Subderivative - Subderivative

Konvexní funkce (modrá) a „subtangens lines“ na x ₀ (červená).

V matematiky , na subderivative , subgradient a subdifferential zevšeobecnit derivát na konvexní funkce, které nemusí být nutně diferencovatelná . Subderiváty vznikají při konvexní analýze , studiu konvexních funkcí , často ve spojení s konvexní optimalizací .

Nechť je konvexní funkce s reálným hodnocením definovaná na otevřeném intervalu skutečné čáry. Taková funkce nemusí být diferencovatelná ve všech bodech: Například, absolutní hodnota funkce f ( x ) = | x | je nerozlišitelné, když x = 0. Jak je však vidět na grafu vpravo (kde f (x) v modré barvě má ​​nediferencovatelné zalomení podobné funkci absolutní hodnoty), pro jakékoli x ₀ v doméně funkce lze nakreslit čáru, která prochází bod ( x ₀ , f ( x ₀ )) a který se všude dotýká nebo je pod grafem f . Sklon takové linie se nazývá subderivative (protože je linka pod grafem f ). ${\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}$

Definice

Rigorózně je subderivativem konvexní funkce v bodě x ₀ v otevřeném intervalu I skutečné číslo c takové, že ${\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle f (x) -f (x_ {0}) \ geq c (x-x_ {0})}$

pro všechny x v I. . Lze ukázat, že množina subderivat v x ₀ pro konvexní funkci je neprázdný uzavřený interval [ a , b ], kde a a b jsou jednostranné limity

${\ Displaystyle a = \ lim _ {x \ to x_ {0}^{-}} {\ frac {f (x) -f (x_ {0})} {x-x_ {0}}}}$

${\ Displaystyle b = \ lim _ {x \ to x_ {0}^{+}} {\ frac {f (x) -f (x_ {0})} {x-x_ {0}}}}$

které je zaručeno, že existují i uspokojení z ≤ b .

Množina [ a , b ] všech subderivat se nazývá subdiferenciál funkce f v x ₀ . Protože f je konvexní, pokud jeho subdiferenciál v obsahuje přesně jeden subderivát, pak je f diferencovatelné na . ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Příklad

Uvažujme funkci f ( x ) = | x | který je konvexní. Potom je subdiferenciálem na počátku interval [−1, 1]. Subdiferenciál v kterémkoli bodě x ₀ <0 je singletonová sada {−1}, zatímco subdifferenciální v kterémkoli bodě x ₀ > 0 je singletonová sada {1}. Toto je podobné znakové funkci , ale není to funkce s jednou hodnotou na 0, místo toho zahrnuje všechny možné podřízené položky.

Vlastnosti

• Konvexní funkce f : I → R je diferencovatelná v x _{0 právě} tehdy, pokud je subdiferenciál tvořen pouze jedním bodem, což je derivace v x ₀ .
• Bod x ₀ je globální minimum konvexní funkce f tehdy a jen tehdy, je -li v subdiferenciálu obsažena nula, to znamená, že na výše uvedeném obrázku lze do grafu f v ( x ₀ nakreslit vodorovnou „subtangens line“) , f ( x ₀ )). Tato poslední vlastnost je zobecněním skutečnosti, že derivace funkce diferencovatelné na lokálním minimu je nula.
• Pokud a jsou konvexní funkce se subdiferenciály a s tím, že jsou vnitřním bodem jedné z funkcí, pak subdiferenciál je (kde operátor sčítání označuje součet Minkowski ). To zní jako „subdifferential of a sum is the sum of subdifferentials“.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle \ partial f (x)}$${\ Displaystyle \ partial g (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f+g}$${\ Displaystyle \ částečná (f+g) (x) = \ částečná f (x)+\ částečná g (x)}$

Subgradient

Pojmy subderivativní a subdiferenciální lze zobecnit na funkce několika proměnných. Pokud f : U → R je konvexní funkce se skutečnou hodnotou definovaná na konvexní otevřené množině v euklidovském prostoru R ⁿ , vektor v tomto prostoru se nazývá subgradient v bodě x ₀ v U, pokud pro jakékoli x v U má ${\ displaystyle v}$

${\ Displaystyle f (x) -f (x_ {0}) \ geq v \ cdot (x-x_ {0})}$

kde tečka označuje bodový součin . Množina všech subgradientů v x ₀ se nazývá subdiferenciál v x ₀ a označuje se ∂ f ( x ₀ ). Subdiferenciál je vždy neprázdná konvexní kompaktní sada .

Tyto pojmy zobecnit dále konvexní funkce f : U → R na konvexní množina v lokálně konvexní prostor V . Funkční ^∗ v duálním prostoru V ^∗ se nazývá subgradient při x ₀ v U, pokud pro všechna x v U${\ displaystyle v}$

${\ Displaystyle f (x) -f (x_ {0}) \ geq v^{*} (x-x_ {0}).}$

Množina všech subgradientů v x ₀ se nazývá subdiferenciál v x ₀ a opět se označuje ∂ f ( x ₀ ). Subdiferenciál je vždy konvexní uzavřená množina . Může to být prázdná sada; zvažte například neomezený operátor , který je konvexní, ale nemá žádný podchod. Je -li f spojité, je subdiferenciál neprázdný.

Dějiny

Subdiferenciál na konvexní funkce představili Jean Jacques Moreau a R. Tyrrell Rockafellar na počátku 60. let. Zobecněná subdifferential pro nekonvexních funkce byla zavedena FH Clarke a RT Rockafellar Na začátku roku 1980.

Viz také

• Slabý derivát
• Subgradientní metoda

Reference

• Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian S. (2010). Konvexní analýza a nelineární optimalizace: Teorie a příklady (2. vydání). New York: Springer. ISBN 978-0-387-31256-9.
• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (2001). Základy konvexní analýzy . Springer. ISBN 3-540-42205-6.
• Zălinescu, C. (2002). Konvexní analýza v obecných vektorových prostorech . World Scientific Publishing Co., Inc. str. Xx+367. ISBN 981-238-067-1. MR  1921556 .

externí odkazy

• „Použití “${\ Displaystyle \ lim \ limits _ {h \ to 0} {\ frac {f (x+h) -f (xh)} {2h}}}$ . Výměna zásobníku . 15. července 2002.