Rovnice elektromagnetických vln - Electromagnetic wave equation

Elektromagnetická vlna rovnice je druhého řádu parciální diferenciální rovnice , která popisuje šíření elektromagnetických vln prostřednictvím médiu nebo ve vakuu . Je to trojrozměrná forma vlnové rovnice . Homogenní forma rovnice, které, pokud jde o buď elektrického pole E , nebo magnetického pole B , má podobu:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ left (v _ {\ mathrm {ph}} ^{2} \ nabla ^{2}-{\ frac {\ částečná ^{2}} {\ částečná t ^{2} }} \ right) \ mathbf {E} & = \ mathbf {0} \\\ left (v _ {\ mathrm {ph}} ^{2} \ nabla ^{2}-{\ frac {\ partial ^{2 }} {\ partial t^{2}}} \ right) \ mathbf {B} & = \ mathbf {0} \ end {aligned}}}$

kde

${\ Displaystyle v _ {\ mathrm {ph}} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ mu \ varepsilon}}}}}$

je rychlost světla (tj. fázová rychlost ) v médiu s propustností μ a permitivitou ε a ∇ ² je Laplaceův operátor . Ve vakuu v _ph = c ₀ =299 792 458  m/s , základní fyzikální konstanta . Rovnice elektromagnetických vln pochází z Maxwellových rovnic . Ve většině starší literatury se B nazývá hustota magnetického toku nebo magnetická indukce .

Původ rovnice elektromagnetických vln

Ve svém dokumentu z roku 1865 nazvaném dynamická teorie elektromagnetického pole , James Clerk Maxwell využil opravu ampérův zákon, který učinil v části III jeho 1861 papíru na fyzikálních siločar . V části VI svého článku z roku 1864 s názvem Elektromagnetická teorie světla Maxwell kombinoval výtlakový proud s některými dalšími rovnicemi elektromagnetismu a získal vlnovou rovnici s rychlostí rovnající se rychlosti světla. Komentoval:

Shoda výsledků zřejmě ukazuje, že světlo a magnetismus jsou afekce stejné látky a že světlo je elektromagnetické rušení šířící se polem podle elektromagnetických zákonů.

Maxwellova derivace rovnice elektromagnetických vln byla v moderní fyzikální výchově nahrazena mnohem méně těžkopádnou metodou zahrnující kombinaci opravené verze Ampérova obvodového zákona s Faradayovým indukčním zákonem .

Abychom získali elektromagnetickou vlnovou rovnici ve vakuu pomocí moderní metody, začneme s moderní „ Heavisideovou“ formou Maxwellových rovnic . V prostoru bez vakua a bez nabíjení jsou tyto rovnice:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} & = 0 \\\ nabla \ times \ mathbf {E} & =-{\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ částečná t}} \\\ nabla \ cdot \ mathbf {B} & = 0 \\\ nabla \ times \ mathbf {B} & = \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \\\ end {aligned}}}$

Toto jsou obecné Maxwellovy rovnice specializované na případ s nábojem a proudem nastaveným na nulu. Když vezmeme zvlnění rovnic zvlnění, dostaneme:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {E} \ right) & = \ nabla \ times \ left (-{\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} \ right) =-{\ frac {\ partial} {\ částečné t}} \ left (\ nabla \ times \ mathbf {B} \ right) =-\ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ částečné ^{2} \ mathbf {E}} {\ částečné t ^{2}}} \\\ nabla \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {B} \ right) & = \ nabla \ times \ left (\ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \ right) = \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ nabla \ times \ mathbf {E} \ right) =-\ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ částečné ^{2} \ mathbf {B}} {\ částečné t ^{2}}} \ konec {zarovnáno}}}$

Můžeme použít vektorovou identitu

${\ Displaystyle \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {V} \ right) = \ nabla \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {V} \ right)-\ nabla ^{2} \ mathbf { V}}$

kde V je jakákoli vektorová funkce prostoru. A

${\ Displaystyle \ nabla ^{2} \ mathbf {V} = \ nabla \ cdot \ left (\ nabla \ mathbf {V} \ right)}$

kde ∇ V je dyadický, který při ovládání divergenčním operátorem ∇ ⋅ poskytne vektor. Od té doby

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} & = 0 \\\ nabla \ cdot \ mathbf {B} & = 0 \ end {aligned}}}$

pak první člen vpravo v identitě zmizí a získáme vlnové rovnice:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {1} {c_ {0}^{2}}} {\ frac {\ partial^{2} \ mathbf {E}} {\ partial t^{2} }}-\ nabla ^{2} \ mathbf {E} & = 0 \\ {\ frac {1} {c_ {0} ^{2}}} {\ frac {\ partial ^{2} \ mathbf {B }} {\ částečné t ^{2}}}-\ nabla ^{2} \ mathbf {B} & = 0 \ end {zarovnáno}}}$

kde

${\ Displaystyle c_ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ mu _ {0} \ varepsilon _ {0}}}} = 2,99792458 \ times 10^{8} \; {\ textrm {m/ s}}}$

je rychlost světla ve volném prostoru.

Kovariantní forma homogenní vlnové rovnice

Tyto relativistické rovnice lze zapsat v protikladné formě jako

${\ displaystyle \ Box A^{\ mu} = 0}$

kde elektromagnetické čtyři-potenciál je

${\ Displaystyle A^{\ mu} = \ left ({\ frac {\ phi} {c}}, \ mathbf {A} \ right)}$

s podmínkou Lorenzova měřidla :

${\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} A^{\ mu} = 0,}$

a kde

${\ Displaystyle \ Box = \ nabla ^{2}-{\ frac {1} {c ^{2}}} {\ frac {\ částečná ^{2}} {\ částečná t ^{2}}}}$

je operátor d'Alembert .

Homogenní vlnová rovnice v zakřiveném časoprostoru

Rovnice elektromagnetických vln je modifikována dvěma způsoby, derivace je nahrazena kovarianční derivací a objeví se nový termín, který závisí na zakřivení.

${\ Displaystyle -{A^{\ alpha; \ beta}} _ {; \ beta}+{R^{\ alpha}} _ {\ beta} A^{\ beta} = 0}$

kde je tenzor Ricciho zakřivení a středník označuje kovariantní diferenciaci. ${\ displaystyle {R^{\ alpha}} _ {\ beta}}$

Předpokládá se zobecnění podmínky Lorenzova rozchodu v zakřiveném časoprostoru:

${\ Displaystyle {A^{\ mu}} _ {; \ mu} = 0.}$

Rovnice nehomogenní elektromagnetické vlny

Lokalizované časově proměnné náboje a proudové hustoty mohou ve vakuu působit jako zdroje elektromagnetických vln. Maxwellovy rovnice lze zapsat ve formě vlnové rovnice se zdroji. Přidání zdrojů k vlnovým rovnicím činí parciální diferenciální rovnice nehomogenní.

Řešení homogenní rovnice elektromagnetických vln

Obecným řešením rovnice elektromagnetických vln je lineární superpozice vln formy

${\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = g (\ phi (\ mathbf {r}, t)) = g (\ omega t- \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r })}$

${\ Displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = g (\ phi (\ mathbf {r}, t)) = g (\ omega t- \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r })}$

pro prakticky jakoukoli dobře vychovanou funkci g bezrozměrného argumentu φ , kde ω je úhlová frekvence (v radiánech za sekundu), a k = ( k _x , k _y , k _z ) je vektor vlny (v radiánech na metr).

Ačkoli funkce g může být a často je monochromatickou sinusovou vlnou , nemusí být sinusová, nebo dokonce periodická. V praxi nemůže mít g nekonečnou periodicitu, protože jakákoli skutečná elektromagnetická vlna musí mít vždy konečný rozsah v čase a prostoru. V důsledku toho a na základě teorie Fourierova rozkladu musí skutečná vlna sestávat ze superpozice nekonečné sady sinusových frekvencí.

Navíc pro platné řešení nejsou vlnový vektor a úhlová frekvence nezávislé; musí dodržovat disperzní vztah :

${\ Displaystyle k = | \ mathbf {k} | = {\ omega \ over c} = {2 \ pi \ over \ lambda}}$

kde k je vlnové číslo a λ je vlnová délka . Proměnnou c lze v této rovnici použít pouze tehdy, když je elektromagnetická vlna ve vakuu.

Monochromatický, sinusový ustálený stav

Nejjednodušší sada řešení vlnové rovnice vyplývá z předpokladu sinusových průběhů jedné frekvence v oddělitelné formě:

${\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = \ Re \ left \ {\ mathbf {E} (\ mathbf {r}) e^{i \ omega t} \ right \}}$

kde

• i je fiktivní jednotka ,
• ω = 2 π  f  je úhlová frekvence v radiánech za sekundu ,
•  f  je frekvence v hertzech a
• ${\ Displaystyle e^{i \ omega t} = \ cos (\ omega t)+i \ sin (\ omega t)}$je Eulerův vzorec .

Řešení v rovinných vlnách

Uvažujme rovinu definovanou jednotkovým normálním vektorem

${\ Displaystyle \ mathbf {n} = {\ mathbf {k} \ over k}.}$

Pak jsou řešení planárních pohyblivých vln rovnic vln

${\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {E} _ {0} e^{-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {B} _ {0} e^{-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}$

kde r = ( x , y , z ) je polohový vektor (v metrech).

Tato řešení představují rovinné vlny cestující ve směru normálního vektoru n . Pokud definujeme směr z jako směr n . a směr x jako směr E , pak podle Faradayova zákona leží magnetické pole ve směru y a je vztaženo k elektrickému poli vztahem

${\ Displaystyle c^{2} {\ částečné B \ přes \ částečné z} = {\ částečné E \ přes \ částečné t}.}$

Protože divergence elektrického a magnetického pole je nulová, nejsou ve směru šíření žádná pole.

Toto řešení je lineárně polarizovaným řešením vlnových rovnic. Existují také kruhově polarizovaná řešení, ve kterých se pole otáčejí kolem normálního vektoru.

Spektrální rozklad

Vzhledem k lineárnosti Maxwellových rovnic ve vakuu lze roztoky rozložit na superpozici sinusoidů . To je základem metody Fourierovy transformace pro řešení diferenciálních rovnic. Sinusové řešení rovnice elektromagnetických vln má formu

${\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = \ mathbf {E} _ {0} \ cos (\ omega t- \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} +\ phi _ {0})}$

${\ Displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = \ mathbf {B} _ {0} \ cos (\ omega t- \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} +\ phi _ {0})}$

kde

• t je čas (v sekundách),
• ω je úhlová frekvence (v radiánech za sekundu),
• k = ( k _x , k _y , k _z ) je vektor vlny (v radiánech na metr), a
• ${\ displaystyle \ phi _ {0}}$je fázový úhel (v radiánech).

Vektor vlny souvisí s úhlovou frekvencí o

${\ Displaystyle k = | \ mathbf {k} | = {\ omega \ over c} = {2 \ pi \ over \ lambda}}$

kde k je vlnové číslo a λ je vlnová délka .

Elektromagnetické spektrum je graf polních veličin (nebo energie) jako funkci vlnové délky.

Vícepólové rozšíření

Za předpokladu, že se monochromatická pole mění v čase, protože pokud použijeme Maxwellovy rovnice k odstranění B , rovnice elektromagnetických vln se sníží na Helmholtzovu rovnici pro E : ${\ Displaystyle e^{-i \ omega t}}$

${\ Displaystyle (\ nabla ^{2}+k ^{2}) \ mathbf {E} = 0, \, \ mathbf {B} =-{\ frac {i} {k}} \ nabla \ times \ mathbf {E},}$

s k = ω / c, jak je uvedeno výše. Alternativně lze eliminovat E ve prospěch B, abychom získali:

${\ Displaystyle (\ nabla ^{2}+k ^{2}) \ mathbf {B} = 0, \, \ mathbf {E} =-{\ frac {i} {k}} \ nabla \ times \ mathbf {B}.}$

Generické elektromagnetické pole s frekvencí ω lze zapsat jako součet řešení těchto dvou rovnic. Tyto trojrozměrné řešení Helmholtzova rovnice může být vyjádřena jako rozšíření v sférických s koeficienty proporcionální k sférické funkce Besselovy . Použití této expanze na každou vektorovou složku E nebo B však poskytne řešení, která nejsou genericky bez divergence ( ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ B = 0 ), a proto vyžadují další omezení koeficientů.

Multipólová expanze obchází tuto obtíž tím, že expanduje ne E nebo B , ale r ⋅ E nebo r ⋅ B do sférických harmonických. Tato expanze ještě vyřešit původní Helmholtzovy rovnice pro E a B, protože pro divergence bez pole F , ∇ ² ( r ⋅ F ) = r ⋅ (∇ ² F ) . Výsledné výrazy pro generické elektromagnetické pole jsou:

${\ Displaystyle \ mathbf {E} = e^{-i \ omega t} \ sum _ {l, m} {\ sqrt {l (l+1)}} \ left [a_ {E} (l, m) \ mathbf {E} _ {l, m}^{(E)}+a_ {M} (l, m) \ mathbf {E} _ {l, m}^{(M)} \ right]}$

${\ displaystyle \ mathbf {B} = e^{-i \ omega t} \ sum _ {l, m} {\ sqrt {l (l+1)}} \ left [a_ {E} (l, m) \ mathbf {B} _ {l, m}^{(E)}+a_ {M} (l, m) \ mathbf {B} _ {l, m}^{(M)} \ right]}$,

kde a jsou elektrické vícepólové pole pořadí (l, m) , a a jsou odpovídající magnetické pole vícepólové a _E ( l , m ) a _M ( l , m ) jsou koeficienty roztažnosti. Vícepólová pole jsou dána znakem ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {l, m}^{(E)}}$${\ Displaystyle \ mathbf {B} _ {l, m}^{(E)}}$${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {l, m}^{(M)}}$${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {l, m}^{(M)}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {B} _ {l, m}^{(E)} = {\ sqrt {l (l+1)}}} \ left [B_ {l}^{(1)} h_ {l} ^{(1)} (kr)+B_ {l}^{(2)} h_ {l}^{(2)} (kr) \ right] \ mathbf {\ Phi} _ {l, m}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {l, m}^{(E)} = {\ frac {i} {k}} \ nabla \ times \ mathbf {B} _ {l, m}^{(E )}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {l, m}^{(M)} = {\ sqrt {l (l+1)}}} \ left [E_ {l}^{(1)} h_ {l} ^{(1)} (kr)+E_ {l}^{(2)} h_ {l}^{(2)} (kr) \ right] \ mathbf {\ Phi} _ {l, m}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {B} _ {l, m}^{(M)} =-{\ frac {i} {k}} \ nabla \ times \ mathbf {E} _ {l, m}^{( M)}}$,

kde h _l ^(1,2) ( x ) jsou sférické Hankelovy funkce , E _l ^(1,2) a B _l ^(1,2) jsou určeny okrajovými podmínkami a

${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi} _ {l, m} = {\ frac {1} {\ sqrt {l (l+1)}}}} (\ mathbf {r} \ times \ nabla) Y_ {l, m}}$

jsou vektorové sférické harmonické normalizovány tak, že

${\ Displaystyle \ int \ mathbf {\ Phi} _ {l, m}^{*} \ cdot \ mathbf {\ Phi} _ {l ', m'} d \ Omega = \ delta _ {l, l '} \ delta _ {m, m '}.}$

Multipólová expanze elektromagnetického pole nachází uplatnění v řadě problémů zahrnujících sférickou symetrii, například vzory záření antén nebo rozpad jaderného gama záření . V těchto aplikacích se člověk často zajímá o sílu vyzařovanou v dalekém poli . V těchto oblastech pole E a B nesouhlasí s

${\ Displaystyle \ mathbf {B} \ cca {\ frac {e^{i (kr- \ omega t)}} {kr}} \ sum _ {l, m} (-i)^{l+1} \ vlevo [a_ {E} (l, m) \ mathbf {\ Phi} _ {l, m}+a_ {M} (l, m) \ mathbf {\ hat {r}} \ times \ mathbf {\ Phi} _ {l, m} \ vpravo]}$

${\ Displaystyle \ mathbf {E} \ zhruba \ mathbf {B} \ times \ mathbf {\ hat {r}}.}$

Úhlové rozdělení časově zprůměrované vyzařované energie je pak dáno vztahem

${\ Displaystyle {\ frac {dP} {d \ Omega}} \ cca {\ frac {1} {2k^{2}}} \ left | \ sum _ {l, m} (-i)^{l+ 1} \ left [a_ {E} (l, m) \ mathbf {\ Phi} _ {l, m} \ times \ mathbf {\ hat {r}} +a_ {M} (l, m) \ mathbf { \ Phi} _ {l, m} \ vpravo] \ vpravo |^{2}.}$

Viz také

Teorie a experiment

Aplikace

Životopisy

Poznámky

Další čtení

Elektromagnetismus

Deníkové články

• Maxwell, James Clerk, „ A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field “, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459-512 (1865). (Tento článek doprovázel prezentaci Maxwella z 8. prosince 1864 Královské společnosti.)

Učebnice pro vysokoškoláky

• Griffiths, David J. (1998). Úvod do elektrodynamiky (3. vyd.) . Sál Prentice. ISBN 0-13-805326-X.
• Tipler, Paul (2004). Fyzika pro vědce a inženýry: elektřina, magnetismus, světlo a elementární moderní fyzika (5. vydání) . WH Freeman. ISBN 0-7167-0810-8.
• Edward M. Purcell, Elektřina a magnetismus (McGraw-Hill, New York, 1985). ISBN  0-07-004908-4 .
• Hermann A. Haus a James R. Melcher, Elektromagnetická pole a energie (Prentice-Hall, 1989) ISBN  0-13-249020-X .
• Banesh Hoffmann, Relativita a její kořeny (Freeman, New York, 1983). ISBN  0-7167-1478-7 .
• David H. Staelin , Ann W. Morgenthaler a Jin Au Kong, Elektromagnetické vlny (Prentice-Hall, 1994) ISBN  0-13-225871-4 .
• Charles F. Stevens, Šest základních teorií moderní fyziky , (MIT Press, 1995) ISBN  0-262-69188-4 .
• Markus Zahn, The Electromagnetic Field Theory: a problem solution approach , (John Wiley & Sons, 1979) ISBN  0-471-02198-9

Učebnice pro absolventy

• Jackson, John D. (1998). Klasická elektrodynamika (3. vyd.) . Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• Landau, LD , The Classical Theory of Fields ( Course of Theoretical Physics : Volume 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN  0-08-018176-7 .
• Maxwell, James C. (1954). Pojednání o elektřině a magnetismu . Dover. ISBN 0-486-60637-6.
• Charles W. Misner, Kip S. Thorne , John Archibald Wheeler , Gravitace , (1970) WH Freeman, New York; ISBN  0-7167-0344-0 . (Poskytuje zpracování Maxwellových rovnic z hlediska diferenciálních forem.)

Vektorový počet

• PC Matthews Vector Calculus , Springer 1998, ISBN  3-540-76180-2
• HM Schey, Div Grad Curl a vše ostatní: Neformální text o vektorovém počtu , 4. vydání (WW Norton & Company, 2005) ISBN  0-393-92516-1 .