Objednaný prsten - Ordered ring
V algebře , An objednal kruh je (obvykle komutativní ) kruh R s celkovým cílem ≤ tak, že pro všechny a , b , a c v R :
- pokud a ≤ b, pak a + c ≤ b + c .
- pokud 0 ≤ a a 0 ≤ b, pak 0 ≤ ab .
Příklady
Objednané prsteny jsou známé z aritmetiky . Příklady zahrnují celá čísla , racionální a reálná čísla . (Rationals a reals ve skutečnosti tvoří uspořádaná pole .) Komplexní čísla naopak netvoří uspořádaný kruh nebo pole, protože mezi prvky 1 a i neexistuje žádný inherentní řádový vztah .
Pozitivní prvky
Analogicky se skutečnými čísly nazýváme prvek c uspořádaného kruhu R kladný, pokud 0 < c , a záporný, pokud c <0. 0 není považován za kladný ani záporný.
Sada kladných prvků uspořádaného prstence R je často označována R + . Alternativní notace, upřednostňovaná v některých disciplínách, je použití R + pro sadu nezáporných prvků a R ++ pro sadu pozitivních prvků.
Absolutní hodnota
Pokud je prvek uspořádané prstence R , pak absolutní hodnota z , označené , je definován takto:
kde je aditivní inverzní funkce a 0 je prvek aditivní identity .
Diskrétní uspořádané prsteny
Diskrétní objednal kruh nebo diskrétně objednat kruh je uspořádaná kruh, ve kterém není žádný prvek, mezi 0 a 1. celá čísla jsou diskrétní objednané kruh, ale racionální čísla nejsou.
Základní vlastnosti
Pro všechny a , b a c v R :
- Pokud a ≤ b a 0 ≤ c , pak ac ≤ bc . Tato vlastnost se někdy používá k definování uspořádaných kruhů namísto druhé vlastnosti ve výše uvedené definici.
- | ab | = | a | | b |.
- Objednaný prsten, který není triviální, je nekonečný.
- Platí přesně jedna z následujících možností: a je kladné, - a je kladné, nebo a = 0. Tato vlastnost vyplývá ze skutečnosti, že uspořádané prstence jsou abelianské , lineárně uspořádané skupiny s ohledem na sčítání.
- V uspořádaném prstenci není žádný negativní prvek čtvercem. Je to proto, že pokud a ≠ 0 a a = b 2, pak b ≠ 0 a a = (- b ) 2 ; buď jako b nebo - b je pozitivní, musí být kladné číslo.
Viz také
- Objednané pole
- Objednaná skupina
- Objednaný topologický vektorový prostor
- Objednaný vektorový prostor
- Částečně objednané vyzvánění - Vyzvánění s kompatibilním částečným pořadí
- Částečně uspořádaný prostor - Částečně uspořádaný topologický prostor
- Rieszův prostor - částečně uspořádaný vektorový prostor, uspořádaný jako mříž
- Vektorové mříž
Poznámky
Seznam níže obsahuje odkazy na věty formálně ověřené projektem IsarMathLib .