Metrika Reissner – Nordström - Reissner–Nordström metric

${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$

Celková hmotnost centrálního těla a jeho neredukovatelná hmotnost jsou vztaženy k

$${\ Displaystyle M _ {\ rm {irr}} = {\ frac {c^{2}} {G}} {\ sqrt {\ frac {r _ {+}^{2}} {2}}} \ \ do \ M = {\ frac {Q^{2}} {16 \ pi \ varepsilon _ {0} GM _ {\ rm {irr}}}}+M _ {\ rm {irr}}.}$$

Rozdíl mezi a je způsoben

${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle M _ {\ rm {irr}}}$

V mezích, kdy se náboj (nebo ekvivalentně stupnice délky ) dostane na nulu, se obnoví

${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle r_ {Q}}$

${\ displaystyle r _ {\ text {s}}/r}$

${\ displaystyle r_ {Q}/r}$

${\ displaystyle r _ {\ text {s}}/r}$

V praxi je tento poměr často extrémně malý. Například Schwarzschildův poloměr

${\ displaystyle r _ {\ text {s}}/r}$

${\ displaystyle r}$

Nabité černé díry

Přestože nabité černé díry s r _Q  ≪ r _s jsou podobné Schwarzschildově černé díře , mají dva horizonty: horizont událostí a vnitřní Cauchyho horizont . Stejně jako u Schwarzschildovy metriky jsou horizonty událostí pro časoprostor umístěny tam, kde se metrická složka rozchází; tedy kde ${\ displaystyle g_ {rr}}$

$${\ Displaystyle 1-{\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}}+{\ frac {r _ {\ rm {Q}}^{2}} {r^{2}}} =- {\ frac {1} {g_ {rr}}} = 0.}$$

Tato rovnice má dvě řešení:

$${\ Displaystyle r _ {\ pm} = {\ frac {1} {2}} \ left (r _ {\ rm {s}} \ pm {\ sqrt {r _ {\ rm {s}}^{2} -4r_ {\ rm {Q}}^{2}}} \ right).}$$

Tyto koncentrické horizonty událostí se degenerují na 2 r _Q  = r _s , což odpovídá extrémní černé díře . Černé díry s 2 r _Q  > r _s nemohou v přírodě existovat, protože pokud je náboj větší než hmotnost, nemůže existovat horizont fyzických událostí (termín pod odmocninou se stává záporným). Objekty s nábojem větším než je jejich hmotnost mohou v přírodě existovat, ale nemohou se zhroutit až do černé díry, a pokud by mohly, vykazovaly by nahou singularitu . Teorie se supersymetrií obvykle zaručují, že takové „superextremální“ černé díry nemohou existovat.

Elektromagnetické potenciál je

$${\ Displaystyle A _ {\ alpha} = (Q/r, 0,0,0).}$$

Jsou-li magnetické monopoles zahrnuty v teorii, pak zobecnění zahrnovat magnetický náboj P se získá nahrazením Q ² o Q ² + P ² v metrický a zahrnující termín P  cos  θ  dφ v elektromagnetickém potenciálu.

Gravitační dilatace času

Gravitační dilatace času v blízkosti centrálního tělesa je dána

$${\ Displaystyle \ gamma = {\ sqrt {| g^{tt} |}}} = {\ sqrt {\ frac {r^{2}} {Q^{2}+(r-2M) r}}}, }$$

$${\ Displaystyle v _ {\ rm {esc}} = {\ frac {\ sqrt {\ gamma ^{2} -1}} {\ gamma}}.}$$

Christoffel symboly

Tyto symboly Christoffel

$${\ Displaystyle \ Gamma _ {jk}^{i} = \ sum _ {s = 0}^{3} \ {\ frac {g^{is}} {2}} \ left ({\ frac {\ partial g_ {js}} {\ částečný x^{k}}}+{\ frac {\ částečný g_ {sk}} {\ částečný x^{j}}}-{\ frac {\ částečný g_ {jk}} { \ částečné x^{s}}} \ vpravo)}$$

$${\ Displaystyle \ {0, \ 1, \ 2, \ 3 \} \ to \ {t, \ r, \ \ theta, \ \ varphi \}}$$

$${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Gamma _ {tr}^{t} & = {\ frac {Mr-Q^{2}} {r (Q^{2}+r^{2} -2Mr) }} \\ [6pt] \ Gamma _ {tt}^{r} & = {\ frac {(Mr-Q^{2}) \ left (r^{2} -2Mr+Q^{2} \ right )} {r^{5}}} \\ [6pt] \ Gamma _ {rr}^{r} & = {\ frac {Q^{2} -Mr} {Q^{2} r-2Mr^{ 2}+r^{3}}} \\ [6pt] \ Gamma _ {\ theta \ theta}^{r} & =-{\ frac {r^{2} -2Mr+Q^{2}} { r}} \\ [6pt] \ Gamma _ {\ varphi \ varphi}^{r} & =-{\ frac {\ sin^{2} \ theta \ left (r^{2} -2Mr+Q^{ 2} \ right)} {r}} \\ [6pt] \ Gamma _ {\ theta r}^{\ theta} & = {\ frac {1} {r}} \\ [6pt] \ Gamma _ {\ varphi \ varphi}^{\ theta} & =-\ sin \ theta \ cos \ theta \\ [6pt] \ Gamma _ {\ varphi r}^{\ varphi} & = {\ frac {1} {r}} \\ [6pt] \ Gamma _ {\ varphi \ theta}^{\ varphi} & = \ cot \ theta \ end {zarovnáno}}}$$

Vzhledem ke symbolům Christoffela lze vypočítat geodetiku testované částice.

Pohybové rovnice

Kvůli sférické symetrii metriky může být souřadný systém vždy zarovnán tak, že pohyb testované částice je omezen na rovinu, takže pro stručnost a bez omezení obecnosti používáme místo

$${\ Displaystyle {\ ddot {x}}^{i} =-\ sum _ {j = 0}^{3} \ \ sum _ {k = 0}^{3} \ \ Gamma _ {jk}^{ i} \ {{\ tečka {x}}^{j}} \ {{\ tečka {x}}^{k}}+q \ {F^{ik}} \ {{\ tečka {x}} _ {k}}}$$

$${\ Displaystyle {\ ddot {t}} = {\ frac {\ 2 (Q^{2} -Mr)} {r (r^{2} -2Mr+Q^{2})}} {\ dot { r}} {\ dot {t}}+{\ frac {qQ} {(r^{2} -2mr+Q^{2})}} \ {\ dot {r}}}$$

$${\ Displaystyle {\ ddot {r}} = {\ frac {(r^{2} -2Mr+Q^{2}) (Q^{2} -Mr) \ {\ dot {t}}^{2 }} {r^{5}}}+{\ frac {(Mr-Q^{2}) {\ dot {r}}^{2}} {r (r^{2} -2Mr+Q^{ 2})}}+{\ frac {(r^{2} -2Mr+Q^{2}) \ {\ dot {\ theta}}^{2}} {r}}+{\ frac {qQ ( r^{2} -2mr+Q^{2})} {r^{4}}} \ {\ dot {t}}}$$

$${\ Displaystyle {\ ddot {\ theta}} =-{\ frac {2 \ {\ dot {\ theta}} \ {\ dot {r}}} {r}}.}$$

Všechny celkové deriváty jsou s ohledem na správný čas . ${\ displaystyle {\ dot {a}} = {\ frac {da} {d \ tau}}}$

Konstanty pohybu zajišťují řešení parciální diferenciální rovnice ${\ Displaystyle S (t, {\ dot {t}}, r, {\ dot {r}}, \ theta, {\ dot {\ theta}}, \ varphi, {\ dot {\ varphi}})}$

$${\ Displaystyle 0 = {\ dot {t}} {\ dfrac {\ částečný S} {\ částečný t}}+{\ dot {r}} {\ frac {\ částečný S} {\ částečný r}}+{ \ dot {\ theta}} {\ frac {\ částečný S} {\ částečný \ theta}}+{\ ddot {t}} {\ frac {\ částečný S} {\ částečný {\ bod {t}}}} +{\ ddot {r}} {\ frac {\ částečný S} {\ částečný {\ tečka {r}}}}+{\ ddot {\ theta}} {\ frac {\ částečný S} {\ částečný {\ tečka {\ theta}}}}}}$$

$${\ Displaystyle S_ {1} = 1 = \ left (1-{\ frac {r_ {s}} {r}}+{\ frac {r _ {\ rm {Q}}^{2}} {r^{ 2}}} \ right) c^{2} \, {\ dot {t}}^{2}-\ left (1-{\ frac {r_ {s}} {r}}+{\ frac {r_ {Q}^{2}} {r^{2}}} \ right)^{-1} \, {\ dot {r}}^{2} -r^{2} \, {\ dot {\ theta}}^{2}.}$$

Oddělitelná rovnice

$${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný S} {\ částečný r}}-{\ frac {2} {r}} {\ dot {\ theta}} {\ frac {\ částečný S} {\ částečný {\ tečka {\ theta}}}}} = 0}$$

$${\ displaystyle S_ {2} = L = r^{2} {\ dot {\ theta}};}$$

$${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný S} {\ částečný r}}-{\ frac {2 (Mr-Q^{2})} {r (r^{2} -2Mr+Q^{2}) }} {\ dot {t}} {\ frac {\ částečný S} {\ částečný {\ bod {t}}}} = 0}$$

$${\ Displaystyle S_ {3} = E = {\ frac {{\ dot {t}} (r^{2} -2Mr+Q^{2})} {r^{2}}}+{\ frac { qQ} {r}}.}$$

Dosazením a do získáte radiální rovnici ${\ displaystyle S_ {2}}$${\ displaystyle S_ {3}}$${\ displaystyle S_ {1}}$

$${\ Displaystyle c \ int d \, \ tau = \ int {\ frac {r^{2} \, dr} {\ sqrt {r^{4} (E-1)+2Mr^{3}-(Q ^{2}+L^{2}) r^{2}+2ML^{2} rQ^{2} L^{2}}}}.}$$

Násobení pod znaménkem integrálu poskytne orbitální rovnici ${\ displaystyle S_ {2}}$

$${\ Displaystyle c \ int Lr^{2} \, d \ theta = \ int {\ frac {L \, dr} {\ sqrt {r^{4} (E-1)+2Mr^{3}-( Q^{2}+L^{2}) r^{2}+2ML^{2} rQ^{2} L^{2}}}}.}$$

Celková časová dilatace mezi testovací částicí a pozorovatelem v nekonečnu je

$${\ Displaystyle \ gamma = {\ frac {q \ Q \ r^{3}+E \ r^{4}} {r^{2} \ (r^{2} -2r+Q^{2}) }}.}$$

První derivace a

${\ displaystyle {\ dot {x}}^{i}}$

${\ displaystyle v^{i}}$

$${\ Displaystyle {\ dot {x}}^{i} = {\ frac {v^{i}} {\ sqrt {(1-v^{2}) \ | g_ {ii} |}}}},}$$

$${\ Displaystyle {\ dot {r}} = {\ frac {v _ {\ paralelní} {\ sqrt {r^{2} -2M+Q^{2}}}} {r {\ sqrt {(1-v ^{2})}}}}}$$

$${\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = {\ frac {v _ {\ perp}} {r {\ sqrt {(1-v^{2})}}}}}.}$$

Konkrétní orbitální energie

$${\ Displaystyle E = {\ frac {\ sqrt {Q^{2} -2rM+r^{2}}} {r {\ sqrt {1-v^{2}}}}}+{\ frac {qQ } {r}}}$$

$${\ Displaystyle L = {\ frac {v _ {\ perp} \ r} {\ sqrt {1-v^{2}}}}}$$

${\ displaystyle v _ {\ paralelní}}$

${\ displaystyle v _ {\ perp}}$

$${\ Displaystyle v = {\ sqrt {v _ {\ perp}^{2}+v _ {\ paralelní}^{2}}} = {\ sqrt {\ frac {(E^{2} -1) r^{ 2} -Q^{2} -r^{2}+2rM} {E^{2} r^{2}}}}.}$$

Alternativní formulace metriky

Metriku lze alternativně vyjádřit takto:

$${\ Displaystyle {\ begin {aligned} g _ {\ mu \ nu} & = \ eta _ {\ mu \ nu}+fk _ {\ mu} k _ {\ nu} \\ [5pt] f & = {\ frac {G } {r^{2}}} \ left [2Mr-Q^{2} \ right] \\ [5pt] \ mathbf {k} & = (k_ {x}, k_ {y}, k_ {z}) = \ left ({\ frac {x} {r}}, {\ frac {y} {r}}, {\ frac {z} {r}} \ right) \\ [5pt] k_ {0} & = 1. \ end {aligned}}}$$

Všimněte si, že k je jednotkový vektor . Zde M je konstantní hmotnost objektu, Q je konstantní náboj objektu a η je Minkowského tenzor .

Viz také

• Elektron černé díry

Poznámky

Reference

• Adler, R .; Bazin, M .; Schiffer, M. (1965). Úvod do obecné relativity . New York: McGraw-Hill Book Company. s.  395–401 . ISBN 978-0-07-000420-7.
• Wald, Robert M. (1984). Obecná relativita . Chicago: The University of Chicago Press. s. 158, 312–324. ISBN 978-0-226-87032-8. Citováno 27. dubna 2013 .

externí odkazy

• časoprostorové diagramy včetně Finkelsteinova diagramu a Penroseova diagramu , Andrew JS Hamilton
• „ Částice pohybující se kolem dvou extrémních černých děr “ od Enrique Zelenyho, The Wolfram Demonstrations Project .