Funkce s celými čísly - Integer-valued function

Funkce podlahy na reálných číslech. Jeho diskontinuity jsou zobrazeny s bílými obrysy disků s modrými kruhy.

V matematice, funkce celé číslo s hodnotou je funkce , jejíž hodnoty jsou celá čísla . Jinými slovy, je to funkce, která každému členu její domény přiřadí celé číslo .

Funkce podlahy a stropu jsou příklady celočíselné funkce reálné proměnné , ale na reálných číslech a obecně na (neodpojených) topologických prostorech nejsou celočíselné funkce zvlášť užitečné. Každá taková funkce v připojeném prostoru má buď diskontinuity, nebo je konstantní . Na druhou stranu na diskrétních a jiných zcela odpojených prostorech mají celočíselné funkce zhruba stejný význam jako funkce se skutečnými hodnotami na nediskrétních prostorech.

Jakákoli funkce s přirozenými nebo nezápornými celočíselnými hodnotami je částečným případem celočíselné funkce.

Příklady

Mezi celočíselné funkce definované v doméně všech reálných čísel patří funkce podlahy a stropu, Dirichletova funkce , funkce znaménka a Heavisideova kroková funkce (s výjimkou případu 0).

Mezi funkce s celočíselnými hodnotami definované v doméně nezáporných reálných čísel patří funkce celé odmocniny a funkce počítání prvočísel .

Algebraické vlastnosti

Na libovolné množině X tvoří celočíselné funkce prstenec s bodovými operacemi sčítání a násobení a také algebru nad prstencem Z celých čísel. Jelikož posledně jmenovaný je uspořádaný prsten , tvoří funkce částečně uspořádaný prsten :

${\ Displaystyle f \ leq g \ quad \ iff \ quad \ forall x: f (x) \ leq g (x).}$

Použití

Teorie grafů a algebra

Funkce s celočíselnými hodnotami jsou v teorii grafů všudypřítomné . Mají také podobná použití v teorii geometrických skupin , kde funkce délky představuje koncept normy a slovo metrická představuje koncept metriky .

Celočíselné polynomy jsou důležité v teorii prstenů .

Matematická logika a teorie vypočítatelnosti

V matematické logice takové pojmy jako primitivní rekurzivní funkce a μ-rekurzivní funkce představují celočíselné funkce několika přirozených proměnných nebo jinými slovy funkce na N ⁿ . Gödelovo číslování , definované na dobře vytvořených vzorcích nějakého formálního jazyka , je funkcí s přirozenou hodnotou.

Teorie vypočítatelnosti je v zásadě založena na přirozených číslech a přirozených (nebo celých) funkcích na nich.

Teorie čísel

V teorii čísel má mnoho aritmetických funkcí celočíselnou hodnotu.

Počítačová věda

V počítačovém programování mnoho funkcí vrací hodnoty celočíselného typu kvůli jednoduchosti implementace.

Viz také

• Celočíselný polynom
• Polokontinuita
• Pořadí (disambiguation) # Matematika
• Známka (disambiguation) #In matematics