Algebraická struktura - Algebraic structure

Algebraické struktury
Skupina like Skupina Pologrupa  / monoid Rack and quandle Quasigroup a smyčka Abelianská skupina Magma Skupina lži Skupinová teorie
Ring -like Prsten Rng Semiring Téměř prsten Komutativní prsten Integrovaná doména Pole Divizní prsten Teorie prstenu
mříž like Mříž Semilattice Doplněná mřížka Celková objednávka Ahoj algebra Booleovská algebra Mapa mřížek Mřížová teorie
module -like Modul Skupina s operátory Vektorový prostor Lineární algebra
algebra like Algebra Asociativní Neasociativní Složení algebry Lež algebra Odstupňováno Bialgebra
proti t E

V matematice se algebraická struktura skládá z neprázdné množiny A (nazývané základní množina , nosná množina nebo doména ), ze souboru operací na A konečné arity (obvykle binární operace ) a z konečné sady identit , známých jako axiomy , že tyto operace musí splňovat.

Algebraická struktura může být založena na jiných algebraických strukturách s operacemi a axiomy zahrnujícími několik struktur. Například vektorový prostor zahrnuje druhou strukturu nazývanou pole a operaci zvanou skalární násobení mezi prvky pole (nazývanými skaláry ) a prvky vektorového prostoru (nazývanými vektory ).

V kontextu univerzální algebry se množina A s touto strukturou nazývá algebra , zatímco v jiných kontextech se jí (poněkud nejednoznačně) říká algebraická struktura , přičemž termín algebra je vyhrazen pro konkrétní algebraické struktury, které jsou vektorovými prostory nad pole nebo moduly přes komutativní prstenec .

Vlastnosti specifických algebraických struktur jsou studovány v abstraktní algebře . Obecná teorie algebraických struktur byla formalizována v univerzální algebře. Jazyk teorie kategorií se používá k vyjádření a studiu vztahů mezi různými třídami algebraických a nealgebraických objektů. Důvodem je, že někdy je možné najít silné spojení mezi některými třídami objektů, někdy různých druhů. Galoisova teorie například vytváří spojení mezi určitými poli a skupinami: dvě algebraické struktury různého druhu.

Úvod

Sčítání a násobení reálných čísel jsou prototypickými příklady operací, které kombinují dva prvky sady a vytvářejí třetí prvek sady. Tyto operace dodržují několik algebraických zákonů. Například a + ( b + c ) = ( a + b ) + c a a ( bc ) = ( ab ) c jako asociativní zákony . Také a + b = b + a a ab = ba jako komutativní zákony. Mnoho systémů studovaných matematiky má operace, které dodržují některé, ale ne nutně všechny zákony běžné aritmetiky. Například rotace objektu v trojrozměrném prostoru lze kombinovat například provedením prvního otočení na objektu a následným použitím druhého otočení na něj v jeho nové orientaci provedené předchozím otočením. Rotace jako operace dodržuje asociativní zákon, ale nemůže splnit komutativní zákon.

Matematici pojmenovávají sady s jednou nebo více operacemi, které dodržují určitou sbírku zákonů, a studují je abstraktně jako algebraické struktury. Když lze ukázat, že se nový problém řídí zákony jedné z těchto algebraických struktur, lze na nový problém použít veškerou práci, která byla v minulosti v dané kategorii provedena.

V plné obecnosti mohou algebraické struktury zahrnovat libovolný soubor operací, včetně operací, které kombinují více než dva prvky ( operace s vyššími aritami ) a operací, které vyžadují pouze jeden argument ( unární operace ). Zde použité příklady nejsou v žádném případě úplným seznamem, ale mají být reprezentativním seznamem a zahrnovat nejběžnější struktury. Delší seznam algebraických struktur lze nalézt v externích odkazech a v kategorii: Algebraické struktury . Struktury jsou uvedeny v přibližném pořadí podle rostoucí složitosti.

Příklady

Jedna sada s operacemi

Jednoduché struktury : žádná binární operace :

• Sada : degenerovaná algebraická struktura S bez operací.
• Špičatá sada : S má jeden nebo více odlišných prvků, často 0, 1 nebo obojí.
• Unární systém: S a jeden unární operace nad S .
• Špičatý unární systém : unární systém se S špičatou sadou.

Skupinové struktury : jedna binární operace. Binární operaci lze indikovat libovolným symbolem nebo bez symbolu (vedle sebe), jak se to dělá pro běžné násobení reálných čísel.

• Magma nebo Grupoid : S a jeden binární operace nad S .
• Semigroup : asociativní magma.
• Monoid : poloskupina s prvkem identity .
• Skupina : monoid s unární operací (inverzní), což vede k inverzním prvkům .
• Abelianova skupina : skupina, jejíž binární operace je komutativní .
• Semilattice : poloskupina, jejíž operace je idempotentní a komutativní. Binární operaci lze nazvat buď setkání, nebo spojení .
• Quasigroup : magma poslouchající vlastnost latinského čtverce. Kvazigroup může být také zastoupena pomocí tří binárních operací.

• Smyčka : kvazigroup s identitou .

Prstencové struktury nebo Ringoidy : dvě binární operace, často nazývané sčítání a násobení , s distribucí násobení nad sčítání.

• Semiring : ringoid takový, že S je monoid při každé operaci. Adice se obvykle považuje za komutativní a asociativní a předpokládá se, že monoidní produkt se distribuuje přes adici na obou stranách, a identita aditiva 0 je absorbujícím prvkem v tom smyslu, že 0  x = 0 pro všechna x .
• Near-ring : semiring, jehož aditivní monoid je (ne nutně abelianská) skupina.
• Ring : semiring, jehož aditivní monoid je abelianská skupina.
• Lie ring : ringoid, jehož aditivní monoid je abelianská skupina, ale jehož multiplikativní operace uspokojuje spíše Jacobiho identitu než asociativitu.
• Komutativní kruh : prstenec, ve kterém je operace násobení komutativní.
• Booleovský kruh : komutativní kruh s idempotentní multiplikační operací.
• Pole : komutativní prstenec, který obsahuje multiplikativní inverzi pro každý nenulový prvek.
• Kleene algebry : semiring s idempotentním přidáváním a unární operací, Kleeneova hvězda , uspokojující další vlastnosti.
• *-algebra : prsten s další unární operací (*) splňující další vlastnosti.

Mřížkové struktury : dvě nebo více binárních operací, včetně operací nazývaných meet and join , spojených absorpčním zákonem .

• Kompletní mříž : mříž, ve které existují libovolné setkávání a spojování .
• Ohraničená mříž : mříž s největším a nejmenším prvkem.
• Doplněná mřížka : ohraničená mřížka s unární operací, komplementace, označená postfixem ^⊥ . Spojení prvku s jeho doplňkem je největším prvkem a setkání těchto dvou prvků je nejmenším prvkem.
• Modulární mřížka : mřížka, jejíž prvky splňují dodatečnou modulární identitu .
• Distribuční mřížka : mřížka, ve které se každý z nich setkává a spojuje, distribuuje přes sebe. Distribuční mříže jsou modulární, ale konverzace neplatí.
• Booleova algebra : doplněná distribuční mřížka. Buď splnění, nebo spojení lze definovat z hlediska druhého a doplňování. To může být ukázáno jako ekvivalent s kruhovou strukturou stejného jména výše.
• Heytingova algebra : ohraničená distribuční mřížka s přidanou binární operací, relativní pseudo-komplement , označená infixem → a řízená axiomy:
  • x  →  x = 1
  • x  ( x  →  y ) = x y
  • y  ( x  →  y ) = y
  • x  → ( y z ) = ( x  →  y ) ( x  →  z )

Aritmetika : dvě binární operace , sčítání a násobení. S je nekonečná množina . Aritmetika jsou špičaté unární systémy, jejichž unární operace je injektivním nástupcem , a s rozlišovacím prvkem 0.

• Robinsonova aritmetika . Sčítání a násobení jsou rekurzivně definovány pomocí nástupce. 0 je prvek identity pro sčítání a anihilates násobení. Robinsonova aritmetika je zde uvedena, i když je to odrůda, protože je blízká aritmetice Peano.
• Peano aritmetika . Robinson aritmetika s axiomu schématu o indukci . Většina prstencových a polních axiomů nesoucích vlastnosti adice a násobení jsou věty Peanovy aritmetiky nebo jejích správných rozšíření.

Dvě sady s operacemi

Modul -Jako struktury: kompozitní systémy zahrnující dvě sady a že se použije alespoň dvěma operacemi.

• Skupina s operátory : skupina G se sadou Ω a binární operací Ω ×  G → G splňující určité axiomy.
• Modul : skupina abelian M a kruh R , působící jako subjektů na M . Členům R se někdy říká skaláry a binární operace skalárního násobení je funkce R  ×  M → M , která splňuje několik axiomů. Počítáním prstencových operací mají tyto systémy nejméně tři operace.
• Vektorový prostor : modul, kde prstenec R je dělící prstenec nebo pole .
• Gradovaný vektorový prostor : vektorový prostor s přímým součtovým rozkladem rozdělující prostor na „stupně“.
• Kvadratický prostor : vektorový prostor V přes pole F s kvadratické formy na V přičemž hodnoty v F .

Struktury podobné algebře : kompozitní systém definovaný ve dvou sadách, prsten R amodul R M vybavený operací zvanou multiplikace. To lze považovat za systém s pěti operacemi: dvě operace na R , dva na M a jeden zahrnující oba R a M .

• Algebra přes prsten (také R-algebra ): modul přes komutativní prstenec R , který také nese operaci násobení, která je kompatibilní se strukturou modulu. To zahrnuje distributivity během přidávání a linearity vzhledem k násobení prvků R . Teorie algebry nad polem je obzvláště dobře rozvinutá.
• Asociativní algebra : algebra nad prstencem, takže násobení je asociativní .
• Neasociativní algebra : modul přes komutativní kruh, vybavený operací násobení prstence, která nemusí být nutně asociativní. Asociativita je často nahrazena jinou identitou, jako je alternace , Jacobiho identita nebo Jordanova identita .
• Coalgebra : vektorový prostor s „komultiplikací“ definovanou duálně jako asociativní algebry.
• Lie algebra : speciální typ neasociativní algebry, jejíž produkt splňuje Jacobiho identitu .
• Lie cogegebra : vektorový prostor s „komultiplikací“ definovanou duálně s Lieovou algebrou.
• Gradovaná algebra : odstupňovaný vektorový prostor se strukturou algebry kompatibilní s klasifikací. Myšlenka je, že pokud jsou známy stupně dvou prvků a a b , pak je znám stupeň ab , a tak je při rozkladu určeno umístění produktu ab .
• Vnitřní prostor produkt : F vektorový prostor V s určitou bilineární formy V x V → F .

Čtyři nebo více binárních operací:

• Bialgebra : asociativní algebra s kompatibilní strukturou cogegebry .
• Lie bialgebra : Algebra Lie s kompatibilní strukturou bialgebra.
• Hopfova algebra : bialgebra se spojovacím axiomem (antipode).
• Cliffordova algebra : odstupňovaná asociativní algebra vybavená externím produktem, ze kterého lze odvodit několik možných vnitřních produktů. Vnější algebry a geometrické algebry jsou speciálními případy této konstrukce.

Hybridní struktury

Algebraické struktury mohou také koexistovat s přidanou strukturou nealgebraické povahy, jako je částečný řád nebo topologie . Přidaná struktura musí být v určitém smyslu kompatibilní s algebraickou strukturou.

• Topologická skupina : skupina s topologií kompatibilní se skupinovou operací.
• Lieova skupina : topologická skupina s kompatibilní hladkou strukturou potrubí .
• Objednané skupiny , seřazené prstence a seřazená pole : každý typ struktury s kompatibilním dílčím pořadím .
• Skupina Archimedean : lineárně uspořádaná skupina, pro kterou platí vlastnost Archimedean .
• Topologický vektorový prostor : vektorový prostor, jehož M má kompatibilní topologii.
• Normovaný vektorový prostor : vektorový prostor s kompatibilní normou . Pokud je takový prostor úplný (jako metrický prostor), pak se nazývá Banachův prostor .
• Hilbertův prostor : vnitřní produktový prostor nad skutečnými nebo komplexními čísly, jejichž vnitřní součin vede k Banachově vesmírné struktuře.
• Algebra operátorů vrcholů
• Von Neumannova algebra : a *-algebra operátorů na Hilbertově prostoru vybaveném topologií slabých operátorů .

Univerzální algebra

Algebraické struktury jsou definovány prostřednictvím různých konfigurací axiomů . Univerzální algebra takové objekty abstraktně studuje. Jedna hlavní dichotomie je mezi strukturami, které jsou axiomatizovány zcela identitami a strukturami, které nejsou. Jsou-li všechny axiomy definující třídu algebry jsou identity, pak tato třída je odrůda (neplést s algebraických odrůd z algebraické geometrie ).

Identity jsou rovnice formulované pouze pomocí operací, které struktura dovoluje, a proměnné, které jsou mlčky univerzálně kvantifikovány v příslušném vesmíru . Identity neobsahují žádné spojky , existenciálně kvantifikované proměnné ani relace jakéhokoli druhu kromě povolených operací. Studium odrůd je důležitou součástí univerzální algebry . Algebraickou strukturu v řadě lze chápat jako kvocientovou algebru termínu algebra (také nazývanou „absolutně volná algebra “) dělenou ekvivalenčními vztahy generovanými sadou identit. Tak, sbírka funkcí s danými podpisy generovat volné algebry, je termín algebra T . Vzhledem k tomu, sada Ekvacionální identit (axiomů), jeden může zvážit jejich symetrické, tranzitivní uzávěr E . Kvocient algebry T / E je pak algebraickou strukturou nebo rozmanitostí. Skupiny tedy například mají podpis obsahující dva operátory: operátor násobení m , přičemž dva argumenty, a inverzní operátor i , přičemž jeden argument, a prvek identity e , konstanta, kterou lze považovat za operátor, který bere nulu argumenty. Vzhledem k (počitatelné) sadě proměnných x , y , z atd. Je termín algebra souborem všech možných výrazů zahrnujících m , i , e a proměnné; tak například m ( i ( x ), m ( x , m ( y , e ))) bude prvek pojmu algebra. Jeden z axiomů definujících skupinu je identita m ( x , i ( x )) = e ; další je m ( x , e ) = x . Axiomy mohou být reprezentovány jako stromy . Tyto rovnice indukují třídy ekvivalence na volné algebře; kvocientová algebra má pak algebraickou strukturu skupiny.

Některé struktury netvoří odrůdy, protože buď:

1. Je nutné, aby 0 ≠ 1, 0 je aditivní prvek identity a 1 je multiplikativní prvek identity, ale toto je neidentita;
2. Struktur, jako jsou obory mají některé axiomy, které drží pouze pro nenulové členy S . Aby byla algebraická struktura rozmanitou, musí být její operace definovány pro všechny členy S ; nelze provádět žádné dílčí operace.

Struktury, jejichž axiomy nevyhnutelně zahrnují neidentity, patří mezi nejdůležitější v matematice, např. Pole a dělící prstence . Struktury s neidentitami představují výzvy, odrůdy nikoli. Například přímý součin dvou polí není pole, protože , ale pole nemají nulové dělitele . ${\ Displaystyle (1,0) \ cdot (0,1) = (0,0)}$

Teorie kategorie

Teorie kategorií je dalším nástrojem pro studium algebraických struktur (viz například Mac Lane 1998). Kategorie je sbírka předmětů s přidruženými morfismy. Každá algebraická struktura má svůj vlastní pojem homomorfismu , konkrétně jakoukoli funkci kompatibilní s operacemi definujícími strukturu. Tímto způsobem každá algebraická struktura dává vzniknout kategorii . Například kategorie skupin má všechny skupiny jako objekty a všechny skupinové homomorfismy jako morfismy. Tuto konkrétní kategorii lze považovat za kategorii sad s přidanou teoretickou strukturou kategorie. Podobně kategorie topologických skupin (jejichž morfismy jsou homomorfismy spojitých skupin) je kategorií topologických prostorů s extra strukturou. Zapomíná functor mezi kategoriemi algebraických struktur „zapomene“ součástí konstrukce.

V teorii kategorií existují různé koncepty, které se například snaží zachytit algebraický charakter kontextu

• algebraická kategorie
• v podstatě algebraická kategorie
• reprezentativní kategorie
• lokálně prezentovatelná kategorie
• monadické funktory a kategorie
• univerzální majetek .

Různé významy „struktury“

V mírném zneužití zápisu může slovo „struktura“ také odkazovat pouze na operace se strukturou, místo na samotnou základní sadu. Například věta „Definovali jsme kruhovou strukturu na množině “ znamená, že jsme definovali kruhové operace na množině . Pro jiný příklad lze na skupinu pohlížet jako na sadu, která je vybavena algebraickou strukturou, konkrétně operací . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z},+)}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle +}$

Viz také

• Objekt zdarma
• Seznam algebraických struktur
• Matematická struktura
• Nástin algebraických struktur
• Podpis (logika)
• Struktura (matematická logika)

Poznámky

Reference

• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (2. vyd.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-1646-2
• Michel, Anthony N .; Herget, Charles J. (1993), Applied Algebra and Functional Analysis , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-67598-5
• Burris, Stanley N .; Sankappanavar, HP (1981), Kurz univerzální algebry , Berlín, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-90578-3

Teorie kategorie

• Mac Lane, Saunders (1998), Kategorie pro pracujícího matematika (2. vydání), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2
• Taylor, Paul (1999), Praktické základy matematiky , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63107-5

externí odkazy

• Jipsenovy algebraické struktury. Zahrnuje mnoho struktur, které zde nejsou uvedeny.
• Stránka Mathworld o abstraktní algebře.
• Stanfordská encyklopedie filozofie : Algebra od Vaughana Pratta .