Haarova míra - Haar measure

V matematické analýze se opatření Haar přiřadí „neměnnou hlasitosti“ pro podmnožiny místně kompaktní topologické skupin , tedy definuje integrál pro funkce na těchto skupinách.

Toto opatření zavedl Alfréd Haar v roce 1933, ačkoli jeho speciální případ pro Lieovy skupiny zavedl Adolf Hurwitz v roce 1897 pod názvem „invariantní integrál“. Haar opatření se používají v mnoha částech analýzy , teorie čísel , teorie grup , teorie reprezentace , statistiky , teorie pravděpodobnosti a ergodický teorie .

Předkola

Dovolit být místně kompaktní Hausdorff topological skupina . Algebra vyrobené ve všech otevřených podmnožin se nazývá Borel algebra . Prvek borelské algebry se nazývá Borelova množina . Pokud je prvek a je podmnožina , pak definujeme levé a pravé překládá z o g takto: ${\displaystyle (G,\cdot )}$ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$

• Překlad vlevo:

${\displaystyle gS=\{g\cdot s\,:\,s\in S\}.}$

• Pravý překlad:

${\displaystyle Sg=\{s\cdot g\,:\,s\in S\}.}$

Vlevo a vpravo překládá sady Borel na sady Borel.

Míra na Borelských podmnožinách se nazývá left-translation-invariant if for all Borel subsets and all one has ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle G}$${\displaystyle S\subseteq G}$${\displaystyle g\in G}$

${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S).\quad }$

Míra na Borelských podmnožinách se nazývá pravý překlad-neměnný, pokud pro všechny Borelské podmnožiny a všechny má ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle G}$${\displaystyle S\subseteq G}$${\displaystyle g\in G}$

${\displaystyle \mu (Sg)=\mu (S).\quad }$

Haarova věta

Na Borelských podskupinách splňuje následující vlastnosti až do kladné multiplikativní konstanty jedinečné spočitatelné aditivní , netriviální měřítko : ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle G}$

• Měřítko je invariantní pro překlad vlevo: pro všechny Borelovy sady .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S)}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle S\subseteq G}$
• Míra je konečná u každé kompaktní sady: u všech kompaktních .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu (K)<\infty }$${\displaystyle K\subseteq G}$
• Míra je vnější pravidelná na Borelových sadách :${\displaystyle \mu }$${\displaystyle S\subseteq G}$

${\displaystyle \mu (S)=\inf\{\mu (U):S\subseteq U,U{\text{ open}}\}.}$

• Míra je vnitřní pravidelná u otevřených sad :${\displaystyle \mu }$${\displaystyle U\subseteq G}$

${\displaystyle \mu (U)=\sup\{\mu (K):K\subseteq U,K{\text{ compact}}\}.}$

Taková míra na se nazývá levá Haarova míra. Lze to ukázat jako důsledek výše uvedených vlastností, které pro každou neprázdnou otevřenou podmnožinu . Zejména pokud je kompaktní, pak je konečný a kladný, takže můžeme jednoznačně určit levou Haarovu míru přidáním podmínky normalizace . ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu (U)>0}$${\displaystyle U\subseteq G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu (G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu (G)=1}$

V kompletním Analogicky lze také prokázat existenci a jedinečnost v pravé míře Haar on . Obě opatření se nemusí shodovat. ${\displaystyle G}$

Někteří autoři definují Haarovu míru spíše na Baireových sadách než na Borelových sadách. Díky tomu nejsou podmínky pravidelnosti nutné, protože opatření Baire jsou automaticky pravidelná. Halmos spíše matoucně používá termín „Borelova množina“ pro prvky -kroužku generovaného kompaktními množinami a na těchto množinách definuje Haarova měřítka. ${\displaystyle \sigma }$

Levá Haarova míra splňuje podmínku vnitřní pravidelnosti pro všechny -konečné Borelovy sady, ale nemusí být vnitřní pravidelná pro všechny Borelovy sady. Například součin jednotkové kružnice (s její obvyklou topologií) a skutečná přímka s diskrétní topologií je lokálně kompaktní skupina s produktovou topologií a Haarova míra na této skupině není pro uzavřenou podmnožinu vnitřní pravidelná . (Kompaktní podmnožiny tohoto svislého segmentu jsou konečné množiny a body mají míru , takže míra jakékoli kompaktní podmnožiny tohoto svislého segmentu je . Ale pomocí vnější pravidelnosti lze ukázat, že segment má nekonečnou míru.) ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \{1\}\times [0,1]}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$

Existenci a jedinečnost (až do škálování) levého Haarova měřítka poprvé v plné obecnosti prokázal André Weil . Weilův důkaz použil zvolený axiom a Henri Cartan poskytl důkaz, který se vyhnul jeho použití. Cartanův důkaz také určuje existenci a jedinečnost současně. Zjednodušený a úplný popis Cartanova argumentu podal Alfsen v roce 1963. Zvláštní případ invariantní míry pro druhé spočítatelné lokálně kompaktní skupiny ukázal Haar v roce 1933.

Příklady

• Pokud se jedná o diskrétní skupinu , pak se kompaktní podmnožiny shodují s konečnými podmnožinami a míra Haar zapnutá (levá a pravá invariantní) je počítací mírou . ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$
• Haarova míra na topologické skupině, která bere hodnotu na intervalu, se rovná omezení Lebesgueovy míry na Borelovy podmnožiny . To lze zobecnit na${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+).}$
• Aby bylo možné definovat Haarovu míru ve skupině kruhů , zvažte funkci od do definovanou . Potom lze definovat pomocí ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,2\pi ]}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle f(t)=(\cos(t),\sin(t))}$${\displaystyle \mu }$

  ${\displaystyle \mu (S)={\frac {1}{2\pi }}m\left(f^{-1}(S)\right),}$

  kde je míra Lebesgue . Faktor je zvolen tak, že . ${\displaystyle m}$${\displaystyle [0,2\pi ]}$${\displaystyle (2\pi )^{-1}}$${\displaystyle \mu (\mathbb {T} )=1}$
• Pokud je skupina kladných reálných čísel pod násobením, pak je Haarova míra dána vztahem ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu }$

  ${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{t}}\,dt}$

  pro jakoukoli Borelovu podmnožinu kladných reálných čísel. Pokud je například brán interval , pak najdeme . Nyní necháme multiplikativní skupinu působit na tento interval vynásobením všech jejích prvků číslem , což má za následek interval Měření tohoto nového intervalu zjistíme${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \mu (S)=\log(b/a)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle gS}$${\displaystyle [g\cdot a,g\cdot b].}$${\displaystyle \mu (gS)=\log((g\cdot b)/(g\cdot a))=\log(b/a)=\mu (S).}$
• Pokud je skupina nenulových reálných čísel s násobením jako operací, pak je Haarova míra dána vztahem ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu }$

  ${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{|t|}}\,dt}$

  pro jakoukoli Borelovu podmnožinu nenulových realit. ${\displaystyle S}$
• Pro obecnou lineární skupinu je jakákoli levá Haarova míra pravou Haarovou mírou a jedno takové měřítko je dáno vztahem ${\displaystyle G=GL(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mu }$

  ${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{1 \over |\det(X)|^{n}}\,dX}$

  kde označuje Lebesgueovu míru identifikovanou se sadou všech matic. Vyplývá to ze vzorce pro změnu proměnných . ${\displaystyle dX}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$${\displaystyle n\times n}$
• Pokud zobecníme předchozí tři příklady, je -li skupina reprezentována jako otevřený dílčí rozdělovač s hladkými skupinovými operacemi, pak je míra Haarova levého dána vztahem , kde je jakobijský determinant levého násobení a je Lebesgueova míra zapnutá . Vyplývá to ze vzorce pro změnu proměnných . Pravá Haarova míra je dána stejným způsobem, kromě toho, že je jakobiánem správného násobení . ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathbb {R}}^{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\frac {1}{|J(x)|}}d^{n}x}$${\displaystyle J(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle d^{n}x}$${\displaystyle {\mathbb {R}}^{n}}$${\displaystyle J(x)}$${\displaystyle x}$
• Nechť je množina všech afinních lineárních transformací formy pro některé fixované pomocí Associate s operací složení funkce , která přechází do neabelské skupiny. lze identifikovat s pravou poloviční rovinou, pod níž se skupinová operace stane Haarovou mírou invariantní vlevo (respektive Haarova míra invariantní vpravo ), je dána vztahem ${\displaystyle G}$${\displaystyle A:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle r\mapsto xr+y}$${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle x>0.}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \circ }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (0,\infty )\times \mathbb {R} =\left\{(x,y)~:~x,y\in \mathbb {R} ,x>0\right\}}$${\displaystyle (s,t)\circ (u,v)=(su,sv+t).}$${\displaystyle \mu _{L}}$${\displaystyle \mu _{R}}$${\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} }$

  ${\displaystyle \mu _{L}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy}$     a     ${\displaystyle \mu _{R}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy}$

  pro každou Borel podmnožinu z To proto, že v případě, je otevřená podmnožina pak pro pevné, substituční metoda dává ${\displaystyle S}$${\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} .}$${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )\times \mathbb {R} }$${\displaystyle (s,t)\in G}$

  ${\displaystyle \mu _{L}((s,t)\circ S)=\int _{(s,t)\circ S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{(su)^{2}}}|(s)(s)-(0)(0)|\,du\,dv=\mu _{L}(S)}$

  zatímco pro pevné, ${\displaystyle (u,v)\in G}$

  ${\displaystyle \mu _{R}(S\circ (u,v))=\int _{S\circ (u,v)}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{su}}|(u)(1)-(v)(0)|\,ds\,dt=\mu _{R}(S).}$

• Na každém Lieova skupiny rozměru doleva opatření Haar mohou být spojeny se nenulovou vlevo invariantní -formě , jako opatření Lebesgue ; a podobně pro pravá Haarova opatření. Znamená to také, že modulární funkce může být vypočítána, jako absolutní hodnota determinantu v zastoupení adjoint . ${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |\omega |}$
• Jednotka hyperbola může být užíván jako skupina pod násobením definované jako s rozděleným komplexní čísla Obvyklá oblast opatření srpku slouží k definování hyperbolický úhel jako oblasti jeho hyperbolického sektoru . Haarova míra jednotkové hyperboly je generována hyperbolickým úhlem segmentů na hyperbole. Například míra jedné jednotky je dána segmentem probíhajícím od (1,1) do (e, 1/e), kde e je Eulerovo číslo . Hyperbolický úhel byl využíván v matematické fyzice, přičemž rychlost odpovídá klasické rychlosti . ${\displaystyle \{(x,y):x^{2}-y^{2}=1,x>0\}}$ ${\displaystyle z=x+yj,\ \ j^{2}=+1.}$${\displaystyle C=\{(x,y):|y|<x,\ \ x^{2}-y^{2}<1\}}$
• Pokud je skupina nenulových kvaternionů , pak je lze považovat za otevřenou podmnožinu . Haarova míra je dána vztahem ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mu }$

  ${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})^{2}}}\,dx\,dy\,dz\,dw}$

  kde označuje Lebesgueovu míru a je Borelskou podmnožinou . ${\displaystyle dx\wedge dy\wedge dz\wedge dw}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$
• Pokud je aditivní skupina -adických čísel pro prvočíslo , pak Haarova míra je dána ponecháním míry , kde je kruh -adických celých čísel. ${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a+p^{n}O}$${\displaystyle p^{-n}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle p}$

Stavba Haarova opatření

Konstrukce využívající kompaktní podmnožiny

Následující metoda konstrukce Haarovy míry je v podstatě metodou, kterou použili Haar a Weil.

Pro všechny podmnožiny s neprázdnými definujte jako nejmenší počet levých překladů tohoto krytu (jedná se tedy o nezáporné celé číslo nebo nekonečno). Toto není aditivní na kompaktních sadách , i když má tu vlastnost, že pro disjunktní kompaktní sady za předpokladu, že je dostatečně malé otevřené sousedství identity (v závislosti na a ). Myšlenka Haarova opatření spočívá v tom, že vezme jakýsi limit , který se zmenší, aby se stal aditivním pro všechny páry disjunktních kompaktních množin, ačkoli musí být nejprve normalizován, aby limit nebyl jen nekonečno. Opravte tedy kompaktní sadu s neprázdným vnitřkem (která existuje, protože skupina je lokálně kompaktní) a pro kompaktní sadu definujte ${\displaystyle S,T\subseteq G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle [T:S]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K\subseteq G}$${\displaystyle [K:U]+[L:U]=[K\cup L:U]}$${\displaystyle K,L\subseteq G}$${\displaystyle U}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle [K:U]}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}}$

kde je převzata hranice vhodně zaměřeného souboru otevřených čtvrtí identity, které jsou případně obsaženy v daném sousedství; existence řízené množiny tak, že limit existuje, následuje pomocí Tychonoffovy věty .

Funkce je aditivní v disjunktních kompaktních podmnožinách , což znamená, že jde o běžný obsah . Z pravidelného obsahu je možné zkonstruovat míru tak, že se nejprve rozšíří na otevřené sady podle vnitřní pravidelnosti, pak na všechny sady podle vnější pravidelnosti a poté ji omezí na Borelské sady. (I pro otevřené množiny nemusí být odpovídající míra dána výše uvedeným vzorcem lim sup. Problém je v tom, že funkce daná vzorcem lim sup není obecně spočítatelně subaditivní, a zejména je nekonečná na jakékoli sadě bez kompaktního uzavření, není to tedy vnější měřítko.) ${\displaystyle \mu _{A}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu _{A}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mu _{A}(U)}$

Konstrukce využívající kompaktně podporované funkce

Cartan zaveden jiný způsob konstruování Haar opatření jako opatření Radon (pozitivní lineární funkční na kompaktně podporovaných spojité funkce), která je podobná konstrukci výše kromě toho, že , a jsou pozitivní spojité funkce kompaktní podpory spíše než podmnožiny . V tomto případě definujeme jako infimum čísel takové, které je pro některé menší než lineární kombinace levých překladů . Stejně jako dříve definujeme ${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle U}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [K:U]}$${\displaystyle c_{1}+\cdots +c_{n}}$${\displaystyle K(g)}$${\displaystyle c_{1}U(g_{1}g)+\cdots +c_{n}U(g_{n}g)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}\in G}$

${\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}}$.

Skutečnost, že limit existuje, vyžaduje určité úsilí k prokázání, i když výhodou tohoto postupu je, že důkaz se vyhýbá použití axiomu volby a také dává jedinečnost Haarova měřítka jako vedlejšího produktu. Funkčnost se rozšiřuje na pozitivní lineární funkci na kompaktně podporovaných spojitých funkcích, a tak dává Haarovu míru. (Všimněte si, že i když je limit lineární , jednotlivé termíny nejsou obvykle lineární .) ${\displaystyle \mu _{A}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle [K:U]}$${\displaystyle K}$

Konstrukce využívající střední hodnoty funkcí

Von Neumann poskytl způsob konstrukce Haarova měřítka pomocí středních hodnot funkcí, ačkoli funguje pouze pro kompaktní skupiny. Myšlenka je taková, že vzhledem k funkci na kompaktní skupině lze najít konvexní kombinaci (kde ) jejího levého překladu, která se liší od konstantní funkce nanejvýš malým počtem . Pak jeden ukazuje, že jak má tendenci k nule, hodnoty těchto konstantních funkcí mají sklon k limitu, který se nazývá střední hodnota (nebo integrál) funkce . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sum a_{i}f(g_{i}g)}$${\displaystyle \sum a_{i}=1}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle f}$

U skupin, které jsou lokálně kompaktní, ale nejsou kompaktní, tato konstrukce nedává Haarovu míru, protože střední hodnota kompaktně podporovaných funkcí je nulová. Něco takového však funguje pro téměř periodické funkce ve skupině, které mají střední hodnotu, i když to není uvedeno s ohledem na Haarovu míru.

Stavba na Lieových skupinách

Na n -dimenzionální Lieově skupině lze Haarovu míru snadno sestrojit jako míru indukovanou levostranně invariantní n -formou. To bylo známo před Haarovou větou.

Správná Haarova míra

Lze také dokázat, že existuje jedinečné (až do násobení kladnou konstantou) pravo-translační invariantní Borelovo měřítko, které splňuje výše uvedené podmínky pravidelnosti a je konečné v kompaktních množinách, ale nemusí se shodovat s invariantem levého překladu měřit . Levá a pravá Haarova míra jsou stejné pouze pro takzvané unimodulární skupiny (viz níže). Najít vztah mezi a je však docela jednoduché . ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$

Skutečně, pro Borelovu množinu označme množinou inverzí prvků . Pokud definujeme ${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{-1}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mu _{-1}(S)=\mu (S^{-1})\quad }$

pak je to správné Haarovo opatření. Chcete -li zobrazit správnou invarianci, použijte definici:

${\displaystyle \mu _{-1}(Sg)=\mu ((Sg)^{-1})=\mu (g^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\mu _{-1}(S).\quad }$

Protože správná míra je jedinečná, vyplývá z toho, že je násobkem a podobně ${\displaystyle \mu _{-1}}$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \mu (S^{-1})=k\nu (S)\,}$

pro všechny sady Borel , kde je nějaká kladná konstanta. ${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$

Modulární funkce

Levé překládat z pravé míře Haar je správná opatření Haar. Přesněji, pokud je to správná Haarova míra, pak pro jakoukoli pevnou volbu skupinového prvku g, ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle S\mapsto \nu (g^{-1}S)\quad }$

je také správně invariantní. Jedinečností až do konstantního měřítka Haarova měřítka tedy existuje funkce od skupiny po kladné reality, nazývaná Haarův modul , modulární funkce nebo modulární charakter , takže pro každou Borelovu množinu${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \nu (g^{-1}S)=\Delta (g)\nu (S).\quad }$

Protože pravá Haarova míra je dobře definována až do kladného měřítka, ukazuje tato rovnice, že modulární funkce je nezávislá na výběru správné Haarovy míry ve výše uvedené rovnici.

Modulární funkce je spojitý skupinový homomorfismus od G do multiplikativní skupiny kladných reálných čísel . Skupina se nazývá unimodulární, pokud je modulární funkce identická , nebo ekvivalentně, pokud je Haarova míra invariantní pro levou i pravou stranu. Příklady unimodulárních skupin jsou abelianské skupiny , kompaktní skupiny , diskrétní skupiny (např. Konečné skupiny ), poloprosté Lieovy skupiny a spojené nilpotentní Lieovy skupiny . Příkladem neimodulární skupiny je skupina afinních transformací ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\big \{}x\mapsto ax+b:a\in \mathbb {R} \setminus \{0\},b\in \mathbb {R} {\big \}}=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

na skutečné lince. Tento příklad ukazuje, že řešitelná Lieova skupina nemusí být unimodulární. V této skupině je míra levého Haaru dána a pravá Haarova míra je . ${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}da\wedge db}$${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}da\wedge db}$

Opatření na homogenních prostorech

V případě, že lokálně kompaktní skupina působí přechodně v homogenním prostoru , můžeme se zeptat, zda tento prostor má neměnnou opatření, nebo obecněji na semi-invariantní opatření s majetkem, že pro některé postavy z . Nutnou a postačující podmínkou pro existenci takového opatření je, že omezení je rovna , kde a jsou modulární funkce a resp. Zejména invariantní míry na existuje tehdy a jen tehdy, pokud je modulární funkce z omezeno je modulární funkce z . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/H}$${\displaystyle \mu (gS)=\chi (g)\mu (S)}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \chi |_{H}}$${\displaystyle \Delta |_{H}/\delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G/H}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle H}$

Příklad

Pokud je skupina a je podskupinou horních trojúhelníkových matic, pak modulární funkce není netriviální, ale modulární funkce je triviální. Jejich kvocient nelze rozšířit na žádný znak , takže kvocientový prostor (který lze považovat za 1-dimenzionální skutečný projektivní prostor ) nemá ani semiinvariantní míru. ${\displaystyle G}$${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/H}$

Haarův integrál

Pomocí obecné teorie Lebesgueovy integrace lze pak definovat integrál pro všechny Borelovy měřitelné funkce na . Tento integrál se nazývá Haarův integrál a označuje se jako: ${\displaystyle f}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int f(x)\,d\mu (x)}$

kde je Haarova míra? ${\displaystyle \mu }$

Jednou z vlastností levého Haarova měřítka je, že necháváme -li být prvkem , platí následující: ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle s}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int _{G}f(x)\ d\mu (x)}$

pro jakoukoli Haar integrovatelnou funkci na . To je u funkcí indikátoru okamžité : ${\displaystyle f}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int {\mathit {1}}_{A}(tg)\,d\mu =\int {\mathit {1}}_{t^{-1}A}(g)\,d\mu =\mu (t^{-1}A)=\mu (A)=\int {\mathit {1}}_{A}(g)\,d\mu }$

což je v podstatě definice levé invariance.

Využití

Ve stejném čísle Annals of Mathematics a bezprostředně po Haarově referátu byla Haarova věta použita k vyřešení Hilbertova pátého problému pro kompaktní skupiny od Johna von Neumanna .

Pokud nejde o diskrétní skupinu, není možné podle teorie neměřitelných množin definovat spočítatelně aditivní aditivní levostranně neměnnou pravidelnou míru pro všechny podmnožiny , za předpokladu axiomu volby . ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Abstraktní harmonická analýza

Haarova opatření se používají v harmonické analýze lokálně kompaktních skupin, zejména v teorii Pontryaginovy ​​duality . K prokázání existence opatření Haar na místně kompaktní skupiny, tedy postačí vykazovat levé invariantní opatření Radon na . ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Matematická statistika

V matematické statistice se Haarova měřítka používají pro předchozí opatření, což jsou předchozí pravděpodobnosti pro kompaktní skupiny transformací. Tato předchozí opatření se používají ke konstrukci přípustných postupů , odvoláním se na to, že Wald charakterizuje přípustné postupy jako bayesovské postupy (nebo limity bayesovských postupů) . Například správná Haarova míra pro skupinu distribucí s parametrem umístění má za následek Pitmanův odhad , který je nejlépe ekvivariantní . Pokud se Haarova míra vlevo a vpravo liší, je jako předchozí distribuce obvykle upřednostňována pravá míra. Pro skupinu afinních transformací v parametrickém prostoru normálního rozdělení je pravá Haarova míra Jeffreysovým předchozím měřítkem. Bohužel i správná Haarova opatření někdy vedou k nepoužitelným prioritám, které nelze doporučit pro praktické použití, jako jiné metody vytváření předchozích opatření, která se vyhýbají subjektivním informacím.

Další použití Haarova měřítka ve statistice je v podmíněném odvození , ve kterém je distribuce vzorkování statistiky podmíněna jinou statistikou dat. Při invariantně-teoretické podmíněné inferenci je distribuce vzorkování podmíněna invariantem skupiny transformací (s ohledem na kterou je definována Haarova míra). Výsledek podmínění někdy závisí na pořadí, ve kterém jsou invarianty použity, a na volbě maximálního invariantu , takže statistický princip invariance sám o sobě nedokáže vybrat žádnou jedinečnou nejlepší podmíněnou statistiku (pokud existuje); je zapotřebí alespoň další zásada.

U nekompaktních skupin statistici rozšířili výsledky Haarova měření pomocí přístupných skupin .

Weilova věta o obrácení

V roce 1936 André Weil prokázal opak (svého druhu) k Haarově větě tím, že ukázal, že pokud má skupina levou invariantní míru s určitou oddělovací vlastností, lze na skupině definovat topologii a dokončení skupiny je lokální kompaktní a daná míra je v zásadě stejná jako Haarova míra při tomto dokončení.

Viz také

• Neměnná míra
• Dualita Pontryagina
• Riesz – Markov – Kakutani reprezentační věta

Poznámky

Další čtení

• Diestel, Joe; Spalsbury, Angela (2014), The Hays of Haar Measure , Graduate Studies in Mathematics, 150 , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-0935-7, MR  3186070
• Loomis, Lynn (1953), An Introduction to Abstract Harmonic Analysis , D. van Nostrand and Co., hdl : 2027/uc1.b4250788.
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1963), Abstraktní harmonická analýza. Sv. I: Struktura topologických skupin. Teorie integrace, skupinové reprezentace. , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 115 , Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag, MR  0156915
• Nachbin, Leopoldo (1965), The Haar Integral , Princeton, New Jersey: D. Van Nostrand
• André Weil , Základní teorie čísel , Academic Press, 1971.

externí odkazy

• Existence a jedinečnost Haarova integrálu na lokálně kompaktní topologické skupině - Gert K. Pedersen
• O existenci a jedinečnosti neměnných opatření na lokálně kompaktních skupinách - Simon Rubinstein -Salzedo