Homogenní diferenciální rovnice - Homogeneous differential equation

Diferenciální rovnice může být homogenní v jedné ze dvou hledisek.

O diferenciální rovnici prvního řádu se říká, že je homogenní, pokud ji lze napsat

{\ displaystyle f (x, y) \, dy = g (x, y) \, dx,}

kde $f$ a $g$ jsou homogenní funkce stejného stupně $x$ a $y$ . V tomto případě vede změna proměnné $y = ux$ k rovnici tvaru

{\ displaystyle {\ frac {dx} {x}} = h (u) \, du,}

což je snadné vyřešit integrací obou členů.

Jinak je diferenciální rovnice homogenní, pokud se jedná o homogenní funkci neznámé funkce a jejích derivátů. V případě lineárních diferenciálních rovnic to znamená, že neexistují žádné konstantní členy. Řešení jakékoli lineární obyčejné diferenciální rovnice libovolného řádu lze odvodit integrací z řešení homogenní rovnice získané odstraněním konstantního členu.

Dějiny

Termín homogenní poprvé použil na diferenciální rovnice Johann Bernoulli v části 9 svého článku z roku 1726 De integraionibus aequationum differentialium (O integraci diferenciálních rovnic).

Homogenní diferenciální rovnice prvního řádu

Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu ve tvaru:

{\ displaystyle M (x, y) \, dx + N (x, y) \, dy = 0}

je homogenní typ, pokud obě funkce $M (x, y)$ a $N (x, y)$ jsou homogenní funkce stejného stupně $n$ . To znamená, že vynásobením každé proměnné parametrem $λ$ zjistíme

{\ displaystyle M (\ lambda x, \ lambda y) = \ lambda ^ {n} M (x, y) \ quad {\ text {a}} \ quad N (\ lambda x, \ lambda y) = \ lambda ^ {n} N (x, y) \ ,.}

Tím pádem,

{\ displaystyle {\ frac {M (\ lambda x, \ lambda y)} {N (\ lambda x, \ lambda y)}} = {\ frac {M (x, y)} {N (x, y) }} \ ,.}

Metoda řešení

V kvocientu můžeme nechat $t$ $=$ ${\ textstyle {\ frac {M (tx, ty)} {N (tx, ty)}} = {\ frac {M (x, y)} {N (x, y)}}}$ $.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} 1 / X$ zjednodušit tento kvocient na funkci $f$ jednoduché proměnné $y / X$ :

{\ displaystyle {\ frac {M (x, y)} {N (x, y)}} = {\ frac {M (tx, ty)} {N (tx, ty)}} = {\ frac {M (1, y / x)} {N (1, y / x)}} = f (y / x) \ ,.}

To je

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - f (y / x).}

Představte změnu proměnných $y = ux$ ; rozlišit pomocí pravidla produktu :

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {d (ux)} {dx}} = x {\ frac {du} {dx}} + u {\ frac {dx} {dx} } = x {\ frac {du} {dx}} + u.}

Tím se transformuje původní diferenciální rovnice do oddělitelné formy

{\ displaystyle x {\ frac {du} {dx}} = - f (u) -u,}

nebo

{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} {\ frac {dx} {du}} = {\ frac {-1} {f (u) + u}},}

které lze nyní integrovat přímo: $ln x se$ rovná primitivnímu příkazu na pravé straně (viz obyčejná diferenciální rovnice ).

Speciální případ

Diferenciální rovnice prvního řádu tvaru ( $a$ , $b$ , $c$ , $e$ , $f$ , $g$ jsou všechny konstanty)

{\ displaystyle \ left (ax + by + c \ right) dx + \ left (ex + fy + g \ right) dy = 0}

kde $af \neq be$ lze transformovat na homogenní typ lineární transformací obou proměnných ( $α$ a $β$ jsou konstanty):

{\ displaystyle t = x + \ alpha; \; \; z = y + \ beta \ ,.}

Homogenní lineární diferenciální rovnice

Lineární diferenciální rovnice je homogenní, pokud se jedná o homogenní lineární rovnici v neznámé funkci a jejích derivátech. Z toho vyplývá, že pokud $φ (x)$ je řešení, tak je i $cφ (x)$ pro libovolnou (nenulovou) konstantu $c$ . Aby tato podmínka mohla platit, musí každý nenulový člen lineární diferenciální rovnice záviset na neznámé funkci nebo její derivaci. Lineární diferenciální rovnice, která tuto podmínku nesplní, se nazývá nehomogenní.

Lineární diferenciální rovnice může být reprezentován jako lineární operátor působí na $y (x),$ kde $x$ je obvykle nezávislou proměnnou a $y$ je závislá proměnná. Obecná forma lineární homogenní diferenciální rovnice tedy je

{\ displaystyle L (y) = 0}

kde $L$ je diferenciální operátor , suma derivátů (definování „0. derivát“, jak je původní, nerozlišené funkce), z nichž každý násobena funkcí $f i$ o $x$ :

{\ displaystyle L = \ sum _ {i = 0} ^ {n} f_ {i} (x) {\ frac {d ^ {i}} {dx ^ {i}}} \ ,,}

kde $f i$ mohou být konstanty, ale ne všechna $f i$ mohou být nulová.

Například následující lineární diferenciální rovnice je homogenní:

{\ displaystyle \ sin (x) {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + 4 {\ frac {dy} {dx}} + y = 0 \ ,,}

vzhledem k tomu, že následující dva jsou nehomogenní:

{\ displaystyle 2x ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + 4x {\ frac {dy} {dx}} + y = \ cos (x) \ ,; }

{\ displaystyle 2x ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} - 3x {\ frac {dy} {dx}} + y = 2 \ ,.}

Existence konstantního členu je dostatečnou podmínkou k tomu, aby rovnice byla nehomogenní, jako ve výše uvedeném příkladu.

Viz také

Oddělení proměnných

Poznámky

Reference

Boyce, William E .; DiPrima, Richard C. (2012), Elementární diferenciální rovnice a okrajové úlohy (10. vydání), Wiley, ISBN 978-0470458310 . (Toto je dobrý úvodní odkaz na diferenciální rovnice.)
Ince, EL (1956), Obyčejné diferenciální rovnice , New York: Dover Publications, ISBN 0486603490 . (Toto je klasický odkaz na ODR, poprvé publikovaný v roce 1926.)
Andrei D. Polyanin; Valentin F. Zaitsev (15. listopadu 2017). Příručka obyčejných diferenciálních rovnic: Přesná řešení, metody a problémy . CRC Press. ISBN 978-1-4665-6940-9 .
Matthew R. Boelkins; Jack L. Goldberg; Merle C. Potter (5. listopadu 2009). Diferenciální rovnice s lineární algebrou . Oxford University Press. str. 274–. ISBN 978-0-19-973666-9 .

Languages

In other projects