Set -teoretický limit - Set-theoretic limit

V matematiky je mez ze sekvence z množin ( podmnožin společného souboru ) je sada, jejíž prvky jsou daná sekvencí v jedné ze dvou rovnocenných způsoby: (1) od horní a dolní hranice, týkající se sekvencí, která se sbíhají monotónně na stejný soubor (analogický ke konvergenci sekvencí s reálnou hodnotou ) a (2) konvergencí posloupnosti funkcí indikátorů, které jsou samy o sobě reálné . Jak je tomu u sekvencí jiných objektů, konvergence není nutná nebo dokonce obvyklá. ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle X}$

Obecněji, opět analogicky k sekvencím se skutečnou hodnotou, méně omezující limitní infimum a limit supremum stanovené sekvence vždy existuje a může být použit k určení konvergence: limit existuje, pokud jsou limitní infimum a limit supremum totožné. (Viz. níže). Takto stanovené limity jsou zásadní v teorii opatření a pravděpodobnosti .

Je běžnou mylnou představou, že zde popsané limity infimum a supremum zahrnují množiny akumulačních bodů, tj. Množiny, kde je každý v některých. To platí pouze tehdy, je -li konvergence určena diskrétní metrikou (to znamená, pokud existuje taková, že pro všechny ). Tento článek je omezen na tuto situaci, protože je jediný relevantní pro teorii a pravděpodobnost měření. Viz příklady níže. (Na druhou stranu existují obecnější topologické představy o nastavené konvergenci , které zahrnují body akumulace pod různými metrikami nebo topologiemi .) ${\ Displaystyle x = \ lim _ {k \ to \ infty} x_ {k},}$${\ displaystyle x_ {k}}$${\ displaystyle A_ {n_ {k}}.}$${\ displaystyle x_ {n} \ to x}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle x_ {n} = x}$${\ Displaystyle n \ geq N}$

Definice

Dvě definice

Předpokládejme, že je to posloupnost sad. Dvě ekvivalentní definice jsou následující. ${\ Displaystyle \ left (A_ {n} \ right) _ {n = 1}^{\ infty}}$

• Pomocí spojení a průniku : definujte
  $${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n \ geq 1} \ bigcap _ {j \ geq n} A_ {j}}$$

  
  a
  $${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcap _ {n \ geq 1} \ bigcup _ {j \ geq n} A_ {j}}$$

  
  Pokud jsou tyto dvě sady stejné, pak limit teoretické množiny posloupnosti existuje a je roven této společné sadě. K získání limitu lze použít buď sadu, jak je popsáno výše, a pro získání limitu mohou existovat i jiné způsoby.${\ displaystyle A_ {n}}$
• Pomocí funkcí indikátoru : nechte rovné, pokud a jinak. Definovat${\ displaystyle \ mathbb {1} _ {A_ {n}} (x)}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle x \ v A_ {n},}$${\ displaystyle 0}$
  $${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ left \ {x \ in X: \ liminf _ {n \ to \ infty} \ mathbb {1} _ {A_ {n}} ( x) = 1 \ vpravo \}}$$

  
  a
  $${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ left \ {x \ in X: \ limsup _ {n \ to \ infty} \ mathbb {1} _ {A_ {n}} ( x) = 1 \ vpravo \},}$$

  
  kde výrazy v závorkách vpravo jsou mezní infimum a limit supremum sekvence s reálnou hodnotou Opět platí, že pokud jsou tyto dvě sady stejné, pak existuje set-teoretický limit posloupnosti a je stejný jako společný nastavit, a buď nastavit, jak je popsáno výše, lze použít k získání limitu.${\ Displaystyle \ mathbb {1} _ {A_ {n}} (x).}$${\ displaystyle A_ {n}}$

Chcete -li vidět ekvivalenci definic, zvažte limit infimum. Použití níže uvedeného De Morganova zákona vysvětluje, proč to stačí pro limitní supremum. Vzhledem k tomu, že funkce indikátorů nabývají pouze hodnot a pouze tehdy, pokud nabývají hodnoty pouze konečně mnohokrát. Ekvivalentně, tehdy a jen tehdy, pokud existuje taková, že element je pro každý což znamená tehdy, když pouze konečně mnoho Proto je v právě tehdy, když je ve všech ale konečně mnoha Z tohoto důvodu zkráceného výrazu protože limit infimum je „ je ve všem, ale nakonec často“, obvykle se vyjadřuje psaním „ abfo“. ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1,}$ ${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} \ mathbb {1} _ {A_ {n}} (x) = 1}$${\ displaystyle \ mathbb {1} _ {A_ {n}} (x)}$${\ displaystyle 0}$${\ textstyle x \ in \ bigcup _ {n \ geq 1} \ bigcap _ {j \ geq n} A_ {j}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A_ {m}}$${\ Displaystyle m \ geq n,}$${\ displaystyle x \ not \ v A_ {n}}$${\ Displaystyle n.}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A_ {n}.}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle A_ {n}}$

Podobně je prvek v mezním supremu, pokud bez ohledu na to, jak velký je, existuje takový, že prvek je v To znamená, že je v limitním supremu právě tehdy, když je v nekonečně mnoha Z tohoto důvodu zkrácená fráze pro limit supremum je „ je nekonečně často“, obvykle se vyjadřuje psaním „ io“. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle m \ geq n}$${\ displaystyle A_ {m}.}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A_ {n}.}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle A_ {n}}$

Jinak řečeno, limitní infimum se skládá z prvků, které „nakonec zůstanou navždy“ (jsou v každé sadě po některých ), zatímco limitní supremum se skládá z prvků, které „nikdy neopouštějí navždy“ (jsou v nějaké množině po každém ). ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

Monotónní sekvence

Sekvence se říká, že se nezvyšuje, pokud pro každý, a neklesá, pokud pro každý V každém z těchto případů existuje nastavený limit. Uvažujme například o nezvětšující se sekvenci Then ${\ displaystyle \ left (A_ {n} \ right)}$${\ displaystyle A_ {n+1} \ subseteq A_ {n}}$${\ displaystyle n,}$${\ displaystyle A_ {n} \ subseteq A_ {n+1}}$${\ Displaystyle n.}$${\ Displaystyle \ left (A_ {n} \ right).}$

Z toho vyplývá, že Podobně, pokud je neklesající, pak ${\ displaystyle \ left (A_ {n} \ right)}$

Vlastnosti

• Pokud hranice as jde do nekonečna, existuje pro všechny pak${\ displaystyle \ mathbb {1} _ {A_ {n}} (x),}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x}$
  $${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ left \ {x \ in X: \ lim _ {n \ to \ infty} \ mathbb {1} _ {A_ {n}} ( x) = 1 \ vpravo \}.}$$

  
  Jinak limit pro neexistuje.${\ displaystyle \ left (A_ {n} \ right)}$
• Lze ukázat, že mezní infimum je obsaženo v limit supremum:
  $${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} \ subseteq \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n},}$$

  
  například jednoduše tím, že pozorujeme, že vše, ale nakonec často, znamená nekonečně často.${\ displaystyle x \ v A_ {n}}$${\ displaystyle x \ v A_ {n}}$
• Použití monotónnost z a na${\ textstyle B_ {n} = \ bigcap _ {j \ geq n} A_ {j}}$${\ textstyle C_ {n} = \ bigcup _ {j \ geq n} A_ {j},}$
  $${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ bigcap _ {j \ geq n} A_ {j} \ quad {\ text {and}} \ quad \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ bigcup _ {j \ geq n} A_ {j}.}$$

  
• Použitím De Morganova zákona dvakrát, s nastaveným doplňkem ${\ Displaystyle A^{c}: = X \ setminus A,}$
  $${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n} \ left (\ bigcup _ {j \ geq n} A_ {j}^{c} \ right)^{c } = \ left (\ bigcap _ {n} \ bigcup _ {j \ geq n} A_ {j}^{c} \ right)^{c} = \ left (\ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n}^{c} \ right)^{c}.}$$

  
  To znamená, že všechno, ale nakonec často, je stejné jako nakonec často.${\ displaystyle x \ v A_ {n}}$${\ displaystyle x \ not \ v A_ {n}}$
• Z druhé výše uvedené definice a definic pro limitní infimum a limit supremum sekvence s reálnou hodnotou,
  $${\ Displaystyle \ mathbb {1} _ {\ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n}} (x) = \ liminf _ {n \ to \ infty} \ mathbb {1} _ {A_ {j} } (x) = \ sup _ {n \ geq 1} \ inf _ {j \ geq n} \ mathbb {1} _ {A_ {j}} (x)}$$

  
  a
  $${\ Displaystyle \ mathbb {1} _ {\ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n}} (x) = \ limsup _ {n \ to \ infty} \ mathbb {1} _ {A_ {j} } (x) = \ inf _ {n \ geq 1} \ sup _ {j \ geq n} \ mathbb {1} _ {A_ {j}} (x).}$$

  
• Předpokládejme, že je 𝜎-algebra podmnožin To znamená, že je neprázdná a je uzavřena pod komplementem a pod svazky a průsečíky spočítatelně mnoha množin. Potom podle první definice výše, pokud každý, pak oba a jsou prvky${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle A_ {n} \ v {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n}}$${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$

Příklady

• Nechte pak${\ Displaystyle A_ {n} = \ left (-{\ frac {1} {n}}, 1-{\ frac {1} {n}} \ right].}$
  $${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n} \ bigcap _ {j \ geq n} \ left (-{\ frac {1} {j}}, 1- {\ frac {1} {j}} \ right] = \ bigcup _ {n} \ left [0,1-{\ frac {1} {n}} \ right] = [0,1)}$$

  
  a
  $${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcap _ {n} \ bigcup _ {j \ geq n} \ left (-{\ frac {1} {j}}, 1- {\ frac {1} {j}} \ right] = \ bigcap _ {n} \ left (-{\ frac {1} {n}}, 1 \ right) = [0,1).}$$

  
  Takže existuje.${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} A_ {n} = [0,1)}$
• Změňte předchozí příklad na Then${\ Displaystyle A_ {n} = \ left ({\ frac {(-1)^{n}} {n}}, 1-{\ frac {(-1)^{n}} {n}} \ vpravo ].}$
  $${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n} \ bigcap _ {j \ geq n} \ left ({\ frac {(-1)^{j}} { j}}, 1-{\ frac {(-1)^{j}} {j}} \ right] = \ bigcup _ {n} \ left ({\ frac {1} {2n}}, 1- { \ frac {1} {2n}} \ right] = (0,1)}$$

  
  a
  $${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcap _ {n} \ bigcup _ {j \ geq n} \ left ({\ frac {(-1)^{j}} { j}}, 1-{\ frac {(-1)^{j}} {j}} \ right] = \ bigcap _ {n} \ left (-{\ frac {1} {2n-1}}, 1+{\ frac {1} {2n-1}} \ right] = [0,1].}$$

  
  Takže neexistuje, a to navzdory skutečnosti, že levá a pravá koncové body v intervalech konvergují k 0 a 1, resp.${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} A_ {n}}$
• Nechte pak${\ Displaystyle A_ {n} = \ left \ {0, {\ frac {1} {n}}, {\ frac {2} {n}}, \ ldots, {\ frac {n-1} {n} }, 1 \ vpravo \}.}$
  $${\ Displaystyle \ bigcup _ {j \ geq n} A_ {j} = \ mathbb {Q} \ cap [0,1]}$$

  
  (což jsou všechna racionální čísla mezi 0 a 1 včetně), protože i pro a je prvkem výše uvedeného. Proto,${\ Displaystyle j <n}$${\ Displaystyle 0 \ leq k \ leq j,}$ ${\ displaystyle {\ frac {k} {j}} = {\ frac {nk} {nj}}}$
  $${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ mathbb {Q} \ cap [0,1].}$$

  
  Na druhou stranu,
  $${\ Displaystyle \ bigcap _ {j \ geq n} A_ {j} = \ {0,1 \},}$$

  
  což znamená
  $${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ {0,1 \}.}$$

  
  V tomto případě sekvence nemá omezení. Všimněte si, že to není sada akumulačních bodů, což by byl celý interval (podle obvyklé euklidovské metriky ).${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} A_ {n}}$${\ Displaystyle [0,1]}$

Pravděpodobnost použití

Nastavené limity, zejména limitní infimum a limit supremum, jsou zásadní pro teorii pravděpodobnosti a míry . Tyto limity se používají k výpočtu (nebo prokázání) pravděpodobností a opatření jiných, účelnějších sad. V následujícím textu, je pravděpodobnostní prostor , což znamená, že je σ-algebry podmnožin a je míra pravděpodobnosti definovaný v tomto -algebra. Sady v σ-algebře jsou známé jako události . ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$

If je monotónní sled událostí v pak existuje a ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} A_ {n}}$

Lema Borel – Cantelli

Pravděpodobně mohou být dvě lemata Borel -Cantelli užitečná pro ukázání, že limsup sekvence událostí má pravděpodobnost rovnou 1 nebo 0. Výrok prvního (původního) Borel -Cantelliho lemmatu je

Druhé lemma Borel -Cantelli je částečným opakem:

Téměř jistá konvergence

Jednou z nejdůležitějších aplikací pravděpodobnosti je demonstrace téměř jisté konvergence posloupnosti náhodných proměnných . Událost, že posloupnost náhodných proměnných konverguje k jiné náhodné proměnné, je formálně vyjádřena jako. Bylo by však chybou psát to jednoduše jako souhrn událostí. To znamená, že to není událost ! Místo toho je doplněk akce ${\ displaystyle Y_ {1}, Y_ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle Y}$${\ textstyle \ left \ {\ limsup _ {n \ to \ infty} \ left | Y_ {n} -Y \ right | = 0 \ right \}.}$${\ textstyle \ limsup _ {n \ to \ infty} \ left \ {\ left | Y_ {n} -Y \ right | = 0 \ right \}}$

Proto,

Viz také

• Seznam množin identit a vztahů  - Rovnosti a vztahy, které zahrnují množiny a funkce
• Teorie množin  - obor matematiky, který studuje množiny

Reference