Speciální pravý trojúhelník - Special right triangle

Pozice některých speciálních trojúhelníků v Eulerově diagramu typů trojúhelníků pomocí definice, že rovnoramenné trojúhelníky mají alespoň dvě stejné strany, tj. Rovnostranné trojúhelníky jsou rovnoramenné.

Speciální pravoúhlý trojúhelník je pravoúhlý trojúhelník s nějakou pravidelnou funkci, která provádí výpočty na trojúhelník jednodušší, nebo u nichž existuje jednoduché vzorce. Například pravý trojúhelník může mít úhly, které tvoří jednoduché vztahy, například 45 ° –45 ° –90 °. Tomu se říká pravý trojúhelník „založený na úhlu“. „Postranní“ pravý trojúhelník je takový, ve kterém délky stran tvoří poměry celých čísel , například 3: 4: 5, nebo jiných speciálních čísel, jako je zlatý řez . Znalost vztahů úhlů nebo poměrů stran těchto speciálních pravoúhlých trojúhelníků umožňuje rychle vypočítat různé délky geometrických problémů, aniž by se uchýlil k pokročilejším metodám.

Na základě úhlu

Pro vizualizaci a zapamatování trigonometrických funkcí násobků 30 a 45 stupňů jsou užitečné speciální trojúhelníkové trojúhelníky zapsané do jednotkové kružnice .

Speciální úhlové trojúhelníky „založené na úhlu“ jsou určeny vztahy úhlů, ze kterých je trojúhelník složen. Úhly těchto trojúhelníků jsou takové, že větší (pravý) úhel, který je 90 stupňů nebo π / 2 radiánů , se rovná součtu ostatních dvou úhlů.

Délky stran se obecně odvodí na základě jednotkové kružnice nebo jiných geometrických metod. Tento přístup lze použít k rychlé reprodukci hodnot trigonometrických funkcí pro úhly 30 °, 45 ° a 60 °.

Při výpočtu běžných trigonometrických funkcí se používají speciální trojúhelníky, jak je uvedeno níže:

45 ° –45 ° –90 °

30 ° –60 ° –90 °

Trojúhelník 45 ° –45 ° –90 °, trojúhelník 30 ° –60 ° –90 ° a rovnostranný / ekviangulární (60 ° –60 ° –60 °) trojúhelník jsou tři Möbiovy trojúhelníky v rovině, což znamená, že mozaikovat rovinu pomocí odrazů na jejich stranách; viz skupina trojúhelníků .

45 ° –45 ° –90 ° trojúhelník

Nastavit čtverec

Boční délky trojúhelníku 45 ° –45 ° –90 °

V rovinné geometrii má konstrukce úhlopříčky čtverce za následek trojúhelník, jehož tři úhly jsou v poměru 1: 1: 2, sčítáním až 180 ° nebo π radiánů. Úhly tudíž měří 45 ° ( π / 4 ), 45 ° ( π / 4 ) a 90 ° ( π / 2 ). Strany v tomto trojúhelníku jsou v poměru 1: 1:  √ 2 , což bezprostředně vyplývá z Pythagorovy věty .

Ze všech pravoúhlých trojúhelníků má trojúhelník 45 ° –45 ° –90 ° nejmenší poměr přepony k součtu nohou, a to √ 2 / 2 . a největší poměr výšky od přepony k součtu nohou, a to √ 2 / 4 .

Trojúhelníky s těmito úhly jsou jediné možné pravé trojúhelníky, které jsou také rovnoramennými trojúhelníky v euklidovské geometrii . Ve sférické geometrii a hyperbolické geometrii však existuje nekonečně mnoho různých tvarů pravoúhlých trojúhelníků.

30 ° –60 ° –90 ° trojúhelník

Nastavit čtverec

Délky stran trojúhelníku 30 ° –60 ° –90 °

Jedná se o trojúhelník, jehož tři úhly jsou v poměru 1: 2: 3 a příslušně měří 30 ° ( π / 6 ), 60 ° ( π / 3 ) a 90 ° ( π / 2 ). Strany jsou v poměru 1:  √ 3  : 2.

Důkaz této skutečnosti je jasný pomocí trigonometrie . Geometrický důkaz:

Nakreslete rovnostranný trojúhelník ABC s délkou strany 2 as bodem D jako středem segmentu BC . Draw nadmořské výšky řádku A až D . Potom ABD je trojúhelník 30 ° –60 ° –90 ° s přeponou délky 2 a základním BD délky 1.

Skutečnost, že zbývající noha AD má délku √ 3, vyplývá okamžitě z Pythagorovy věty .

Trojúhelník 30 ° –60 ° –90 ° je jediný pravý trojúhelník, jehož úhly jsou v aritmetické posloupnosti . Důkaz této skutečnosti je jednoduchý a navazuje na skutečnost, že pokud jsou α , α + δ , α + 2 δ úhly v postupu, pak součet úhlů 3 α + 3 δ = 180 °. Po vydělení 3 musí být úhel α + δ 60 °. Pravý úhel je 90 °, zbývající úhel je 30 °.

Postranní

Pravoúhlé trojúhelníky, jejichž strany jsou celočíselné délky, přičemž po stranách souhrnně známých jako Pythagorovy trojicích , mají úhly, které mohou být všechny racionální čísla ze stupňů . (Vyplývá to z Nivenovy věty .) Jsou nejužitečnější v tom, že si je lze snadno zapamatovat a jakýkoli počet stran vytváří stejný vztah. Při použití Euklidova vzorce pro generování pythagorovských trojek musí být strany v poměru

m ² - n ²  : 2 mn  : m ² + n ²

kde m a n jsou libovolná kladná celá čísla taková, že m > n .

Společné Pythagorovy trojice

Existuje několik pythagorejských trojic, které jsou dobře známé, včetně těch s poměry stran:

3:	4	: 5
5:	12	: 13
8:	15	: 17
7:	24	: 25
9:	40	: 41

Trojúhelníky 3: 4: 5 jsou jediné pravé trojúhelníky s hranami v aritmetickém postupu . Trojúhelníky založené na Pythagorových trojcích jsou heronské , což znamená, že mají celočíselnou plochu i celočíselné strany.

Možné použití trojúhelníku 3: 4: 5 ve starověkém Egyptě , s předpokládaným použitím uzlového lana k vyložení takového trojúhelníku, a otázka, zda byla v té době známa Pythagorova věta, byly hodně diskutovány. Poprvé to předpokládal historik Moritz Cantor v roce 1882. Je známo, že ve starověkém Egyptě byly přesně vytyčeny pravé úhly; že jejich inspektoři používali k měření lana; že Plútarchos zaznamenal v Isis a Osiris (kolem 100 n. l.), že Egypťané obdivovali trojúhelník 3: 4: 5; a že berlínský papyrus 6619 z egyptského Středního království (před rokem 1700 př. n. l.) uvedl, že „plocha čtverce 100 se rovná ploše dvou menších čtverců. Strana jednoho je ½ + ¼ strana druhého. " Historik matematiky Roger L. Cooke poznamenává, že „Je těžké si představit, že by se někdo o takové podmínky zajímal, aniž by znal Pythagorovu větu.“ Cooke proti tomu poznamenává, že žádný egyptský text před rokem 300 před naším letopočtem ve skutečnosti nezmiňuje použití věty k určení délky stran trojúhelníku a že existují jednodušší způsoby, jak vytvořit pravý úhel. Cooke dochází k závěru, že Cantorova domněnka zůstává nejistá: tvrdí, že staří Egypťané pravděpodobně znali Pythagorovu větu, ale že „neexistují důkazy o tom, že ji použili ke konstrukci pravých úhlů“.

Níže jsou uvedeny všechny Pythagorovy trojité poměry vyjádřené v nejnižší formě (nad pěti nejmenšími v nejnižší formě ve výše uvedeném seznamu) s oběma stranami bez přepony menšími než 256:

11:	60	: 61
12:	35	: 37
13:	84	: 85
15:	112	: 113
16:	63	: 65
17:	144	: 145
19:	180	: 181
20:	21	: 29
20:	99	: 101
21:	220	: 221

Téměř rovnoramenní Pythagorovy trojice

Rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky nemohou mít strany s celočíselnými hodnotami, protože poměr přepony k druhé straně je √ 2 a √ 2 nelze vyjádřit jako poměr dvou celých čísel . Existuje však nekonečně mnoho téměř rovnoramenných pravoúhlých trojúhelníků. Jedná se o pravoúhlé trojúhelníky s celočíselnými stranami, u nichž se délky okrajů bez přepony liší o jednu. Tyto téměř rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky lze získat rekurzivně,

a ₀ = 1, b ₀ = 2

a _n = 2 b _{n −1} + a _{n −1}

b _n = 2 a _n + b _{n −1}

a _n je délka přepony, n = 1, 2, 3, .... Ekvivalentně,

${\ displaystyle ({\ tfrac {x-1} {2}}) ^ {2} + ({\ tfrac {x + 1} {2}}) ^ {2} = y ^ {2}}$

kde { x , y } jsou řešení Pellovy rovnice x ² - 2 y ² = −1 , přičemž přepona y jsou liché členy Pellových čísel 1 , 2, 5 , 12, 29 , 70, 169 , 408, 985 , 2378 ... (sekvence A000129 v OEIS ) .. Nejmenší výsledné trojité pythagorovské trojky jsou:

3:	4	: 5
20:	21	: 29
119:	120	: 169
696:	697	: 985
4059:	4 060	: 5 741
23 660:	23 661	: 33 461
137 903:	137 904	: 195 025
803 760:	803 761	: 1 136 689
4 684 659:	4 684 660	: 6 625 109

Alternativně mohou být stejné trojúhelníky odvozeny od čtvercových trojúhelníkových čísel .

Aritmetické a geometrické průběhy

Kepler trojúhelník je pravoúhlý trojúhelník tvořený třemi čtverce s oblastí, v geometrické řadě podle zlatého řezu .

Keplerův trojúhelník je pravý trojúhelník, jehož strany jsou v geometrické posloupnosti . Pokud jsou strany vytvořeny z geometrického postupu a , ar , ar ^2, pak jeho společný poměr r je dán r = √ φ, kde φ je zlatý poměr . Jeho strany jsou proto v poměru 1: √ φ  : φ . Tvar Keplerova trojúhelníku je tedy jednoznačně určen (až do měřítka) požadavkem, aby jeho strany byly v geometrické posloupnosti.

Trojúhelník 3–4–5 je jedinečný pravý trojúhelník (do měřítka), jehož strany jsou v aritmetickém pořadí .

Boky pravidelných mnohoúhelníků

Boky pětiúhelníku, šestiúhelníku a desetiúhelníku vepsané do shodných kruhů tvoří pravý trojúhelník

Nechť a = 2 sin  π / 10 = −1 + √ 5 / 2 = 1 / φ být délka strany pravidelného desetiúhelníku zapsaného do jednotkové kružnice, kde φ je zlatý řez. Nechť b = 2 sin  π / 6 = 1 je délka strany pravidelného šestiúhelníku v jednotkové kružnici a nechme c = 2 sin  π / 5 = ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {5 - {\ sqrt {5}}} {2}}}}$ délka strany pravidelného pětiúhelníku v jednotkové kružnici. Pak a ² + b ² = c ² , takže tyto tři délky tvoří strany pravoúhlého trojúhelníku. Stejný trojúhelník tvoří polovinu zlatého obdélníku . Lze jej také najít v pravidelném dvacetistěnu délky strany c : nejkratší úsečka z jakéhokoli vrcholu V k rovině jejích pěti sousedů má délku a a koncové body tohoto úsečky spolu s kterýmkoli ze sousedů V tvoří vrcholy pravoúhlého trojúhelníku se stranami a , b a c .

Viz také

• Celočíselný trojúhelník
• Theodorova spirála

Reference

externí odkazy

• Trojúhelník 3: 4: 5
• 30–60–90 trojúhelník
• Trojúhelník 45–45–90  - s interaktivními animacemi