Krystalografická skupina bodů - Crystallographic point group

V krystalografii je krystalografická skupina bodů souborem operací symetrie , které odpovídají jedné z bodových skupin ve třech rozměrech , takže každá operace (možná následovaná překladem ) by ponechala strukturu krystalu beze změny, tj. Stejné druhy atomů by byly umístěny v podobných pozicích jako před transformací. Například v mnoha krystalech v krychlové soustavě krychlí rotace jednotkové buňky o 90 stupňů kolem osy, která je kolmá na dvě rovnoběžné plochy krychle, protínající se v jejím středu, je operace symetrie, která přesouvá každý atom na umístění jiného atomu stejného druhu, přičemž celková struktura krystalu není ovlivněna.

Při klasifikaci krystalů každá bodová skupina definuje takzvanou (geometrickou) třídu krystalů . Trojrozměrných skupin bodů je nekonečně mnoho . Nicméně, krystalografické omezení na obecné výsledky ukazují skupiny v tam být jen 32 krystalografických skupin bodů. Těchto 32 bodových skupin je jedno a to samé jako 32 typů morfologických (vnějších) krystalických symetrií odvozených v roce 1830 Johannem Friedrichem Christianem Hesselem z úvah o pozorovaných krystalových formách.

Bodová skupina krystalu mimo jiné určuje směrovou změnu fyzikálních vlastností, které vyplývají z její struktury, včetně optických vlastností, jako je dvojlom , nebo elektrooptických vlastností, jako je Pockelsův efekt . U periodického krystalu (na rozdíl od kvazikrystalu ) musí skupina udržovat trojrozměrnou translační symetrii, která definuje krystalinitu.

Zápis

Skupiny bodů jsou pojmenovány podle jejich symetrií složek. Krystalografové, mineralogové a fyzici používají několik standardních zápisů .

Soulad dvou níže uvedených systémů najdete v krystalovém systému .

Schoenfliesova notace

V zápisu Schoenflies jsou skupiny bodů označeny symbolem písmene s dolním indexem. Symboly používané v krystalografii znamenají následující:

C _n (pro cyklické ) znamená, že skupina má n -násobnou osu otáčení. C _nh je C _n s přidáním zrcadlové (odrazové) roviny kolmé na osu otáčení . C _nv je C _n s přidáním n zrcadlových rovin rovnoběžných s osou otáčení.
S _2n (pro Spiegel , německy pro zrcadlo ) označuje skupinu s pouze 2n -násobnou osou rotace -odraz .
D _n (pro dvouhranné nebo oboustranné) označuje, že skupina má n -násobnou osu otáčení plus n dvojitou osu kolmou k této ose. D _nh má navíc zrcadlovou rovinu kolmou na n -násobnou osu. D _nd má kromě prvků D _n zrcadlové roviny rovnoběžné s n -násobnou osou.
Písmeno T (pro čtyřstěn ) znamená, že skupina má symetrii čtyřstěnu. T _d obsahuje nesprávné rotace operace, T vylučuje nesprávné otáčení operace, a T _H je T s přídavkem inverze.
Písmeno O (pro osmistěn ) naznačuje, že skupina má symetrii osmistěnu (nebo krychle ), s ( O _h ) nebo bez ( O ) nevhodných operací (těch, které mění rukou).

Vzhledem k krystalografické omezení teorém , n = 1, 2, 3, 4, nebo 6, ve 2- nebo 3-rozměrném prostoru.

n	1	2	3	4	6
C _n	C ₁	C ₂	C ₃	C ₄	C ₆
C _nv	C _1v = C _{1 h}	C _2v	C _3v	C _4v	C _6v
C _nh	C _1h	C _2h	C _3h	C _4h	C _6h
D _n	D ₁ = C ₂	D ₂	D ₃	D ₄	D ₆
D _nh	D _1h = C _2v	D _2h	D _3h	D _4h	D _6h
D _nd	D _1d = C _2h	D _2d	D _3d	D _4d	D _6d
S _2n	S ₂	S ₄	S ₆	S ₈	S ₁₂

D _4d a D _6d jsou ve skutečnosti zakázány, protože obsahují nesprávné rotace s n = 8, respektive 12. 27 bodových skupin v tabulce plus T , T _d , T _h , O a O _h tvoří 32 krystalografických bodových skupin.

Hermann – Mauguinova notace

K popisu krystalografických bodových skupin slouží také zkrácená forma Hermannovy -Mauguinovy notace běžně používaná pro vesmírné skupiny. Názvy skupin jsou

Systém	Názvy skupin
Krychlový	23	m 3		432	4 3m	m 3 m
Šestihranný	6	6	⁶ / _m	622	6 mm	6 m2	6/mmm
Trigonální	3	3		32	3 m	3 m
Tetragonální	4	4	⁴ / _m	422	4 mm	4 2m	4/mmm
Orthorhombic				222		mm2	mmm
Monoklinika	2		² / _m		m
Triclinic	1	1						Vztahy podskupin 32 krystalografických skupin bodů (řádky představují pořadí skupin zdola nahoru jako: 1,2,3,4,6,8,12,16,24 a 48.)

Soulad mezi různými zápisy

Krystalový systém	Hermann-Mauguin		Shubnikov	Schoenflies	Orbifold	Coxeter	Objednat
Krystalový systém	(úplný)	(krátký)	Shubnikov	Schoenflies	Orbifold	Coxeter	Objednat
Triclinic	1	1	${\ displaystyle 1 \}$	C ₁	11	[] ⁺	1
Triclinic	1	1	${\ displaystyle {\ tilde {2}}}$	C _i = S ₂	×	[2 ⁺ , 2 ⁺ ]	2
Monoklinika	2	2	${\ displaystyle 2 \}$	C ₂	22	[2] ⁺	2
	m	m	${\ Displaystyle m \}$	C _s = C _{1 h}	*	[]	2
	${\ displaystyle {\ tfrac {2} {m}}}$	2/m	${\ Displaystyle 2: m \}$	C _2h	2*	[2,2 ⁺ ]	4
Orthorhombic	222	222	${\ Displaystyle 2: 2 \}$	D ₂ = V	222	[2,2] ⁺	4
	mm2	mm2	${\ Displaystyle 2 \ cdot m \}$	C _2v	*22	[2]	4
	${\ displaystyle {\ tfrac {2} {m}} {\ tfrac {2} {m}} {\ tfrac {2} {m}}}$	mmm	${\ Displaystyle m \ cdot 2: m \}$	D _2h = V _h	*222	[2,2]	8
Tetragonální	4	4	${\ displaystyle 4 \}$	C ₄	44	[4] ⁺	4
	4	4	${\ displaystyle {\ tilde {4}}}$	S ₄	2 ×	[2 ⁺ , 4 ⁺ ]	4
	${\ displaystyle {\ tfrac {4} {m}}}$	4/m	${\ Displaystyle 4: m \}$	C _4h	4*	[2,4 ⁺ ]	8
	422	422	${\ Displaystyle 4: 2 \}$	D ₄	422	[4,2] ⁺	8
	4 mm	4 mm	${\ Displaystyle 4 \ cdot m \}$	C _4v	*44	[4]	8
	4 2m	4 2m	${\ displaystyle {\ tilde {4}} \ cdot m}$	D _2d = V _d	2*2	[2 ⁺ , 4]	8
	${\ displaystyle {\ tfrac {4} {m}} {\ tfrac {2} {m}} {\ tfrac {2} {m}}}$	4/mmm	${\ Displaystyle m \ cdot 4: m \}$	D _4h	*422	[4,2]	16
Trigonální	3	3	${\ displaystyle 3 \}$	C ₃	33	[3] ⁺	3
	3	3	${\ displaystyle {\ tilde {6}}}$	C _3i = S ₆	3 ×	[2 ⁺ , 6 ⁺ ]	6
	32	32	${\ Displaystyle 3: 2 \}$	D ₃	322	[3,2] ⁺	6
	3 m	3 m	${\ Displaystyle 3 \ cdot m \}$	C _3v	*33	[3]	6
	3 ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {m}}}$	3 m	${\ displaystyle {\ tilde {6}} \ cdot m}$	D _3d	2*3	[2 ⁺ , 6]	12
Šestihranný	6	6	${\ displaystyle 6 \}$	C ₆	66	[6] ⁺	6
	6	6	${\ Displaystyle 3: m \}$	C _3h	3*	[2,3 ⁺ ]	6
	${\ displaystyle {\ tfrac {6} {m}}}$	6/m	${\ Displaystyle 6: m \}$	C _6h	6*	[2,6 ⁺ ]	12
	622	622	${\ Displaystyle 6: 2 \}$	D ₆	622	[6,2] ⁺	12
	6 mm	6 mm	${\ Displaystyle 6 \ cdot m \}$	C _6v	*66	[6]	12
	6 m2	6 m2	${\ Displaystyle m \ cdot 3: m \}$	D _3h	*322	[3,2]	12
	${\ displaystyle {\ tfrac {6} {m}} {\ tfrac {2} {m}} {\ tfrac {2} {m}}}$	6/mmm	${\ Displaystyle m \ cdot 6: m \}$	D _6h	*622	[6,2]	24
Krychlový	23	23	${\ Displaystyle 3/2 \}$	T	332	[3,3] ⁺	12
	${\ displaystyle {\ tfrac {2} {m}}}$ 3	m 3	${\ displaystyle {\ tilde {6}}/2}$	T _h	3*2	[3 ⁺ , 4]	24
	432	432	${\ Displaystyle 3/4 \}$	Ó	432	[4,3] ⁺	24
	4 3m	4 3m	${\ displaystyle 3/{\ tilde {4}}}$	T _d	*332	[3,3]	24
	${\ displaystyle {\ tfrac {4} {m}}}$ 3 ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {m}}}$	m 3 m	${\ displaystyle {\ tilde {6}}/4}$	O _h	*432	[4,3]	48

Izomorfismy

Mnoho krystalografických skupin bodů má stejnou vnitřní strukturu. Skupiny bodů 1 , 2 a m například obsahují různé operace s geometrickou symetrií (inverze, rotace a odraz), ale všechny sdílejí strukturu cyklické skupiny Z ₂ . Všechny izomorfní skupiny jsou stejného řádu , ale ne všechny skupiny stejného řádu jsou izomorfní. Skupiny bodů, které jsou izomorfní, jsou uvedeny v následující tabulce:

Hermann-Mauguin	Schoenflies	Objednat	Abstraktní skupina
1	C ₁	1	Z ₁	${\ displaystyle G_ {1}^{1}}$
1	C _i = S ₂	2	Z ₂	${\ displaystyle G_ {2}^{1}}$
2	C ₂	2
m	C _s = C _{1 h}	2
3	C ₃	3	Z ₃	${\ displaystyle G_ {3}^{1}}$
4	C ₄	4	Z ₄	${\ displaystyle G_ {4}^{1}}$
4	S ₄	4	Z ₄	${\ displaystyle G_ {4}^{1}}$
2/m	C _2h	4	D ₂ = Z ₂ × Z ₂	${\ displaystyle G_ {4}^{2}}$
222	D ₂ = V	4
mm2	C _2v	4
3	C _3i = S ₆	6	Z ₆	${\ displaystyle G_ {6}^{1}}$
6	C ₆	6
6	C _3h	6
32	D ₃	6	D ₃	${\ displaystyle G_ {6}^{2}}$
3 m	C _3v	6	D ₃	${\ displaystyle G_ {6}^{2}}$
mmm	D _2h = V _h	8	D ₂ × Z ₂	${\ displaystyle G_ {8}^{3}}$
4/m	C _4h	8	Z ₄ × Z ₂	${\ displaystyle G_ {8}^{2}}$
422	D ₄	8	D ₄	${\ displaystyle G_ {8}^{4}}$
4 mm	C _4v	8
4 2m	D _2d = V _d	8
6/m	C _6h	12	Z ₆ × Z ₂	${\ displaystyle G_ {12}^{2}}$
23	T	12	A ₄	${\ displaystyle G_ {12}^{5}}$
3 m	D _3d	12	D ₆	${\ displaystyle G_ {12}^{3}}$
622	D ₆	12
6 mm	C _6v	12
6 m2	D _3h	12
4/mmm	D _4h	16	D ₄ × Z ₂	${\ displaystyle G_ {16}^{9}}$
6/mmm	D _6h	24	D ₆ × Z ₂	${\ displaystyle G_ {24}^{5}}$
m 3	T _h	24	A ₄ × Z ₂	${\ displaystyle G_ {24}^{10}}$
432	Ó	24	S ₄	${\ displaystyle G_ {24}^{7}}$
4 3m	T _d	24	S ₄	${\ displaystyle G_ {24}^{7}}$
m 3 m	O _h	48	S ₄ × Z ₂	${\ displaystyle G_ {48}^{7}}$

Tato tabulka využívá cyklické skupiny (Z ₁ , Z ₂ , Z ₃ , Z ₄ , Z ₆ ), dihedrální skupiny (D ₂ , D ₃ , D ₄ , D ₆ ), jednu ze střídajících se skupin (A ₄ ), a jedna ze symetrických skupin (S ₄ ). Zde symbol „×“ označuje přímý produkt .

Odvození skupiny krystalografických bodů (třída krystalů) ze skupiny prostoru

Vynechejte typ Bravais
Převést všechny prvky symetrie s translačními komponentami na jejich příslušné prvky symetrie bez translační symetrie (Kluzné roviny jsou převedeny na jednoduché zrcadlové roviny; Osy šroubů jsou převedeny na jednoduché osy otáčení)
Osy otáčení, rotační osy a zrcadlové roviny zůstávají nezměněny.

Viz také

Reference

^ "Archivovaná kopie" . Archivováno od originálu dne 2013-07-04 . Citováno 2011-11-25 .CS1 maint: archivovaná kopie jako název ( odkaz )
^ Novak, I (1995-07-18). „Molekulární izomorfismus“. Evropský žurnál fyziky . Nakladatelství IOP. 16 (4): 151–153. doi : 10,1088/0143-0807/16/4/001 . ISSN 0143-0807 .

externí odkazy

[1] "Archivovaná kopie" . Archivováno od originálu dne 2013-07-04 . Citováno 2011-11-25 .CS1 maint: archivovaná kopie jako název ( odkaz )

[2] Novak, I (1995-07-18). „Molekulární izomorfismus“. Evropský žurnál fyziky . Nakladatelství IOP. 16 (4): 151–153. doi : 10,1088/0143-0807/16/4/001 . ISSN 0143-0807 .

Languages

In other projects