Orthonormální základ - Orthonormal basis

V matematiky , zejména lineární algebry , což ortonormální báze i pro vnitřní prostor produkt V se konečný rozměr je základem pro V , jejichž vektory jsou ortonormální , to znamená, že jsou všechny jednotkové vektory a kolmé k sobě navzájem. Například standardní základ pro euklidovský prostor R ⁿ je ortonormální základ, kde relevantní vnitřní produkt je bodový produkt vektorů. Obraz standardního základu pod rotací nebo odraz (nebo jakýkoli ortogonální transformace ) je také ortonormální, a každý ortonormální báze pro R ⁿ vzniká tímto způsobem.

Pro obecný vnitřní produkt prostoru V , orthonormal báze mohou být použity pro definování normalizovány ortogonálních souřadnic na V . Pod těmito souřadnicemi se vnitřní produkt stane bodovým produktem vektorů. Proto přítomnost ortonormální báze snižuje studii o konečný-rozměrné vnitřní produktu prostoru ke studiu R ⁿ pod skalární součin. Každý konečný rozměrný vnitřní produktový prostor má ortonormální základ, který lze získat z libovolného základu pomocí Gram-Schmidtova procesu .

Ve funkční analýze lze koncept ortonormálního základu zobecnit na libovolné (nekonečně rozměrné) vnitřní produktové prostory . Vzhledem k pre-Hilbertovu prostoru H je ortonormální základ pro H ortonormální sada vektorů s vlastností, že každý vektor v H lze zapsat jako nekonečnou lineární kombinaci vektorů v základu. V tomto případě je ortonormální báze se někdy nazývá Hilbertovy základ pro H . Všimněte si, že ortonormální základ v tomto smyslu není obecně Hamelův základ , protože jsou vyžadovány nekonečné lineární kombinace. Konkrétně musí být lineární rozpětí základny husté v H , ale nemusí to být celý prostor.

Pokud půjdeme k Hilbertovým prostorům , nemusí být neortonormální sada vektorů se stejným lineárním rozpětím jako ortonormální základna vůbec základem. Například jakoukoli funkci integrovatelnou do čtverce na intervalu [-1,1] lze vyjádřit ( téměř všude ) jako nekonečný součet Legendrových polynomů (ortonormální základ), ale ne nutně jako nekonečný součet monomiálů x ⁿ .

Příklady

• Sada vektorů { e ₁ = (1, 0, 0) , e ₂ = (0, 1, 0) , e ₃ = (0, 0, 1) } (standardní základ) tvoří ortonormální základ R ³ .

  Důkaz: Jednoduchý výpočetní ukazuje, že vnitřní výrobky z těchto vektorů se rovná nule, ⟨ E ₁ , E ₂ ⟩ = ⟨ e ₁ , e ₃ ⟩ = ⟨ e ₂ , e ₃ ⟩ = 0 , a že každý z jejich rozsahu roven jedné, || e ₁ || = || e ₂ || = || e ₃ || = 1 . To znamená, že { e ₁ , e ₂ , e ₃ } je ortonormální množina. Všechny vektory ( x , y , z ) v R ³ může být vyjádřen jako součet bazických vektorů měřítkem

  ${\ displaystyle (x, y, z) = x \ mathbf {e} _ {1} + y \ mathbf {e} _ {2} + z \ mathbf {e} _ {3},}$

  takže { e ₁ , e ₂ , e ₃ } zahrnuje R ^3, a proto musí být základem. To může také být ukázáno, že standardně se otáčí okolo osy, procházející počátkem, nebo se odráží v rovině prostřednictvím forem původu orthonormal základ R ³ .

• Všimněte si, že ortogonální transformaci standardního prostoru vnitřního produktu lze použít ke konstrukci dalších ortogonálních základen . ${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {n}, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$
• Sada { f _n  : n ∈ Z } s f _n ( x ) = exp (2π inx ) tvoří ortonormální základ prostoru funkcí s konečnými Lebesgueovými integrály, L ² ([0,1]), vzhledem k 2-norm . To je zásadní pro studium Fourierových řad .
• Sada { e _b  : b ∈ B } s e _b ( c ) = 1, pokud b = c a 0 jinak tvoří ortonormální základ ℓ ² ( B ).
• Vlastní funkce vlastního problému Sturm – Liouville .
• Ortogonální matice je matice, jejíž sloupce vektory tvoří ortonormální set.

Základní vzorec

Pokud B je ortogonální základem H , pak každý prvek x z H , může být zapsán jako

${\ displaystyle x = \ sum _ {b \ v B} {\ frac {\ langle b, x \ rangle} {\ lVert b \ rVert ^ {2}}} b.}$

Když je B ortonormální, zjednoduší se to na

${\ displaystyle x = \ součet _ {b \ v B} \ langle b, x \ rangle b}$

a čtverec normy o x může být dán

${\ displaystyle \ | x \ | ^ {2} = \ součet _ {b \ v B} | \ langle x, b \ rangle | ^ {2}.}$

I když B je uncountable , bude pouze countably mnoho Výrazy použité v tomto součtu je nenulový, a výraz je tedy dobře definované. Tento součet se také nazývá Fourierova expanze z x a vzorec je obvykle známý jako Parseval identity .

Pokud B je ortonormální základ H , pak H je izomorfní s ℓ ² ( B ) v následujícím smyslu: existuje bijektivní lineární mapa Φ: H → ℓ ² ( B ) taková, že

${\ displaystyle \ langle \ Phi (x), \ Phi (y) \ rangle = \ langle x, y \ rangle}$

pro všechny x a y v H .

Neúplné ortogonální sady

Vzhledem k tomu, Hilbertova prostoru H a sadu S vzájemně ortogonálních vektorů v H , můžeme vzít nejmenší uzavřený lineární podprostoru V z H , který obsahuje S . Pak S bude ortogonální základna V ; což může být samozřejmě menší než samotná H , což je neúplná ortogonální množina, nebo může být H , pokud se jedná o úplnou ortogonální množinu.

Existence

Použitím Zornova lematu a Gram-Schmidtova procesu (nebo jednoduššího uspořádání a transfinitní rekurze) lze ukázat, že každý Hilbertův prostor připouští ortonormální základ; dále, kterékoli dvě ortonormální báze stejného prostoru mají stejnou mohutnost (lze to dokázat podobným způsobem jako důkaz věty o obvyklé dimenzi pro vektorové prostory , se samostatnými případy v závislosti na tom, zda je kandidát na větší základ spočetný nebo ne). Hilbertův prostor je oddělitelný právě tehdy, když připouští spočetnou ortonormální základnu. (Toto poslední tvrzení lze prokázat bez použití axiomu výběru).

Jako homogenní prostor

Sada ortonormálních bází pro prostor je hlavním homogenním prostorem pro ortogonální skupinu O ( n ) a nazývá se Stiefelův rozdělovač ortonormálních n- rámců . ${\ displaystyle V_ {n} (\ mathbf {R} ^ {n})}$

Jinými slovy, prostor ortonormálních bází je jako ortogonální skupina, ale bez volby základního bodu: vzhledem k ortogonálnímu prostoru neexistuje žádná přirozená volba ortonormálních bází, ale jakmile je jeden dán, existuje jedna k jedné - jedna korespondence mezi bázemi a ortogonální skupinou. Konkrétně je lineární mapa určena tím, kam posílá daný základ: stejně jako invertibilní mapa může vzít jakýkoli základ na jakýkoli jiný základ, ortogonální mapa může vzít jakýkoli ortogonální základ na jakýkoli jiný ortogonální základ.

Ostatní Stiefel potrubí pro z neúplných ortonormální báze (orthonormal k rámečky) jsou stále homogenní prostory pro ortogonální skupiny, nikoliv však hlavní homogenní prostory: všechna k -frame může být užíván k jiným K -frame pomocí ortogonální mapě, ale toto mapa není jednoznačně určena. ${\ displaystyle V_ {k} (\ mathbf {R} ^ {n})}$${\ displaystyle k <n}$

Viz také

• Základ (lineární algebra)
• Ortonormální rám
• Schauderův základ
• Celková sada

Reference

• Rudin, Walter (1991). Funkční analýza . International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (druhé vydání). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN   978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .