Teichmüller – Tukeyovo lemma - Teichmüller–Tukey lemma

V matematice je lemma Teichmüller – Tukey (někdy pojmenované jen Tukeyovo lemma ), pojmenované podle Johna Tukeyho a Oswalda Teichmüllera , lemmatem, které uvádí, že každá neprázdná sbírka konečných znaků má maximální prvek s ohledem na inkluzi . Přes Zermelo – Fraenkelovu teorii množin je lemma Teichmüller – Tukey ekvivalentní s axiomem volby , a tedy s dobře uspořádanou větou , Zornovým lemmatem a Hausdorffovým maximálním principem .

Definice

Rodina sad má konečný charakter, pokud má následující vlastnosti: ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

1. U každého , každý konečný podmnožina of patří . ${\ displaystyle A \ v {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$
2. Pokud každá konečná podmnožina dané množiny patří , pak patří . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Prohlášení o lemmatu

Buď set a nech . Pokud je konečného charakteru , pak existuje maximální (podle relace inkluze) takový, že . ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ subseteq {\ mathcal {P}} (Z)}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X \ v {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle Y \ v {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X \ subseteq Y}$

Aplikace

V lineární algebře lze lemma použít k prokázání existence základu . Nechť V je vektorový prostor . Zvažovat sbírku z lineárně nezávislých sad vektorů. Toto je sbírka konečných znaků . Tak maximální množina existuje, který pak musí být rozpětí V a být základem pro V . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Poznámky

Reference

• Brillinger, David R. „John Wilder Tukey“ [1]