jednu hodnotu najednou.

Viz také

Reference

externí odkazy