Základna (topologie) - Base (topology)

V matematice , na základně nebo základ pro topologie $▼ se$ jednoho topologického prostoru $(X, τ)$ je rodina $B$ z otevřených podmnožin v $X$ takový, že každý otevřený soubor topologie se rovná sjednocení některých sub-rodiny z $B$ ( tato podrodina může být nekonečná, konečná nebo dokonce prázdná). Například soubor všech otevřených intervalů v reálném číselné ose je základem pro Euclidean topologii na protože každý otevřený interval je otevřená množina, a také každý otevřená podmnožina lze zapsat jako sjednocení některých rodiny otevřených intervalech. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Báze jsou v celé topologii všudypřítomné. Sady v základně pro topologii, které se nazývají základní otevřené sady , lze často snáze popsat a použít než libovolné otevřené sady. Mnoho důležitých topologických definic, jako je spojitost a konvergence, lze zkontrolovat pomocí pouze základních otevřených sad namísto libovolných otevřených sad. Některé topologie mají základnu otevřených sad se specifickými užitečnými vlastnostmi, které mohou usnadnit kontrolu takovýchto topologických definic.

Ne všechny rodiny podmnožin tvoří základ pro topologii. Například protože $X$ je vždy otevřená podmnožina každé topologie na $X$ , má -li rodina $B$ podmnožin být základem pro topologii na $X,$ pak musí pokrývat $X$ , což podle definice znamená, že spojení všech množin v $B$ se musí rovnat $X$ . Pokud $X$ má více než jeden bod, pak existují rodiny podmnožin $X$ , které nepokrývají $X$ a v důsledku toho nemohou tvořit základ pro jakékoliv topologie na $X$ . Rodina $B$ podmnožin $X$ , který se tvoří základ pro nějaké topologie na $X$ je volán základ pro s topologií na $X$ , v takovém případě by se nutně jedinečný topologie, říkejte tomu $τ$ , je řekl, aby byl generován $B$ a $B$ je v důsledku toho základem pro topologie $▼ se$ . Takové rodiny sad se často používají k definování topologií. Slabší pojem související s bázemi je subbáze pro topologii. Základny pro topologie úzce souvisí se základnami sousedství .

Definice a základní vlastnosti

Základem pro topologii na X je kolekce B podmnožin X splňujících následující vlastnosti:

Prvky B krycí X , tj, každý prvek X patří do určité prvku B .
Dané prvky B ₁ , B ₂ z B , pro každé x v B ₁ ∩ B ₂ existuje prvek B ₃ v B obsahující x a takový, že B ₃ je podmnožinou B ₁ ∩ B ₂ .

Rovnocenná vlastnost: všechna konečný průsečík prvků B lze zapsat jako sjednocení prvků B . Tyto dvě podmínky jsou přesně to, co je potřeba, aby zajistila, že množina všech svazů podskupin B je topologie na X .

Pokud kolekce B podmnožin X nesplňuje tyto vlastnosti, pak to není základem pro jakékoliv topologie na X . (Je to však subbase , stejně jako jakákoli kolekce podmnožin X. ) Naopak, pokud B splňuje tyto vlastnosti, pak na X existuje jedinečná topologie, pro kterou je B základem; to se nazývá topologie generované pomocí B . (Tato topologie je průsečíkem všech topologií na X obsahujících B. ) Toto je velmi běžný způsob definování topologií. Dostatečnou, ale ne nezbytnou podmínkou pro B ke generování topologie na X je, že B je uzavřeno pod křižovatkami; pak můžeme vždy vzít B ₃ = I výše.

Například kolekce všech otevřených intervalů ve skutečné linii tvoří základ pro topologii na skutečné linii, protože průsečík jakýchkoli dvou otevřených intervalů je sám otevřeným intervalem nebo prázdný. Ve skutečnosti jsou základem pro standardní topologii na reálných číslech .

Základna však není jedinečná. Mnoho různých základen, dokonce různých velikostí, může generovat stejnou topologii. Například otevřené intervaly s racionálními koncovými body jsou také základem pro standardní skutečnou topologii, stejně jako otevřené intervaly s iracionálními koncovými body, ale tyto dvě sady jsou zcela nesouvislé a obě řádně obsaženy v základu všech otevřených intervalů. Na rozdíl od základě jednoho vektorového prostoru v lineární algebře , báze nemusí být maximální ; skutečně jedinou maximální základnou je samotná topologie. Ve skutečnosti může být jakákoli otevřená sada generovaná základnou bezpečně přidána k základně bez změny topologie. Nejmenší možná mohutnost báze se nazývá hmotnost topologického prostoru.

Příkladem kolekce otevřených množin, která není základem, je množina S všech semi-nekonečných intervalů tvarů (−∞, a ) a ( a , ∞), kde a je skutečné číslo. Pak S je to základem pro jakékoli topologie na R . Abychom to ukázali, předpokládejme, že ano. Pak by například (−∞, 1) a (0, ∞) byly v topologii generované S , což jsou svazky jednoho základního prvku, a tak by byl také jejich průnik (0,1). Ale (0, 1) zjevně nemůže být zapsán jako spojení prvků S . Pomocí alternativní definice druhá vlastnost selže, protože se do tohoto průsečíku „nevejde“ žádný základní prvek.

Daný základ pro topologii, aby se prokázala konvergence sítě nebo sekvence, stačí dokázat, že je nakonec v každé sadě v základně, která obsahuje předpokládaný limit.

Příklady

Množina $Γ$ všech otevřených intervalech tvoří základ pro Euclidean topologii na . Každá topologie $τ$ na množině $X$ je sama o sobě základem (tj. $Τ$ je základem pro $τ$ ). Z tohoto důvodu, pokud hypotézy věty předpokládají, že topologie $τ$ má nějaký základ $Γ$ , pak tuto větu lze použít pomocí $Γ: = τ$ . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Neprázdná rodina podmnožin nastavenou $X$ , který je uzavřen v konečných průsečíky dvou nebo více souborů, které se nazývá $π$ -System na $X$ , je nutně základ pro topologie na $X,$ tehdy a jen tehdy, pokud se vztahuje na $X$ . Podle definice je každá σ -algebra , každý filtr (a zejména zejména každý sousední filtr ) a každá topologie krycím $π$ -systémem, a tedy také základem pro topologii. Ve skutečnosti, pokud $Γ$ je filtr na $X,$ pak ${\emptyset} \cup Γ$ je topologie na $X$ a $Γ$ je pro něj základ. Základna pro topologii nemusí být uzavřena pod konečnými průsečíky a mnoho z nich není. Ale přesto je mnoho topologií definováno základnami, které jsou také uzavřeny pod konečnými průsečíky. Například každá z následujících rodin podmnožiny je uzavřena pod konečnými průsečíky, a tak každá tvoří základ pro nějakou < topologii na : ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Množina $Γ$ všech ohraničených otevřených intervalech vytváří obvyklý Euclidean topologii na . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
Množina $Σ$ všech omezených uzavřených intervalech vytváří jednotlivou topologii na a tak Euclidean topologie je podmnožinou této topologii. A to navzdory skutečnosti, že $Γ$ není podmnožina $Σ$ . V důsledku toho je topologie generované $y$ , která je euklidovská topologie na , je hrubší než topologie generované $å$ . Ve skutečnosti, to je přísně hrubší protože $Σ$ obsahuje neprázdné kompaktní sestavy, které jsou nikdy otevřen v Euclidean topologii. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
Množina ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ všech intervalů v $Γ$ tak, že oba koncové body intervalu jsou racionální čísla, generuje stejnou topologii jako $Γ$ . To zůstává pravdivé, pokud je každá instance symbolu $Γ$ nahrazena $Σ$ .
${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ generuje topologii, která je přísně hrubší než topologie generovaná pomocí $Σ$ . V euklidovské topologii na není otevřen žádný prvek $Σ \infty$ . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ generuje topologii, která je přísně hrubší než euklidovská topologie i topologie generovaná $Σ \infty$ . Množiny $Σ \infty$ a $Γ \infty$ jsou disjunktní, ale přesto $Γ \infty$ je podmnožinou topologie generované $Σ \infty$ .

Objekty definované z hlediska základen

Topologie objednávka je obvykle definován jako topologie generované kolekce otevřené intervalu-jako sad.
Metrika topologie je obvykle definován jako topologie generované kolekce otevřených koulí .
Druhé počitatelný prostor je ten, který má spočetnou základnu.
Diskrétní topologie má singletons jako základnu.
Topologie profinite na skupinu je definována tím, že shromažďování všech normálních podskupin konečných indexu jako základ otevřených čtvrtích identity.

Topologie Zariski na spektru prstenu má základnu skládající se z otevřených souborů, které mají specifické užitečné vlastnosti. Pro obvyklý základ této topologie je každý konečný průnik základních prvků základním prvkem. Proto se někdy vyžaduje, aby báze byly stabilní v konečném průsečíku.

Topologie Zariski ze je topologie, který má algebraické sady jsou uzavřené množiny. To má základnu tvořenou set doplňků z algebraických nadploch . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{n}}$
Zariskiho topologie spektra prstenu (množina primárních ideálů ) má takový základ, že každý prvek se skládá ze všech primárních ideálů, které daný prvek prstenu neobsahují.

Věty

Pro každý bod x v otevřené množině U , je základní prvek, obsahující X a obsaženy v U .
Topologie T ₂ je jemnější než topologii T ₁ tehdy, když pro každé x a každý základní prvek B z T ₁ , který obsahuje x , je základní prvek T ₂ , který obsahuje X a obsažené v B .
Pokud jsou základnami pro topologie, pak je nastavený produkt základem pro topologii produktu. V případě nekonečného produktu to stále platí, kromě toho, že všechny ale nakonec mnoho základních prvků musí být celý prostor. ${\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}, \ ldots, B_ {n}}$ ${\ displaystyle T_ {1}, T_ {2}, \ ldots, T_ {n}}$ ${\ displaystyle B_ {1} \ times B_ {2} \ times \ cdots \ times B_ {n}}$ ${\ displaystyle T_ {1} \ times T_ {2} \ times \ cdots \ times T_ {n}.}$
Nechť B být základem pro X a nechť Y bude podprostor na X . Pak, pokud bychom se protínají každý prvek B s Y , výsledný soubor sad je základem pro podprostoru Y .
Pokud funkce mapuje každý základní prvek X do otevřené sady Y , je to otevřená mapa . Podobně, pokud je každý předobraz základního prvku Y otevřen v X , pak f je spojité . ${\ Displaystyle f: X \ až Y}$
Kolekce podmnožin X je topologie na X právě tehdy, když se generuje sama.
B je základem pro topologického prostoru X, jestliže a pouze v případě, že podsbírky prvků B , které obsahují x tvoří místní základnu na x , pro každý bod x o X .

Základna pro uzavřené sady

Uzavřené sady jsou stejně zdatné v popisu topologie prostoru. Existuje tedy dvojí pojem báze pro uzavřené množiny topologického prostoru. Vzhledem k tomu, topologický prostor řada uzavřených množin tvoří základ pro uzavřené sady právě tehdy, když pro každou uzavřenou sady a každý bod není existuje prvek obsahující , ale neobsahující A rodina je základem pro uzavřených sady , pokud a pouze v případě, že jeho duál v označený je základem otevřených množin, tj. pouze tehdy, když rodina doplňků členů je základem pro otevřené sady ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle x.}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle X \ setminus {\ mathcal {C}}: = \ {X \ setminus C: C \ in {\ mathcal {C}} \},}$ ${\ displaystyle X;}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle X.}$

Nechť je základem pro uzavřené sady Then ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle X.}$

${\ displaystyle \ bigcap {\ mathcal {C}} = \ varnothing}$
Pro každý svaz je průsečík nějaké podskupiny (tj. Pro všechny, kteří tam nejsou, nějaké obsahují a neobsahují ). ${\ displaystyle C_ {1}, C_ {2} \ in {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle C_ {1} \ cup C_ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle x \ v X}$ ${\ displaystyle C_ {1} {\ text {nebo}} C_ {2}}$ ${\ displaystyle C_ {3} \ in {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle C_ {1} \ cup C_ {2}}$ ${\ displaystyle x}$

Jakákoli kolekce podmnožin sady splňující tyto vlastnosti tvoří základ pro uzavřené sady topologie na Uzavřené sady této topologie jsou přesně průsečíky členů ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}.}$

V některých případech je vhodnější použít základnu pro uzavřené sady než pro otevřené. Například mezera je zcela pravidelná právě tehdy, když nulové sady tvoří základ pro uzavřené sady. Vzhledem k jakémukoli topologickému prostoru tvoří nulové sady základ pro uzavřené sady nějaké topologie na této topologii bude nejlepší zcela pravidelná topologie na hrubších než původní. V podobném duchu je Zariskiho topologie na A ⁿ definována tím, že jako základ pro uzavřené množiny je nulová množina polynomiálních funkcí. ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle X}$

Hmotnost a charakter

Budeme pracovat s pojmy stanovenými v ( Engelking 1977 , s. 12, s. 127-128).

Opravte X topologický prostor. Zde je síť je rodina souborů, pro něž pro všechny body x a otevřené čtvrtí U obsahujících x existuje B v , pro něž Všimněte si, že na rozdíl od základu, sady v síti nemusí být otevřen. ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$ ${\ displaystyle x \ in B \ subseteq U.}$

Definujeme váhu , w ( X ), jako minimální mohutnost základu; definujeme hmotnost sítě , nw ( X ), jako minimální mohutnost sítě; charakter bodu , jako minimální mohutnost sousedství základu pro x v X ; a charakter z X bude ${\ displaystyle \ chi (x, X),}$

{\ Displaystyle \ chi (X) \ triangleq \ sup \ {\ chi (x, X): x \ in X \}.}

Smyslem výpočtu charakteru a hmotnosti je umět říci, jaký druh základen a místních základen může existovat. Máme následující fakta:

nw ( X ) ≤ w ( X ).
je -li X diskrétní, pak w ( X ) = nw ( X ) = | X |.
pokud X je Hausdorff, pak nw ( X ) je konečný právě tehdy, když X je konečný diskrétní.
pokud B je základem X, pak existuje základ velikosti ${\ Displaystyle B '\ subseteq B}$ ${\ Displaystyle | B '| \ leq w (X).}$
pokud N sousední základ pro x v X, pak existuje sousedský základ velikosti ${\ Displaystyle N '\ subseteq N}$ ${\ Displaystyle | N '| \ leq \ chi (x, X).}$
je -li spojité procházení, pak nw ( Y ) ≤ w ( X ). (Jednoduše zvažte síť Y pro každý základ B z X. ) ${\ Displaystyle f: X \ až Y}$ ${\ Displaystyle f '' B \ triangleq \ {f''U: U \ in B \}}$
pokud je Hausdorff, pak existuje slabší topologii Hausdorffovy aby tak tím spíše , je-li X je také kompaktní, pak takové topologie splývají a proto jsme se, spojí se s první skutečnosti NW ( X ) = w ( X ). ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ ${\ displaystyle (X, \ tau ')}$ ${\ Displaystyle w (X, \ tau ') \ leq nw (X, \ tau).}$
je -li spojitá surjektivní mapa z kompaktního měřitelného prostoru do Hausdorffova prostoru, pak Y je kompaktní měřitelné. ${\ Displaystyle f: X \ až Y}$

Poslední skutečnost vyplývá z toho, že f ( X ) je kompaktní Hausdorff, a tedy (protože kompaktní měřitelné prostory jsou nutně počítatelné jako druhé); stejně jako skutečnost, že kompaktní Hausdorffovy prostory jsou měřitelné přesně v případě, že jsou počítatelné jako druhé. (Například se jedná o to, že každá cesta v prostoru Hausdorff je kompaktně měřitelná.) ${\ Displaystyle nw (f (X)) = w (f (X)) \ leq w (X) \ leq \ aleph _ {0}}$

Zvyšující se řetězce otevřených sad

Pomocí výše uvedeného zápisu předpokládejme, že w ( X ) ≤ κ nějaký nekonečný kardinál. Pak neexistuje přísně rostoucí sekvence otevřených množin (ekvivalentně přísně klesající sekvence uzavřených množin) o délce ≥ κ ⁺ .

Chcete -li to vidět (bez zvoleného axiomu), opravte to

{\ Displaystyle \ left \ {U _ {\ xi} \ right \} _ {\ xi \ in \ kappa},}

jako základ otevřených sad. A předpokládám, že za contra , že

{\ Displaystyle \ left \ {V _ {\ xi} \ right \} _ {\ xi \ in \ kappa ^{+}}}

byly přísně rostoucí posloupností otevřených sad. To znamená

{\ Displaystyle \ forall \ alpha <\ kappa ^{+}: \ qquad V _ {\ alpha} \ setminus \ bigcup _ {\ xi <\ alpha} V _ {\ xi} \ neq \ varnothing.}

Pro

{\ Displaystyle x \ in V _ {\ alpha} \ setminus \ bigcup _ {\ xi <\ alpha} V _ {\ xi},}

můžeme použít základ k nalezení nějakého U _γ s x v U _γ ⊆ V _α . Tímto způsobem můžeme dobře definovat mapu, f : κ ⁺ → κ mapující každé α na nejmenší γ, pro které U _γ ⊆ V _α a splňuje

{\ Displaystyle V _ {\ alpha} \ setminus \ bigcup _ {\ xi <\ alpha} V _ {\ xi}.}

Tato mapa je injektivní, jinak by existovala α < β s f ( α ) = f ( β ) = γ , což by dále znamenalo U _γ ⊆ V _α, ale také splňuje

{\ Displaystyle V _ {\ beta} \ setminus \ bigcup _ {\ xi <\ alpha} V _ {\ xi} \ subseteq V _ {\ beta} \ setminus V _ {\ alpha},}

což je rozpor. Ale to by ukázalo, že κ ⁺ ≤ κ , rozpor.

Viz také

Poznámky

Reference

Bibliografie

Adams, Colin ; Franzosa, Robert (2009). Úvod do topologie: čistý a aplikovaný . New Delhi: Pearson Education. ISBN 978-81-317-2692-1. OCLC 789880519 .
Arkhangel'skij, AV; Ponomarev, VI (1984). Základy obecné topologie: problémy a cvičení . Matematika a její aplikace. 13 . Přeložil z ruštiny VK Jain. Dordrecht: D. Reidel Publishing. Zbl 0568.54001 .
Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Obecná topologie: kapitoly 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Berlín New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 .
Bourbaki, Nicolas (1989) [1967]. Obecná topologie 2: Kapitoly 5–10 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . 4 . Berlín New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063 .
Dixmier, Jacques (1984). Obecná topologie . Vysokoškolské texty z matematiky. Přeložil Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303 .
Dolecki, Szymon ; Mynard, Frederic (2016). Konvergenční základy topologie . New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 .
Dugundji, James (1966). Topologie . Boston: Allyn a Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 .
Engelking, Ryszard (1977). Obecná topologie . Monografie Matematyczne. 60 . Varšava: PWN. Zbl 0373.54002 .
Joshi, KD (1983). Úvod do obecné topologie . New York: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750 .
James Munkres (1975) Topologie: první kurz . Prentice-Hall.
Munkres, James R. (2000). Topologie (druhé vydání.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 .
Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory . Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Schechter, Eric (1996). Příručka analýzy a jejích základů . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
Schubert, Horst (1968). Topologie . Londýn: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753 .
Willard, Stephen (2004) [1970]. Obecná topologie . Dover Books on Mathematics (First ed.). Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .
Willard, Stephen (1970) Obecná topologie . Addison-Wesley. Přetištěno 2004, Dover Publications.

Languages

In other projects