Tenzorový produkt Hilbertových prostorů - Tensor product of Hilbert spaces

V matematice , a zejména funkční analýze , je tenzorový produkt Hilbertových prostorů způsob, jak rozšířit konstrukci tenzorového produktu tak, že výsledkem převzetí tenzorového produktu dvou Hilbertových prostorů je další Hilbertův prostor. Zhruba řečeno, tenzorový produkt je metrický prostorový doplněk běžného tenzorového produktu. Toto je příklad topologického tenzorového produktu . Produkt tensor umožňuje shromažďování Hilbertových prostorů do symetrické monoidní kategorie .

Definice

Vzhledem k tomu, že Hilbertovy prostory mají vnitřní produkty , je třeba zavést vnitřní produkt, a tedy topologii, na tenzorový produkt, který přirozeně vychází z faktorů. Nechť  H ₁ a  H ₂ jsou dvě Hilbertovy prostory s vnitřní produkty a , resp. Vytvořte tenzorový součin  H ₁ a  H ₂ jako vektorové prostory, jak je vysvětleno v článku o tenzorových součinech . Tento produkt tenzoru vektorového prostoru můžeme proměnit na vnitřní produktový prostor definováním ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {1}}$${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {2}}$

${\ displaystyle \ langle \ phi _ {1} \ otimes \ phi _ {2}, \ psi _ {1} \ otimes \ psi _ {2} \ rangle = \ langle \ phi _ {1}, \ psi _ { 1} \ rangle _ {1} \, \ langle \ phi _ {2}, \ psi _ {2} \ rangle _ {2} \ quad {\ mbox {pro všechny}} \ phi _ {1}, \ psi _ {1} \ v H_ {1} {\ mbox {a}} \ phi _ {2}, \ psi _ {2} \ v H_ {2}}$

a rozšiřuje se o linearitu. To, že tento vnitřní produkt je přirozený, je odůvodněno identifikací bilineárních map se skalární hodnotou na H ₁ × H ₂ a lineárních funkcionálů na jejich tenzorovém produktu vektorového prostoru. Nakonec vezměte dokončení pod tento vnitřní produkt. Výsledný Hilbertův prostor je tenzorovým součinem  H ₁ a  H ₂ .

Explicitní konstrukce

Tenzorový produkt lze také definovat, aniž by se odvolával na dokončení metrického prostoru. Pokud H ₁ a H ₂ jsou dva Hilbertovy prostory, jeden přidruží ke každému jednoduchému tenzorovému produktu operátor pořadí od do H _2, který mapuje danou jako ${\ displaystyle x_ {1} \ čast x_ {2}}$${\ displaystyle H_ {1} ^ {*}}$${\ displaystyle x ^ {*} \ v H_ {1} ^ {*}}$

${\ displaystyle x ^ {*} \ mapsto x ^ {*} (x_ {1}) \, x_ {2}}$

To se vztahuje na lineární identifikaci mezi a prostorem operátorů konečné pozice od do H ₂ . Konečné pořadí operátoři jsou zakotveny v Hilbertově prostoru z operátorů Hilbert-Schmidt od do H ₂ . Skalární součin in je dán vztahem ${\ displaystyle H_ {1} \ krát H_ {2}}$${\ displaystyle H_ {1} ^ {*}}$${\ displaystyle HS (H_ {1} ^ {*}, H_ {2})}$${\ displaystyle H_ {1} ^ {*}}$${\ displaystyle HS (H_ {1} ^ {*}, H_ {2})}$

${\ displaystyle \ langle T_ {1}, T_ {2} \ rangle = \ sum _ {n} \ left \ langle T_ {1} e_ {n} ^ {*}, T_ {2} e_ {n} ^ { *} \ doprava \ rangle,}$

kde je libovolný ortonormální základ${\ displaystyle (e_ {n} ^ {*})}$${\ displaystyle H_ {1} ^ {*}.}$

Podle předchozí identifikace lze definovat hilbertovský tenzorový součin H ₁ a H ₂ , který je izometricky a lineárně izomorfní${\ displaystyle HS (H_ {1} ^ {*}, H_ {2}).}$

Univerzální vlastnictví

Hilbertův tenzorový produkt se vyznačuje následující univerzální vlastností ( Kadison & Ringrose 1997 , Theorem 2.6.4): ${\ displaystyle H = H_ {1} \ další H_ {2}}$

Existuje slabé Hilbert – Schmidtovo mapování p  :  H ₁  ×  H ₂  →  H takové, že vzhledem k jakémukoli slabému Hilbert – Schmidtovu mapování L  :  H ₁  ×  H ₂  →  K na Hilbertův prostor K existuje jedinečný ohraničený operátor T  :  H  →  K takové, že L  =  Tp .

Slabé Hilbert-Schmidtovo mapování L  :  H ₁  ×  H ₂  →  K je definováno jako bilineární mapa, pro kterou existuje reálné číslo d , takže

${\ displaystyle \ sum _ {i, j = 1} ^ {\ infty} {\ big |} \ left \ langle L (e_ {i}, f_ {j}), u \ right \ rangle {\ big |} ^ {2} \ leq d ^ {2} \, \ | u \ | ^ {2}}$

pro všechny a jeden (tedy všechny) ortonormální základy e ₁ , e ₂ , ... z H ₁ a f ₁ , f ₂ , ... z H ₂ . ${\ displaystyle u \ v K}$

Stejně jako u jakékoli univerzální vlastnosti i toto jednoznačně charakterizuje tenzorový produkt H , až po izomorfismus. Stejná univerzální vlastnost se zjevnými modifikacemi platí také pro tenzorový součin libovolného konečného počtu Hilbertových prostorů. Je to v podstatě stejná univerzální vlastnost sdílená všemi definicemi tenzorových produktů, bez ohledu na to, jaké prostory jsou tenzorovány: to znamená, že jakýkoli prostor s tenzorovým produktem je symetrická monoidní kategorie a Hilbertovy prostory jsou jejím konkrétním příkladem.

Nekonečné tenzorové produkty

If is a collection of Hilbert spaces and is a collection of unit Vector in these Hilbert spaces then the neúplný tenzorový produkt (nebo Guichardetův tenzorový produkt) je doplněním množiny všech konečných lineárních kombinací jednoduchých tenzorových vektorů, kde je až na konečně mnoho že ‚je rovna odpovídající . ${\ displaystyle H_ {n}}$${\ displaystyle \ xi _ {n}}$${\ displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle \ otimes _ {n = 1} ^ {\ infty} \ psi _ {n}}$${\ displaystyle \ psi _ {n}}$${\ displaystyle \ xi _ {n}}$

Algebry operátora

Nechť je von Neumannova algebra ohraničených operátorů pro Potom je von Neumannův tenzorový produkt von Neumannův algeber silným dokončením množiny všech konečných lineárních kombinací jednoduchých tenzorových produktů, kde pro To je přesně stejné jako von Neumannova algebra ohraničené operátory Na rozdíl od Hilbertových prostorů, jeden může vzít nekonečné tenzorové produkty von Neumannovych algeber, a na to přijde C * -algebry operátorů, bez definování referenčních stavů. To je jedna výhoda „algebraické“ metody v kvantové statistické mechanice. ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {i}}$${\ displaystyle H_ {i}}$${\ displaystyle i = 1,2.}$${\ displaystyle A_ {1} \ další A_ {2}}$${\ displaystyle A_ {i} \ in {\ mathfrak {A}} _ {i}}$${\ displaystyle i = 1,2.}$${\ displaystyle H_ {1} \ další H_ {2}.}$

Vlastnosti

Pokud a mají ortonormální báze a v tomto pořadí, pak je ortonormální báze pro zejména rozměr Hilbertova tenzoru produktu je produkt (jako kardinálních čísel ) rozměrů Hilbertových. ${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$ ${\ displaystyle \ {\ phi _ {k} \}}$${\ displaystyle \ {\ psi _ {l} \},}$${\ displaystyle \ {\ phi _ {k} \ krát \ psi _ {l} \}}$${\ displaystyle H_ {1} \ další H_ {2}.}$

Příklady a aplikace

Následující příklady ukazují, jak tenzorové produkty vznikají přirozeně.

Vzhledem k tomu, dva měr mezery a s opatřeními a v tomto pořadí, jeden může prohlédnout , prostoru funkcí na které jsou čtvercové integrovatelné s ohledem na opatření výrobku Pokud je čtverec integrovatelná funkce na a je čtverec integrovatelná funkce na a pak můžeme definovat function on by Definice míry produktu zajišťuje, že všechny funkce tohoto formuláře jsou čtvercově integrovatelné, takže definuje bilineární mapování Lineární kombinace funkcí formuláře jsou také v . Ukazuje se, že sada lineárních kombinací je ve skutečnosti hustá, pokud a jsou oddělitelné. To ukazuje, že je to izomorfní , a také to vysvětluje, proč musíme dokončit konstrukci produktu Hilbertova vesmírného tenzoru. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle L ^ {2} (X \ krát Y)}$${\ displaystyle X \ krát Y}$${\ displaystyle \ mu \ times \ nu.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle Y,}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle X \ krát Y}$${\ displaystyle h (x, y) = f (x) g (y).}$ ${\ displaystyle L ^ {2} (X) \ krát L ^ {2} (Y) \ až L ^ {2} (X \ krát Y).}$ ${\ displaystyle f (x) g (y)}$${\ displaystyle L ^ {2} (X \ krát Y)}$${\ displaystyle L ^ {2} (X \ krát Y),}$${\ displaystyle L ^ {2} (X)}$${\ displaystyle L ^ {2} (Y)}$${\ displaystyle L ^ {2} (X) \ mnohokrát L ^ {2} (Y)}$${\ displaystyle L ^ {2} (X \ krát Y),}$

Podobně můžeme ukázat, že označující prostor čtvercových integrovatelných funkcí je izomorfní, pokud je tento prostor oddělitelný. Izomorfismus mapuje na Můžeme to zkombinovat s předchozím příkladem a dospět k závěru, že a oba jsou izomorfní${\ displaystyle L ^ {2} (X; H)}$${\ displaystyle X \ až H}$${\ displaystyle L ^ {2} (X) \ otimes H}$${\ displaystyle f (x) \ otimes \ phi \ v L ^ {2} (X) \ otimes H}$${\ displaystyle f (x) \ phi \ v L ^ {2} (X; H)}$${\ displaystyle L ^ {2} (X) \ mnohokrát L ^ {2} (Y)}$${\ displaystyle L ^ {2} (X \ krát Y)}$${\ displaystyle L ^ {2} (X; L ^ {2} (Y)).}$

Tenzorové produkty Hilbertových prostorů často vznikají v kvantové mechanice . Pokud je nějaká částice popsána Hilbertovým prostorem a jiná částice je popsána, pak je systém skládající se z obou částic popsán tenzorovým součinem a Například stavový prostor kvantového harmonického oscilátoru je tak, že stavový prostor dvou oscilátorů je který je izomorfní s . Proto je dvoučásticový systém popsán vlnovými funkcemi tvaru . Složitější příklad poskytují Fockovy prostory , které popisují proměnný počet částic. ${\ displaystyle H_ {1},}$${\ displaystyle H_ {2},}$${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}.}$${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R}),}$${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R}) \ otimes L ^ {2} (\ mathbb {R}),}$${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {2})}$${\ displaystyle \ psi (x_ {1}, x_ {2}).}$

Reference

Bibliografie

• Kadison, Richard V .; Ringrose, John R. (1997). Základy teorie operátorových algeber. Sv. Já . Postgraduální studium matematiky . 15 . Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-0819-1. MR  1468229 ..
• Weidmann, Joachim (1980). Lineární operátory v Hilbertových prostorech . Postgraduální texty z matematiky . 68 . Berlín, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90427-6. MR  0566954 ..