Kusová lineární funkce - Piecewise linear function

V matematice a statistice je po částech lineární , PL nebo segmentovaná funkce skutečnou funkcí reálné proměnné, jejíž graf se skládá z přímkových segmentů.

Definice

Po částech lineární funkce je funkce definovaná na (možná neohraničenou) intervalu z reálných čísel , tak, že je sbírka intervalů na každém z nichž je funkce je afinní funkce . Pokud je doména funkce kompaktní , musí existovat konečná kolekce takových intervalů; pokud doména není kompaktní, může být požadováno, aby byla konečná nebo aby byla lokálně konečná v reálných oblastech.

Příklady

Spojitá po částech lineární funkce

Funkce definovaná

${\ displaystyle f (x) = {\ začátek {případů} -x-3 & {\ text {if}} x \ leq -3 \\ x + 3 & {\ text {if}} - 3 <x <0 \\ -2x + 3 & {\ text {if}} 0 \ leq x <3 \\ 0,5x-4,5 & {\ text {if}} x \ geq 3 \ end {případy}}}$

je po částech lineární se čtyřmi kusy. Graf této funkce je zobrazen vpravo. Vzhledem k tomu, že graf lineární funkce je přímka , skládá se graf po částech lineární funkce z úseček a paprsků . Hodnoty x (ve výše uvedeném příkladu −3, 0 a 3), kde se změny sklonu nazývají, se obvykle nazývají zarážky, body změny, prahové hodnoty nebo uzly. Stejně jako v mnoha aplikacích je i tato funkce nepřetržitá. Graf spojité po částech lineární funkce na kompaktním intervalu je polygonální řetězec .

Mezi další příklady po částech lineárních funkcí patří funkce absolutní hodnoty, funkce pilového zubu a funkce podlahy .

Přizpůsobení křivce

Funkce (modrá) a po částech lineární aproximace (červená)

Aproximaci známé křivky lze zjistit vzorkováním křivky a lineární interpolací mezi body. Byl publikován algoritmus pro výpočet nejvýznamnějších bodů podléhajících dané toleranci chyb.

Přizpůsobení datům

Pokud jsou již známé oddíly a poté zarážky, lze na těchto oddílech provést lineární regrese nezávisle. V takovém případě však není zachována kontinuita a také neexistuje žádný jedinečný referenční model, který by sledoval pozorovaná data. Stabilní algoritmus s tímto případem byl odvozen.

Pokud nejsou oddíly známy, lze zbytkový součet čtverců použít k výběru optimálních separačních bodů. Nicméně efektivní výpočet a společný odhad všech parametrů modelu (včetně zlomových bodů), mohou být získány iterativním postupem prováděných v současné době v balíčku segmented pro jazyk R .

Varianta učení rozhodovacího stromu zvaná modelové stromy se učí po částech lineární funkce.

Zápis

Po částech lineární funkce ve dvou rozměrech (nahoře) a konvexní polytopy, na kterých je lineární (dole)

Pojem po částech lineární funkce má smysl v několika různých kontextech. Kusové lineární funkce mohou být definovány na n -dimenzionálním euklidovském prostoru , nebo obecněji na jakémkoli vektorovém prostoru nebo afinním prostoru , stejně jako po částech lineárních potrubí , zjednodušených komplexech atd. V každém případě může být funkce reálná , nebo může nabývat hodnot z vektorového prostoru, afinního prostoru, po částech lineárního potrubí nebo zjednodušeného komplexu. (V těchto kontextech se termín „lineární“ nevztahuje pouze na lineární transformace , ale na obecnější afinní lineární funkce.)

V dimenzích vyšších než jedna je běžné vyžadovat, aby doménou každého kusu byl mnohoúhelník nebo mnohostěn . To zaručuje, že graf funkce bude složen z polygonálních nebo polytopálních částí.

Důležité podtřídy po částech lineárních funkcí zahrnují spojité části po částech a konvexní části po částech. Obecně platí, že pro každou n -dimenzionální spojitou po částech lineární funkci existuje a ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ Pi \ in {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (\ mathbb {R} ^ {n + 1}))}$

takhle

${\ displaystyle f ({\ vec {x}}) = \ min _ {\ Sigma \ in \ Pi} \ max _ {({\ vec {a}}, b) \ in \ Sigma} {\ vec {a }} \ cdot {\ vec {x}} + b.}$

Pokud je konvexní a spojité, pak existuje a ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ Sigma \ in {\ mathcal {P}} (\ mathbb {R} ^ {n + 1})}$

takhle

${\ displaystyle f ({\ vec {x}}) = \ max _ {({\ vec {a}}, b) \ in \ Sigma} {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {x}} + b.}$

Splajny generalizují po částech lineární funkce na polynomy vyššího řádu, které jsou zase obsaženy v kategorii funkcí po částech rozlišitelných, PDIFF .

Aplikace

Reakce plodiny na hloubku vodního stolu

Příklad reakce plodiny na slanost půdy

V zemědělství se po částech regresní analýza naměřených dat používá k detekci rozsahu, v němž růstové faktory ovlivňují výnos, a rozsahu, v němž plodina není citlivá na změny těchto faktorů.

Obrázek vlevo ukazuje, že u mělkých vodních stolů výtěžek klesá, zatímco u hlubších (> 7 dm) vodních stolů není výtěžek ovlivněn. Graf je vytvořen pomocí metody nejmenších čtverců k vyhledání dvou nejlépe vyhovujících segmentů .

Graf na pravé straně ukazuje, že úroda tolerovat si slanosti půdy až ECE = 8 dS / m (ECE je elektrická vodivost extraktu z nasyceného vzorku půdy), zatímco nad touto hodnotou produkce plodin snižuje. Graf je vytvořen metodou částečné regrese k nalezení nejdelšího rozsahu „bez efektu“, tj. Tam, kde je čára vodorovná. Tyto dva segmenty se nemusí spojit ve stejném bodě. Pouze pro druhý segment se používá metoda nejmenších čtverců.

Viz také

• Po částech konstantní funkce
• Lineární interpolace
• Spline interpolace
• Tropická geometrie
• Polygonální řetěz

Další čtení

• Apps, P., Long, N., & Rees, R. (2014). Optimální po částech lineární zdanění příjmů . Journal of Public Economic Theory , 16 (4), 523–545.

Reference