Komplexní reflexní skupina - Complex reflection group

V matematiky , je komplex odraz skupina je konečná skupina působící na konečný trojrozměrný komplexní vektorový prostor , které je tvořeno komplexním odrazy : netriviální prvky, které stanoví komplexní nadrovině bodově.

Komplexní odraz skupiny vznikají ve studiu invariantní teorie o polynomu kroužky . V polovině 20. století byli zcela zařazeni do práce Shepharda a Todda. Zvláštní případy zahrnují symetrickou skupinu permutací, dihedrální skupiny a obecněji všechny konečné skutečné reflexní skupiny ( Coxeterovy skupiny nebo Weylové skupiny , včetně symetrických skupin pravidelných mnohostěnů ).

Definice

A (komplexní) reflexe r (někdy také nazývaná pseudo reflexe nebo unitární reflexe ) konečného rozměrového komplexního vektorového prostoru V je prvek konečného řádu, který bodově fixuje komplexní hyperplochu, to znamená, že pevný prostor má kodimenze 1. ${\ displaystyle r \ v GL (V)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Fix} (r): = \ operatorname {ker} (r- \ operatorname {Id} _ {V})}$

A ( konečná ) komplexní reflexní skupina je konečná podskupina, která je generována odrazy. ${\ displaystyle W \ subseteq GL (V)}$ ${\ displaystyle GL (V)}$

Vlastnosti

Nějaký skutečný odraz skupina se stává složitější reflexní skupiny, pokud bychom rozšířit skaláry od R do C . Zejména všechny konečné Coxeterovy skupiny nebo Weylové skupiny uvádějí příklady komplexních reflexních skupin.

Složitá reflexní skupina W je neredukovatelná, pokud je původem pouze W -invariantní správný podprostor odpovídajícího vektorového prostoru. V tomto případě je rozměr vektorového prostoru se nazývá hodnost a W .

Počet Coxeter z nedělitelný komplexní reflexní skupina W hodnosti je definován jako kde označuje soubor odrazů a označuje soubor odráží nadrovin. V případě skutečných reflexních skupin se tato definice redukuje na obvyklou definici Coxeterova čísla pro konečné Coxeter systémy. ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle h = {\ frac {| {\ mathcal {R}} |+| {\ mathcal {A}} |} {n}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Klasifikace

Jakákoli komplexní reflexní skupina je produktem neredukovatelných komplexních reflexních skupin, které působí na součet odpovídajících vektorových prostorů. Stačí tedy klasifikovat neredukovatelné komplexní reflexní skupiny.

Neredukovatelné komplexní reflexní skupiny byly klasifikovány GC Shephardem a JA Toddem ( 1954 ). Dokázali, že každý neredukovatelný patří do nekonečné rodiny G ( m , p , n ) v závislosti na 3 pozitivních celočíselných parametrech (s p dělícím m ) nebo byl jedním z 34 výjimečných případů, které číslovali od 4 do 37. Skupina G ( m , 1, n ) je zobecněná symetrická skupina ; ekvivalentně je to produkt věnce symetrické skupiny Sym ( n ) cyklickou skupinou řádu m . Jako maticová skupina mohou být její prvky realizovány jako monomiální matice, jejichž nenulové prvky jsou m th kořeny jednoty .

Skupina G ( m , p , n ) je indexová p podskupina G ( m , 1, n ). G ( m , p , n ) je řádu m ⁿ n ! / P . Jako matice to může být realizováno jako podmnožina, ve které je součin nenulových záznamů ( m / p ) th kořen jednoty (spíše než jen m kořen). Algebraicky je G ( m , p , n ) polopřímý součin abelianské skupiny řádu m ⁿ / p symetrické skupiny Sym ( n ); prvky abelianské skupiny jsou ve tvaru ( θ ^{a ₁} , θ ^{a ₂} , ..., θ ^{a _n} ), kde θ je primitivní m th kořen jednoty a Σ a _i ≡ 0 mod p , a Sym ( n ) působí permutacemi souřadnic.

Skupina G ( m , p , n ) působí na C ⁿ neredukovatelně s výjimkou případů m = 1, n > 1 (symetrická skupina) a G (2, 2, 2) ( Kleinova čtyřskupina ). V těchto případech se C ⁿ rozdělí jako součet neredukovatelných reprezentací dimenzí 1 a n - 1.

Zvláštní případy G ( m , p , n )

Coxeter skupiny

Když m = 2, reprezentace popsaná v předchozí části se skládá z matic se skutečnými vstupy, a proto v těchto případech G ( m , p , n ) je konečná Coxeterova skupina. Zejména:

G (1, 1, n ) má typ A _{n −1} = [3,3, ..., 3,3] =...; symetrická skupina řádu n !
G (2, 1, n ) má typ B _n = [3,3, ..., 3,4] =...; hyperoctahedral skupině řádu 2 ⁿ n !
G (2, 2, n ) má typ D _n = [3,3, ..., 3 ^1,1 ] =..., objednejte 2 ⁿ n !/2.

Kromě toho, když m = p a n = 2, skupina G ( p , p , 2) je dihedrální skupina řádu 2 p ; jako Coxeterova skupina zadejte I ₂ ( p ) = [ p ] =(a Weylova skupina G _2, když p = 6).

Další speciální případy a náhody

Jediné případy, kdy jsou dvě skupiny G ( m , p , n ) izomorfní jako komplexní reflexní skupiny, jsou G ( ma , pa , 1) izomorfní vůči G ( mb , pb , 1) pro všechna kladná celá čísla a , b (a oba jsou izomorfní k cyklické skupině řádu m / p ). Existují však i jiné případy, kdy jsou dvě takové skupiny izomorfní jako abstraktní skupiny.

Skupiny G (3, 3, 2) a G (1, 1, 3) jsou izomorfní vůči symetrické skupině Sym (3). Skupiny G (2, 2, 3) a G (1, 1, 4) jsou izomorfní k symetrické skupině Sym (4). Jak G (2, 1, 2), tak G (4, 4, 2) jsou izomorfní k dihedrální skupině řádu 8. A skupiny G (2 p , p , 1) jsou cyklické řádu 2, stejně jako G ( 1, 1, 2).

Seznam neredukovatelných komplexních reflexních skupin

V prvních 3 řádcích tohoto seznamu je několik duplikátů; podrobnosti najdete v předchozí části.

ST je Shephard – Toddovo číslo reflexní skupiny.
Rank je dimenze komplexního vektorového prostoru, na který skupina působí.
Struktura popisuje strukturu skupiny. Symbol * je ústředním produktem dvou skupin. Pro úroveň 2 je kvocient (cyklickým) středem skupina rotací čtyřstěnu, osmistěnu nebo dvacetistěnu ( T = Alt (4), O = Sym (4), I = Alt (5), řádů 12 , 24, 60), jak je uvedeno v tabulce. Zápis 2 ¹⁺⁴ viz zvláštní skupina .
Pořadí je počet prvků ve skupině.
Úvahy popisují počet odrazů: 2 ⁶ 4 ¹² znamená, že existuje 6 odrazů pořadí 2 a 12 pořadí 4.
Stupně udávají stupně základních invariantů prstence polynomiálních invariantů. Například invarianty skupiny číslo 4 tvoří polynomický prstenec se 2 generátory stupňů 4 a 6.

SVATÝ	Hodnost	Struktura a názvy	Coxeter jména	Objednat	Odrazy	Stupně	Kodexy
1	n -1	Symetrická skupina G (1,1, n ) = Sym ( n )		n !	2 ^{n ( n - 1)/2}	2, 3, ..., č	0,1, ..., n - 2
2	n	G ( m , p , n ) m > 1, n > 1, p \| m ( G (2,2,2) je redukovatelný)		m ⁿ n !/ p	2 ^{mn ( n −1) / 2} , d ^{n φ ( d )} ( d \| m / p , d > 1)	m , 2 m , .., ( n - 1) m ; mn / p	0, m , ..., ( n - 1) m, pokud p < m ; 0, m , ..., ( n - 2) m , ( n - 1) m - n, pokud p = m
2	2	G ( p , 1,2) p > 1,	p [4] 2 nebo	2 p ²	2 ^p , d ^{2φ ( d )} ( d \| p , d > 1)	p ; 2 str	0, str
2	2	Vzepětí skupina G ( p , p , 2) p > 2	[ p ] nebo	2 str	2 ^str	2, s	0, p-2
3	1	Cyklická skupina G ( p , 1,1) = Z _p	p [] nebo	p	d ^{φ ( d )} ( d \| p , d > 1)	p	0
4	2	W (L ₂ ), Z ₂ . T	3 [3] 3 nebo , , 32,3,3⟩	24	3 ⁸	4,6	0,2
5	2	Z ₆ . T	3 [4] 3 nebo	72	3 ¹⁶	6,12	0,6
6	2	Z ₄ . T	3 [6] 2 nebo	48	2 ⁶ 3 ⁸	4,12	0,8
7	2	Z ₁₂ . T	‹3,3,3› ₂ nebo ⟨2,3,3⟩ ₆	144	2 ⁶ 3 ¹⁶	12,12	0,12
8	2	Z ₄ . Ó	4 [3] 4 nebo	96	2 ⁶ 4 ¹²	8,12	0,4
9	2	Z ₈ . Ó	4 [6] 2 nebo nebo ,32,3,4⟩ ₄	192	2 ¹⁸ 4 ¹²	8,24	0,16
10	2	Z ₁₂ . Ó	4 [4] 3 nebo	288	2 ⁶ 3 ¹⁶ 4 ¹²	12,24	0,12
11	2	Z ₂₄ . Ó	,32,3,4⟩ ₁₂	576	2 ¹⁸ 3 ¹⁶ 4 ¹²	24,24	0,24
12	2	Z ₂ . O = GL ₂ ( F ₃ )	,32,3,4⟩	48	2 ¹²	6,8	0,10
13	2	Z ₄ . Ó	,32,3,4⟩ ₂	96	2 ¹⁸	8,12	0,16
14	2	Z ₆ . Ó	3 [8] 2 nebo	144	2 ¹² 3 ¹⁶	6,24	0,18
15	2	Z ₁₂ . Ó	,32,3,4⟩ ₆	288	2 ¹⁸ 3 ¹⁶	12,24	0,24
16	2	Z ₁₀ . I , , 32,3,5⟩ × Z ₅	5 [3] 5 nebo	600	5 ⁴⁸	20,30	0,10
17	2	Z ₂₀ . Já	5 [6] 2 nebo	1200	2 ³⁰ 5 ⁴⁸	20,60	0,40
18	2	Z ₃₀ . Já	5 [4] 3 nebo	1800	3 ⁴⁰ 5 ⁴⁸	30,60	0,30
19	2	Z ₆₀ . Já	,32,3,5⟩ ₃₀	3600	2 ³⁰ 3 ⁴⁰ 5 ⁴⁸	60,60	0,60
20	2	Z ₆ . Já	3 [5] 3 nebo	360	3 ⁴⁰	12,30	0,18
21	2	Z ₁₂ . Já	3 [10] 2 nebo	720	2 ³⁰ 3 ⁴⁰	12,60	0,48
22	2	Z ₄ . Já	,32,3,5⟩ ₂	240	2 ³⁰	12,20	0,28
23	3	W (H ₃ ) = Z ₂ × PSL ₂ (5)	[5,3],	120	2 ¹⁵	2,6,10	0,4,8
24	3	W (J ₃ (4)) = Z ₂ × PSL ₂ (7), Klein	[1 1 1 ⁴ ] ⁴ ,	336	2 ²¹	4,6,14	0,8,10
25	3	W (L ₃ ) = W (P ₃ ) = 3 ^1+2. SL ₂ (3) pytlovina	3 [3] 3 [3] 3,	648	3 ²⁴	6,9,12	0,3,6
26	3	W (M ₃ ) = Z ₂ × 3 ^1+2. SL ₂ (3) pytlovina	2 [4] 3 [3] 3,	1296	2 ⁹ 3 ²⁴	6,12,18	0,6,12
27	3	W (J ₃ (5)) = Z ₂ × ( Z _3. Alt (6)), Valentiner	[1 1 1 ⁵ ] ⁴ , [1 1 1 ⁴ ] ⁵ ,	2160	2 ⁴⁵	6,12,30	0,18,24
28	4	W (F ₄ ) = (SL ₂ (3)* SL ₂ (3)). ( Z ₂ × Z ₂ )	[3,4,3],	1152	2 ¹²⁺¹²	2,6,8,12	0,4,6,10
29	4	W (N ₄ ) = ( Z ₄ *2 ^{1 + 4} ) .Sym (5)	[1 1 2] ⁴ ,	7680	2 ⁴⁰	4,8,12,20	0,8,12,16
30	4	W (H ₄ ) = (SL ₂ (5)*SL ₂ (5)). Z ₂	[5,3,3],	14400	2 ⁶⁰	2,12,20,30	0,10,18,28
31	4	W (EN ₄ ) = W (O ₄ ) = ( Z ₄ *2 ^{1 + 4} ). Sp ₄ (2)		46080	2 ⁶⁰	8,12,20,24	0,12,16,28
32	4	W (L ₄ ) = Z ₃ × Sp ₄ (3)	3 [3] 3 [3] 3 [3] 3,	155520	3 ⁸⁰	12,18,24,30	0,6,12,18
33	5	W (K ₅ ) = Z ₂ × Ω ₅ (3) = Z ₂ × PSp ₄ (3) = Z ₂ × PSU ₄ (2)	[1 2 2] ³ ,	51840	2 ⁴⁵	4,6,10,12,18	0,6,8,12,14
34	6	W (K ₆ ) = Z ₃ .Ω^- ₆(3). Z ₂ , Mitchellova skupina	[1 2 3] ³ ,	39191040	2 ¹²⁶	6,12,18,24,30,42	0,12,18,24,30,36
35	6	W (E ₆ ) = SO ₅ (3) = O^- ₆(2) = PSp ₄ (3). Z ₂ = PSU ₄ (2). Z ₂	[3 ^2,2,1 ],	51840	2 ³⁶	2,5,6,8,9,12	0,3,4,6,7,10
36	7	W (E ₇ ) = Z ₂ × Sp ₆ (2)	[3 ^3,2,1 ],	2903040	2 ⁶³	2,6,8,10,12,14,18	0,4,6,8,10,12,16
37	8	W (E ₈ ) = Z _2. O⁺ ₈(2)	[3 ^4,2,1 ],	696729600	2 ¹²⁰	2,8,12,14,18,20,24,30	0,6,10,12,16,18,22,28

Další informace, včetně diagramů, prezentací a kódových stupňů složitých reflexních skupin, najdete v tabulkách v (Michel Broué, Gunter Malle & Raphaël Rouquier 1998 ).

Stupně

Shephard a Todd dokázali, že konečná skupina působící na komplexní vektorový prostor je komplexní reflexní skupinou právě tehdy, je -li jejím prstencem invariantů polynomický prstenec ( Chevalley – Shephard – Toddova věta ). Pro bytí hodnost reflexní skupiny, tituly z generátorů kruhu invariants se nazývají stupně W a jsou uvedeny ve sloupci nadepsaném „nad stupňů“. Ukázali také, že mnoho dalších invariantů skupiny je určeno následujícími stupni: ${\ displaystyle \ ell}$ ${\ Displaystyle d_ {1} \ leq d_ {2} \ leq \ ldots \ leq d _ {\ ell}}$

Střed neredukovatelné reflexní skupiny je cyklický řádu stejného největšího společného dělitele stupňů.
Pořadí komplexní reflexní skupiny je součin jejích stupňů.
Počet odrazů je součtem stupňů minus pozice.
Neredukovatelná komplexní reflexní skupina pochází ze skutečné reflexní skupiny právě tehdy, má -li invariant stupně 2.
Vzorce splňují stupně d _i ${\ Displaystyle \ prod _ {i = 1}^{\ ell} (q+d_ {i} -1) = \ sum _ {w \ v W} q^{\ dim (V^{w})}. }$

Kodexy

Protože jde o pozici reflexní skupiny, lze kódové stupně W definovat pomocí ${\ displaystyle \ ell}$ ${\ Displaystyle d_ {1}^{*} \ geq d_ {2}^{*} \ geq \ ldots \ geq d _ {\ ell}^{*}}$ ${\ Displaystyle \ prod _ {i = 1}^{\ ell} (q-d_ {i}^{*}-1) = \ sum _ {w \ v W} \ det (w) q^{\ dim (V^{w})}.}$

Pro skutečnou reflexní skupinu jsou kódové stupně stupně mínus 2.
Počet odrazových hyperplanes je součtem kódových stupňů plus hodností.

Dobře generované komplexní reflexní skupiny

Podle definice je každá komplexní reflexní skupina generována svými odrazy. Množina odrazů však není minimální generující množinou a každá neredukovatelná komplexní reflexní skupina hodnosti $n$ má minimální generující sadu skládající se buď z $n$ nebo $n + 1$ odrazů. V prvním případě je skupina údajně dobře generovaná .

Vlastnost dobrého generování je ekvivalentní podmínce pro všechny . Například z klasifikace lze vyčíst, že skupina $G$ $($ $m$ $,$ $p$ $,$ $n$ $)$ je dobře generována právě tehdy, když p = 1 nebo m . ${\ displaystyle d_ {i}+d_ {i}^{*} = d _ {\ ell}}$ ${\ Displaystyle 1 \ leq i \ leq \ ell}$

U neredukovatelných dobře generovaných komplexních reflexních skupin se Coxeterovo číslo $h$ definované výše rovná největšímu stupni . Redukovatelná komplexní reflexní skupina je údajně dobře generovaná, pokud je produktem neredukovatelných dobře generovaných komplexních reflexních skupin. Každá konečná skutečná reflexní skupina je dobře generována. ${\ displaystyle h = d _ {\ ell}}$

Shephardovy skupiny

Dobře generované komplexní reflexní skupiny zahrnují podmnožinu zvanou Shephardovy skupiny . Tyto skupiny jsou skupiny symetrie pravidelných komplexních polytopů . Zejména zahrnují skupiny symetrie pravidelných reálných mnohostěnů. Shephardovy skupiny lze charakterizovat jako komplexní reflexní skupiny, které připouštějí „coxeterovskou“ prezentaci s lineárním diagramem. To znamená, že Shephardova skupina sdružila kladná celá čísla $p 1, ..., p n$ a $q 1, ..., q n - 1$ tak, že existuje generující množina $s 1, ..., s n$ uspokojující vztahy

{\ displaystyle (s_ {i})^{p_ {i}} = 1}

pro

i = 1, ..., n

,

{\ Displaystyle s_ {i} s_ {j} = s_ {j} s_ {i}}

kdyby ,

{\ displaystyle | ij |> 1}

a

{\ Displaystyle s_ {i} s_ {i+1} s_ {i} s_ {i+1} \ cdots = s_ {i+1} s_ {i} s_ {i+1} s_ {i} \ cdots}

kde výrobky na obou stranách mají

q i

termíny, pro

i = 1, ..., n - 1

.

Tyto informace jsou někdy shromažďovány v symbolu typu Coxeter $p 1 [q 1] p 2 [q 2] ... [q n -1] p n$ , jak je vidět v tabulce výše.

Mezi skupinami v nekonečné rodině $G (m, p, n)$ jsou Shephardovy skupiny ty, ve kterých $p = 1$ . Existuje také 18 výjimečných Shephardových skupin, z nichž tři jsou skutečné.

Kartanové matrice

Rozšířená Cartanova matice definuje unitární skupinu. Shephardské skupiny ze skupiny n mají n generátorů. Běžné kartanové matice mají diagonální prvky 2, zatímco jednotkové odrazy toto omezení nemají. Například skupina 1 v pořadí p (se symboly p [],) je definována maticí $1 \times 1$ . ${\ Displaystyle \ left [1-e^{2 \ pi i/p} \ right]}$

Vzhledem k tomu,: . ${\ Displaystyle \ zeta _ {p} = e^{2 \ pi i/p}, \ omega \ \ zeta _ {3} = e^{2 \ pi i/3} = {\ tfrac {1} {2 }} (-1+i {\ sqrt {3}}), \ zeta _ {4} = e^{2 \ pi i/4} = i, \ zeta _ {5} = e^{2 \ pi i /5} = {\ tfrac {1} {4}} (\ left ({\ sqrt {5}}-1 \ right)+i {\ sqrt {2 (5+{\ sqrt {5}})}}} ), \ tau = {\ tfrac {1+{\ sqrt {5}}} {2}}, \ lambda = {\ tfrac {1+i {\ sqrt {7}}} {2}}, \ omega = {\ tfrac {-1+i {\ sqrt {3}}} {2}}}$

1. místo
Skupina		Cartan	Skupina		Cartan
2 []		${\ Displaystyle \ left [{\ begin {matrix} 2 \ end {matrix}} \ right]}$	3 []		${\ Displaystyle \ left [{\ begin {matrix} 1- \ omega \ end {matrix}} \ right]}$
4 []		${\ Displaystyle \ left [{\ begin {matrix} 1-i \ end {matrix}} \ right]}$	5 []		${\ Displaystyle \ left [{\ begin {matrix} 1- \ zeta _ {5} \ end {matrix}} \ right]}$

2. místo
Skupina		Cartan	Skupina		Cartan
G ₄	3 [3] 3	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1- \ omega & 1 \\-\ omega & 1- \ omega \ end {smallmatrix}} \ right]}$	G ₅	3 [4] 3	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1- \ omega & 1 \\-2 \ omega & 1- \ omega \ end {smallmatrix}} \ right]}$
G ₆	2 [6] 3	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & 1 \\ 1- \ omega +i \ omega ^{2} & 1- \ omega \ end {smallmatrix}} \ right]}$	G ₈	4 [3] 4	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1-i & 1 \\-i & 1-i \ end {smallmatrix}} \ right]}$
G ₉	2 [6] 4	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & 1 \\ (1+{\ sqrt {2}}) \ zeta _ {8} & 1+i \ end {smallmatrix}} \ right]}$	G ₁₀	3 [4] 4	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1- \ omega & 1 \\-i- \ omega & 1-i \ end {smallmatrix}} \ right]}$
G ₁₄	3 [8] 2	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1- \ omega & 1 \\ 1- \ omega +\ omega ^{2} {\ sqrt {2}} & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	G ₁₆	5 [3] 5	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1- \ zeta _ {5} & 1 \\-\ zeta _ {5} & 1- \ zeta _ {5} \ end {smallmatrix}} \ right]}$
G ₁₇	2 [6] 5	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & 1 \\ 1- \ zeta _ {5} -i \ zeta ^{3} & 1- \ zeta _ {5} \ end {smallmatrix}} \ right]}$	G ₁₈	3 [4] 5	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1- \ omega & 1 \\-\ omega-\ zeta _ {5} & 1- \ zeta _ {5} \ end {smallmatrix}} \ right]}$
G ₂₀	3 [5] 3	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1- \ omega & 1 \\\ omega (\ tau -2) & 1- \ omega \ end {smallmatrix}} \ \ right]}$	G ₂₁	2 [10] 3	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & 1 \\ 1- \ omega -i \ omega ^{2} \ tau & 1- \ omega \ end {smallmatrix}} \ \ right]}$

3. místo
Skupina		Cartan	Skupina		Cartan
G ₂₂	<5,3,2> ₂	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & \ tau +i-1 & -i +1 \\-\ tau -i-1 & 2 & i \\ i-1 & -i & 2 \ end {smallmatrix}} \ \ right]}$	G ₂₃	[5,3]	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 &-\ tau & 0 \\-\ tau & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$
G ₂₄	[1 1 1 ⁴ ] ⁴	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -1 &-\ lambda \\-1 & 2 & -1 \\ 1+ \ lambda & -1 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	G ₂₅	3 [3] 3 [3] 3	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1- \ omega & \ omega ^{2} & 0 \\-\ omega ^{2} & 1- \ omega &-\ omega ^{2} \\ 0 & \ omega ^{2} & 1- \ omega \ end {smallmatrix}} \ right]}$
G ₂₆	3 [3] 3 [4] 2	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1- \ omega &-\ omega ^{2} & 0 \\\ omega ^{2} & 1- \ omega & -1 \\ 0 & -1+\ omega & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	G ₂₇	[1 1 1 ⁵ ] ⁴	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 &-\ tau &-\ omega \\-\ tau & 2 &-\ omega ^{2} \\-\ omega ^{2} & \ omega & 2 \ end {smallmatrix }}\že jo]}$

4. místo
Skupina			Cartan	Skupina			Cartan
G ₂₈	[3,4,3]		${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\-1 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	G ₂₉	[1 1 2] ⁴		${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -1 & i+1 & 0 \\-1 & 2 & -i & 0 \\-i+1 & i & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$
G ₃₀	[5,3,3]		${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 &-\ tau & 0 & 0 \\-\ tau & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	G ₃₂	3 [3] 3 [3] 3		${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1- \ omega & \ omega ^{2} & 0 & 0 \\-\ omega ^{2} & 1- \ omega &-\ omega ^{2} & 0 \\ 0 & \ omega ^{2} & 1- \ omega & \ omega ^{2} \\ 0 & 0 &-\ omega ^{2} & 1- \ omega \ end {smallmatrix}} \ \ right]}$

5. místo
Skupina			Cartan	Skupina			Cartan
G ₃₁	O ₄		${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -1 & i+1 & 0 & -i+1 \\-1 & 2 & -i & 0 & 0 \\-i+1 & i & 2 & -1 & -i+1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ i+ 1 & 0 & i+1 & -1 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	G ₃₃	[1 2 2] ³		${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\-1 & 2 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 &-\ omega & 0 \\ 0 & -1 &-\ omega ^{2} & 2 &-\ omega ^{ 2} \\ 0 & 0 & 0 &-\ omega & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$

Reference

Broué, Michel ; Malle, Gunter; Rouquier, Raphaël (1995), „O komplexních reflexních skupinách a jejich přidružených copánkových skupinách“ (PDF) , Reprezentace skupin (Banff, AB, 1994) , CMS Conf. Proc., 16 , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 1–13, MR 1357192
Broué, Michel ; Malle, Gunter; Rouquier, Raphaël (1998), „Komplexní reflexní skupiny, copové skupiny, Heckeovy algebry“, Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1998 (500): 127–190, CiteSeerX 10.1.1.128.2907 , doi : 10.1515/crll.1998.064 , ISSN 0075-4102 , MR 1637497
Deligne, Pierre (1972), "Les immeubles des groupes de tresses généralisés", Inventiones Mathematicae , 17 (4): 273–302, Bibcode : 1972InMat..17..273D , doi : 10.1007/BF01406236 , ISSN 0020-9910 , MR 0422673 , S2CID 123680847
Hiller, Howard Geometry of Coxeter groups. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-London, 1982. iv+213 s. ISBN 0-273-08517-4 *
Lehrer, Gustav I .; Taylor, Donald E. (2009), Unitary reflection groups , Australian Mathematical Society Lecture Series, 20 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-74989-3, MR 2542964
Shephard, GC; Todd, JA (1954), „Konečné unitární reflexní skupiny“ , Canadian Journal of Mathematics , Canadian Mathematical Society, 6 : 274–304, doi : 10,4153/CJM-1954-028-3 , ISSN 0008-414X , MR 0059914
Coxeter , konečné skupiny generované jednotnými odrazy , 1966, 4. Grafický zápis , tabulka n-dimenzionálních skupin generovaných n jednotnými odrazy. s. 422–423

externí odkazy

Stránka MAGMA Computational Algebra System

Languages

In other projects