Matematické funkce zaokrouhlování čísla na dvě nejbližší celá čísla
V matematiky a výpočetní techniky je funkce podlaha je funkce , která bere jako vstup reálné číslo x , a poskytuje jako výstup největší celé číslo menší než nebo rovné x , označená podlaha ( x ) nebo ⌊ x ⌋ . Podobně stropní funkce mapuje x na nejmenší celé číslo větší nebo rovné x , označené jako ceil ( x ) nebo ⌈ x ⌉ .
Například ⌊2,4⌋ = 2 , ⌊ − 2,4⌋ = −3 , ⌈2,4⌉ = 3 a ⌈ − 2,4⌉ = −2 .
Nedílnou součástí nebo celá část z x , často označován [ x ] je obvykle definována jako ⌊ x ⌋ , pokud x je nezáporné a ⌈ x ⌉ jinak. Například [2,4] = 2 a [−2,4] = −2 . Operace zkrácení to zobecní na zadaný počet číslic: zkrácení na nula platných číslic je stejné jako celá část.
Někteří autoři definují celočíselnou část jako podlahu bez ohledu na znaménko x , používají k tomu různé notace.
Pro n celé číslo platí ⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = [ n ] = n .
Zápis
Nedílnou součástí nebo celá část z množství ( partie entière v originálu) byl poprvé definován v 1798 Adrien-Marie Legendreová v jeho důkazu o Legendreova vzorce .
Carl Friedrich Gauss představil notaci hranatých závorek ve svém třetím důkazu o kvadratické vzájemnosti (1808). Toto zůstalo standardem v matematice, dokud Kenneth E. Iverson ve své knize Programovací jazyk z roku 1962 nezavedl názvy „podlaha“ a „strop“ a odpovídající notace a . Obě notace se nyní používají v matematice, i když v tomto článku bude následována Iversonova notace.
V některých zdrojích se pro podlahu používají tučné nebo dvojité závorky a obrácené závorky nebo] x [pro strop. Někdy se rozumí funkce zaokrouhlování na nulu.
Desetinná část je funkce ve tvaru pilových zubů , označil za reálné x a definována vzorcem
Pro všechny x ,
Příklady
X
|
Podlaha
|
Strop
|
Frakční část
|
2
|
2
|
2
|
0
|
2.4
|
2
|
3
|
0,4
|
2.9
|
2
|
3
|
0,9
|
-2,7
|
-3
|
-2
|
0,3
|
-2
|
-2
|
-2
|
0
|
Sazba
Funkce podlahy a stropu jsou obvykle vysázeny s levými a pravými hranatými závorkami, kde chybí horní (pro funkci podlahy) nebo dolní (pro funkci stropu) vodorovné pruhy ( pro podlahu a pro strop). V Unicode jsou uvedeny tyto znaky:
-
U + 2308 ⌈ LEVÝ STROP (HTML
⌈
· ⌈, ⌈
)
-
U + 2309 ⌉ PRAVÝ STROP (HTML
⌉
· ⌉, ⌉
)
-
U + 230A ⌊ LEVÉ PODLAHY (HTML
⌊
· ⌊, ⌊
)
-
U + 230B ⌋ PRAVÁ PODLAHA (HTML
⌋
· ⌋, ⌋
)
V sázecím systému LaTeX lze tyto symboly specifikovat pomocí příkazů \lfloor, \rfloor, \lceil
a \rceil
v matematickém režimu a rozšířit jejich velikost pomocí \left\lfloor, \right\rfloor, \left\lceil
a \right\rceil
podle potřeby.
Definice a vlastnosti
Vzhledem k reálným číslům x a y lze celá čísla k , m , n a množinu celých čísel , podlahy a stropu definovat pomocí rovnic
Protože v pootevřeném intervalu délky jedna je přesně jedno celé číslo , pro každé reálné číslo x existují jedinečná celá čísla m a n splňující rovnici
kde a lze je také brát jako definici podlahy a stropu.
Ekvivalence
Tyto vzorce lze použít ke zjednodušení výrazů zahrnujících podlahy a stropy.
V jazyce teorie řádu je funkce podlahy reziduovaným mapováním , tj. Částí Galoisova spojení : je to horní adjunkční prvek funkce, která vloží celá čísla do realit.
Tyto vzorce ukazují, jak přidání celých čísel do argumentů ovlivňuje funkce:
Výše uvedené nejsou nikdy pravdivé, pokud n není celé číslo; pro každé x a y však platí následující nerovnosti:
Vztahy mezi funkcemi
Z definic je zřejmé, že
-
s rovností právě tehdy, když x je celé číslo, tzn
Ve skutečnosti pro celá čísla n jsou funkce podlahy i stropu identitou :
Negace argumentu přepne podlahu a strop a změní znaménko:
a:
Negaci argumentu doplňuje zlomková část:
Funkce podlahy, stropu a dílčích částí jsou idempotentní :
Výsledkem vnořených funkcí podlahy nebo stropu je nejvnitřnější funkce:
kvůli vlastnosti identity pro celá čísla.
Kvocienty
Pokud jsou m a n celá čísla a n ≠ 0,
Pokud n je kladné celé číslo
Pokud je m kladné
Pro m = 2 to znamená
Obecněji, pro pozitivní m (viz Hermitova identita )
Následující lze použít k převodu podlah na stropy a naopak ( m kladné)
Pro všechna m a n přísně kladná celá čísla:
který se pro pozitivní a coprime m a n snižuje na
Protože pravá strana obecného případu je symetrická v m a n , znamená to, že
Obecněji, pokud jsou m a n pozitivní,
Tomu se někdy říká zákon vzájemnosti .
Vnořené divize
Pro kladné celé číslo n a libovolná reálná čísla m , x :
Kontinuita a rozšiřování sérií
Žádná z funkcí popsaných v tomto článku jsou spojité , ale všechny jsou po částech lineární : funkce , a mít nespojitosti na celá čísla.
je horní polokontinuální a a jsou spodní polokontinuální.
Protože žádná z funkcí popsaných v tomto článku není spojitá, žádná z nich nemá rozšíření řady sil . Protože podlaha a strop nejsou periodické, nemají jednotně konvergentní expanze Fourierovy řady . Funkce zlomkové části má expanzi Fourierovy řady
pro x není celé číslo.
V bodech diskontinuity Fourierova řada konverguje k hodnotě, která je průměrem jejích limitů vlevo a vpravo, na rozdíl od funkcí podlahy, stropu a zlomkové části: pro y fixní a x násobek y se Fourierova řada daná konverguje na y / 2, spíše než na x mod y = 0. V bodech spojitosti řada konverguje ke skutečné hodnotě.
Použití vzorce floor (x) = x - {x} dává
pro x není celé číslo.
Aplikace
Operátor mod
Pro celé číslo x a pozitivní celé číslo y , v modulo operace , označené x mod y , dává hodnotu zbývající, pokud x je děleno y . Tuto definici lze rozšířit na reálná x a y , y ≠ 0 pomocí vzorce
Z definice funkce podlahy pak vyplývá, že tato rozšířená operace splňuje mnoho přírodních vlastností. Je pozoruhodné, že x mod y je vždy mezi 0 a y , tj.
pokud je y kladné,
a pokud je y záporné,
Kvadratická vzájemnost
Gaussův třetí důkaz kvadratické reciprocity , upravený Eisensteinem, má dva základní kroky.
Nechť p a q jsou zřetelná kladná lichá prvočísla a nechť
-
Nejprve se Gaussovo lemma používá k označení, že symboly Legendre jsou dány
symbolem
a
Druhým krokem je použití geometrického argumentu, který to ukáže
Kombinace těchto vzorců dává kvadratickou vzájemnost ve formě
Existují vzorce, které používají floor k vyjádření kvadratického charakteru malých čísel, mod lichých prvočísel p :
Zaokrouhlování
Pro libovolné reálné číslo je zaokrouhlování na nejbližší celé číslo s rozdělením na kladné nekonečno dáno ; zaokrouhlování na záporné nekonečno se udává jako .
Pokud je tie-breaking od 0, pak je funkce zaokrouhlování a zaokrouhlení směrem k sudému lze vyjádřit těžkopádnějším , což je výše uvedený výraz pro zaokrouhlování směrem k pozitivnímu nekonečnu minus indikátor integrity pro .
Počet číslic
Počet číslic v základu b kladného celého čísla k je
Faktory faktoriálů
Nechť n je kladné celé číslo ap je kladné prvočíslo. Exponent nejvyšší síly p, která dělí n ! je dána verzí Legendreova vzorce
kde je způsob psaní n v základním p . Toto je konečný součet, protože podlahy jsou nulové, když p k > n .
Beatty sekvence
K Beatty sekvence ukazuje, jak každé kladné iracionální číslo vede k rozdělení do přirozených čísel do dvou sekvencí pomocí funkce podlahy.
Eulerova konstanta (γ)
Existují vzorce pro Eulerovu konstantu γ = 0,57721 56649 ..., které zahrnují podlahu a strop, např
a
Funkce Riemann zeta (ζ)
Funkce zlomkové části se také zobrazuje v integrálních reprezentacích funkce Riemann zeta . Je jednoduché dokázat (pomocí integrace po částech), že pokud existuje nějaká funkce se spojitou derivací v uzavřeném intervalu [ a , b ],
Nechat na reálnou část z y větší než 1 a nechat a b být celá čísla, a nechat b přístup nekonečno dává
Tento vzorec platí pro všechna s se skutečnou částí větší než −1 (kromě s = 1, kde je pól) a v kombinaci s Fourierovou expanzí pro { x } lze použít k rozšíření funkce zeta na celou komplexní rovinu a dokázat jeho funkční rovnici.
Pro s = σ + it v kritickém pásu 0 < σ <1,
V roce 1947 použil van der Pol toto znázornění ke konstrukci analogového počítače pro hledání kořenů funkce zeta.
Vzorce pro prvočísla
Funkce floor se objevuje v několika vzorcích charakterizujících prvočísla. Například, protože se rovná 1, pokud m dělí n , a na 0 jinak, vyplývá z toho, že kladné celé číslo n je prvočíslo právě tehdy, když
Jeden může také dát vzorce pro výrobu prvočísel. Například nechť p n je n - té prvočíslo a pro jakékoli celé číslo r > 1 definujte skutečné číslo α součtem
Pak
Podobný výsledek je, že existuje číslo θ = 1,3064 ... ( Millsova konstanta ) s vlastností that
jsou všichni hlavní.
Existuje také číslo ω = 1,9287800 ... s touto vlastností
jsou všichni hlavní.
Nechť π ( x ) je počet prvočísel menší nebo rovný x . Jedná se o jednoduchý odpočet z Wilsonovy věty , které
Pokud je n ≥ 2,
Žádný ze vzorců v této části nemá praktické využití.
Vyřešené problémy
Ramanujan předložil tyto problémy do Journal of the Indian Mathematical Society .
Pokud n je kladné celé číslo, prokažte to
-
-
-
Nevyřešený problém
Studie Waringova problému vedla k nevyřešenému problému:
Existují nějaká kladná celá čísla k ≥ 6 taková?
-
?
Mahler dokázal, že takových k může být jen konečný počet ; žádné nejsou známy.
Počítačové implementace
Funkce Int z převodu s plovoucí desetinnou čárkou v
C
Ve většině programovacích jazyků nejjednodušší metoda převodu čísla s plovoucí desetinnou čárkou na celé číslo nedělá podlahu nebo strop, ale zkrácení . Důvod je historický, protože první stroje používaly doplněk a zkrácení, které bylo jednodušší implementovat (podlaha je jednodušší ve dvou doplňcích ). FORTRAN byl definován tak, aby vyžadoval toto chování, a tak téměř všechny procesory implementují převod tímto způsobem. Někteří to považují za nešťastné historické rozhodnutí o designu, které vedlo k tomu, že chyby zacházely s negativními kompenzacemi a grafikou na negativní straně původu.
Bitového pravým posun o celé číslo se znaménkem ze strany je stejné jako . Dělení silou 2 se často píše jako pravý posun, nikoli pro optimalizaci, jak by se dalo předpokládat, ale proto, že je nutná minimální úroveň negativních výsledků. Za předpokladu, že takové posuny jsou „předčasnou optimalizací“ a jejich nahrazení rozdělením může software rozbít.
Mnoho programovacích jazyků (včetně C , C ++ , C # , Java , PHP , R a Python ) poskytuje standardní funkce pro podlahu a strop, obvykle nazývané floor
a ceil
nebo méně často ceiling
. Jazyk APL používá ⌊x
pro podlahu. J Programovací jazyk , follow-on k APL, který je navržen tak, aby použít standardní klávesnice symboly, používá <.
pro podlahové a >.
stropní.
ALGOL používá entier
pro podlahu.
Tabulkový software
Většina tabulkových programů podporuje nějakou formu ceiling
funkce. Ačkoli se podrobnosti mezi programy liší, většina implementací podporuje druhý parametr - na násobek kterého se má zaokrouhlit dané číslo. Například ceiling(2, 3)
zaokrouhlí číslo 2 na nejbližší násobek 3 a dá 3. Definice toho, co znamená „zaokrouhlit nahoru“, se však liší program od programu.
Microsoft Excel používal téměř přesně opak standardní notace, přičemž INT
pro floor, FLOOR
což znamená zaokrouhlování na nulu, a CEILING
zaokrouhlování na nulu. To následovalo až do formátu souboru Office Open XML . Excel 2010 nyní postupuje podle standardní definice.
Formát souboru OpenDocument , který používají OpenOffice.org , Libreoffice a další, se řídí matematickou definicí stropu pro svou ceiling
funkci s volitelným parametrem pro kompatibilitu s Excelem. Například CEILING(-4.5)
vrátí −4.
Viz také
Poznámky
Reference
-
JWS Cassels (1957), An Introduction to Diophantine Aproximation , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 45 , Cambridge University Press
-
Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001), Prime Numbers: A Computational Perspective , New York: Springer , ISBN 0-387-94777-9
-
Graham, Ronald L .; Knuth, Donald E .; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics , Reading Ma .: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5
-
Hardy, GH; Wright, EM (1980), An Introduction to the Theory of Numbers (Páté vydání) , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853171-5
- Nicholas J. Higham, Příručka psaní pro matematické vědy , SIAM. ISBN 0-89871-420-6 , str. 25
-
ISO / IEC . ISO / IEC 9899 :: 1999 (E): Programming languages - C (2nd ed), 1999; Sekce 6.3.1.4, s. 43.
-
Iverson, Kenneth E. (1962), Programovací jazyk , Wiley
-
Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: od Eulera po Eisensteina , Berlín: Springer , ISBN 3-540-66957-4
-
Ramanujan, Srinivasa (2000), Collected Papers , Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2076-6
-
Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records , New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
- Michael Sullivan. Precalculus , 8. vydání, str. 86
-
Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986), Theory of the Riemann Zeta-function (2nd ed.), Oxford: Oxford UP, ISBN 0-19-853369-1
externí odkazy
-
„Funkce podlahy“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Štefan Porubský, „Integer rounding functions“ , Interaktivní informační portál pro algoritmickou matematiku , Ústav výpočetní techniky AV ČR, Praha, vyvoláno 24. října 2008
- Weisstein, Eric W. „Funkce podlahy“ . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. „Funkce stropu“ . MathWorld .