Dirichletova konvoluce - Dirichlet convolution

V matematiky je Dirichlet konvoluce je binární operace definovaný pro aritmetických funkcí ; je to důležité v teorii čísel . Byl vyvinut Peterem Gustavem Lejeune Dirichletem .

Definice

Pokud jsou dvě aritmetické funkce od kladných celých čísel po komplexní čísla , Dirichletova konvoluce f ∗ g je nová aritmetická funkce definovaná: ${\ Displaystyle f, g: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle (f*g) (n) \ = \ \ sum _ {d \, \ mid \, n} f (d) \, g \! \ left ({\ frac {n} {d}} \ vpravo) \ = \ \ sum _ {ab \, = \, n} \! f (a) \, g (b)}$

kde součet sahá přes všechny kladné dělitelé d z  n , nebo ekvivalentně přes všechny odlišné páry ( a , b ) kladných celých čísel, jejichž součin je n .

Tento produkt se přirozeně vyskytuje při studiu Dirichletových řad , jako je Riemannova funkce zeta . Popisuje násobení dvou Dirichletových řad z hlediska jejich koeficientů:

${\ Displaystyle \ left (\ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {f (n)} {n^{s}}} \ right) \ left (\ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {g (n)} {n^{s}}} \ right) \ = \ \ left (\ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {(f*g) (n)} {n^{s }}}\že jo).}$

Vlastnosti

Sada aritmetických funkcí tvoří komutativní prsten je Dirichletův kruh , podbodovým sčítáním, kde f + g je definován( f + g ) ( n ) = f ( n ) + g ( n ), a Dirichletova konvoluce. Multiplikativní identita jejednotková funkce εdefinovaná ε ( n ) = 1,pokud n = 1a ε ( n ) = 0,pokud n > 1. Tytojednotky(invertible prvky) tohoto kruhu jsou aritmetické funkcefs f (1)? 0.

Konvoluce Dirichlet je konkrétně asociativní ,

${\ Displaystyle (f*g)*h = f*(g*h),}$

distribuční nad sčítání

${\ Displaystyle f*(g+h) = f*g+f*h}$,

komutativní ,

${\ Displaystyle f*g = g*f}$,

a má prvek identity,

${\ Displaystyle f*\ varepsilon}$= .${\ Displaystyle \ varepsilon *f = f}$

Kromě toho, pro každý má existuje aritmetické funkce s , nazvaný${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle f (1) \ neq 0}$${\ displaystyle f^{-1}}$${\ Displaystyle f*f^{-1} = \ varepsilon}$Dirichlet inverzní z. ${\ displaystyle f}$

Dirichletova konvoluce dvou multiplikativních funkcí je opět multiplikativní a každá ne neustále nulová multiplikativní funkce má Dirichletovu inverzi, která je také multiplikativní. Jinými slovy, multiplikativní funkce tvoří podskupinu skupiny invertibilních prvků Dirichletova kruhu. Mějte však na paměti, že součet dvou multiplikativních funkcí není multiplikativní (od ), takže podmnožina multiplikativních funkcí není podřetězec Dirichletova kruhu. Článek o multiplikativních funkcích uvádí několik konvolučních vztahů mezi důležitými multiplikativními funkcemi. ${\ Displaystyle (f+g) (1) = f (1)+g (1) = 2 \ neq 1}$

Další operací s aritmetickými funkcemi je bodové násobení: fg je definováno ( fg ) ( n ) = f ( n ) g ( n ) . Vzhledem k tomu, zcela multiplikativní funkce , bodová násobení distribuuje přes Dirichlet konvoluce: . Konvoluce dvou zcela multiplikativních funkcí je multiplikativní, ale nemusí být zcela multiplikativní. ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle h}$${\ Displaystyle (f*g) h = (fh)*(gh)}$

Příklady

V těchto vzorcích používáme následující aritmetické funkce :

• ${\ displaystyle \ varepsilon}$je multiplikativní identita:, jinak 0 ( ).${\ Displaystyle \ varepsilon (1) = 1}$${\ Displaystyle \ varepsilon (n) = \ lfloor {\ tfrac {1} {n}} \ rfloor}$
• ${\ displaystyle 1}$je konstantní funkce s hodnotou 1: pro všechny . Mějte na paměti, že to není identita. (Někteří autoři označují to jak proto, že vždy sadou Dirichlet je Riemann zeta fungují ).${\ Displaystyle 1 (n) = 1}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle \ zeta}$
• ${\ displaystyle 1_ {C}}$for je nastavená funkce indikátoru : iff , jinak 0.${\ displaystyle C \ subset \ mathbb {N}}$${\ displaystyle 1_ {C} (n) = 1}$${\ displaystyle n \ in C}$
• ${\ displaystyle {\ text {Id}}}$je funkce identity s hodnotou n : .${\ displaystyle {\ text {Id}} (n) = n}$
• ${\ displaystyle {\ text {Id}} _ {k}}$je k té funkci napájení: .${\ displaystyle {\ text {Id}} _ {k} (n) = n^{k}}$

Platí následující vztahy:

• ${\ Displaystyle 1*\ mu = \ varepsilon}$„Dirichletova inverze konstantní funkce je Möbiova funkce . Proto:${\ displaystyle 1}$
• ${\ displaystyle g = f*1}$ tehdy, když je inverze vzorec Möbiovo${\ Displaystyle f = g*\ mu}$
• ${\ displaystyle \ sigma _ {k} = {\ text {Id}} _ {k}*1}$, kth-síla-of-dělitelů součet funkce σ _k
• ${\ displaystyle \ sigma = {\ text {Id}}*1}$, součet dělitelů funkce σ = σ ₁
• ${\ Displaystyle d = 1*1}$, funkce počtu dělitelů d ( n ) = σ ₀
• ${\ displaystyle {\ text {Id}} _ {k} = \ sigma _ {k}*\ mu}$, Möbiova inverze vzorců pro σ _k , σ , a d
• ${\ displaystyle {\ text {Id}} = \ sigma *\ mu}$
• ${\ Displaystyle 1 = d*\ mu}$
• ${\ displaystyle \ phi *1 = {\ text {Id}}}$, prokázáno pod Eulerovou totientní funkcí
• ${\ displaystyle \ phi = {\ text {Id}}*\ mu}$ , Möbiova inverze
• ${\ Displaystyle \ sigma = \ phi *d}$  , z konvoluce 1 na obou stranách ${\ displaystyle \ phi *1 = {\ text {Id}}}$
• ${\ Displaystyle \ lambda *| \ mu | = \ varepsilon}$  kde λ je Liouvilleova funkce
• ${\ displaystyle \ lambda *1 = 1 _ {\ text {Sq}}}$ kde Sq = {1, 4, 9, ...} je množina čtverců
• ${\ displaystyle {\ text {Id}} _ {k}*({\ text {Id}} _ {k} \ mu) = \ varepsilon}$
• ${\ Displaystyle d^{3}*1 = (d*1)^{2}}$
• ${\ displaystyle J_ {k}*1 = {\ text {Id}} _ {k}}$, Jordánska funkce totient
• ${\ displaystyle ({\ text {Id}} _ {s} J_ {r})*J_ {s} = J_ {s+r}}$
• ${\ Displaystyle \ Lambda *1 = \ log}$, kde je von Mangoldtova funkce${\ Displaystyle \ Lambda}$
• ${\ Displaystyle | \ mu | \ ast 1 = 2^{\ omega},}$kde je primární omega funkce počítající odlišné primární faktory n${\ displaystyle \ omega (n)}$
• ${\ Displaystyle \ Omega \ ast \ mu = \ chi _ {\ mathcal {P}}}$, charakteristická funkce hlavních sil.
• ${\ Displaystyle \ omega \ ast \ mu = \ chi _ {\ mathbb {P}}}$kde je charakteristická funkce prvočísel.${\ Displaystyle \ chi _ {\ mathbb {P}} (n) \ mapsto \ {0,1 \}}$

Tato poslední identita ukazuje, že funkce prvotního počítání je dána souhrnnou funkcí

${\ Displaystyle \ pi (x) = \ sum _ {n \ leq x} (\ omega \ ast \ mu) (n) = \ sum _ {d = 1}^{x} \ omega (d) M \ vlevo (\ left \ lfloor {\ frac {x} {d}} \ right \ rfloor \ right)}$

kde je Mertensova funkce a je zřetelná funkce počítání primárních faktorů shora. Toto rozšíření vyplývá z identity součtů přes Dirichletovy konvoluce uvedené na stránce identity součtu dělitele (standardní trik pro tyto částky). ${\ displaystyle M (x)}$${\ displaystyle \ omega}$

Dirichletova inverze

Příklady

Vzhledem k aritmetické funkci může být její Dirichletova inverze vypočítána rekurzivně: hodnota je v termínech pro . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g = f^{-1}}$${\ displaystyle g (n)}$${\ Displaystyle g (m)}$${\ Displaystyle m <n}$

Pro : ${\ displaystyle n = 1}$

${\ Displaystyle (f*g) (1) = f (1) g (1) = \ varepsilon (1) = 1}$, tak

${\ Displaystyle g (1) = 1/f (1)}$. To znamená, že nemá Dirichletovu inverzní if .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (1) = 0}$

Pro : ${\ displaystyle n = 2}$

${\ Displaystyle (f*g) (2) = f (1) g (2)+f (2) g (1) = \ varepsilon (2) = 0}$,

${\ Displaystyle g (2) =-(f (2) g (1))/f (1)}$,

Pro : ${\ displaystyle n = 3}$

${\ Displaystyle (f*g) (3) = f (1) g (3)+f (3) g (1) = \ varepsilon (3) = 0}$,

${\ Displaystyle g (3) =-(f (3) g (1))/f (1)}$,

Pro : ${\ displaystyle n = 4}$

${\ Displaystyle (f*g) (4) = f (1) g (4)+f (2) g (2)+f (4) g (1) = \ varepsilon (4) = 0}$,

${\ Displaystyle g (4) =-(f (4) g (1)+f (2) g (2))/f (1)}$,

a obecně pro , ${\ displaystyle n> 1}$

${\ Displaystyle g (n) \ = \ {\ frac {-1} {f (1)}} \ mathop {\ sum _ {d \, \ mid \, n}} _ {d <n} f \ left ({\ frac {n} {d}} \ right) g (d).}$

Vlastnosti

Následující vlastnosti Dirichletova inverzního držení:

• Funkce f má Dirichletovu inverzi právě tehdy, když f (1) ≠ 0 .
• Dirichletova inverze multiplikativní funkce je opět multiplikativní.
• Dirichletova inverzní z Dirichlet konvoluce je konvoluce z inverses každé funkce: .${\ Displaystyle (f \ ast g)^{-1} = f^{-1} \ ast g^{-1}}$
• Multiplikativní funkce f je zcela multiplikativní právě tehdy .${\ Displaystyle f^{-1} (n) = \ mu (n) f (n)}$
• Jestliže F je zcela multiplikativní pak kdykoliv a kde značí bodově násobení funkcí.${\ Displaystyle (f \ cdot g)^{-1} = f \ cdot g^{-1}}$${\ Displaystyle g (1) \ neq 0}$${\ displaystyle \ cdot}$

Jiné vzorce

Aritmetická funkce	Dirichletova inverze:
Konstantní funkce s hodnotou 1	Möbiova funkce μ
${\ displaystyle n^{\ alpha}}$	${\ Displaystyle \ mu (n) \, n^{\ alpha}}$
Liouvilleova funkce λ	Absolutní hodnota Möbiovy funkce | μ |
Eulerova totientová funkce ${\ Displaystyle \ varphi}$	${\ Displaystyle \ sum _ {d | n} d \, \ mu (d)}$
Funkce generalizovaného součtu dělitelů ${\ displaystyle \ sigma _ {\ alpha}}$	${\ Displaystyle \ sum _ {d | n} d^{\ alpha} \ mu (d) \ mu \ left ({\ frac {n} {d}} \ right)}$

Přesný, nerekurzivní vzorec pro Dirichletovu inverzi jakékoli aritmetické funkce f je uveden v součtových identitách dělitelů . Podrobnější teoretický výraz pro Dirichletovu inverzi f je dán vztahem

${\ Displaystyle f^{-1} (n) = \ sum _ {k = 1}^{\ Omega (n)} \ left \ {\ sum _ {{\ lambda _ {1} +2 \ lambda _ { 2} +\ cdots +k \ lambda _ {k} = n} \ atop {\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ ldots, \ lambda _ {k} | n}} {\ frac { (\ lambda _ {1}+\ lambda _ {2}+\ cdots+\ lambda _ {k})!} {1! 2! \ cdots k!}} (-1)^{k} f (\ lambda _ {1}) f (\ lambda _ {2})^{2} \ cdots f (\ lambda _ {k})^{k} \ right \}.}$

Následující vzorec poskytuje kompaktní způsob vyjádření Dirichletovy inverze k invertibilní aritmetické funkci f  :

${\ Displaystyle f^{ -1} = \ sum _ {k = 0}^{+\ infty} {\ frac {(f (1) \ varepsilon -f)^{*k}} {f (1)^ {k+1}}}}$

kde výraz znamená matematické funkce spletité se sebou samým K krát. Všimněte si, že pokud je to pevné kladné celé číslo , pak je to proto, že každý způsob vyjádření n jako součinu k pozitivních celých čísel musí obsahovat 1, takže řada na pravé straně konverguje pro každé pevné kladné celé číslo n.${\ Displaystyle (f (1) \ varepsilon -f)^{*k}}$${\ Displaystyle f (1) \ varepsilon -f}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle k> \ Omega (n)}$${\ Displaystyle (f (1) \ varepsilon -f)^{*k} (n) = 0}$${\ Displaystyle f (1) \ varepsilon (1) -f (1) = 0}$

Dirichletova série

Pokud f je aritmetická funkce, je funkce generování Dirichletovy řady definována

${\ Displaystyle DG (f; s) = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {f (n)} {n^{s}}}}$

pro tyto komplexní argumenty y , pro které konverguje série (pokud existují). Násobení řady Dirichlet je kompatibilní s konvolucí Dirichlet v následujícím smyslu:

${\ Displaystyle DG (f; s) DG (g; s) = DG (f*g; s) \,}$

pro všechna s, pro které se obě řady na levé straně sbíhají, jedna z nich se alespoň absolutně sbíhá (všimněte si, že jednoduchá konvergence obou řad na levé straně NEZNAMENÁ konvergenci pravé strany!). To je podobné konvoluční větě, pokud si někdo představí Dirichletovu sérii jako Fourierovu transformaci .

Související pojmy

Omezení dělitelů v konvoluci na unitární , bi-unitární nebo infinitární děliče definuje podobné komutativní operace, které sdílejí mnoho rysů s Dirichletovou konvolucí (existence Möbiusovy inverze, přetrvávání multiplikativity, definice totienty, vzorce produktů typu Euler nad související prvočísla atd.).

Dirichletova konvoluce je konvoluce incidenční algebry pro kladná celá čísla seřazená dělitelností.

Viz také

• Aritmetická funkce
• Identity součtu dělitele
• Möbiova inverzní formule

Reference

• Apostol, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel , Pregraduální texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929 , Zbl  0335.10001
• Chan, Heng Huat (2009). Analytická teorie čísel pro vysokoškoláky . Monografie v teorii čísel. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4271-36-3.
• Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Násobná teorie čísel I. Klasická teorie . Cambridgeské trakty v pokročilé matematice. 97 . Cambridge: Cambridge Univ. Lis. p. 38. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Cohen, Eckford (1959). „Třída zbytkových systémů (mod r) a související aritmetické funkce. I. Zobecnění Möbiusovy inverze“. Pacific J. Math . 9 odst. s. 13–23. MR  0109806 .
• Cohen, Eckford (1960). „Aritmetické funkce spojené s jednotnými děliteli celého čísla“. Mathematische Zeitschrift . 74 . s. 66–80. doi : 10,1007/BF01180473 . MR  0112861 .
• Cohen, Eckford (1960). „Počet unitárních dělitelů celého čísla“. American Mathematical Monthly . 67 odst. s. 879–880. MR  0122790 .
• Cohen, Graeme L. (1990). „O infinitárních dělitelích celých čísel“. Matematika. Comp . 54 (189). s. 395–411. doi : 10,1090/S0025-5718-1990-0993927-5 . MR  0993927 .
• Cohen, Graeme L. (1993). „Aritmetické funkce spojené s infinitárními děliteli celého čísla“. Int. J. Math. Matematika. Sci . 16 odst. s. 373–383. doi : 10,1155/S0161171293000456 .
• Sandor, Jozsef; Berge, Antal (2003). „Funkce Möbius: zobecnění a rozšíření“. Adv. Stud. Pokračování Matematika. (Kyungshang) . 6 (2): 77–128. MR  1962765 .
• Finch, Steven (2004). „Unitarismus a infinitarismus“ (PDF) . Archivováno z originálu (PDF) dne 2015-02-22.

externí odkazy

• „Dirichletova konvoluce“ , encyklopedie matematiky , EMS Press , 2001 [1994]