Nakloněná rovina - Inclined plane

Rampa pro invalidní vozík , Hotel Montescot, Chartres, Francie

Demonstrační nakloněné letadlo používané ve vzdělávání, Museo Galileo , Florencie.

Nakloněná rovina , také známý jako rampa , je plochý nosný povrch je nakloněn v úhlu, s jedním koncem vyšší než druhý, který se používá jako pomůcka pro zvedání nebo spouštění břemene. Nakloněná rovina je jedním ze šesti klasických jednoduchých strojů definovaných renesančními vědci. Nakloněná letadla jsou široce používána k přesunu těžkých břemen přes svislé překážky; příklady se liší od rampy používané k nakládce zboží do nákladního vozu, od osoby, která kráčí po rampě pro chodce, až po automobilový nebo železniční vlak stoupající po platové třídě.

Pohyb předmětu nahoru po nakloněné rovině vyžaduje menší sílu než zvedání přímo nahoru, za cenu zvýšení posunuté vzdálenosti. Mechanická výhoda z nakloněné roviny, faktor, o který je síla snížena, je roven poměru délky šikmé plochy na výšku překlenuje. Kvůli zachování energie je ke zvednutí daného předmětu o danou svislou vzdálenost zapotřebí stejné množství mechanické energie ( práce ), bez ohledu na ztráty třením , ale nakloněná rovina umožňuje vykonávat stejnou práci s menší silou působící na větší vzdálenost.

Úhel vnitřního tření , také někdy nazývá sypný úhel , je maximální úhel, pod kterým může náklad spočívat nehybně na nakloněné rovině v důsledku tření , bez sklouznutí. Tento úhel je roven arctangent o koeficientu statického tření μ _je mezi povrchy.

Dva další jednoduché stroje jsou často považovány za odvozené od nakloněné roviny. Klín může být považován za pohybující se šikmá plocha nebo dvě šikmé roviny spojené na základně. Šroub úzký nakloněné rovině obaleného kolem válce .

Termín může také odkazovat na konkrétní implementaci; přímá rampa zaříznutá do strmého svahu pro přepravu zboží nahoru a dolů z kopce. Může zahrnovat vozy na kolejích nebo vytažené kabelovým systémem; lanová nebo lanovka , jako je Johnstown nakloněné rovině .

Využití

Nakloněná letadla jsou široce používána ve formě nakládacích ramp pro nakládání a vykládání zboží na kamiony, lodě a letadla. Rampy pro vozíčkáře slouží k tomu, aby se lidé na invalidním vozíku dostali přes svislé překážky, aniž by překročili své síly. Eskalátory a šikmé dopravní pásy jsou také formami nakloněné roviny. V lanovce nebo lanovce je železniční vůz tažen po strmé šikmé rovině pomocí kabelů. Nakloněné roviny také umožňují, aby těžké křehké předměty, včetně lidí, byly bezpečně spuštěny dolů ve svislé vzdálenosti pomocí normální síly letadla ke snížení gravitační síly . Evakuační skluzavky letadel umožňují lidem rychle a bezpečně dosáhnout na zem z výšky osobního letadla .

Pomocí ramp nakládat auto na nákladní vůz

Nakládání kamionu na loď pomocí rampy

Nouzová evakuační skluzavka letadla

Rampa pro invalidní vozík v japonském autobusu

Nakládací rampa na kamionu

Ostatní nakloněné roviny jsou zabudovány do trvalých struktur. Silnice pro vozidla a železnice mají nakloněné roviny ve formě postupných svahů, ramp a hrázů, které umožňují vozidlům překonávat svislé překážky, jako jsou kopce, aniž by ztratily trakci na povrchu vozovky. Podobně mají stezky pro chodce a chodníky mírné rampy, které omezují jejich sklon, aby chodci udrželi trakci. Nakloněná letadla se také používají jako zábava pro lidi, kteří se mohou řízeně sesouvat dolů, na tobogány , tobogány , sjezdovky a skateboardové parky .

Zemská rampa (vpravo) postavená Římany v roce 72 n. L. K invazi do izraelské Masady

Pěší rampa, Palacio do Planalto, Brasilia

Johnstown Inclined Plane, lanová dráha.

Barma Road, Assam, Indie, přes Barmu do Číny, c. 1945

Nakloněná letadla ve skateboardovém parku

Dějiny

Stevinův důkaz

V roce 1586 vlámský inženýr Simon Stevin (Stevinus) odvodil mechanickou výhodu nakloněné roviny argumentem, který použil řetězec korálků. Představil si dvě nakloněné roviny stejné výšky, ale různých svahů, umístěné zády k sobě (nahoře) jako v hranolu. Přes nakloněné roviny je přehozena smyčka provázku s korálky ve stejných intervalech, část visí dolů. Perličky odpočívá na rovinách působí jako zatížení na rovinách, která se konala až do tahové síly v řetězci v bodě T . Stevinův argument zní takto:

Řetězec musí být nehybný, ve statické rovnováze . Pokud by to bylo na jedné straně těžší než na druhé a začalo by to klouzat doprava nebo doleva vlastní vahou, když by se každý korálek přesunul do polohy předchozího korálku, řetězec by byl nerozeznatelný od své původní polohy, a proto by byl i nadále nevyvážený a klouzavý. Tento argument by se mohl opakovat donekonečna, což by mělo za následek kruhový věčný pohyb , což je absurdní. Proto je nehybný, přičemž síly na obou stranách v bodě T ( nad ) jsou stejné.
Část řetězu visící pod nakloněnými rovinami je symetrická, se stejným počtem korálků na každé straně. Na každou stranu struny působí stejnou silou. Proto lze tuto část struny odříznout na okrajích rovin (body S a V) , přičemž na nakloněných rovinách zůstanou ležet pouze kuličky a tato zbývající část bude stále ve statické rovnováze.
Vzhledem k tomu, že jsou kuličky na provázku ve stejných intervalech, je celkový počet kuliček podporovaných každou rovinou, celkové zatížení, úměrné délce roviny. Protože vstupní podpůrná síla, napětí ve výpletu, je u obou stejná, je mechanická výhoda každé roviny úměrná její šikmé délce

Jak zdůraznil Dijksterhuis, Stevinova argumentace není zcela těsná. Síly vyvíjené visící částí řetězu nemusí být symetrické, protože závěsná část nemusí při uvolnění ponechat svůj tvar . I když je řetěz uvolněn s nulovým momentem hybnosti, je možný pohyb včetně oscilací, pokud není řetěz zpočátku ve své rovnovážné konfiguraci, což je předpoklad, který by učinil argument kruhovým.

Nakloněná letadla používají lidé již od prehistorických dob k přesunu těžkých předmětů. Šikmé silnice a hráze vybudované starověkými civilizacemi, jako byli Římané, jsou příklady raných nakloněných rovin, které přežily, a ukazují, že pochopili hodnotu tohoto zařízení pro pohyb věcí do kopce. Předpokládá se, že těžké kameny používané ve starověkých kamenných strukturách, jako je Stonehenge , byly přesunuty a usazeny pomocí nakloněných rovin vyrobených ze země, i když je těžké najít důkaz o takových dočasných stavebních rampách. Na egyptské pyramidy byly postaveny za použití nakloněné roviny, obléhací rampy povoleno starověké armády překonat hradby. Staří Řekové sestrojili zpevněnou ramp 6 km (3,7 mil) dlouhá, Diolkos , táhnout lodí po souši přes Isthmus Korinta .

Nakloněná rovina však byla posledním ze šesti klasických jednoduchých strojů, které byly uznány jako stroj. Je to pravděpodobně proto, že se jedná o pasivní, nehybné zařízení (zátěž je pohyblivá část), a také proto, že se nachází v přírodě ve formě svahů a kopců. Ačkoli chápali jeho použití při zvedání těžkých předmětů, starověcí řečtí filozofové, kteří definovali dalších pět jednoduchých strojů, nezahrnovali nakloněnou rovinu jako stroj. Tento názor přetrvával mezi několika pozdějšími vědci; až v roce 1826 Karl von Langsdorf napsal, že nakloněná rovina „ ... už není strojem než svah hory. Problém výpočtu síly potřebné k vytlačení závaží do nakloněné roviny (její mechanická výhoda) byl pokus o to řeckými filozofy Heronem Alexandrijským (asi 10 - 60 n. l.) a Pappem Alexandrijským (asi 290 - 350 n. l.), ale spletli si to.

Až v renesanci byla nakloněná rovina matematicky vyřešena a klasifikována s ostatními jednoduchými stroji. První správná analýza nakloněné roviny se objevila v díle tajemného autora 13. století Jordanuse de Nemora , nicméně jeho řešení zjevně nebylo sděleno jiným tehdejším filozofům. Girolamo Cardano (1570) navrhl nesprávné řešení, že vstupní síla je úměrná úhlu roviny. Pak na konci 16. století byla do deseti let publikována tři správná řešení, a to Michael Varro (1584), Simon Stevin (1586) a Galileo Galilee (1592). Ačkoli to nebylo první, odvození vlámského inženýra Simona Stevina je nejznámější díky své originalitě a použití řetězce korálků (viz rámeček). V roce 1600 zahrnul italský vědec Galileo Galilei nakloněnou rovinu do své analýzy jednoduchých strojů v Le Meccaniche („O mechanice“), čímž ukázal svou základní podobnost s ostatními stroji jako silový zesilovač.

První základní pravidla klouzavého tření na nakloněné rovině objevil Leonardo da Vinci (1452-1519), ale ve svých zápisnících zůstala nezveřejněna. Znovu je objevil Guillaume Amontons (1699) a dále je vyvinul Charles-Augustin de Coulomb (1785). Leonhard Euler (1750) ukázal, že tečna k sypného úhlu na nakloněné rovině je roven koeficientu tření .

Terminologie

Sklon

Mechanická výhoda z nakloněné roviny závisí na jeho sklonu , což znamená jeho gradientu nebo strmost. Čím menší je sklon, tím větší je mechanická výhoda a menší síla potřebná ke zvýšení dané hmotnosti. Sklon letadla s je roven výškovému rozdílu mezi jeho dvěma konci nebo „ stoupáním “ děleným jeho horizontální délkou nebo „ běh “. Může být také vyjádřen úhlem, který svírá rovina s horizontálou, θ .

Geometrie nakloněné roviny je založena na pravoúhlém trojúhelníku . Horizontální délka se někdy nazývá Run , vertikální změna výšky Rise .

{\ Displaystyle \ theta = \ tan ^{-1} {\ bigg (} {\ frac {\ text {Rise}} {\ text {Run}}} {\ bigg)} \,}

Mechanická výhoda

Mechanická výhoda MA jednoduchého stroje je definován jako poměr výstupního síly vyvíjené na náklad, který má vstupní síla, která působí. Pro nakloněnou rovinu je výstupní zatěžovací síla pouze gravitační silou předmětu zatížení na rovinu, její hmotnost F _w . Vstupní síla je síla F _i působící na předmět, rovnoběžná s rovinou, aby se pohybovala nahoru po rovině. Mechanickou výhodou jsou ...

{\ displaystyle \ mathrm {MA} = {\ frac {F_ {w}} {F_ {i}}}. \,}

MA ideální nakloněné roviny bez tření se někdy nazývá ideální mechanická výhoda (IMA), zatímco MA, když je zahrnuto tření, se nazývá skutečná mechanická výhoda (AMA).

Nakloněná rovina bez tření

Instrumentovaná nakloněná rovina používaná pro výuku fyziky, kolem roku 1900. Levá váha poskytuje sílu zatížení F _w . Pravá váha poskytuje vstupní sílu F _i táhnoucí válečkem po rovině.

Pokud mezi pohybovaným předmětem a rovinou nedochází k žádnému tření , nazývá se zařízení ideální nakloněná rovina . K této podmínce lze přistoupit, pokud se předmět valí, jako hlaveň nebo je podepřen na kolečkách nebo kolečkách . Kvůli zachování energie je pro nakloněnou rovinu bez tření práce odvedená na břemenu, které ji zvedne, W_out , rovná práci odvedené vstupní silou, W_v

{\ displaystyle W _ {\ rm {out}} = W _ {\ rm {in}} \,}

Práce je definována jako síla vynásobená výtlakem, kterým se objekt pohybuje. Práce odvedená na zatížení se rovná jeho hmotnosti vynásobené svislým posunem, který stoupá, což je „vzestup“ nakloněné roviny

{\ displaystyle W _ {\ rm {out}} = F_ {w} \ cdot {\ text {Rise}} \,}

Vstupní práce se rovná síle F _i na objekt vynásobené diagonální délkou nakloněné roviny.

{\ displaystyle W _ {\ rm {in}} = F_ {i} \ cdot {\ text {Length}} \,}

Substituce těchto hodnot do zachování energetické rovnice výše a přeskupení

{\ displaystyle {\ text {MA}} = {\ frac {F_ {w}} {F_ {i}}} = {\ frac {\ text {Length}} {\ text {Rise}}} \,}

Pro vyjádření mechanické výhody úhlem θ roviny je z diagramu (výše) vidět, že

{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ text {Rise}} {\ text {Length}}} \,}

Tak

{\ displaystyle {\ text {MA}} = {\ frac {F_ {w}} {F_ {i}}} = {\ frac {1} {\ sin \ theta}} \,}

MA pro nakloněnou rovinu bez tření lze řešit jako

{\ displaystyle {\ text {MA}} = {\ frac {F_ {w}} {F_ {i}}} = \ csc \ theta \,}

To je proto, že

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sin x}} = \ csc x,}

Mechanická výhoda nakloněné roviny bez tření se rovná převrácené hodnotě sinusu úhlu sklonu. Vstupní síla F _i z této rovnice je síla potřebná k tomu, aby zatížení zůstalo nehybné na nakloněné rovině nebo aby bylo tlačeno vzhůru konstantní rychlostí. Pokud je vstupní síla větší než tato, zatížení zrychlí po rovině; pokud je síla menší, zrychlí se po rovině.

Nakloněná rovina s třením

Tam, kde dochází k tření mezi rovinou a nákladem, například u těžkého boxu, který se posouvá po rampě, se část práce vynaložené vstupní silou rozptýlí jako teplo třením, W_fric , takže se na zatížení. Kvůli zachování energie se součet výstupní práce a ztrát energie třením rovná vstupní práci

{\ displaystyle W _ {\ text {in}} = W _ {\ text {fric}}+W _ {\ text {out}} \,}

Proto je zapotřebí větší vstupní síla a mechanická výhoda je nižší, než kdyby nebylo přítomno tření. Při tření se zatížení bude pohybovat pouze tehdy, je -li čistá síla rovnoběžná s povrchem větší než třecí síla F _{f, která} proti němu působí. Maximální třecí síla je dána vztahem

{\ Displaystyle F_ {f} = \ mu F_ {n} \,}

kde F _n je normální síla mezi zatížením a rovinou, směřující kolmo k povrchu, a μ je koeficient statického tření mezi oběma povrchy, který se mění s materiálem. Pokud není aplikována žádná vstupní síla, je -li úhel sklonu θ roviny menší než nějaká maximální hodnota φ, bude složka gravitační síly rovnoběžná s rovinou příliš malá na překonání tření a zatížení zůstane nehybné. Tento úhel se nazývá úhel klidu a závisí na složení povrchů, ale je nezávislý na hmotnosti nákladu. Níže je ukázáno, že tangens úhlu klidu φ je roven μ

{\ Displaystyle \ phi = \ tan ^{-1} \ mu \,}

Při tření existuje vždy určitý rozsah vstupní síly F _i, pro kterou je zatížení nehybné, aniž by klouzalo nahoru nebo dolů po rovině, zatímco u nakloněné roviny bez tření existuje pouze jedna konkrétní hodnota vstupní síly, pro kterou je zatížení nehybné.

Analýza

Klíč: F _n = N = Normální síla, která je kolmá na rovinu, F _i = f = vstupní síla, F _w = mg = hmotnost zatížení, kde m = hmotnost , g = gravitace

Zatížení spočívající na nakloněné rovině, je -li považováno za volné těleso, působí na něj tři síly:

Působící síla F _i působící na zátěž k jejímu pohybu, která působí rovnoběžně s nakloněnou rovinou.
Hmotnost nákladu F _w , který působí svisle dolů
Síla letadla na zatížení. To lze vyřešit do dvou složek:
- Normální síla F _n nakloněné roviny na zatížení, která ji nese. Toto je směrováno kolmo ( normálně ) na povrch.
- Třecí síla F _f roviny na zatížení působí rovnoběžně s povrchem a je vždy ve směru opačném k pohybu předmětu. Rovná se normální síle vynásobené součinitelem statického tření μ mezi oběma povrchy.

Použitím druhého Newtonova zákona pohybu bude zatížení nehybné nebo v ustáleném pohybu, pokud je součet sil na něm nulový. Protože směr třecí síly je v případě pohybu do kopce a z kopce opačný, je třeba tyto dva případy posuzovat samostatně:

Pohyb do kopce: Celková síla na náklad směřuje do svahu, takže třecí síla je směrována dolů po rovině, opačné ke vstupní síle.

Odvození mechanické výhody pro pohyb do kopce Rovnovážné rovnice pro síly rovnoběžné a kolmé k rovině jsou ${\ Displaystyle \ sum F _ {\ \|} = F_ {i} -F_ {f} -F_ {w} \ sin \ theta = 0 \,}$ ${\ Displaystyle \ sum F _ {\ perp} = F_ {n} -F_ {w} \ cos \ theta = 0 \,}$ Dosazení do první rovnice ${\ Displaystyle F_ {f} = \ mu F_ {n} \,}$ ${\ Displaystyle F_ {i}-\ mu F_ {n} -F_ {w} \ sin \ theta = 0 \,}$ Řešení druhé rovnice pro získání a dosazení do výše uvedené rovnice ${\ displaystyle F_ {n} = F_ {w} \ cos \ theta \,}$ ${\ Displaystyle F_ {i} -\ mu F_ {w} \ cos \ theta -F_ {w} \ sin \ theta = 0 \,}$ ${\ Displaystyle {\ frac {F_ {w}} {F_ {i}}} = {\ frac {1} {\ sin \ theta +\ mu \ cos \ theta}} \,}$ Definování ${\ Displaystyle \ mu = \ tan \ phi \,}$ ${\ Displaystyle {\ frac {F_ {w}} {F_ {i}}} = {\ frac {1} {\ sin \ theta +\ tan \ phi \ cos \ theta}} = = \ \ dfrac {1} { \ sin \ theta +{\ dfrac {\ sin \ phi} {\ cos \ phi}} \ cos \ theta}} = {\ frac {\ cos \ phi} {\ sin \ theta \ cos \ phi +\ cos \ theta \ sin \ phi}} \,}$ Pomocí součtu úhlů trigonometrické identity ve jmenovateli

Mechanická výhoda je

{\ Displaystyle \ mathrm {MA} = {\ frac {F_ {w}} {F_ {i}}} = {\ frac {\ cos \ phi} {\ sin (\ theta +\ phi)}} \,}

kde . To je podmínka hrozícího pohybu po nakloněné rovině. Pokud je aplikovaná síla F _i větší, než je dáno touto rovnicí, zatížení se bude pohybovat po rovině nahoru.

{\ Displaystyle \ phi = \ tan ^{-1} \ mu \,}

Pohyb z kopce: Celková síla na zatížení směřuje ke straně svahu, takže třecí síla je směrována nahoru po rovině.

Odvození mechanické výhody pro pohyb z kopce Rovnovážné rovnice jsou ${\ Displaystyle \ sum F _ {\ \|} = F_ {i}+F_ {f} -F_ {w} \ sin \ theta = 0 \,}$ ${\ Displaystyle \ sum F _ {\ perp} = F_ {n} -F_ {w} \ cos \ theta = 0 \,}$ Dosazení do první rovnice ${\ Displaystyle F_ {f} = \ mu F_ {n} \,}$ ${\ Displaystyle F_ {i}+\ mu F_ {n} -F_ {w} \ sin \ theta = 0 \,}$ Řešení druhé rovnice pro získání a dosazení do výše uvedené rovnice ${\ displaystyle F_ {n} = F_ {w} \ cos \ theta \,}$ ${\ Displaystyle F_ {i}+\ mu F_ {w} \ cos \ theta -F_ {w} \ sin \ theta = 0 \,}$ ${\ Displaystyle {\ frac {F_ {w}} {F_ {i}}} = {\ frac {1} {\ sin \ theta -\ mu \ cos \ theta}} \,}$ Nahrazení a zjednodušení, jak je uvedeno výše ${\ Displaystyle \ mu = \ tan \ phi \,}$ ${\ Displaystyle {\ frac {F_ {w}} {F_ {i}}} = {\ frac {\ cos \ phi} {\ sin \ theta \ cos \ phi -\ cos \ theta \ sin \ phi}} \ ,}$ Použití jiné trigonometrické identity ve jmenovateli,

Mechanická výhoda je

{\ displaystyle \ mathrm {MA} = {\ frac {F_ {w}} {F_ {i}}} = {\ frac {\ cos \ phi} {\ sin (\ theta -\ phi)}}}, \,}

To je podmínka hrozícího pohybu po rovině; pokud je aplikovaná síla F _i menší, než je uvedeno v této rovnici, zatížení bude klouzat po rovině. Existují tři případy:

${\ Displaystyle \ theta <\ phi \,}$ : Mechanická výhoda je negativní. Při absenci použité síly zůstane zatížení nehybné a ke sklouznutí vyžaduje určitou zápornou (z kopce) aplikovanou sílu.
${\ Displaystyle \ theta = \ phi \,}$ : „ Úhel klidu “. Mechanická výhoda je nekonečná. Bez použití síly nebude břemeno klouzat, ale sebemenší záporná (sjezdová) síla způsobí jeho klouzání.
${\ Displaystyle \ theta> \ phi \,}$ : Mechanická výhoda je pozitivní. Při absenci aplikované síly bude břemeno klouzat po rovině a vyžaduje určitou pozitivní (do kopce) sílu, aby zůstalo nehybné

Mechanická výhoda pomocí síly

Klíč: N = Normální síla kolmá na rovinu, W = mg, kde m = hmotnost , g = gravitace a θ ( theta ) = úhel sklonu roviny

Mechanická výhoda z nakloněné roviny je poměr hmotnosti nákladu na nájezd na síle nutné, aby ji po rampě. Pokud se energie při pohybu zátěže neodvádí nebo neukládá, pak lze tuto mechanickou výhodu vypočítat z rozměrů rampy.

Aby se to ukázalo, nechť je poloha r kolejového vozu podél rampy pod úhlem θ nad horizontálou dána vztahem