Bhāskara II - Bhāskara II

Bhāskara II
narozený	C.  1114 n. L [Vijjalvid (Vijjadavida)]
Zemřel	C.  1185 n. L Ujjain
Ostatní jména	Bhāskarācārya
Akademické pozadí
Akademická práce
Éra	Shaka éra
Disciplína	Matematik, astronom
Hlavní zájmy	Algebra , počet , aritmetika , trigonometrie
Pozoruhodné práce	Siddhānta Shiromani ( Līlāvatī , Bījagaṇita , Grahagaṇita a Golādhyāya) , Karaṇa-Kautūhala

Bhāskara (c. 1114–1185) také známý jako Bhāskarāchārya („Bhāskara, učitel“) a jako Bhāskara II, aby se vyhnul záměně s Bhāskarou I , byl indický matematik a astronom . Z veršů, v jeho hlavním díle Siddhant Shiromani (सिध्दांतशिरोमणी), lze usuzovat, že se narodil v roce 1114 ve Vijjalvid (Vijjadavida) v pohoří Sahyadhri, poblíž města Patan v oblasti Západního Ghátu v dnešním Khandesh v Maharashtra. Je jediným starověkým matematikem, který byl zvěčněn na pomníku. V chrámu v Maharashtře, nápisu, který údajně vytvořil jeho vnuk Cangadeva, je uveden rodový rod Bhaskaracharyi několik generací před ním a dvě generace po něm. Colebrooke, který jako první Evropan překládal (1817) Matematická klasika Bhaskaracharyi II. Označuje rodinu jako Maharashtrian Brahmins s bydlištěm na břehu Godavari.

Bhaskara II se narodil v rodině učenců, matematiků a astronomů v hinduistické Deshastha Brahmin a byl vedoucím kosmické observatoře v Ujjainu , hlavním matematickém centru starověké Indie . Bhāskara a jeho díla představují významný příspěvek k matematickým a astronomickým znalostem ve 12. století. Byl nazýván největším matematikem středověké Indie. Jeho hlavní práce Siddhanta-Śiromani , ( Sanskrit pro „koruna pojednání“) je rozdělen do čtyř částí zvaných Lilavati , Bījagaṇita , Grahaganita a Goladhyaya , které jsou také někdy považovány za čtyři nezávislé práce. Tyto čtyři sekce se zabývají aritmetikou, algebrou, matematikou planet a sfér. Napsal také další pojednání jménem Karaṇā Kautūhala.

Bhāskarova práce na počtu předchází Newtonovi a Leibnizovi o více než půl tisíciletí. On je zvláště známý v objevu principů diferenciálního počtu a jeho aplikaci na astronomické problémy a výpočty. Zatímco Newtonovi a Leibnizovi byl připisován diferenciální a integrální počet, existují pádné důkazy, které naznačují, že Bhāskara byl průkopníkem v některých principech diferenciálního počtu. Byl pravděpodobně prvním, kdo pojal diferenciální koeficient a diferenciální počet.

Datum, místo a rodina

Bhāskara uvádí své datum narození a datum složení svého hlavního díla ve verši v Āryā metru :

rasa-guṇa-porṇa-mahīsama śhaka-nṛpa samaye 'bhavat mamotpattiḥ |
rasa-guṇa-varṣeṇa mayā siddhānta-śiromaṇī racitaḥ ||

To ukazuje, že se narodil v 1036 z éry Shaka (1114 CE ), a že složil Siddhanta-Śiromaṇī , když mu bylo 36 let. Když mu bylo 69 (v roce 1183), napsal také další dílo s názvem Karaṇa-kutūhala . Jeho práce ukazují vliv Brahmagupta , Śrīdhara , Mahavira , Padmanabha a jiných předchůdců.

Narodil se v rodině Deśastha Rigvedi Brahmin poblíž Vijjadavida (věřil být Bijjaragi z Vijayapur v moderní Karnataka ). Bhāskara je údajně vedoucím astronomické observatoře v Ujjainu , předním matematickém centru středověké Indie. Žil v oblasti Sahyadri (Patnadevi, v okrese Jalgaon, Maharashtra).

Historie zaznamenává, že jeho pra-pra-pradědeček zastával dědičný post soudního učence, stejně jako jeho syn a další potomci. Jeho otec Maheśvara (Maheśvaropādhyāya) byl matematik, astronom a astrolog, který ho učil matematiku, kterou později předal svému synovi Loksamudrovi. Syn Loksamudry pomohl v roce 1207 založit školu pro studium Bhāskarových spisů. Zemřel v roce 1185 n. L.

Siddhanta-Śiromani

Līlāvatī

První část Līlāvatī (také známá jako pāṭīgaṇita nebo aṅkagaṇita ), pojmenovaná po jeho dceři, se skládá z 277 veršů. Obsahuje výpočty, průběhy, měření , permutace a další témata.

Bijaganita

Druhá část Bījagaṇita (Algebra) má 213 veršů. Diskutuje nula, nekonečno, kladná a záporná čísla a neurčité rovnice včetně (nyní nazývané) Pellovy rovnice , řešení pomocí metody kuṭṭaka . Zejména také vyřešil případ, který měl o století později uniknout Fermatovi a jeho evropským současníkům. ${\ Displaystyle 61x^{2}+1 = y^{2}}$

Grahaganita

Ve třetí sekci Grahagaṇita při ošetřování pohybu planet zvažoval jejich okamžité rychlosti. Dospěl k aproximaci: Skládá se ze 451 veršů

${\ Displaystyle \ sin y '-\ sin y \ zhruba (y'-y) \ cos y}$pro blízko nebo v moderní notaci:${\ displaystyle y '}$${\ displaystyle y}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dy}} \ sin y = \ cos y}$.

Podle jeho slov:

bimbārdhasya koṭijyā guṇastrijyāhāraḥ phalaṃ dorjyāyorantaram

Tento výsledek také dříve pozoroval Muñjalācārya (nebo Mañjulācārya) mānasam v kontextu tabulky sinů.

Bhāskara také uvedl, že v nejvyšším bodě je okamžitá rychlost planety nulová.

Matematika

Některé z příspěvků Bhaskary k matematice zahrnují následující:

• Doklad o Pythagorovy věty výpočtem stejnou plochu dvěma různými způsoby, a pak zrušení se podmínky, jak získat z ² + b ² = c ² .
• V Lilavati jsou vysvětlena řešení kvadratických , kubických a kvartických neurčitých rovnic .
• Řešení neurčitých kvadratických rovnic (typu ax ² + b = y ² ).
• Celočíselná řešení lineárních a kvadratických neurčitých rovnic ( Kuṭṭaka ). Pravidla, která dává, jsou (ve skutečnosti) stejná jako ta, která dávají renesanční evropští matematici 17. století.
• Cyklická Chakravala metoda pro řešení neurčitých rovnic tvaru osa ² + bx + c = y . Řešení této rovnice bylo tradičně připisováno Williamovi Brounckerovi v roce 1657, ačkoli jeho metoda byla obtížnější než metoda chakravala .
• První obecnou metodu pro hledání řešení úlohy x ² - ny ² = 1 (tzv. „ Pellova rovnice “) dala Bhaskara II.
• Řešení diofantických rovnic druhého řádu, například 61 x ² + 1 = y ² . Právě tuto rovnici představoval jako problém v roce 1657 francouzský matematik Pierre de Fermat , ale její řešení bylo v Evropě do doby Eulera v 18. století neznámé .
• Vyřešil kvadratické rovnice s více než jednou neznámou a našel negativní a iracionální řešení.
• Předběžný koncept matematické analýzy .
• Předběžný koncept nekonečně malého počtu spolu s významnými příspěvky k integrálnímu počtu .
• Koncipovaný diferenciální počet , po objevení aproximace derivačního a diferenciálního koeficientu.
• Uvedená Rollova věta , speciální případ jedné z nejdůležitějších vět v analýze, věta o střední hodnotě . Stopy obecné věty o střední hodnotě se nacházejí také v jeho dílech.
• Vypočítané deriváty goniometrických funkcí a vzorců. (Viz část Kalkul níže.)
• V Siddhanta-Śiromani vyvinula Bhaskara sférickou trigonometrii spolu s řadou dalších trigonometrických výsledků. (Viz část Trigonometrie níže.)

Aritmetický

Bhaskara je aritmetický textu Lilavati pojednává o definic, aritmetických pojmů, úrokové počítání, aritmetické a geometrické posloupnosti, planimetrie , geometrii , stínu gnomon , metody pro řešení neurčitých rovnic a kombinace .

Līlāvatī je rozdělena do 13 kapitol a pokrývá mnoho oborů matematiky, aritmetiky, algebry, geometrie a malé trigonometrie a měření. Konkrétněji obsah zahrnuje:

• Definice.
• Vlastnosti nuly (včetně dělení a pravidel operací s nulou).
• Další rozsáhlá numerická práce, včetně použití záporných čísel a surdů .
• Odhad π .
• Aritmetické termíny, metody násobení a kvadratury .
• Inverzní pravidlo tří a pravidla 3, 5, 7, 9 a 11.
• Problémy zahrnující zájem a výpočet úroků.
• Neurčité rovnice ( Kuṭṭaka ), celočíselná řešení (prvního a druhého řádu). Jeho příspěvky k tomuto tématu jsou obzvláště důležité, protože pravidla, která dává, jsou (ve skutečnosti) stejná jako pravidla daná renesančními evropskými matematiky 17. století, přesto jeho práce pocházela z 12. století. Bhaskarova metoda řešení byla vylepšením metod nalezených v práci Aryabhaty a dalších matematiků.

Jeho práce je vynikající svou systematizací, vylepšenými metodami a novými tématy, která představil. Kromě toho Lilavati obsahoval vynikající problémy a předpokládá se, že Bhaskarovým záměrem mohlo být, aby se student 'Lilavati' zabýval mechanickou aplikací metody.

Algebra

Jeho Bījaganita („ Algebra “) byla dílem ve dvanácti kapitolách. Byl to první text, který rozpoznal, že kladné číslo má dvě odmocniny (kladnou a zápornou odmocninu). Jeho práce Bījaganita je ve skutečnosti pojednáním o algebře a obsahuje následující témata:

• Kladná a záporná čísla .
• „Neznámý“ (zahrnuje určování neznámých veličin).
• Určení neznámých veličin.
• Surds (zahrnuje hodnocení surds).
• Kuṭṭaka (pro řešení neurčitých rovnic a diofantických rovnic ).
• Jednoduché rovnice (neurčité druhého, třetího a čtvrtého stupně).
• Jednoduché rovnice s více než jednou neznámou.
• Neurčité kvadratické rovnice (typu ax ² + b = y ² ).
• Řešení neurčitých rovnic druhého, třetího a čtvrtého stupně.
• Kvadratické rovnice.
• Kvadratické rovnice s více než jednou neznámou.
• Operace s produkty několika neznámých.

Bhaskara odvodil cyklickou, chakravala metodu pro řešení neurčitých kvadratických rovnic tvaru osa ² + bx + c = y. Bhaskarova metoda pro hledání řešení úlohy Nx ² + 1 = y ² (takzvaná „ Pellova rovnice “) má značný význam.

Trigonometrie

Siddhanta Shiromani (psáno v roce 1150) prokazuje znalosti Bhaskara je trigonometrie, včetně tabulky sine a vztahů mezi jednotlivými goniometrických funkcí. Spolu s dalšími zajímavými trigonometrickými výsledky také vyvinul sférickou trigonometrii . Bhaskara se zejména zdálo, že se více zajímá o trigonometrii pro sebe, než o jeho předchůdce, kteří ji považovali pouze za nástroj pro výpočet. Mezi mnoho zajímavých výsledků poskytnutých Bhaskarou patří výsledky nalezené v jeho pracích včetně výpočtu sinusů úhlů 18 a 36 stupňů a dnes již dobře známých vzorců pro a . ${\ Displaystyle \ sin \ left (a+b \ right)}$${\ Displaystyle \ sin \ left (ab \ right)}$

Počet

Jeho dílo Siddhānta Shiromani je astronomickým pojednáním a obsahuje mnoho teorií, které se v dřívějších pracích nenacházely. Zvláště zajímavé jsou předběžné koncepce nekonečně malého počtu a matematické analýzy spolu s řadou výsledků v trigonometrii , diferenciálním počtu a integrálním počtu, které se v práci nacházejí.

Důkazy naznačují, že Bhaskara byl seznámen s některými myšlenkami diferenciálního počtu. Bhaskara také jde hlouběji do „diferenciálního počtu“ a navrhuje, aby diferenciální koeficient zmizel při extrémní hodnotě funkce, což naznačuje znalost konceptu „ nekonečně malých “.

• Existují důkazy o rané formě Rolleovy věty v jeho díle. Moderní formulace Rollovy věty říká, že když , tak pro některé s .${\ Displaystyle f \ left (a \ right) = f \ left (b \ right) = 0}$${\ Displaystyle f '\ left (x \ right) = 0}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ a <x <b}$
• Výsledkem bylo, že pokud ano , našel derivát sinu, ačkoli nikdy nerozvinul pojem derivátů. ${\ displaystyle x \ zhruba y}$${\ Displaystyle \ sin (y)-\ sin (x) \ zhruba (yx) \ cos (y)}$
  • Bhaskara používá tento výsledek k určení úhlu polohy ekliptiky , což je množství potřebné pro přesnou předpověď času zatmění.
• Při výpočtu okamžitého pohybu planety nebyl časový interval mezi po sobě následujícími polohami planet větší než truti neboli 1 / 33750 sekundy a jeho rychlost byla vyjádřena v této nekonečně malé časové jednotce.
• Věděl, že když proměnná dosáhne maximální hodnoty, její diferenciál zmizí.
• Ukázal také, že když je planeta nejvzdálenější od Země nebo na její nejbližší, je rovnice středu (míra toho, jak daleko je planeta od polohy, ve které se předpovídá, že se má pohybovat, za předpokladu, že se má pohybovat rovnoměrně) zmizí. Došel tedy k závěru, že pro nějakou mezipolohu je diferenciál rovnice středu roven nule. V tomto výsledku existují stopy obecné věty o střední hodnotě , jedné z nejdůležitějších vět v analýze, která je dnes obvykle odvozena z Rolleovy věty. Parameshvara později v 15. století našel větu o průměrných hodnotách v Lilavati Bhasya , komentáři k Bhaskarově Lilavati .

Madhava (1340–1425) a matematici Kerala School (včetně Parameshvary) od 14. století do 16. století rozšířili Bhaskarovu práci a dále pokročili ve vývoji počtu v Indii.

Astronomie

Pomocí astronomického modelu vyvinutého Brahmaguptou v 7. století Bhāskara přesně definoval mnoho astronomických veličin, včetně například délky hvězdného roku , času, který je zapotřebí k tomu, aby Země obíhala kolem Slunce, přibližně 365,2588 dne, což je stejné jako v Suryasiddhanta. Moderní přijímané měření je 365,256366 dní , což je rozdíl pouhých 3,5 minuty.

Jeho text z matematické astronomie Siddhanta Shiromani je psán ve dvou částech: první část o matematické astronomii a druhá část o sféře .

Dvanáct kapitol první části se zabývá tématy, jako jsou:

• Střední délek jednotlivých planet .
• Skutečné zeměpisné délky planet.
• Tyto tři problémy z denního otáčení . (Denní pohyb je astronomický termín odkazující na zdánlivé denní pohyb hvězd kolem Země, nebo přesněji kolem dvou nebeský pól. Je to způsobeno tím, rotace Země kolem své osy, takže každé hvězdy očividně pohybuje se po kruhu, který se nazývá denní kruh.)
• Syzygies .
• Zatmění Měsíce .
• Zatmění Slunce .
• Zeměpisné šířky .
• Rovnice východu slunce
• Moon ‚s půlměsíc .
• Spojení planet mezi sebou.
• Spojení planet s fixními hvězdami .
• Cesty Slunce a Měsíce.

Druhá část obsahuje třináct kapitol o sféře. Zahrnuje témata jako:

• Chvála za studium sféry.
• Povaha sféry.
• Kosmografie a geografie .
• Planetární střední pohyb .
• Excentrický epicyklický model planet.
• Armilární koule .
• Sférická trigonometrie .
• Výpočty elipsy .
• První viditelnost planet.
• Výpočet měsíčního půlměsíce.
• Astronomické přístroje.
• Na období .
• Problémy astronomických výpočtů.

Inženýrství

Nejstarší zmínky o stroji s trvalým pohybem pocházejí z roku 1150, kdy Bhāskara II popsal kolo , o kterém tvrdil, že poběží navždy.

Bhāskara II používal měřicí zařízení známé jako Yaṣṭi-yantra . Toto zařízení se může lišit od jednoduché tyče až po tyče ve tvaru písmene V navržené speciálně pro určování úhlů pomocí kalibrované stupnice.

Legendy

Ve své knize Lilavati uvádí: „V tomto množství, které má jako svého dělitele nulu, se nic nezmění, i když do něj vstoupilo nebo z něj vyšlo mnoho veličin, stejně jako v době zničení a stvoření, když se tlačí davy tvorů vstupuje a vychází z [z něj, v nekonečném a neměnném [Višnuovi] není žádná změna “.

"Spatřit!"

Několik autorů uvedlo, že Bhaskara II dokázala Pythagorovu větu nakreslením diagramu a poskytnutím jediného slova „Hle!“. Někdy je jméno Bhaskara vynecháno a toto je označováno jako hinduistický důkaz , dobře známý školáky.

Jak však zdůrazňuje historik matematiky Kim Plofker, po předvedení zpracovaného příkladu uvádí Bhaskara II Pythagorovu větu:

Proto je kvůli stručnosti druhá odmocnina součtu druhých mocnin paže a svislé polohy přepona: je tedy ukázána.

Následuje:

A jinak, když člověk nastaví ty části obrázku tam [pouze] vidí [to stačí].

Plofker naznačuje, že toto dodatečné prohlášení může být konečným zdrojem rozšířeného „Hle!“ legenda.

Dědictví

Po něm je pojmenována řada ústavů a ​​vysokých škol v Indii, včetně Bhaskaracharya Pratishthana v Pune, Bhaskaracharya College of Applied Sciences v Dillí, Bhaskaracharya Institute for Space Applications a Geo-Informatics v Gandhinagaru.

Dne 20. listopadu 1981 vypustila indická organizace pro vesmírný výzkum (ISRO) satelit Bhaskara II na počest matematika a astronoma.

Společnost Invis Multimedia vydala v roce 2015 indický dokumentární film Bhaskaracharya o matematikovi.

Viz také

• Seznam indických matematiků

Reference

Bibliografie

• Burton, David M. (2011), The History of Mathematics: An Introduction (7th ed.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-338315-6
• Eves, Howard (1990), An Introduction to the History of Mathematics (6. ed.), Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029558-4
• Mazur, Joseph (2005), Euclid v deštném pralese , Plume, ISBN 978-0-452-28783-9
• Sarkār, Benoy Kumar (1918), Hindské úspěchy v exaktní vědě: studie z historie vědeckého vývoje , Longmans, Green a spol.
• Seal, Sir Brajendranath (1915), Pozitivní vědy starověkých hinduistů , Longmans, Green a spol.
• Colebrooke, Henry T. (1817), aritmetika a měření Brahmegupta a Bhaskara
• White, Lynn Townsend (1978), „Tibet, Indie a Malajsko jako zdroje západní středověké technologie“, středověké náboženství a technologie: sebrané eseje , University of California Press, ISBN 978-0-520-03566-9
• Selin, Helaine , ed. (2008), „Astronomical Instruments in India“, Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (2. vydání) , Springer Verlag Ny, ISBN 978-1-4020-4559-2
• Shukla, Kripa Shankar (1984), „Použití kalkulu v hindské matematice“, Indian Journal of History of Science , 19 : 95–104
• Pingree, David Edwin (1970), Census of the Exact Sciences v sanskrtu , 146 , American Philosophical Society, ISBN 9780871691460
• Plofker, Kim (2007), „Mathematics in India“, in Katz, Victor J. (ed.), The Mathematics of Egypt, Mezopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook , Princeton University Press, ISBN 9780691114859
• Plofker, Kim (2009), Matematika v Indii , Princeton University Press, ISBN 9780691120676
• Cooke, Roger (1997), „The Mathematics of the Hindus“ , The History of Mathematics: A Brief Course , Wiley-Interscience, s.  213–215 , ISBN 0-471-18082-3
• Poulose, KG (1991), KG Poulose (ed.), Vědecké dědictví Indie, matematika , Ravivarma Samskr̥ta granthāvali, 22 , Govt. Sanskrit College (Tripunithura, Indie)
• Chopra, Pran Nath (1982), Náboženství a komunity v Indii , Vision Books, ISBN 978-0-85692-081-3
• Goonatilake, Susantha (1999), Směrem ke globální vědě: těžba civilizačních znalostí , Indiana University Press, ISBN 978-0-253-21182-8
• Selin, Helaine ; D'Ambrosio, Ubiratan , eds. (2001), „Matematika napříč kulturami: historie nezápadní matematiky“, Věda napříč kulturami , Springer, 2 , ISBN 978-1-4020-0260-1
• Stillwell, John (2002), Matematika a její historie, Pregraduální texty z matematiky , Springer, ISBN 978-0-387-95336-6
• Sahni, Madhu (2019), Pedagogika matematiky , Nakladatelství Vikas, ISBN 978-9353383275

Další čtení

• WW Rouse Ball. Krátký popis dějin matematiky , 4. vydání. Dover Publications, 1960.
• George Gheverghese Joseph. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics , 2. vydání. Penguin Books , 2000.
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , „Bhāskara II“ , MacTutor Dějiny archivu matematiky , University of St Andrews University of St Andrews , 2000.
• Ian Pearce. Bhaskaracharya II v archivu MacTutor. St Andrews University, 2002.
• Pingree, David (1970–1980). „Bhāskara II“. Slovník vědecké biografie . 2 . New York: Charles Scribner's Sons. s. 115–120. ISBN 978-0-684-10114-9.

externí odkazy

• Životopis MacTutora
• 4to40 Biography
• Kalkulus v Kerale