Geodetika v obecné relativitě - Geodesics in general relativity

Obecná relativita
${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu}+\ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c^{4}} T _ {\ mu \ nu}}$
Úvod Dějiny Matematická formulace Testy
Základní koncepty Princip ekvivalence Speciální relativita Světová linie Pseudo-Riemannian potrubí
Jevy Keplerův problém Gravitační čočky Gravitační vlny Přetahování snímků Geodetický efekt Horizont událostí Jedinečnost Černá díra Vesmírný čas Časoprostorové diagramy Časoprostor Minkowski Einstein – Rosenův most
Rovnice Formalismy Rovnice Linearizovaná gravitace Einsteinovy ​​rovnice pole Friedmanna Geodetika Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Formalismy ADM BSSN Post-newtonský Pokročilá teorie Kaluza – Kleinova teorie Kvantová gravitace
Řešení Schwarzschild ( interiér ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-vlna van Stockum prach Weyl - Lewis - Papapetrou
Vědci Einstein Lorentz Hilberte Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Kolář Robertson Bardeen chodec Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nový muž Yau Thorne ostatní
Fyzikální portál  Kategorie
proti t E

V obecné relativity , je geodetické zobecňuje pojem „přímkového“ na zakřiveném časoprostoru . Důležité je, že světová linie částice prostá všech vnějších, negravitačních sil je konkrétním typem geodetiky. Jinými slovy, volně se pohybující nebo padající částice se vždy pohybuje po geodetice.

V obecné relativitě nelze gravitaci považovat za sílu, ale za důsledek zakřivené časoprostorové geometrie, kde zdrojem zakřivení je tenzor napětí - energie (představující například hmotu). Například cesta planety obíhající kolem hvězdy je projekcí geodetiky zakřivené čtyřrozměrné (4-D) časoprostorové geometrie kolem hvězdy do trojrozměrného (3-D) prostoru.

Matematické vyjádření

Celá geodetická rovnice je

${\ Displaystyle {d^{2} x^{\ mu} \ over ds^{2}}+\ Gamma^{\ mu} {} _ {\ alpha \ beta} {dx^{\ alpha} \ over ds } {dx^{\ beta} \ over ds} = 0 \}$

kde s je skalární parametr pohybu (např. správný čas ), a jsou Christoffelovy symboly (někdy nazývané koeficienty afinního spojení nebo koeficienty připojení Levi-Civita ) symetrické ve dvou nižších indexech. Řecké indexy mohou nabývat hodnot: 0, 1, 2, 3 a pro opakované indexy a se používá konvence součtu . Veličina na levé straně této rovnice je zrychlení částice, takže tato rovnice je analogická Newtonovým pohybovým zákonům , které rovněž poskytují vzorce pro zrychlení částice. Tato pohybová rovnice využívá Einsteinovu notaci , což znamená, že se sčítají opakované indexy (tj. Od nuly do tří). Christoffelovy symboly jsou funkce čtyř časoprostorových souřadnic, a jsou tedy nezávislé na rychlosti nebo zrychlení nebo jiných charakteristikách testované částice, jejíž pohyb je popsán geodetickou rovnicí. ${\ displaystyle \ Gamma ^{\ mu} {} _ {\ alpha \ beta}}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$

Ekvivalentní matematický výraz s použitím souřadnicového času jako parametru

Doposud byla geodetická pohybová rovnice psána pomocí skalárního parametru s . Alternativně může být zapsán z hlediska časové souřadnice (zde jsme použili trojitý pruh k označení definice). Geodetická pohybová rovnice se pak stává: ${\ Displaystyle t \ equiv x^{0}}$

${\ Displaystyle {d^{2} x^{\ mu} \ over dt^{2}} =-\ Gamma^{\ mu} {} _ {\ alpha \ beta} {dx^{\ alpha} \ over dt} {dx^{\ beta} \ přes dt}+\ Gamma^{0} {} _ {\ alpha \ beta} {dx^{\ alpha} \ přes dt} {dx^{\ beta} \ přes dt } {dx^{\ mu} \ přes dt} \.}$

Tato formulace geodetické pohybové rovnice může být užitečná pro počítačové výpočty a pro srovnání obecné relativity s newtonovskou gravitací. Je jednoduché odvodit tuto formu geodetické pohybové rovnice z formy, která používá správný čas jako parametr pomocí řetězového pravidla . Všimněte si, že obě strany této poslední rovnice zmizí, když je mu index nastaven na nulu. Pokud je rychlost částice dostatečně malá, pak se geodetická rovnice redukuje na toto:

${\ Displaystyle {d^{2} x^{n} \ over dt^{2}} =-\ Gamma^{n} {} _ {00}.}$

Latinský index n zde nabývá hodnot [1,2,3]. Tato rovnice jednoduše znamená, že všechny testované částice v určitém místě a čase budou mít stejné zrychlení, což je známý rys newtonovské gravitace. Například vše, co se vznáší kolem na Mezinárodní vesmírné stanici , projde zhruba stejným zrychlením vlivem gravitace.

Odvození přímo z principu ekvivalence

Fyzik Steven Weinberg představil odvození geodetické pohybové rovnice přímo z principu ekvivalence . Prvním krokem takové derivace je předpokládat, že se volně padající částice nezrychluje v blízkosti bodové události vzhledem k volně padajícímu souřadnicovému systému ( ). Při nastavení máme následující rovnici, která je lokálně použitelná ve volném pádu: ${\ Displaystyle X^{\ mu}}$${\ Displaystyle T \ equiv X^{0}}$

${\ Displaystyle {d^{2} X^{\ mu} \ over dT^{2}} = 0.}$

Dalším krokem je použít pravidlo vícerozměrného řetězce . My máme:

${\ Displaystyle {dX^{\ mu} \ over dT} = {dx^{\ nu} \ over dT} {\ částečný X^{\ mu} \ přes \ částečný x^{\ nu}}}$

Ještě jednou s ohledem na čas máme:

${\ Displaystyle {d^{2} X^{\ mu} \ over dT^{2}} = {d^{2} x^{\ nu} \ over dT^{2}} {\ částečný X^{ \ mu} \ přes \ částečný x^{\ nu}}+{dx^{\ nu} \ přes dT} {dx^{\ alpha} \ přes dT} {\ částečný^{2} X^{\ mu} \ over \ částečné x^{\ nu} \ částečné x^{\ alpha}}}$

Proto:

${\ Displaystyle {d^{2} x^{\ nu} \ over dT^{2}} {\ částečný X^{\ mu} \ přes \ částečný x^{\ nu}} =-{dx^{\ nu} \ přes dT} {dx^{\ alpha} \ přes dT} {\ částečný^{2} X^{\ mu} \ přes \ částečný x^{\ nu} \ částečný x^{\ alpha}}}$

Vynásobte obě strany této poslední rovnice následujícím množstvím:

${\ Displaystyle {\ částečný x^{\ lambda} \ přes \ částečný X^{\ mu}}}$

V důsledku toho máme toto:

${\ Displaystyle {d^{2} x^{\ lambda} \ over dT^{2}} =-{dx^{\ nu} \ over dT} {dx^{\ alpha} \ over dT} \ left [ {\ částečný^{2} X^{\ mu} \ přes \ částečný x^{\ nu} \ částečný x^{\ alpha}} {\ částečný x^{\ lambda} \ přes \ částečný X^{\ mu }}\že jo].}$

Použití (z transformačního zákona při změně proměnné a skutečnosti, že Christoffelovy symboly zmizí v inerciálním vztažném rámci)

${\ Displaystyle \ Gamma^{\ lambda} {} _ {\ nu \ alpha} = \ left [{\ partial^{2} X^{\ mu} \ over \ částečné x^{\ nu} \ částečné x^ {\ alpha}} {\ částečné x^{\ lambda} \ přes \ částečné X^{\ mu}} \ vpravo]}$

stává se

${\ Displaystyle {d^{2} x^{\ lambda} \ over dT^{2}} =-\ Gamma _ {\ nu \ alpha}^{\ lambda} {dx^{\ nu} \ over dT} {dx^{\ alpha} \ přes dT}.}$

Použití pravidla jednorozměrného řetězce dává

${\ Displaystyle {d^{2} x^{\ lambda} \ over dt^{2}} \ left ({\ frac {dt} {dT}} \ right)^{2}+{dx^{\ lambda } \ over dt} {\ frac {d^{2} t} {dT^{2}}} =-\ Gamma _ {\ nu \ alpha}^{\ lambda} {dx^{\ nu} \ přes dt } {dx^{\ alpha} \ přes dt} \ vlevo ({\ frac {dt} {dT}} \ vpravo)^{2}.}$

${\ Displaystyle {d^{2} x^{\ lambda} \ over dt^{2}}+{dx^{\ lambda} \ over dt} {\ frac {d^{2} t} {dT^{ 2}}} \ left ({\ frac {dT} {dt}} \ right)^{2} =-\ Gamma _ {\ nu \ alpha}^{\ lambda} {dx^{\ nu} \ over dt } {dx^{\ alpha} \ přes dt}.}$

Stejně jako dříve můžeme nastavit . Pak první derivace x ⁰ vzhledem k t je jedna a druhá derivace je nulová. Nahrazením λ nulou získáte: ${\ Displaystyle t \ equiv x^{0}}$

${\ Displaystyle {\ frac {d^{2} t} {dT^{2}}} \ left ({\ frac {dT} {dt}} \ right)^{2} =-\ Gamma _ {\ nu \ alpha}^{0} {dx^{\ nu} \ over dt} {dx^{\ alpha} \ over dt}.}$

Odečtením d x ^λ / d t krát toto z předchozí rovnice dostaneme:

${\ Displaystyle {d^{2} x^{\ lambda} \ over dt^{2}} =-\ Gamma _ {\ nu \ alpha}^{\ lambda} {dx^{\ nu} \ over dt} {dx^{\ alpha} \ over dt}+\ Gamma _ {\ nu \ alpha}^{0} {dx^{\ nu} \ over dt} {dx^{\ alpha} \ over dt} {dx^ {\ lambda} \ přes dt}}$

což je forma geodetické pohybové rovnice (pomocí parametru čas souřadnic).

Geodetickou pohybovou rovnici lze alternativně odvodit pomocí konceptu paralelního transportu .

Odvození geodetické rovnice prostřednictvím akce

Můžeme (a to je nejběžnější technika) odvodit geodetickou rovnici prostřednictvím akčního principu. Zvažte případ pokusu najít geodetiku mezi dvěma časově oddělenými událostmi.

Nechte akci být

${\ Displaystyle S = \ int ds}$

kde je čárový prvek . Uvnitř odmocniny je záporné znaménko, protože křivka musí být časová. Abychom získali geodetickou rovnici, musíme tuto akci změnit. Abychom to udělali, parametrizujme tuto akci s ohledem na parametr . Tím získáme: ${\ Displaystyle ds = {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} (x) \, dx^{\ mu} \, dx^{\ nu}}}}$${\ Displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle S = \ int {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} {\ frac {dx^{\ mu}} {d \ lambda}} {\ frac {dx^{\ nu}} {d \ lambda}}}} \, d \ lambda}$

Nyní můžeme pokračovat a měnit tuto akci s ohledem na křivku . Podle principu nejmenší akce dostaneme: ${\ Displaystyle x^{\ mu}}$

${\ Displaystyle 0 = \ delta S = \ int \ delta \ left ({\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} {\ frac {dx^{\ mu}} {d \ lambda}} {\ frac {dx ^{\ nu}} {d \ lambda}}}} \ right) \, d \ lambda = \ int {\ frac {\ delta \ left (-g _ {\ mu \ nu} {\ frac {dx^{\ mu}} {d \ lambda}} {\ frac {dx^{\ nu}} {d \ lambda}} \ right)} {2 {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} {\ frac {dx^ {\ mu}} {d \ lambda}} {\ frac {dx^{\ nu}} {d \ lambda}}}}}} d \ lambda}$

Pomocí pravidla produktu získáme:

${\ Displaystyle 0 = \ int \ left ({\ frac {dx^{\ mu}} {d \ lambda}} {\ frac {dx^{\ nu}} {d \ tau}} \ delta g _ {\ mu \ nu}+g _ {\ mu \ nu} {\ frac {d \ delta x^{\ mu}} {d \ lambda}} {\ frac {dx^{\ nu}} {d \ tau}}+g_ {\ mu \ nu} {\ frac {dx^{\ mu}} {d \ tau}} {\ frac {d \ delta x^{\ nu}} {d \ lambda}} \ right) \, d \ lambda = \ int \ left ({\ frac {dx^{\ mu}} {d \ lambda}} {\ frac {dx^{\ nu}} {d \ tau}} \ partial _ {\ alpha} g_ { \ mu \ nu} \ delta x^{\ alpha}+2g _ {\ mu \ nu} {\ frac {d \ delta x^{\ mu}} {d \ lambda}} {\ frac {dx^{\ nu }} {d \ tau}} \ right) \, d \ lambda}$

kde

${\ Displaystyle {\ frac {d \ tau} {d \ lambda}} = {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} {\ frac {dx^{\ mu}} {d \ lambda}} {\ frac {dx^{\ nu}} {d \ lambda}}}}}}$

Integrací vedlejších částí posledního členu a vypuštěním celkové derivace (která se na hranicích rovná nule) dostaneme, že:

${\ Displaystyle 0 = \ int \ left ({\ frac {dx^{\ mu}} {d \ tau}} {\ frac {dx^{\ nu}} {d \ tau}} \ částečná _ {\ alpha } g _ {\ mu \ nu} \ delta x^{\ alpha} -2 \ delta x^{\ mu} {\ frac {d} {d \ tau}} \ left (g _ {\ mu \ nu} {\ frac {dx^{\ nu}} {d \ tau}} \ right) \ right) \, d \ tau = \ int \ left ({\ frac {dx^{\ mu}} {d \ tau}} { \ frac {dx^{\ nu}} {d \ tau}} \ částečný _ {\ alpha} g _ {\ mu \ nu} \ delta x^{\ alpha} -2 \ delta x^{\ mu} \ částečný _ {\ alpha} g _ {\ mu \ nu} {\ frac {dx^{\ alpha}} {d \ tau}} {\ frac {dx^{\ nu}} {d \ tau}}-2 \ delta x^{\ mu} g _ {\ mu \ nu} {\ frac {d^{2} x^{\ nu}} {d \ tau^{2}}} \ right) \, d \ tau}$

Trochu zjednodušení vidíme, že:

${\ Displaystyle 0 = \ int \ left (-2g _ {\ mu \ nu} {\ frac {d^{2} x^{\ nu}} {d \ tau^{2}}}+{\ frac {dx ^{\ alpha}} {d \ tau}} {\ frac {dx^{\ nu}} {d \ tau}} \ částečný _ {\ mu} g _ {\ alpha \ nu} -2 {\ frac {dx ^{\ alpha}} {d \ tau}} {\ frac {dx^{\ nu}} {d \ tau}} \ částečný _ {\ alpha} g _ {\ mu \ nu} \ vpravo) \ delta x^ {\ mu} d \ tau}$

tak,

${\ Displaystyle 0 = \ int \ left (-2g _ {\ mu \ nu} {\ frac {d^{2} x^{\ nu}} {d \ tau^{2}}}+{\ frac {dx ^{\ alpha}} {d \ tau}} {\ frac {dx^{\ nu}} {d \ tau}} \ částečný _ {\ mu} g _ {\ alpha \ nu}-{\ frac {dx^ {\ alpha}} {d \ tau}} {\ frac {dx^{\ nu}} {d \ tau}} \ částečná _ {\ alpha} g _ {\ mu \ nu}-{\ frac {dx^{ \ nu}} {d \ tau}} {\ frac {dx^{\ alpha}} {d \ tau}} \ partial _ {\ nu} g _ {\ mu \ alpha} \ right) \ delta x^{\ mu} \, d \ tau}$

vynásobením této rovnice dostaneme: ${\ displaystyle -{\ frac {1} {2}}}$

${\ Displaystyle 0 = \ int \ left (g _ {\ mu \ nu} {\ frac {d^{2} x^{\ nu}} {d \ tau^{2}}}+{\ frac {1} {2}} {\ frac {dx^{\ alpha}} {d \ tau}} {\ frac {dx^{\ nu}} {d \ tau}} \ left (\ partial _ {\ alpha} g_ { \ mu \ nu}+\ částečný _ {\ nu} g _ {\ mu \ alpha}-\ částečný _ {\ mu} g _ {\ alpha \ nu} \ vpravo) \ vpravo) \ delta x^{\ mu} \ , d \ tau}$

Podle Hamiltonova principu tedy zjistíme, že Eulerova -Lagrangeova rovnice je

${\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu} {\ frac {d^{2} x^{\ nu}} {d \ tau^{2}}}+{\ frac {1} {2}} {\ frac {dx^{\ alpha}} {d \ tau}} {\ frac {dx^{\ nu}} {d \ tau}} \ left (\ partial _ {\ alpha} g _ {\ mu \ nu}+\ částečné _ {\ nu} g _ {\ mu \ alpha}-\ částečné _ {\ mu} g _ {\ alpha \ nu} \ vpravo) = 0}$

Vynásobením inverzního metrického tenzoru to získáme ${\ displaystyle g^{\ mu \ beta}}$

${\ Displaystyle {\ frac {d^{2} x^{\ beta}} {d \ tau^{2}}}+{\ frac {1} {2}} g^{\ mu \ beta} \ left (\ částečné _ {\ alpha} g _ {\ mu \ nu}+\ částečné _ {\ nu} g _ {\ mu \ alpha}-\ částečné _ {\ mu} g _ {\ alpha \ nu} \ vpravo) {\ frac {dx^{\ alpha}} {d \ tau}} {\ frac {dx^{\ nu}} {d \ tau}} = 0}$

Tak dostaneme geodetickou rovnici:

${\ Displaystyle {\ frac {d ^{2} x ^{\ beta}} {d \ tau ^{2}}}+\ Gamma ^{\ beta} {} _ {\ alpha \ nu} {\ frac { dx^{\ alpha}} {d \ tau}} {\ frac {dx^{\ nu}} {d \ tau}} = 0}$

se symbolem Christoffel definovaným z hlediska metrického tenzoru jako

${\ Displaystyle \ Gamma ^{\ beta} {} _ {\ alpha \ nu} = {\ frac {1} {2}} g ^{\ mu \ beta} \ left (\ partial _ {\ alpha} g_ { \ mu \ nu}+\ částečný _ {\ nu} g _ {\ mu \ alpha}-\ částečný _ {\ mu} g _ {\ alpha \ nu} \ vpravo)}$

(Poznámka: Podobné derivace, s menšími úpravami, lze použít k vytvoření analogických výsledků geodetiky mezi dvojicemi bodů oddělených světlem nebo prostorem.)

Pohybová rovnice může vyplývat z rovnic pole pro prázdné místo

Albert Einstein věřil, že geodetickou pohybovou rovnici lze odvodit z polních rovnic pro prázdný prostor , tj. Ze skutečnosti, že Ricciho zakřivení zmizí. Napsal:

Ukázalo se, že tento pohybový zákon - zobecněný na případ libovolně velkých gravitačních hmot - lze odvodit pouze z polních rovnic prázdného prostoru. Podle této derivace je zákon pohybu implikován podmínkou, že pole bude singulární nikde mimo své generující hmotné body.

a

Jednou z nedokonalostí původní relativistické gravitační teorie bylo, že jako teorie pole nebyla úplná; zavedlo nezávislý postulát, že pohybový zákon částice je dán geodetickou rovnicí.

Kompletní teorie pole zná pouze pole, nikoli pojmy částice a pohyb. Tyto totiž nesmí existovat nezávisle na oboru, ale mají být považovány za jeho součást.

Na základě popisu částice bez singularity má člověk možnost logicky uspokojivějšího řešení kombinovaného problému: problém pole a pohybu se shodují.

Fyzici i filozofové často opakovali tvrzení, že geodetickou rovnici lze získat z rovnic pole pro popis pohybu gravitační singularity , ale toto tvrzení zůstává sporné. Méně kontroverzní je představa, že rovnice pole určují pohyb tekutiny nebo prachu, na rozdíl od pohybu bodové singularity.

Rozšíření na případ nabité částice

Při odvozování geodetické rovnice z principu ekvivalence se předpokládalo, že částice v místním inerciálním souřadném systému se nezrychlují. V reálném životě však mohou být částice nabité, a proto se mohou lokálně zrychlovat v souladu s Lorentzovou silou . To je:

${\ Displaystyle {d^{2} X^{\ mu} \ over ds^{2}} = {q \ over m} {F^{\ mu \ beta}} {dX^{\ alpha} \ over ds } {\ eta _ {\ alpha \ beta}}.}$

s

${\ Displaystyle {\ eta _ {\ alpha \ beta}} {dX^{\ alpha} \ over ds} {dX^{\ beta} \ over ds} =-1.}$

Minkowski tensor je dána vztahem: ${\ displaystyle \ eta _ {\ alpha \ beta}}$

${\ Displaystyle \ eta _ {\ alpha \ beta} = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

Tyto poslední tři rovnice lze použít jako výchozí bod pro odvození pohybové rovnice v obecné relativitě, místo aby se předpokládalo, že zrychlení je při volném pádu nulové. Protože je zde zapojen Minkowského tenzor, je nutné v obecné relativitě zavést něco, co se nazývá metrický tenzor . Metrický tenzor g je symetrický a ve volném pádu se lokálně redukuje na Minkowského tenzor. Výsledná pohybová rovnice je následující:

${\ Displaystyle {d^{2} x^{\ mu} \ over ds^{2}} =-\ Gamma^{\ mu} {} _ {\ alpha \ beta} {dx^{\ alpha} \ přes ds} {dx^{\ beta} \ over ds} \ +{q \ over m} {F^{\ mu \ beta}} {dx^{\ alpha} \ over ds} {g _ {\ alpha \ beta} }.}$

s

${\ displaystyle {g _ {\ alpha \ beta}} {dx^{\ alpha} \ over ds} {dx^{\ beta} \ over ds} =-1.}$

Tato poslední rovnice znamená, že se částice pohybuje po časově podobné geodetice; bezhmotné částice jako foton místo toho sledují nulovou geodetiku (nahraďte −1 nulou na pravé straně poslední rovnice). Je důležité, aby poslední dvě rovnice byly navzájem konzistentní, když je tato druhá diferencována s ohledem na správný čas, a následující vzorec pro Christoffelovy symboly zajišťuje tuto konzistenci:

${\ Displaystyle \ Gamma ^{\ lambda} {} _ {\ alpha \ beta} = {\ frac {1} {2}} g ^{\ lambda \ tau} \ left ({\ frac {\ partial g _ {\ tau \ alpha}} {\ částečný x^{\ beta}}}+{\ frac {\ částečný g _ {\ tau \ beta}} {\ částečný x^{\ alpha}}}-{\ frac {\ částečný g_ {\ alpha \ beta}} {\ částečné x^{\ tau}}} \ vpravo)}$

Tato poslední rovnice nezahrnuje elektromagnetická pole a je použitelná i v mezích, kdy elektromagnetická pole mizí. Písmeno g s horními indexy odkazuje na inverzní metrický tenzor. V obecné relativitě jsou indexy tenzorů sníženy a zvýšeny kontrakcí s metrickým tenzorem nebo jeho inverzí.

Geodetika jako křivky stacionárního intervalu

Geodetiku mezi dvěma událostmi lze také popsat jako křivku spojující tyto dvě události, která má stacionární interval (4-dimenzionální „délka“). Stacionární se zde používá ve smyslu, ve kterém je tento termín použit v variačním počtu , tj. Že interval podél křivky se mezi křivkami, které jsou blízké geodetice, mění minimálně.

V prostoru Minkowski existuje pouze jedna geodetika, která spojuje danou dvojici událostí, a pro časově podobnou geodetiku je to křivka s nejdelším vlastním časem mezi oběma událostmi. V zakřiveném časoprostoru je možné, aby dvojice široce oddělených událostí měla mezi sebou více než jednu časově podobnou geodetiku. V takových případech nebudou správné časy podél několika geodetik obecně stejné. U některých geodetik v takových případech je možné, že křivka, která spojuje tyto dvě události a je blízko geodetické, má buď delší nebo kratší správný čas než geodetická.

Pro geodetiku podobnou prostoru dvěma událostmi vždy existují blízké křivky, které procházejí dvěma událostmi, které mají buď delší nebo kratší správnou délku než geodetické, a to i v Minkowského prostoru. V Minkowského prostoru bude geodetická přímka. Každá křivka, která se liší od geodetiky čistě prostorově ( tj. Nemění časovou souřadnici) v jakémkoli setrvačném referenčním rámci, bude mít delší vlastní délku než geodetická, ale křivka, která se liší od geodetické čistě časově ( tj. Nemění vesmírné souřadnice) v takovém referenčním rámci bude mít kratší vlastní délku.

Interval křivky v časoprostoru je

${\ Displaystyle l = \ int {\ sqrt {\ left | g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}}^{\ mu} {\ dot {x}}^{\ nu} \ right |}} \, ds \.}$

Potom Eulerova -Lagrangeova rovnice ,

${\ Displaystyle {d \ over ds} {\ partial \ over \ partial {\ dot {x}}^{\ alpha}} {\ sqrt {\ left | g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^{\ mu} {\ tečka {x}}^{\ nu} \ vpravo |}} = {\ částečné \ přes \ částečné x^{\ alpha}} {\ sqrt {\ vlevo | g _ {\ mu \ nu } {\ dot {x}}^{\ mu} {\ dot {x}}^{\ nu} \ right |}} \,}$

se po určitém výpočtu stane

${\ Displaystyle 2 \ left (\ Gamma^{\ lambda} {} _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}}^{\ mu} {\ dot {x}}^{\ nu}+{\ ddot {x}}^{\ lambda} \ right) = U^{\ lambda} {d \ over ds} \ ln | U _ {\ nu} U^{\ nu} | \,}$

kde ${\ Displaystyle U^{\ mu} = {\ dot {x}}^{\ mu}.}$

Pokud je parametr s vybrán jako afinní, pak pravá strana výše uvedené rovnice zmizí (protože je konstantní). Nakonec máme geodetickou rovnici ${\ displaystyle U _ {\ nu} U^{\ nu}}$

${\ displaystyle \ Gamma^{\ lambda} {} _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}}^{\ mu} {\ dot {x}}^{\ nu}+{\ ddot {x} }^{\ lambda} = 0 \.}$

Odvození pomocí autoparalelního přenosu

Geodetickou rovnici lze alternativně odvodit z autoparalelního transportu křivek. Odvození vychází z přednášek Frederica P. Schullera z Mezinárodní zimní školy We-Heraeus o gravitaci a světle.

Nechť je plynulé potrubí s připojením a je křivkou na potrubí. Říká se, že křivka je autoparaleálně transportována tehdy a jen tehdy . ${\ Displaystyle (M, O, A, \ nabla)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ nabla _ {v _ {\ gamma}} v _ {\ gamma} = 0}$

Abychom mohli odvodit geodetickou rovnici, musíme vybrat graf : ${\ Displaystyle (U, x) \ v A}$

${\ Displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}}^{i} {\ frac {\ částečná} {\ částečná x^{i}}}} \ left ({\ dot {\ gamma}}^{ m} {\ frac {\ částečný} {\ částečný x^{m}}} \ vpravo) = 0}$

Pomocí linearity a Leibnizova pravidla: ${\ displaystyle C^{\ infty}}$

${\ Displaystyle {\ dot {\ gamma}}^{i} \ left (\ nabla _ {\ frac {\ partial} {\ partial x^{i}}} {\ dot {\ gamma}}^{m} \ right) {\ frac {\ částečný} {\ částečný x^{m}}}+{\ tečka {\ gamma}}^{i} {\ tečka {\ gamma}}^{m} \ nabla _ {\ frac {\ částečný} {\ částečný x^{i}}} \ vlevo ({\ frac {\ částečný} {\ částečný x^{m}}} \ vpravo) = 0}$

Použití toho, jak spojení působí na funkce ( ), a rozšíření druhého členu pomocí funkcí koeficientu připojení: ${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}}^{m}}$

${\ Displaystyle {\ dot {\ gamma}}^{i} {\ frac {\ částečný {\ dot {\ gamma}}^{m}} {\ částečný x^{i}}} {\ frac {\ částečný } {\ partial x^{m}}}+{\ dot {\ gamma}}^{i} {\ dot {\ gamma}}^{m} \ Gamma _ {im}^{q} {\ frac { \ částečné} {\ částečné x^{q}}} = 0}$

První termín lze zjednodušit na . Přejmenování fiktivních indexů: ${\ displaystyle {\ ddot {\ gamma}}^{m} {\ frac {\ částečná} {\ částečná x^{m}}}}$

${\ Displaystyle {\ ddot {\ gamma}}^{q} {\ frac {\ částečná} {\ částečná x^{q}}}+{\ tečka {\ gamma}}^{i} {\ tečka {\ gamma}}^{m} \ Gamma _ {im}^{q} {\ frac {\ částečný} {\ částečný x^{q}}} = 0}$

Nakonec se dostáváme k geodetické rovnici:

${\ Displaystyle {\ ddot {\ gamma}}^{q}+{\ dot {\ gamma}}^{i} {\ dot {\ gamma}}^{m} \ Gamma _ {im}^{q} = 0}$

Viz také

• Geodetické
• Geodetická precese
• Geodetika Schwarzschild
• Geodetika jako hamiltonovské toky

Bibliografie

• Steven Weinberg , Gravitace a kosmologie: Principy a aplikace obecné teorie relativity , (1972) John Wiley & Sons, New York ISBN  0-471-92567-5 . Viz kapitola 3 .
• Lev D. Landau a Evgenii M. Lifschitz , The Classical Theory of Fields , (1973) Pergammon Press, Oxford ISBN  0-08-018176-7 Viz část 87 .
• Charles W. Misner , Kip S. Thorne , John Archibald Wheeler , Gravitace , (1970) WH Freeman, New York; ISBN  0-7167-0344-0 .
• Bernard F. Schutz , První kurz obecné relativity , (1985; 2002) Cambridge University Press: Cambridge, UK; ISBN  0-521-27703-5 . Viz kapitola 6 .
• Robert M. Wald , General Relativity , (1984) The University of Chicago Press, Chicago. Viz část 3.3 .

Reference