Stokesův tok - Stokes flow

Předmět pohybující se plynem nebo kapalinou zažívá sílu v opačném směru než jeho pohyb. Koncové rychlosti je dosaženo, když je tažná síla stejná ve velikosti, ale opačná ve směru síly, která pohání předmět. Zobrazena je koule v proudu Stokes, na velmi nízkém Reynoldsově čísle .

Stokesův tok (pojmenovaný podle George Gabriela Stokese ), také nazývaný plazivý tok nebo plazivý pohyb , je typem toku tekutiny, kde jsou advektivní setrvačné síly ve srovnání s viskózními silami malé . Reynoldsovo číslo je nízká, tj . Toto je typická situace v proudech, kde jsou rychlosti kapalin velmi pomalé, viskozity velmi velké nebo délkové stupnice toku velmi malé. Plazivý tok byl nejprve studován, aby porozuměl mazání . V přírodě se tento typ toku vyskytuje při plavání mikroorganismů , spermií a toku lávy . V technologii se vyskytuje v barvách , zařízeních MEMS a v toku viskózních polymerů obecně. ${\ Displaystyle \ mathrm {Re} \ ll 1}$

Rovnice pohybu pro Stokes toku, volal Stokesovy rovnice, jsou linearizace z Navier-Stokesových , a tak může být řešen řadou dobře známých metod pro lineární diferenciální rovnice. Primární Greenovou funkcí Stokesova toku je Stokeslet , který je spojen s jednotnou bodovou silou vloženou do Stokesova toku. Z jeho derivátů lze získat další zásadní řešení . Stokeslet byl poprvé odvozen Oseenem v roce 1927, ačkoli nebyl takto pojmenován až do roku 1953 Hancockem. Uzavřená základní řešení generalizovaných nestabilních toků Stokes a Oseen spojená s libovolnými časově závislými translačními a rotačními pohyby byla odvozena pro newtonovské a mikropolární tekutiny.

Stokesovy rovnice

Pohybovou rovnici pro Stokesův tok lze získat linearizací rovnovážných stavových Navier-Stokesových rovnic . Setrvačné síly jsou považovány za zanedbatelné ve srovnání s viskózními silami a odstranění setrvačných podmínek rovnováhy hybnosti v Navier -Stokesových rovnicích ji sníží na bilanci hybnosti v Stokesových rovnicích:

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ sigma +\ mathbf {f} = {\ boldsymbol {0}}}$

kde je napětí (součet viskózních a tlakových napětí) a aplikovaná tělesná síla. Úplné Stokesovy rovnice také zahrnují rovnici pro zachování hmotnosti , běžně psanou ve tvaru: ${\ Displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečné \ rho} {\ částečné t}}+\ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0}$

kde je hustota tekutiny a rychlost tekutiny. K získání pohybových rovnic pro nestlačitelný tok se předpokládá, že hustota , je konstanta. ${\ Displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ Displaystyle \ rho}$

Kromě toho lze příležitostně uvažovat o nestabilních Stokesových rovnicích, ve kterých je výraz přidán na levou stranu rovnice rovnováhy hybnosti. ${\ Displaystyle \ rho {\ frac {\ částečné \ mathbf {u}} {\ částečné t}}}$

Vlastnosti

Stokesovy rovnice představují značné zjednodušení celých Navier -Stokesových rovnic , zejména v nestlačitelném newtonovském případě. Jedná se o přední pořadí zjednodušení plných Navier-Stokesových rovnic, platné ve význačné limitu ${\ Displaystyle \ mathrm {Re} \ až 0.}$

Okamžitost

Tok Stokes není závislý na čase jinak než prostřednictvím časově závislých okrajových podmínek . To znamená, že vzhledem k okrajovým podmínkám Stokesova toku lze tok nalézt bez znalosti toku kdykoli jindy.

Časová reverzibilita

Okamžitý důsledek okamžitosti, časová reverzibilita znamená, že časově obrácený Stokesův tok řeší stejné rovnice jako původní Stokesův tok. Tuto vlastnost lze někdy použít (ve spojení s linearitou a symetrií v okrajových podmínkách) k odvození výsledků toku bez jeho úplného vyřešení. Časová reverzibilita znamená, že je obtížné míchat dvě tekutiny pomocí plazivého toku.

Časová reverzibilita Stokesových toků: Barvivo bylo vstříknuto do viskózní kapaliny vložené mezi dva soustředné válce (horní panel). Jádrový válec se pak otáčí, aby se při pohledu shora barvivo stříhalo do spirály. Zdá se, že barvivo je smícháno s tekutinou při pohledu ze strany (střední panel). Otáčení se pak obrátí a uvede válec do původní polohy. Barvivo se „rozmixuje“ (spodní panel). Zvrat není dokonalý, protože dochází k určité difúzi barviva.

Zatímco tyto vlastnosti platí pro nestlačitelné toky Newtonian Stokes, nelineární a někdy na čase závislá povaha nenewtonských tekutin znamená, že v obecnějším případě neplatí.

Stokesův paradox

Zajímavá vlastnost Stokesova toku je známá jako Stokesův paradox : že nemůže existovat žádný Stokesův tok tekutiny kolem disku ve dvou dimenzích; nebo ekvivalentně skutečnost, že neexistuje žádné netriviální řešení pro Stokesovy rovnice kolem nekonečně dlouhého válce.

Ukázka zvratnosti času

Systém Taylor -Couette může vytvářet laminární toky, ve kterých se soustředné válce tekutiny pohybují kolem sebe ve zjevné spirále. Tekutina, jako je kukuřičný sirup s vysokou viskozitou, vyplňuje mezeru mezi dvěma válci, přičemž barevné oblasti tekutiny jsou viditelné přes průhledný vnější válec. Válce se vzájemně otáčejí nízkou rychlostí, což spolu s vysokou viskozitou tekutiny a tenkostí mezery dává nízké Reynoldsovo číslo , takže zdánlivé míchání barev je ve skutečnosti laminární a lze jej pak obrátit přibližně na počáteční stav. To vytváří dramatickou ukázku zdánlivého míchání tekutiny a následného rozmixování obrácením směru směšovače.

Nestlačitelný tok newtonovských tekutin

V běžném případě nestlačitelné newtonovské tekutiny mají Stokesovy rovnice (vektorizovanou) formu:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ mu \ nabla ^{2} \ mathbf {u} -{\ boldsymbol {\ nabla}} p+\ mathbf {f} & = {\ boldsymbol {0}} \\ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {u} & = 0 \ end {zarovnaný}}}$

kde je rychlost tekutiny, gradient tlaku , dynamická viskozita a použitá tělesná síla. Výsledné rovnice jsou lineární v rychlosti a tlaku, a proto mohou využívat výhody různých řešení lineárních diferenciálních rovnic. ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} p}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$

Kartézské souřadnice

Když je vektor rychlosti rozšířen a podobně jako vektor síly těla , můžeme vektorovou rovnici napsat explicitně, ${\ Displaystyle \ mathbf {u} = (u, v, w)}$${\ Displaystyle \ mathbf {f} = (f_ {x}, f_ {y}, f_ {z})}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ mu \ left ({\ frac {\ částečná ^{2} u} {\ částečná x ^{2}}}+{\ frac {\ částečná ^{2} u} { \ částečné y^{2}}}+{\ frac {\ částečné^{2} u} {\ částečné z^{2}}} \ vpravo)-{\ frac {\ částečné p} {\ částečné x}} +f_ {x} & = 0 \\\ mu \ vlevo ({\ frac {\ částečný ^{2} v} {\ částečný x ^{2}}}+{\ frac {\ částečný ^{2} v} {\ částečné y^{2}}}+{\ frac {\ částečné^{2} v} {\ částečné z^{2}}} \ vpravo)-{\ frac {\ částečné p} {\ částečné y} }+f_ {y} & = 0 \\\ mu \ vlevo ({\ frac {\ částečný ^{2} w} {\ částečný x ^{2}}}+{\ frac {\ částečný ^{2} š } {\ částečné y^{2}}}+{\ frac {\ částečné^{2} w} {\ částečné z^{2}}} \ vpravo)-{\ frac {\ částečné p} {\ částečné z }}+f_ {z} & = 0 \\ {\ částečný u \ přes \ částečný x}+{\ částečný v \ nad \ částečný y}+{\ částečný w \ přes \ částečný z} & = 0 \ konec { zarovnaný}}}$

K těmto rovnicím dospějeme vytvořením předpokladů, že hustota je konstantní. ${\ Displaystyle \ mathbb {P} = \ mu \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u} +({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u})^{\ mathsf {T} } \ right) -p \ mathbb {I}}$${\ Displaystyle \ rho}$

Metody řešení

Podle funkce streamu

Rovnici pro nestlačitelný tok Newtonian Stokes lze vyřešit metodou proudové funkce v rovinných nebo v 3-D osově symetrických případech

Typ funkce	Geometrie	Rovnice	Komentáře
Streamovací funkce ,${\ Displaystyle \ psi}$	2-D planární	${\ Displaystyle \ nabla ^{4} \ psi = 0}$nebo ( biharmonická rovnice ) ${\ Displaystyle \ Delta ^{2} \ psi = 0}$	${\ displaystyle \ Delta}$je Laplaciánský operátor ve dvou rozměrech
Funkce Stokes stream ,${\ displaystyle \ Psi}$	3-D sférický	${\ Displaystyle E^{2} \ Psi = 0,}$ kde ${\ Displaystyle E = {\ částečná^{2} \ přes \ částečná r^{2}}+{\ sin {\ theta} \ přes r^{2}} {\ částečná \ přes \ částečná \ theta} \ vlevo ({1 \ over \ sin {\ theta}} {\ částečné \ přes \ částečné \ theta} \ vpravo)}$	Odvození operátoru viz funkce Stokes stream#Vorticity${\ displaystyle E}$
	3-D válcový	${\ Displaystyle L _ {-1}^{2} \ Psi = 0,}$ kde ${\ Displaystyle L _ {-1} = {\ frac {\ částečná ^{2}} {\ částečná z ^{2}}}+{\ frac {\ částečná ^{2}} {\ částečná \ rho ^{2 }}}-{\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ částečný} {\ částečný \ rho}}}$	Pro viz ${\ displaystyle L _ {-1}}$

Podle Greenovy funkce: Stokeslet

Linearita Stokes rovnic v případě nestlačitelné newtonovské tekutiny znamená, že funkce Greenova , existuje. Greenovu funkci lze nalézt řešením Stokesových rovnic s nuceným termínem nahrazeným bodovou silou působící na počátku a okrajovými podmínkami mizícími v nekonečnu: ${\ displaystyle \ mathbb {J} (\ mathbf {r})}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ mu \ nabla ^{2} \ mathbf {u} -{\ boldsymbol {\ nabla}} p & = -\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ delta} (\ mathbf {r}) \\ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {u} & = 0 \\ | \ mathbf {u} |, p & \ to 0 \ quad {\ mbox {as}} \ quad r \ to \ infty \ end {aligned}}}$

kde je funkce Diracovy delty a představuje bodovou sílu působící na počátku. Řešení pro tlak p a rychlost u s | u | a p mizející v nekonečnu je dáno vztahem ${\ Displaystyle \ mathbf {\ delta} (\ mathbf {r})}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ delta (\ mathbf {r})}$

${\ Displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbb {J} (\ mathbf {r}), \ qquad p (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {r}} {4 \ pi | \ mathbf {r} |^{3}}}}$

kde

${\ Displaystyle \ mathbb {J} (\ mathbf {r}) = {1 \ over 8 \ pi \ mu} \ left ({\ frac {\ mathbb {I}} {| \ mathbf {r} |}}+ {\ frac {\ mathbf {r} \ mathbf {r}} {| \ mathbf {r} |^{3}}} \ right)}$je tenzor druhé úrovně (nebo přesněji tenzorové pole ) známý jako tenzor Oseen (po Carl Wilhelm Oseen ).

K popisu se používají termíny Stokeslet a point-force solution . Analogicky k bodovému náboji v elektrostatice je Stokeslet všude bez síly, kromě zdroje, kde obsahuje sílu síly . ${\ Displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbb {J} (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ mathbf {F}}$

Pro distribuci (hustotu) spojité síly lze řešení (opět mizející v nekonečnu) sestrojit superpozicí: ${\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {r})}$

${\ Displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {r}) = \ int \ mathbf {f} \ left (\ mathbf {r '} \ right) \ cdot \ mathbb {J} \ left (\ mathbf {r} -\ mathbf {r '} \ right) \ mathrm {d} \ mathbf {r'}, \ qquad p (\ mathbf {r}) = \ int {\ frac {\ mathbf {f} \ left (\ mathbf { r '} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {r} -\ mathbf {r'} \ right)} {4 \ pi \ left | \ mathbf {r} -\ mathbf {r '} \ right |^ {3}}} \, \ mathrm {d} \ mathbf {r '}}$

Tuto integrální reprezentaci rychlosti lze považovat za snížení dimenzionality: od trojrozměrné parciální diferenciální rovnice po dvojrozměrnou integrální rovnici pro neznámé hustoty.

Řešení Papkovich – Neuber

Řešení Papkovich – Neuber představuje rychlostní a tlaková pole nestlačitelného proudu Newtonian Stokes z hlediska dvou harmonických potenciálů.

Metodou hraničních prvků

Určité problémy, jako je vývoj tvaru bubliny v Stokesově toku, vedou k numerickému řešení metodou hraničních prvků . Tuto techniku ​​lze aplikovat na 2- i 3-dimenzionální toky.

Nějaké geometrie

Tok Hele-Shaw

Tok Hele-Shaw je příkladem geometrie, pro kterou jsou setrvačné síly zanedbatelné. Je definována dvěma rovnoběžnými deskami uspořádanými velmi blízko sebe s prostorem mezi deskami obsazenými částečně tekutinou a částečně překážkami ve formě válců s generátory normálními k deskám.

Teorie štíhlého těla

Teorie štíhlého těla v Stokesově proudění je jednoduchá přibližná metoda určování irrotačního toku kolem těles, jejichž délka je ve srovnání s jejich šířkou velká. Základem metody je zvolit rozdělení singularity toku podél linie (protože tělo je štíhlé) tak, aby jejich irrotační tok v kombinaci s rovnoměrným proudem přibližně splňoval podmínku nulové normální rychlosti.

Sférické souřadnice

Beránkovo obecné řešení vyplývá ze skutečnosti, že tlak splňuje Laplaceovu rovnici a lze jej rozšířit v sérii pevných sférických harmonických ve sférických souřadnicích. V důsledku toho lze zapsat řešení Stokesových rovnic: ${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {u} & = \ sum _ {n =-\ infty, n \ neq 1}^{n = \ infty} \ left [{\ frac {(n+3) r^{2} \ nabla p_ {n}} {2 \ mu (n+1) (2n+3)}}-{\ frac {n \ mathbf {x} p_ {n}} {\ mu (n+ 1) (2n+3)}} \ right]+... \\\ sum _ {n =-\ infty}^{n = \ infty} [\ nabla \ Phi _ {n}+\ nabla \ times ( \ mathbf {x} \ chi _ {n})] \\ p & = \ sum _ {n =-\ infty}^{n = \ infty} p_ {n} \ end {zarovnáno}}}$

kde a jsou pevné sférické harmonické řádu : ${\ displaystyle p_ {n}, \ Phi _ {n},}$${\ displaystyle \ chi _ {n}}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} p_ {n} & = r^{n} \ sum _ {m = 0}^{m = n} P_ {n}^{m} (\ cos \ theta) (a_ {mn} \ cos m \ phi +{\ tilde {a}} _ {mn} \ sin m \ phi) \\\ Phi _ {n} & = r^{n} \ sum _ {m = 0}^ {m = n} P_ {n}^{m} (\ cos \ theta) (b_ {mn} \ cos m \ phi +{\ tilde {b}} _ {mn} \ sin m \ phi) \\\ chi _ {n} & = r^{n} \ sum _ {m = 0}^{m = n} P_ {n}^{m} (\ cos \ theta) (c_ {mn} \ cos m \ phi +{\ tilde {c}} _ {mn} \ sin m \ phi) \ end {aligned}}}$

a jsou přidružené Legendrovy polynomy . Beránkovo ​​řešení lze použít k popisu pohybu tekutiny uvnitř nebo vně koule. Může být například použit k popisu pohybu tekutiny kolem sférické částice s předepsaným povrchovým tokem, takzvaným squirmerem , nebo k popisu toku uvnitř sférické kapky tekutiny. Pro vnitřní toky se výrazy s vypouštějí, zatímco pro vnější toky se výrazy s vypouštějí (často se předpokládá konvence pro vnější toky, aby se zabránilo indexování zápornými čísly). ${\ displaystyle P_ {n}^{m}}$${\ displaystyle n <0}$${\ displaystyle n> 0}$${\ Displaystyle n \ to -n -1}$

Věty

Stokesovo řešení a související Helmholtzova věta

Zde je shrnut odpor odporu vůči pohybující se kouli, známý také jako Stokesovo řešení. Vzhledem k sféře poloměru , pohybující se rychlostí , v Stokesově tekutině s dynamickou viskozitou je tažná síla dána vztahem: ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ displaystyle F_ {D}}$

${\ Displaystyle F_ {D} = 6 \ pi \ mu aU}$

Stokesovo řešení rozptyluje méně energie než jakékoli jiné solenoidové vektorové pole se stejnými hraničními rychlostmi: toto je známé jako Helmholtzova věta o minimálním rozptylu .

Lorentzova reciproční věta

Lorentz reciproční teorém uvádí vztah mezi dvěma Stokes proudí ve stejném regionu. Zvažte oblast naplněnou tekutinou ohraničenou povrchem . Nechte rychlostní pole a vyřešte Stokesovy rovnice v doméně , každá s odpovídajícími napěťovými poli a . Pak platí následující rovnost: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {u} '}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} '}$

${\ Displaystyle \ int _ {S} \ mathbf {u} \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} '\ cdot \ mathbf {n}) dS = \ int _ {S} \ mathbf {u}' \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {n}) dS}$

Kde je jednotka normální na povrchu . Lorentzovu reciproční větu lze použít k ukázání, že Stokesův tok „přenáší“ beze změny celkovou sílu a točivý moment z vnitřního uzavřeného povrchu na vnější obklopující povrch. Lorentzovu reciproční větu lze také použít k přiřazení rychlosti plavání mikroorganismu, jako je sinice , k povrchové rychlosti, která je předepsána deformacemi tvaru těla pomocí řasinek nebo bičíků . ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$${\ displaystyle S}$

Faxénovy zákony

Faxénovy zákony jsou přímé vztahy, které vyjadřují vícepólové momenty z hlediska okolního toku a jeho derivátů. Nejprve vyvinutý společností Hilding Faxén pro výpočet síly a točivého momentu na kouli, mají následující podobu: ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$${\ displaystyle \ mathbf {T}}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {F} & = 6 \ pi \ mu a \ left (1+{\ frac {a ^{2}} {6}} \ nabla ^{2} \ right) \ mathbf {v} ^{\ infty} (\ mathbf {x}) | _ {x = 0} -6 \ pi \ mu a \ mathbf {U} \\\ mathbf {T} & = 8 \ pi \ mu a ^{3} (\ mathbf {\ Omega} ^{\ infty} (\ mathbf {x})-\ mathbf {\ omega}) | _ {x = 0} \ end {aligned}}}$

kde je dynamická viskozita, je poloměr částice, je okolní tok, je rychlost částice, je úhlová rychlost toku pozadí a je úhlová rychlost částice. ${\ Displaystyle \ mu}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ mathbf {v} ^{\ infty}}$${\ displaystyle \ mathbf {U}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} ^{\ infty}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ omega}}$

Faxénovy zákony lze zobecnit a popsat momenty jiných tvarů, jako jsou elipsoidy, sféroidy a sférické kapky.

Viz také

Reference

• Ockendon, H. & Ockendon JR (1995) Viscous Flow , Cambridge University Press. ISBN  0-521-45881-1 .

externí odkazy

• Videoukázka časové reverzibility Stokesova toku pomocí fyziky a astronomie UNM