Počáteční a terminálové objekty - Initial and terminal objects

V teorii kategorie , odvětví matematiky , An počáteční předmět z kategorie $C$ je objekt $I$ v $C,$ tak, že pro každý objekt $X$ v $C$ , existuje přesně jeden morfismus $I \to X$ .

Dvojí představa je, že z terminálu objektu (nazývané také koncový prvek ): $T$ je terminál, pokud pro každý objekt $X$ v $C$ existuje přesně jeden morphism $X \to T$ . Počáteční objekty se také nazývají coterminal nebo universal a terminálové objekty se také nazývají final .

Pokud je objekt počáteční i terminální, nazývá se nulovým objektem nebo nulovým objektem . Špičatý kategorie je jedna s objektem nula.

Přísný počáteční objekt $I$ je jedno, pro kterou každý morphism do $I$ je izomorfismus .

Příklady

Prázdná množina je jedinečný počáteční objekt v sadě je kategorie souborů . Každá jednoprvková sada ( singleton ) je terminálním objektem v této kategorii; neexistují žádné nulové objekty. Podobně prázdný prostor je jedinečný počáteční objekt v Topu , kategorie topologických prostorů a každý jednobodový prostor je terminálním objektem v této kategorii.
V kategorii Rel množin a relací je prázdná množina jedinečný počáteční objekt, jedinečný koncový objekt, a tedy jedinečný nulový objekt.

Morfismy špičatých množin. Obrázek platí také pro algebraické nulové objekty

V kategorii špičatých množin (jejichž objekty jsou neprázdné množiny spolu s rozlišujícím prvkem; morfismus od $(A, a)$ do $(B, b)$ je funkcí $f : A \to B$ s $f (a) = b$ ) , každý singleton je nulový objekt. Podobně v kategorii špičatých topologických prostorů je každý singleton nulovým objektem.
V Grp , kategorii skupin , je každá triviální skupina nulovým objektem. Triviální algebra je také nulový objekt v Ab , na kategorii abelian skupin , RNG na kategorii pseudo-kroužků , R -mod se kategorie modulů přes kruhu a K -Vect se kategorie vektorových prostorů přes pole . Podrobnosti viz Nulový objekt (algebra) . Toto je původ pojmu „nulový objekt“.
V Ring , kategorii prstenů s jednotou a morfismem zachovávajícím jednotu, je prsten celých čísel Z počátečním objektem. Nula kruh se skládá pouze z jednoho prvku 0 = 1, je terminál objekt.
V Rig , kategorii souprav s jednotností a morfismem zachovávajícím jednotu, je souprava přirozených čísel N počátečním objektem. Nulová souprava, což je nulový kruh , skládající se pouze z jediného prvku 0 = 1, je koncový objekt.
V poli , kategorii polí , nejsou žádné počáteční ani terminální objekty. V podkategorii polí s pevnou charakteristikou je však primární pole počátečním objektem.
Libovolnou částečně uspořádanou množinu $(P, \leq)$ lze interpretovat jako kategorii: objekty jsou prvky $P$ a existuje jediný morfismus od $x$ do $y právě$ tehdy, když $x \leq y$ . V této kategorii je počáteční objekt právě tehdy, když $P$ je nejmenší prvek ; to má terminální objekt tehdy a jen tehdy, pokud $P$ má největší element .
Cat , kategorie malých kategorií s funktory jako morfismy má prázdnou kategorii 0 (bez objektů a bez morfismů), jako počáteční objekt a koncová kategorie, 1 (s jedním objektem s jediným morfismem identity), jako koncový objekt .
V kategorii schémat je Spec ( Z ), hlavní spektrum celého čísla, terminálním objektem. Prázdné schéma (rovnající se primárnímu spektru nulového kruhu ) je počátečním objektem.
Hranice z diagramu F může být charakterizována jako terminálový objekt v kategorii kuželů až F . Stejně tak colimit z F, může být charakterizována jako počáteční objekt v kategorii spolupracovníků kuželů z F .

Vlastnosti

Existence a jedinečnost

Počáteční a terminálové objekty nemusí v dané kategorii existovat. Pokud však existují, jsou v zásadě jedinečné. Konkrétně, pokud $I 1$ a $I 2$ jsou dva různé počáteční objekty, pak mezi nimi existuje jedinečný izomorfismus . Navíc, pokud $jsem$ počáteční objekt, pak je jakýkoli objekt izomorfní s $I$ také počáteční objekt. Totéž platí pro terminálové objekty.

Pro úplné kategorie existuje věta o existenci pro počáteční objekty. Konkrétně se ( lokálně malý ) kompletní kategorie $C$ má počáteční objekt tehdy a jen tehdy, pokud existuje soubor $I$ ( ne řádné třída ) a $I$ - indexovaný rodiny $(K i)$ objektů $C$ takových, že pro každý objekt $X$ o $C$ , existuje alespoň jedna morfismus $k i \to X$ nějakého $i \in I$ .

Ekvivalentní formulace

Terminálové objekty v kategorii $C$ , může být také definována jako limity unikátního prázdného schématu $0 \to C$ . Protože prázdná kategorie je vakuově diskrétní kategorií , lze terminální objekt považovat za prázdný produkt (produkt je skutečně limitem diskrétního diagramu ${X i}$ obecně). Původně je počáteční objekt kolimitem prázdného diagramu $0 \to C$ a lze jej považovat za prázdný koprodukt nebo kategorický součet.

Z toho vyplývá, že jakýkoli funktor, který zachovává limity, přenese terminálové objekty na terminálové objekty a jakýkoli funktor, který zachová kolimity, vezme počáteční objekty na počáteční objekty. Například počáteční objekt v každém kategorii betonu s volnými objekty bude volný objekt generován prázdné množiny (od volného functor , přičemž vlevo adjoint do zapomnění funktoru na Set , konzervy kolimity).

Počáteční a koncové objekty lze také charakterizovat z hlediska univerzálních vlastností a adjunkčních funktorů . Nechť 1 je diskrétní kategorie s jediným objektem (označená •) a nechť $U : C \to 1$ je jedinečný (konstantní) funktor k 1 . Pak

Počáteční objekt $I$ v $C$ je univerzální morphism z • K $U$ . Funktor, který pošle • k $I$ se nechá adjoint na U .
Terminální objekt $T$ v $C$ je univerzální morfismus od $U$ do •. Funktor, který pošle • k $T$ je správná adjoint na $U$ .

Vztah k ostatním kategoriálním konstrukcím

Mnoho přírodních konstrukcí v teorii kategorií lze formulovat z hlediska nalezení počátečního nebo koncového objektu ve vhodné kategorii.

Univerzální morfismus z objektu $X$ na functor $U$ může být definována jako počáteční objekt v kategorii čárkou $(X ↓ U)$ . Univerzální morfismus od $U$ do $X$ je nakonec terminálním objektem v $(U ↓ X)$ .
Limit diagramu $F$ je koncový objekt v $kužel (F)$ se kategorie kuželů až $F$ . Duálně, je colimit z $F$ je počáteční objekt v kategorii kuželů z $F$ .
Znázornění functor $F$ na Set je počáteční objekt v kategorii prvků z $F$ .
Pojem koncový funktor (respektive počáteční funktor) je zobecněním pojmu konečný objekt (respektive počáteční objekt).

Další vlastnosti

Endomorphism monoid z počátečního nebo koncového objektu $I$ je triviální: $End (I) = Hom (I, I) = {id I}$ .
Pokud kategorie $C$ má nulový objekt $0$ , pak se pro každou dvojici objektů $X$ a $Y$ v $C$ , unikátní složení $X \to 0 \to Y$ je nula morfismus z $X$ k $Y$ .

Reference

Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstraktní a konkrétní kategorie. Radost koček (PDF) . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 . Zbl 0695.18001 .
Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Kategorické základy. Speciální témata v pořadí, topologie, algebra a teorie svazků . Encyklopedie matematiky a její aplikace. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7 . Zbl 1034.18001 .
Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie pro Working Mathematician . Postgraduální texty z matematiky . 5 (2. vydání). Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8 . Zbl 0906.18001 .
Tento článek je z části založen na PlanetMath ‚s článek o příklady počátečních a koncových objektů .

Languages

In other projects