van Stockum prach - van Stockum dust

Část série článků o
Obecná relativita
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ nad c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu}}$
Úvod Dějiny Matematická formulace Testy
Základní koncepty Princip relativity Teorie relativity Referenční rámec Inerciální referenční rámec Odpočívej rám Rámeček středu hybnosti Princip ekvivalence Ekvivalence hmoty a energie Speciální relativita Dvojnásobně speciální relativita de Sitterova invariantní speciální relativita Světová linie Riemannova geometrie
Jevy Gravitoelektromagnetismus Keplerův problém Gravitace Gravitační pole Gravitace dobře Gravitační čočky Gravitační vlny Gravitační rudý posuv Rudý posuv Blueshift Dilatace času Gravitační dilatace času Shapiro časové zpoždění Gravitační potenciál Gravitační komprese Gravitační kolaps Přetažení rámu Geodetický účinek Gravitační singularita Horizont událostí Nahá singularita Černá díra Bílá díra Vesmírný čas Prostor Čas Časoprostorové diagramy Minkowského časoprostor Uzavřená časová křivka (CTC) Červí díra Ellis červí díra
Rovnice Formalismy Rovnice Linearizovaná gravitace Einsteinovy ​​polní rovnice Friedmann Geodetika Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Zakřivení neměnné (obecná relativita) Lorentzian potrubí Formalismy ADM BSSN Post-Newtonian Pokročilá teorie Teorie Kaluza – Klein Kvantová gravitace Supergravitace
Řešení Schwarzschild ( interiér ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-vlna van Stockum prach Weyl-Lewis-Papapetrou Vakuové řešení (obecná relativita) Vakuové řešení
Vědci Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Kolář Robertson Bardeen chodec Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nový muž Yau Thorne ostatní
proti t E

V obecné relativity se van Stockum prach je přesné řešení Einstein polní rovnice , ve které je gravitační pole vytvářeného prachu se otáčí kolem osy válcové symetrie. Vzhledem k tomu, že hustota prachu se zvyšuje se vzdáleností od této osy, je řešení spíše umělé, ale jako jedno z nejjednodušších známých řešení v obecné relativitě je pedagogicky důležitým příkladem.

Toto řešení je pojmenováno pro Willema Jacoba van Stockuma , který jej znovu objevil v roce 1937, nezávisle na dřívějším objevu Cornelia Lanczose v roce 1924.

Derivace

Jedním ze způsobů, jak získat toto řešení, je hledat válcově symetrické dokonalé tekutinové řešení, ve kterém tekutina vykazuje tuhou rotaci . To znamená, že požadujeme, aby světové linie kapalných částic vytvářely časově podobnou shodu s nenulovou vorticitou, ale mizející expanzí a smykem. (Ve skutečnosti, protože částice prachu nepociťují žádné síly, ukáže se to jako geodetická kongruence podobná času , ale nebudeme to muset předem předpokládat.)

Jednoduchý Ansatz odpovídající tomuto požadavku je vyjádřen následujícím rámcovým polem , které obsahuje dvě neurčené funkce : ${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {0} = \ částečné _ {t}, \; {\ vec {e}} _ {1} = f (r) \, \ částečné _ {z}, \ ; {\ vec {e}} _ {2} = f (r) \, \ částečné _ {r}, \; {\ vec {e}} _ {3} = {\ frac {1} {r}} \, \ částečné _ {\ phi} -h (r) \, \ částečné _ {t}}$

Abychom předešli nedorozuměním, měli bychom zdůraznit, že užívání dvojitého coframe

${\ displaystyle \ sigma ^ {0} = dt + h (r) r \, d \ phi, \; \ sigma ^ {1} = {\ frac {1} {f (r)}} \ \ dz, \ ; \ sigma ^ {2} = {\ frac {1} {f (r)}} \, dr, \; \ sigma ^ {3} = rd \ phi}$

dává metrický tenzor, pokud jde o stejné dvě neurčené funkce:

${\ displaystyle g = - \ sigma ^ {0} \ otimes \ sigma ^ {0} + \ sigma ^ {1} \ otimes \ sigma ^ {1} + \ sigma ^ {2} \ otimes \ sigma ^ {2} + \ sigma ^ {3} \ otimes \ sigma ^ {3}}$

Násobení dává

${\ displaystyle ds ^ {2} = - dt ^ {2} -2h (r) r \, dt \, d \ phi + (1-h (r) ^ {2}) r ^ {2} \, d \ phi ^ {2} + {\ frac {dz ^ {2} + dr ^ {2}} {f (r) ^ {2}}}}$

${\ displaystyle - \ infty <t, z <\ infty, \; 0 <r <\ infty, \; - \ pi <\ phi <\ pi}$

Vypočítáme Einsteinův tenzor s ohledem na tento rámec, pokud jde o dvě neurčené funkce, a požadujeme, aby výsledek měl formu vhodnou pro dokonalé tekuté řešení s časově podobným jednotkovým vektorem všude tečným ke světové linii kapalné částice. To znamená, požadujeme to ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {0}}$

${\ displaystyle G ^ {{\ hat {m}} {\ hat {n}}} = 8 \ pi \ mu \, \ operatorname {diag} (1,0,0,0) +8 \ pi p \, \ operatorname {diag} (0,1,1,1)}$

To dává podmínky

${\ displaystyle f ^ {\ prime \ prime} = {\ frac {(f ^ {\ prime}) ^ {2}} {f}} + {\ frac {f ^ {\ prime}} {r}}, \; (h ^ {\ prime}) ^ {2} + {\ frac {2h ^ {\ prime} h} {r}} + {\ frac {h ^ {2}} {r ^ {2}}} = {\ frac {4f ^ {\ prime}} {r \, f}}}$

Řešení pro a poté pro dává požadovaný rámec definující řešení van Stockum: ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {0} = \ částečné _ {t}, \; {\ vec {e}} _ {1} = \ exp (a ^ {2} r ^ {2} / 2) \, \ částečné _ {z}, \; {\ vec {e}} _ {2} = \ exp (a ^ {2} r ^ {2} / 2) \, \ částečné _ {r}, \; {\ vec {e}} _ {3} = {\ frac {1} {r}} \, \ částečný _ {\ phi} -ar \, \ částečný _ {t}}$

Všimněte si, že tento rámec je definován pouze na . ${\ displaystyle r> 0}$

Vlastnosti

Výpočet Einsteinova tenzoru s ohledem na náš rámec ukazuje, že tlak ve skutečnosti zmizí , takže máme práškové řešení. Ukazuje se, že hustota prachu je

${\ displaystyle \ mu = {\ frac {a ^ {2}} {2 \ pi}} \, \ exp (a ^ {2} r ^ {2})}$

Naštěstí je to na ose symetrie konečné , ale hustota se zvyšuje s poloměrem, což je vlastnost, která bohužel výrazně omezuje možné astrofyzikální aplikace. ${\ displaystyle r = 0}$

Vyřešení Killing rovnice ukazuje, že tento časoprostor připouští trojrozměrný abelian algebry lži o zabíjení vektorových polí, generovaných

${\ displaystyle {\ vec {\ xi}} _ {1} = \ částečné _ {t}, \; {\ vec {\ xi}} _ {2} = \ částečné _ {z}, \; {\ vec {\ xi}} _ {3} = \ částečný _ {\ phi}}$

Zde má nenulovou vorticitu, takže máme stacionární časoprostorový invariant pod translací podél světových linií prachových částic a také pod translací podél osy válcové symetrie a rotace kolem této osy. ${\ displaystyle {\ vec {\ xi}} _ {1}}$

Všimněte si, že na rozdíl od prachového roztoku Gödel se prachové částice Van Stockum otáčejí kolem geometricky rozlišené osy .

Jak jsme slíbili, expanze a střih časově podobné geodetické kongruence zmizí, ale vektor vorticity je ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {0}}$

${\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} = - a \, \ exp (a ^ {2} r ^ {2} / 2) \, {\ vec {e}} _ {1}}$

To znamená, že i když se v našem komovací grafu světové čáry prachových částic objevují jako svislé čáry, ve skutečnosti se krouží kolem sebe, když se prachové částice víří kolem osy symetrie. Jinými slovy, pokud sledujeme vývoj malé kuličky prachu, zjistíme, že se otáčí kolem své vlastní osy (rovnoběžně s ), ale neprovádí se ani neroztahuje; druhé vlastnosti definují, co máme na mysli tuhou rotací . Všimněte si, že na samotné ose se velikost vektoru vorticity stane jednoduše . ${\ displaystyle r = 0}$${\ displaystyle a}$

Přílivový tenzor je

${\ displaystyle E _ {{\ hat {m}} {\ hat {n}}} = a ^ {2} \, \ exp (a ^ {2} r ^ {2}) \, \ operatorname {diag} ( 0,1,1)}$

což ukazuje, že pozorovatelé jedoucí na prachových částicích zažívají izotropní slapové napětí v rovině otáčení. Magnetogravitický tenzor je

${\ displaystyle B _ {{\ hat {m}} {\ hat {n}}} = - a ^ {3} \, \ exp (a ^ {2} r ^ {2}) \, \ left [{\ začátek {matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {matrix}} \ doprava]}$

Zdánlivý paradox

Zvažte myšlenkový experiment znázorněný na následujícím obrázku, ve kterém byla potlačena nepodstatná souřadnice : ${\ displaystyle z}$

Tento obrázek zobrazuje myšlenkový experiment, ve kterém pozorovatel, který jede na prachové částice sedící na ose symetrie, pozoruje prachové částice s kladnou radiální souřadnicí. Vidí, že se otáčejí , nebo ne?

Vzhledem k tomu, že horní pole nulové geodetiky je získáno jednoduše překládáním dolního pole směrem vzhůru, a protože všechny tři světové čáry jsou všechny svislé (při časovém překladu invariantní ), mohlo by se zdát, že odpověď je „ne“. Zatímco výše uvedený rámec je setrvačný rámec , který počítá kovariantní derivace

${\ displaystyle \ nabla _ {{\ vec {e}} _ {0}} {\ vec {e}} _ {1}, \; \ nabla _ {{\ vec {e}} _ {0}} { \ vec {e}} _ {2}, \; \ nabla _ {{\ vec {e}} _ {0}} {\ vec {e}} _ {3}}$

ukazuje, že pouze první zmizí shodně. Jinými slovy, zbývající prostorové vektory se točí kolem (tj. Kolem osy rovnoběžné s osou válcové symetrie tohoto časoprostoru). ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {1}}$

Abychom tedy získali netočivý inerciální snímek, musíme roztočit náš původní snímek, například takto:

${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0} = {\ vec {e}} _ {0}, \; {\ vec {f}} _ {1} = {\ vec {e}} _ { 1}, \; {\ vec {f}} _ {2} = \ cos (\ theta) \, {\ vec {e}} _ {2} + \ sin (\ theta) \, {\ vec {e }} _ {3}, \; {\ vec {f}} _ {3} = - \ sin (\ theta) \, {\ vec {e}} _ {2} + \ cos (\ theta) \, {\ vec {e}} _ {3}}$

kde kde q je nová neurčená funkce r. Zapojením požadavku, že kovarianční deriváty zmizí, získáme ${\ displaystyle \ theta = t \, q (r)}$

${\ displaystyle \ theta = a \, t \, \ exp (a ^ {2} r ^ {2} / 2)}$

Nový snímek se v našem souřadnicovém grafu souřadnic otáčí, ale ve skutečnosti je gyrostabilizovaný. Zejména proto, že náš pozorovatel s linií zeleného světa na obrázku pravděpodobně jezdí na netočících se prachových částicích (jinak by v dynamice prachu byly patrné spin-spin síly ), ve skutečnosti pozoruje rotující blízké radiálně oddělené prachové částice ve směru hodinových ručiček o jeho poloze s úhlovou rychlostí a. To vysvětluje fyzický význam parametru, který jsme našli v naší dřívější derivaci prvního snímku.

( Poznámka pedantu: čtenáři výstrah si všimli, že jsme ignorovali skutečnost, že ani jedno z našich rámcových polí není na ose dobře definováno. Můžeme však definovat rámec pro pozorovatele na ose vhodným jednostranným limitem; to dává diskontinuální pole rámce, ale abychom mohli pokračovat v myšlenkovém experimentu uvažovaném v této části , musíme pouze definovat rámec podél světové linie našeho pozorovatele na ose .)

Za zmínku stojí, že nulová geodetika se na výše uvedeném obrázku spirála směrem dovnitř. To znamená, že náš pozorovatel na ose vidí ostatní částice prachu v časově zaostávaných místech , což je samozřejmě přesně to, co bychom očekávali. Skutečnost, že nulová geodetika se v tomto grafu jeví jako „ohnutá“, je samozřejmě artefaktem naší volby komprimujících souřadnic, ve kterých se světové čáry prachových částic objevují jako svislé souřadnicové čáry.

Skutečný paradox

Nakreslíme světelné kužely pro některé typické události ve van Stockumově prachu, abychom zjistili, jak jejich vzhled (v našem komovujícím válcovém grafu) závisí na radiální souřadnici:

Jak ukazuje obrázek, kužely se stávají tečnami tečny k souřadnicové rovině a získáme uzavřenou nulovou křivku (červený kruh). Všimněte si, že se nejedná o nulovou geodetiku. ${\ displaystyle r = a ^ {- 1}}$${\ displaystyle t = t_ {0}}$

Jak se pohybujeme dále směrem ven, vidíme, že vodorovné kruhy s většími poloměry jsou uzavřené časové křivky . Na paradoxní povahu těchto CTC zřejmě poprvé upozornil van Stockum: pozorovatelé, jejichž světové linie tvoří uzavřenou časově podobnou křivku, se mohou zjevně znovu podívat nebo ovlivnit jejich vlastní minulost. Ještě horší je, že zjevně nic nebrání tomu, aby se takový pozorovatel rozhodl, řekněme, za svého třetího života přestat akcelerovat, což by mu poskytlo několik životopisů.

Tyto uzavřené časově podobné křivky nejsou časově podobné geodetice, takže tito paradoxní pozorovatelé musí tyto účinky urychlit . Jak se dalo očekávat, požadované zrychlení se rozbíhá, když se tyto časové kruhy blíží nulovým kruhům ležícím v kritickém válci . ${\ displaystyle r = a ^ {- 1}}$

Ukázalo se, že uzavřené časové křivky existují v mnoha dalších přesných řešeních v obecné relativitě a jejich společný vzhled je jednou z nejobtížnějších teoretických námitek proti této teorii. Jen velmi málo fyziků však na základě těchto námitek odmítá vůbec používat obecnou relativitu; spíše většina zaujímá pragmatický postoj, že použití obecné relativity má smysl, kdykoli se jí člověk může vyhnout, kvůli relativní jednoduchosti a dobře zavedené spolehlivosti této teorie v mnoha astrofyzikálních situacích. To se nepodobá skutečnosti, že mnoho fyziků používá newtonovskou mechaniku každý den, i když si dobře uvědomují, že galilejská kinematika byla „svržena“ relativistickou kinematikou.

Viz také

• Prachové řešení
• Prachové řešení Gödel

Reference