Věnec - Wreath product

V teorii skupin je produkt věnce speciální kombinací dvou skupin založených na polopřímém produktu . Je tvořen působením jedné skupiny na mnoho kopií jiné skupiny, něco podobného jako umocňování . Výrobky z věnců se používají při klasifikaci permutačních skupin a také poskytují způsob konstrukce zajímavých příkladů skupin.

Uvedené dvě skupiny a H (někdy známý jako dolní a horní ), existují dvě varianty věnec produktu: neomezený věnec produkt Wr H a omezené věnec produktu A wr H . Obecná forma, označená A Wr _ΩH nebo A wr _ΩH , používá množinu Ω s H- akcí ; když nespecifikováno, obvykle Ω = H ( běžný produkt věnce ), i když je někdy naznačen jiný Ω . Dvě varianty se shodují, když jsou A , H a Ω konečné. Buď je variace označena jako (s \ wr pro latexový symbol) nebo A ≀ H ( Unicode U + 2240). ${\ displaystyle A \ wr H}$

Pojem zobecňuje na semigroup a je ústřední konstrukcí v Krohn-Rhodesově strukturní teorii konečných semigroup.

Definice

Nechť A a H jsou skupiny a Ω množina, na kterou H působí (zleva). Nechť K je přímý produkt

{\ displaystyle K = \ prod _ {\ omega \ in \ Omega} A _ {\ omega}}

kopií A _ω : = A indexovaných množinou Ω. Na prvky K lze pohlížet jako na libovolné sekvence ( a _ω ) prvků A indexovaných pomocí Ω s násobením jednotlivých složek. Pak se působení H na Ω přirozeným způsobem rozšíří na působení H na skupinu K o

{\ displaystyle h (a _ {\ omega}): = (a_ {h ^ {- 1} \ omega}).}

Potom se neomezený věnec produkt Wr _ΩH z A o H je semidirect produkt K ⋊ H . Podskupina K z A Wr _WH se nazývá základní věnce produktu.

Produkt s omezeným věncem A wr _Ω H je konstruován stejným způsobem jako produkt s neomezeným věncem, kromě toho, že používá přímý součet

{\ displaystyle K = \ bigoplus _ {\ omega \ v \ Omega} A _ {\ omega}}

jako základna věncového produktu. V tomto případě jsou prvky K jsou sekvence ( _omega ) prvků v A indexovány w, z nichž všichni ale konečně mnoho o _ω , jsou totožnost prvek z A .

V nejběžnějším případě se vezme Ω: = H , kde H působí přirozeným způsobem na sebe levým násobením. V tomto případě je neomezený a omezenou věnec produkt může být označen A Wr H a wr H , resp. Toto se nazývá běžný produkt věnce.

Zápis a konvence

Struktura věncového produktu A podle H závisí na H- množině Ω a v případě, že Ω je nekonečný, záleží také na tom, zda se použije omezený nebo neomezený věnec. V literatuře však může být použitá notace nedostatečná a je třeba věnovat pozornost okolnostem.

V literatuře ≀ _ΩH se může stát pro neomezené věnec produktu Wr _ΩH nebo omezeného věnec produktu A wr _wH .
Podobně ≀ H se může stát pro neomezené pravidelné věnec produktu Wr H nebo omezeného pravidelné věnec produktu wr H .
V literatuře H může být -Set Ω vynechány zápisu, i když w ≠ H .
Ve zvláštním případě, že H = S _n je symetrická skupina stupně n , je v literatuře běžné předpokládat, že Ω = {1, ..., n } (s přirozeným působením S _n ) a pak vynechat Ω z zápis. To znamená, že A ≀ S _n běžně označuje A ≀ _{{1, ..., n }} S _n namísto běžného produktu věnce A ≀ _{S _n} S _n . V prvním případě je základní skupina produktem n kopií A , v druhém případě produktem n ! kopie A .

Vlastnosti

Dohoda neomezeného a omezeného produktu věnce na konečném Ω

Vzhledem k tomu, konečný přímý produkt je stejný jako konečný přímý součet skupin, z toho vyplývá, že neomezená Wr _ΩH a omezené věnec produkt WR _WH se shodují v případě, že H -Set? Je konečný. Zejména to platí, když Ω = H je konečný.

Podskupina

Wr _Ω H je vždy podskupina z A Wr _w H .

Mohutnost

Pokud jsou A , H a Ω konečné, pak

| A ≀ _Ω H | = | A | ^{| Ω |} | H |.

Věta o univerzálním vložení

Univerzální vkládání věta : Pokud G je rozšíření z A o H , pak existuje podskupinu neomezeném věnec produktu ≀ H , který je izomorfní s G . Toto je také známé jako věta o zúžení Krasner – Kaloujnine . Krohn-Rhodes teorém zahrnuje to, co je v podstatě pologrupa ekvivalent tohoto.

Kanonické akce věnců

Pokud skupina A působí na množinu Λ, existují dva kanonické způsoby konstrukce množin z Ω a Λ, na které může působit A Wr _Ω H (a tedy také A wr _Ω H ).

Imprimitive akce věnec produkt na lambda x w.
Pokud (( a _ω ), h ) ∈ A Wr _Ω H a ( λ , ω ′) ∈ Λ × Ω , pak
${\ displaystyle ((a _ {\ omega}), h) \ cdot (\ lambda, \ omega '): = (a_ {h (\ omega')} \ lambda, h \ omega ').}$
Akce primitivního věnce na Λ ^Ω .
Prvek v Λ ^Ω je sekvence ( λ _ω ) indexovaná H- sadou Ω. Vzhledem k prvku (( a _ω ), h ) ∈ A Wr _Ω H je jeho operace na ( λ _ω ) ∈ Λ ^Ω dána vztahem
${\ displaystyle ((a _ {\ omega}), h) \ cdot (\ lambda _ {\ omega}): = (a_ {h ^ {- 1} \ omega} \ lambda _ {h ^ {- 1} \ omega}).}$

Příklady

Skupina Lamplighter je omezený produkt věnce ℤ ₂ ≀ℤ.
$ℤ m ≀ S n$ ( zobecněná symetrická skupina ).

Základem tohoto věncového produktu je n -násobný přímý produkt

ℤ _mⁿ = ℤ _m × ... × ℤ _m

kopií ℤ _m, kde akce φ: S _n → Aut (ℤ _mⁿ ) symetrické skupiny S _n stupně n je dána vztahem

φ ( σ ) (α ₁ , ..., α _n ): = ( α _{σ (1)} , ..., α _{σ ( n )} ).

S ₂ ≀ S _n ( hyperoktaedrická skupina ).

Akce S _n na {1, ..., n } je uvedena výše. Protože symetrická skupina S ₂ stupně 2 je izomorfní s ℤ _2, hyperoktaedrická skupina je zvláštním případem zobecněné symetrické skupiny.

Nejmenší netriviální produkt věnce je ℤ ₂ ≀ℤ ₂ , což je dvourozměrný případ výše uvedené hyperoktaedrické skupiny. Jedná se o symetrickou skupinu čtverce, nazývanou také Dih ₄ , dihedrální skupina řádu 8.
Nechť p je prvočíslo a nechť n ≥1. Nechť P Be A Sylow p -subgroup symetrického skupiny S _{p ⁿ} . Pak P je izomorfní k iterated pravidelné věnec produkt W _n = ℤ _p ≀ ℤ _p ≀ ... ≀ℤ _p o n kopií ℤ _p . Zde W ₁ : = ℤ _p a W _k : = W _{k -1} ≀ℤ _p pro všechny k ≥ 2. Například Sylow 2-podskupina S ₄ je nad ℤ ₂ ≀ℤ ₂ skupina.

Skupina Rubikova kostka je podskupinou indexu 12 ve výrobku věncových produktů (ℤ ₃ ≀ S ₈ ) × (ℤ ₂ ≀ S ₁₂ ), což jsou faktory odpovídající symetrii 8 rohů a 12 hran.

Skupina transformací zachovávající platnost sudoku (VPT) obsahuje produkt s dvojitým věncem ( S ₃ ≀ S ₃ ) ≀ S ₂ , kde faktory jsou permutace řádků / sloupců ve 3řadém nebo 3sloupcovém pásmu nebo zásobníku ( S ₃ ), permutace samotných pásem / komínů ( S ₃ ) a transpozice, která zaměňuje pásma a komíny ( S ₂ ). Zde jsou sady indexů Ω množinou pásem (resp. Komínů) (| Ω | = 3) a množinou {pásem, komínů} (| Ω | = 2). V souladu s tím | S ₃ ≀ S ₃ | = | S ₃ | ³ | S ₃ | = (3!) ⁴ a | ( S ₃ ≀ S ₃ ) ≀ S ₂ | = | S ₃ ≀ S ₃ | ² | S ₂ | = (3!) ⁸ × 2.
Produkty věnců vznikají přirozeně ve skupině symetrie úplných zakořeněných stromů a jejich grafů . Například opakovaný (iterovaný) produkt věnce S ₂ ≀ S ₂ ≀ ... ≀ S ₂ je skupina automorfismu celého binárního stromu .

Reference

externí odkazy

Věnec produkt v encyklopedii matematiky .
Některé aplikace konstrukce věnec produktu . Archivovány 21. února 2014 na Wayback Machine

Languages

In other projects