Woodin kardinál - Woodin cardinal

V teorii množin je Woodinův kardinál (pojmenovaný pro W. Hugha Woodina ) kardinální číslo λ takové, že pro všechny funkce

f  : λ → λ

existuje kardinál κ <λ s

{ f (β) | β <κ} ⊆ κ

a základní vložení

j  : V → M

z vesmíru Von Neumanna V do tranzitivního vnitřního modelu M s kritickým bodem κ a

V _{j (f) (κ)} ⊆ M .

Ekvivalentní definice je tato: λ je Woodin právě tehdy, když je λ silně nepřístupný a pro všechny existuje <λ, což je - silné. ${\ displaystyle A \ subseteq V _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ lambda _ {A}}$${\ displaystyle <\ lambda}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ lambda _ {A}}$ přičemž - -strong znamená, že pro všechny řadové alfa <λ, tam existovat , což je elementární vnoření s kritickým bodem , , a . (Viz také silný kardinál .) ${\ displaystyle <\ lambda}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle j: V \ až M}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {A}}$${\ displaystyle j (\ lambda _ {A})> \ alfa}$${\ displaystyle V _ {\ alpha} \ subseteq M}$${\ displaystyle j (A) \ cap V _ {\ alpha} = A \ cap V _ {\ alpha}}$

Woodin základní předchází stacionární uspořádání z měřitelných kardinálů , a proto je Mahlo hlavní . První kardinál Woodin však není ani tak slabě kompaktní .

Důsledky

Woodin kardinálové jsou důležití v deskriptivní teorii množin . Výsledkem Martin a Steel , existence nekonečně mnoha Woodinových kardinálů implikuje projektivní rozhodnost , což zase znamená, že každá projektivní množina je Lebesgue měřitelná , má Baireovu vlastnost (liší se od otevřené množiny skromnou množinou , tj. Množinou což je spočetné spojení nikde hustých množin ) a vlastnost dokonalé množiny (je buď spočetná, nebo obsahuje dokonalou podmnožinu).

Konzistenci existence Woodinových kardinálů lze prokázat pomocí hypotéz determinace. Práce v ZF + AD + DC dokazuje, že je Woodin ve třídě dědičně ordinálně definovatelných množin. je první ordinál, na který nelze kontinuum zmapovat ordinálně definovatelným surjekcí (viz Θ (teorie množin) ). ${\ displaystyle \ Theta _ {0}}$${\ displaystyle \ Theta _ {0}}$

Shelah dokázal, že pokud je existence Woodinova kardinála konzistentní, pak je konzistentní, že nestacionární ideál na ω ₁ je -nasycený. Woodin také prokázal ekvikonzistenci existence nekonečně mnoha Woodinských kardinálů a existence -hustého ideálu . ${\ displaystyle \ aleph _ {2}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$

Kardinálové z Hyper-Woodinu

Základní κ se nazývá hyper-Woodin pokud existuje normální dávku U na mítk taková, že pro každou nastavenou S , sady

{λ <κ | λ je <κ- S - silné }

je v U .

λ je <κ-S-silné právě tehdy, když pro každou δ <κ existuje tranzitivní třída N a elementární vložení

j: V → N

s

λ = crit (j),

j (λ) ≥ δ a

${\ displaystyle j (S) \ čepice H _ {\ delta} = S \ čepice H _ {\ delta}}$ .

Název naráží na klasický výsledek, že kardinál je Woodin právě tehdy, když pro každou množinu S , množinu

{λ <κ | λ je <κ- S - silné }

je stacionární souprava

Míra U bude obsahovat sadu všech Shelahových kardinálů pod κ.

Slabě hyper-Woodinští kardinálové

Základní κ se nazývá slabě hyper-Woodin, pokud pro každý soubor S existuje normální dávku U na κ tak, že množina {λ <κ | λ znamená <κ- S -strong} je v U . λ je <κ-S-silné právě tehdy, když pro každé δ <κ existuje tranzitivní třída N a elementární vložení j: V → N s λ =krit (j), j (λ)> = δ a ${\ displaystyle j (S) \ čepice H _ {\ delta} = S \ čepice H _ {\ delta}.}$

Název naráží na klasický výsledek, že kardinál je Woodin, pokud pro každou množinu S platí množina {λ <κ | λ je <κ- S - silné } je stacionární.

Rozdíl mezi hyper-Woodinskými kardinály a slabě hyper-Woodinskými kardinály spočívá v tom, že volba U nezávisí na volbě množiny S pro hyper-Woodinské kardinály.

Poznámky a odkazy

Další čtení

• Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Beginnings (2. vyd.). Springer. ISBN   3-540-00384-3 .
• Důkazy o dvou výsledcích uvedených v důsledcích viz Příručka teorie množin (vyd. Foreman, Kanamori, Magidor) (objeví se). K dispozici jsou koncepty některých kapitol.
• Ernest Schimmerling, kardinálové Woodin, kardinálové Shelah a základní model Mitchell-Steel , Proceedings of the American Mathematical Society 130/11, str. 3385–3391, 2002, online
• Steel, John R. (říjen 2007). „Co je to kardinál Woodin?“ ( PDF ) . Oznámení Americké matematické společnosti . 54 (9): 1146–7 . Citováno 2008-01-15 .