Zásada korespondence - Correspondence principle

Ve fyzice , že princip korespondence uvádí, že chování systémů popsaných teorie kvantové mechaniky (nebo u starých kvantové teorie ) reprodukuje klasickou fyziku v limitu velkých kvantových čísel . Jinými slovy říká, že pro velké oběžné dráhy a pro velké energie musí kvantové výpočty souhlasit s klasickými výpočty.

Princip formuloval Niels Bohr v roce 1920, ačkoli jej dříve použil již v roce 1913 při vývoji svého modelu atomu .

Termín kodifikuje myšlenku, že nová teorie by měla za určitých podmínek reprodukovat výsledky starších zavedených teorií v oblastech, kde staré teorie fungují. Tento koncept se poněkud liší od požadavku formálního limitu, pod kterým se nová teorie redukuje na starší, díky existenci parametru deformace.

Klasické veličiny se v kvantové mechanice objevují ve formě očekávaných hodnot pozorovatelných a jako taková Ehrenfestova věta (která předpovídá časový vývoj očekávaných hodnot) podporuje princip korespondence.

Kvantová mechanika

Pravidla kvantové mechaniky jsou velmi úspěšná při popisu mikroskopických objektů, atomů a elementárních částic . Ale makroskopické systémy, jako pružiny a kondenzátory , jsou přesně popsány klasickými teoriemi, jako je klasická mechanika a klasická elektrodynamika . Pokud by měla být kvantová mechanika použitelná na makroskopické objekty, musí existovat určitý limit, ve kterém se kvantová mechanika redukuje na klasickou mechaniku. Bohrův princip korespondence vyžaduje, aby klasická a kvantová fyzika dala stejnou odpověď, až se systémy stanou velkými . Arnold Sommerfeld v roce 1921 tento princip označil jako „Bohrs Zauberstab“ (Bohrova kouzelná hůlka).

Podmínky, za kterých se kvantová a klasická fyzika shodují, se označují jako limit korespondence nebo klasický limit . Bohr poskytl hrubý předpis pro limit korespondence: nastává, když jsou kvantová čísla popisující systém velká . Propracovanější analýza kvantově klasické korespondence (QCC) v šíření paketu vln vede k rozlišení mezi robustním „omezeným QCC“ a křehkým „podrobným QCC“. „Omezený QCC“ se týká prvních dvou momentů rozdělení pravděpodobnosti a platí, i když se vlnové pakety rozptylují, zatímco „detailní QCC“ vyžaduje hladké potenciály, které se mění v měřítcích mnohem větších než je vlnová délka, což Bohr zvažoval.

Post-1925 teorie nová kvantová přišel ve dvou různých formulacích. V maticové mechanice byl princip korespondence zabudován a byl použit ke konstrukci teorie. V Schrödingerově přístupu není klasické chování jasné, protože vlny se při pohybu šíří. Jakmile Schrödingerova rovnice dostala pravděpodobnostní interpretaci, Ehrenfest ukázal, že Newtonovy zákony platí v průměru: hodnota kvantové statistické očekávání polohy a hybnosti se řídí Newtonovými zákony.

Princip korespondence je jedním z nástrojů, které mají fyzici k dispozici pro výběr kvantových teorií odpovídajících realitě . Tyto principy kvantové mechaniky jsou široké: stavy fyzického systému tvoří komplexní vektorový prostor a fyzické observables jsou označeny hermitovských operátory , které působí na tomto Hilbertově prostoru . Princip korespondence omezuje výběr na ty, které reprodukují klasickou mechaniku v limitu korespondence.

Další vědecké teorie

Termín „princip korespondence“ se používá v obecnějším smyslu, aby za vhodných okolností znamenal redukci nové vědecké teorie na dřívější vědeckou teorii. To vyžaduje, aby nová teorie vysvětlila všechny jevy za okolností, pro které bylo známo, že předchozí teorie je platná, „limit korespondence“.

Například,

Einsteinova speciální relativita splňuje princip korespondence, protože redukuje na klasickou mechaniku v mezích rychlostí malých ve srovnání s rychlostí světla (příklad níže);
Obecná relativita se redukuje na newtonovskou gravitaci na hranici slabých gravitačních polí;
Laplaceova teorie nebeské mechaniky se redukuje na Keplerovu, když jsou meziplanetární interakce ignorovány;
Statistická mechanika reprodukuje termodynamiku, když je počet částic velký;
V biologii teorie dědičnosti chromozomů reprodukuje Mendelovy dědičné zákony v doméně, že dědičnými faktory jsou geny kódující bílkoviny .

Aby mohla existovat korespondence, musí mít dřívější teorie doménu platnosti - za určitých podmínek musí fungovat . Ne všechny teorie mají doménu platnosti. Například neexistuje žádný limit, kde by se Newtonova mechanika redukovala na Aristotelovu mechaniku, protože Aristotelova mechanika, přestože byla po 18 století akademicky dominantní, nemá žádnou doménu platnosti (na druhou stranu lze rozumně říci, že padání předmětů skrz vzduch („přirozený pohyb“) představuje oblast platnosti pro část Aristotelovy mechaniky).

Příklady

Bohrův model

Pokud se elektron v atomu pohybuje po oběžné dráze s periodou $T$ , elektromagnetické záření se klasicky bude opakovat každé oběžné období. Pokud je vazba na elektromagnetické pole slabá, takže oběžná dráha se v jednom cyklu příliš nerozpadá, bude záření vyzařováno ve vzoru, který se opakuje každé období, takže Fourierova transformace bude mít frekvence, které jsou pouze násobky $1 / T$ . Jedná se o klasické záření právo: kmitočty vysílané jsou celé násobky $1 / T$ .

V kvantové mechanice musí být tato emise v kvantách světla, frekvencí sestávajících z celočíselných násobků $1/ T$ , takže klasická mechanika je přibližný popis velkých kvantových čísel. To znamená, že energetická hladina odpovídající klasické oběžné dráze periody $1/ T$ musí mít blízké energetické hladiny, které se liší energií o $h/ T$ , a měly by být rovnoměrně rozmístěny poblíž této úrovně,

{\ Displaystyle \ Delta E_ {n} = {h \ over T (E_ {n})} ~.}

Bohr strach, zda energie rozteč 1 / $T$ by měla být nejlépe vypočítat období energetického stavu , nebo , nebo nějaký průměrně ve zpětném pohledu, tento model je pouze přední aproximace semiclassical. ${\ displaystyle E_ {n}}$ ${\ displaystyle E_ {n+1}}$

Bohr uvažoval o kruhových drahách. Klasicky se tyto dráhy musí při vyzařování fotonů rozpadat na menší kruhy. Rozteč úrovní mezi kruhovými oběžnými dráhami lze vypočítat pomocí korespondenčního vzorce. U atomu vodíku mají klasické oběžné dráhy periodu $T$ určenou Keplerovým třetím zákonem , jejíž měřítko je $r 3/2$ . Energie se stupňuje jako $1/ r$ , takže vzorec pro rozteč úrovní činí

{\ Displaystyle \ Delta E \ propto {1 \ over r^{3 \ over 2}} \ propto E^{3 \ over 2}.}

Energetické hladiny je možné určit rekurzivním sestupem po oběžné dráze po oběžné dráze, ale existuje zkratka.

Moment hybnosti $L$ kruhové dráhy se stupňuje jako $\sqrt r$ . Energie ve smyslu momentu hybnosti je pak

{\ Displaystyle E \ propto {1 \ over r} \ propto {1 \ over L^{2}}.}

Za předpokladu, s Bohrem, že kvantované hodnoty $L$ jsou rovnoměrně rozmístěny, je vzdálenost mezi sousedními energiemi

{\ Displaystyle \ Delta E \ propto {1 \ over (L+\ hbar)^{2}} -{1 \ over L^{2}} \ cca -{2 \ hbar \ over L^{3}} \ propto -E^{3 \ přes 2}.}

To je požadováno pro rovnoměrně rozmístěné úhlové momenty. Pokud by člověk sledoval konstanty, mezera by byla $ħ$ , takže moment hybnosti by měl být celočíselný násobek $ħ$ ,

{\ Displaystyle L = {nh \ over 2 \ pi} = n \ hbar ~.}

Bohr tak přišel ke svému modelu . Vzhledem k tomu, že na principu korespondence je heuristicky určen pouze rozestup úrovní , lze ke kvantovému číslu vždy přidat malý pevný offset - $L$ stejně dobře mohlo být $(n +338) ħ$ .

Bohr pomocí své fyzické intuice rozhodl, které veličiny je nejlepší kvantovat. Je to svědectví jeho dovednosti, že byl schopen získat tolik z toho, co je pouze vedoucí aproximací řádu . Méně heuristické zacházení odpovídá potřebným ofsetům v základním stavu L ² , srov. Wigner – Weylova transformace .

Jednorozměrný potenciál

Bohrovu podmínku korespondence lze pro energetické hladiny vyřešit v obecném jednorozměrném potenciálu. Definujte veličinu $J (E),$ která je funkcí pouze energie a má tu vlastnost, že

{\ displaystyle {dJ \ over dE} = T}

Toto je analog momentu hybnosti v případě kruhových drah. Oběžné dráhy vybrané principem korespondence, jsou ty, které dodržují $J = NH$ pro $n$ celé číslo, protože

{\ Displaystyle \ Delta E = E_ {n+1} -E_ {n} = {dE \ over dJ} (J_ {n+1} -J_ {n}) = {1 \ over T} \, \ Delta J }

Toto množství $J$ je canonically konjugát na variabilní $t Vstup$ , který pomocí Hamiltonovy rovnice pohybu se mění s časem, jako gradientu energie s $J$ . Protože se to vždy rovná inverzní periodě, proměnná $θ$ se během jedné periody plynule zvyšuje od 0 do 1.

Proměnná úhlu se k sobě vrátí po 1 jednotce zvětšení, takže geometrie fázového prostoru v souřadnicích $J, θ$ je poloviční válec uzavřený na $J$ = 0, což je nehybná oběžná dráha na nejnižší hodnotě energie. Tyto souřadnice jsou stejně kanonické jako $x, p$ , ale oběžné dráhy jsou nyní čáry konstantní $J$ místo vnořených ovoidů v prostoru $x - p$ .

Oblast uzavřená oběžnou dráhou je při kanonických transformacích neměnná , takže je v prostoru $x - p$ stejná jako v $J - θ$ . Ale v $J - t Vstup$ polohu, tato oblast je oblast válce jednotkové obvodu mezi 0 a $J$ , nebo jen $J$ . Takže $J$ se rovná oblasti uzavřené oběžnou dráhou v souřadnicích $xp$ ,

{\ Displaystyle J = \ int _ {0}^{T} p {dx \ over dt} \, dt ~.}

Kvantovací pravidlo je, že akční proměnná $J$ je celočíselný násobek $h$ .

Vícejazyčný pohyb: Bohr – Sommerfeldova kvantizace

Bohrův princip korespondence poskytl způsob, jak najít semiklasické kvantizační pravidlo pro jeden stupeň systému svobody. Byl to argument pro starou kvantovou podmínku, většinou nezávislou na té, kterou vyvinuli Wien a Einstein, která se zaměřila na adiabatickou invarianci . Ale oba poukazovali na stejné množství, akci.

Bohr se zdráhal zobecnit pravidlo na systémy s mnoha stupni volnosti. K tomuto kroku přistoupil Sommerfeld , který navrhl obecné kvantizační pravidlo pro integrovatelný systém,

{\ Displaystyle J_ {k} = hn_ {k}. \,}

Každá akční proměnná je samostatné celé číslo, samostatné kvantové číslo.

Tato podmínka reprodukuje podmínku kruhové oběžné dráhy pro dvourozměrný pohyb: nechť $r, θ$ jsou polární souřadnice pro centrální potenciál. Pak $θ$ je již úhlová proměnná a kanonický konjugát hybnosti je $L$ , moment hybnosti. Kvantová podmínka pro $L tedy$ reprodukuje Bohrovo pravidlo:

{\ Displaystyle \ int _ {0}^{2 \ pi} Ld \ theta = 2 \ pi L = nh.}

To umožnilo Sommerfeldu zobecnit Bohrovu teorii kruhových drah na eliptické dráhy, což ukazuje, že energetické hladiny jsou stejné. Zjistil také některé obecné vlastnosti kvantové hybnosti, které se v té době zdály paradoxní. Jedním z těchto výsledků bylo, že z-složka momentu hybnosti, klasický sklon oběžné dráhy vzhledem k ose z, mohla nabývat pouze diskrétních hodnot, což je výsledek, který jakoby odporoval rotační invarianci. Tomu se chvíli říkalo vesmírná kvantizace , ale tento termín upadl v nemilost nové kvantové mechaniky, protože se nejedná o žádnou kvantizaci prostoru.

V moderní kvantové mechanice princip superpozice jasně ukazuje, že rotační invariance není ztracena. Je možné otáčet objekty s diskrétními orientacemi a vytvářet superpozice jiných diskrétních orientací, a tím jsou vyřešeny intuitivní paradoxy Sommerfeldova modelu.

Kvantový harmonický oscilátor

Zde je ukázka toho, jak velká kvantová čísla mohou vést ke vzniku klasického (spojitého) chování.

Zvažte jednorozměrný kvantový harmonický oscilátor . Kvantová mechanika nám říká, že celková (kinetická a potenciální) energie oscilátoru, $E$ , má sadu diskrétních hodnot,

{\ Displaystyle E = (n+1/2) \ hbar \ omega, \ n = 0,1,2,3, \ tečky ~,}

kde $ω$ je úhlová frekvence oscilátoru.

V klasickém harmonickém oscilátoru , jako je olověná kulička připojená ke konci pružiny, však žádnou diskrétnost nevnímáme. Místo toho se zdá, že energie takového makroskopického systému kolísá v kontinuu hodnot. Můžeme ověřit, že naše představa o makroskopických systémech spadá do limitu korespondence. Energie klasického harmonického oscilátoru s amplitudou $A$ , je

{\ Displaystyle E = {\ frac {m \ omega ^{2} A ^{2}} {2}}.}

Kvantové číslo má tedy hodnotu

{\ Displaystyle n = {\ frac {E} {\ hbar \ cdot \ omega}}-{\ frac {1} {2}} = {\ frac {m \ omega A^{2}} {2 \ hbar} }-{\ frac {1} {2}}}

Pokud použijeme typické hodnoty „v lidském měřítku“ $m$ = 1 kg , $ω$ = 1 rad / s a $A$ = 1 m, pak $n$ ≈ 4,74 × 10 ³³ . Jedná se o velmi vysoké číslo, takže systém je skutečně v limitu korespondence.

Je snadné pochopit, proč v této hranici vnímáme kontinuum energie. Při $ω$ = 1 rad/s je rozdíl mezi každou energetickou hladinou $ħω$ ≈ 1,05 × 10 ⁻³⁴J , což je hluboko pod tím, co běžně řešíme pro makroskopické systémy. Jeden pak popisuje tento systém prostřednictvím vznikajícího klasického limitu .

Relativistická kinetická energie

Zde ukazujeme, že vyjádření kinetické energie ze speciální relativity se libovolně blíží klasickému výrazu, pro rychlosti, které jsou mnohem pomalejší než rychlost světla , $v ≪ c$ .

Rovnice hmotné energie Alberta Einsteina

{\ Displaystyle E = {\ frac {m_ {0}} {\ sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} c^{2} ~,}

kde rychlost, $v$ je rychlost tělesa vzhledem k pozorovateli, je klidová hmotnost (pozorovaná hmotnost tělesa při nulové rychlosti vzhledem k pozorovateli), a $c$ je rychlost světla . ${\ displaystyle m_ {0} \}$

Když rychlost $v$ zmizí, výše vyjádřená energie není nulová a představuje energii zbytku ,

{\ Displaystyle E_ {0} = m_ {0} c^{2}. \}

Když tělo je v pohybu vzhledem k pozorovateli, je celková energie přesáhne energii, zbytek o množství, které je, podle definice je kinetická energie,

{\ Displaystyle T = E-E_ {0} = {\ frac {m_ {0} c^{2}} {\ sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} \-\ m_ {0} c^{2} ~.}

Pomocí aproximace

{\ Displaystyle (1+x)^{n} \ cca 1+nx \}

pro

{\ displaystyle | x | \ ll 1 \}

dostaneme, když jsou rychlosti mnohem nižší než rychlost světla nebo $v ≪ c$ ,

${\ displaystyle T \}$	${\ displaystyle = m_ {0} c^{2} \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-1 \ right) \}$
	${\ Displaystyle = m_ {0} c^{2} \ left (\ left (1-v^{2}/c^{2} \ right)^{-{\ frac {1} {2}}}- 1 \ vpravo) \}$
	${\ Displaystyle \ cca m_ {0} c^{2} \ left ((1-(-{\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}}) v^{2} /c^{2})-1 \ vpravo) \}$
	${\ displaystyle = m_ {0} c^{2} \ left ({\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} v^{2}/c^{2} \ že jo)\ }$
	${\ displaystyle = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} m_ {0} v^{2} ~,}$