Úvod do Mříží a objednávky -Introduction to Lattices and Order
Introduction to Lattices and Order je matematická učebnice teorie řádu od Briana A. Daveye a Hilary Priestleyové . To bylo vydáno Cambridge University Press v jejich sérii Cambridge Mathematical Textbooks v roce 1990, s druhým vydáním v roce 2002. Druhé vydání se výrazně liší ve svých tématech a organizaci a bylo revidováno tak, aby zahrnovalo nejnovější vývoj v této oblasti, zejména v aplikace do informatiky . Výbor pro základní knihovní seznam Mathematical Association of America navrhl jeho zařazení do vysokoškolských matematických knihoven.
Témata
Obě vydání knihy mají 11 kapitol; ve druhé knize jsou uspořádány tak, že první čtyři poskytují obecný odkaz pro matematiky a počítačové vědce a zbývajících sedm se zaměřuje na specializovanější materiál pro logiky, topology a teoretiky mřížky.
První kapitola se týká částečně uspořádaných množin , přičemž základní příklad je dán dílčími funkcemi seřazenými podle relace podmnožiny na jejich grafech , a pokrývá základní pojmy zahrnující horní a dolní prvky a horní a dolní množiny . Tyto myšlenky vedou k druhé kapitole o mřížích , ve které každé dva prvky (nebo v úplných mřížích každá sada) má největší dolní hranici a nejméně horní hranici. Tato kapitola zahrnuje konstrukci mřížky z nižších množin libovolného dílčího řádu a Knaster – Tarskiho větu sestrojující mřížku z pevných bodů funkcí zachovávajících řád na úplné mřížce. Kapitola tři se zabývá formální koncepční analýzou , její konstrukcí „koncepčních mřížek“ ze sbírek objektů a jejich vlastností, přičemž každý prvek mřížky představuje jak sadu objektů, tak sadu vlastností, které tyto objekty drží, a univerzálnost této konstrukce při formování kompletní mříže. Čtvrtá z úvodních kapitol se týká speciálních tříd mřížek, včetně modulárních mřížek , distribučních mřížek a booleovských mříží .
Ve druhé části knihy se kapitola 5 týká věty, že každá konečná booleovská mřížka je izomorfní vůči mřížce podmnožin konečné množiny a (méně triviálně) Birkhoffova reprezentační věta, podle které je každá konečná distribuční mřížka izomorfní vůči mřížce nižších množin konečného dílčího řádu. Kapitola 6 se zabývá vztahy shody na mřížích. Témata v kapitole 7 zahrnují uzavírací operace a Galoisova spojení na dílčích řádech a Dedekind – MacNeille dokončení dílčí zakázky do nejmenší kompletní mřížky, která ji obsahuje. Další dvě kapitoly se týkají úplných dílčích řádů , jejich vět o pevných bodech, informačních systémů a jejich aplikací v denotační sémantice . Kapitola 10 pojednává o teoreticko-ekvivalenty řádu axiomu výběru , včetně rozšíření reprezentačních vět z kapitoly 5 na nekonečné mříže, a závěrečná kapitola pojednává o zastoupení mřížek s topologickými prostory, včetně Stoneovy reprezentační věty pro booleovské algebry a teorie duality pro distribuční mříže .
Dvě přílohy poskytují pozadí v topologii potřebné pro závěrečnou kapitolu a komentovanou bibliografii.
Publikum a recepce
Tato kniha je zaměřena na začínající postgraduální studenty, i když by ji mohli použít i pokročilí vysokoškoláci. Díky mnoha cvičením je vhodný jako učebnice kurzu a slouží jak k vyplnění podrobností z expozice v knize, tak k poskytnutí pokynů k dalším tématům. Ačkoli se od jeho čtenářů vyžaduje určitá matematická náročnost, hlavními předpoklady jsou diskrétní matematika , abstraktní algebra a teorie grup .
Napsal první vydání, recenzent Josef Niederle tomu říká „vynikající učebnice“, „aktuální a přehledné“. Podobně Thomas S. Blyth chválí první vydání jako „dobře napsaný, uspokojivý, informativní a podnětný popis aplikací, o které je velký zájem“, a v aktualizované recenzi píše, že druhé vydání je stejně dobré jako první. Podobně, i když má Jon Cohen určité hádky s uspořádáním a výběrem témat (zejména zahrnutí kongruencí na úkor teoreticko-teoretického pohledu na toto téma), dochází k závěru, že kniha je „nádherným a přístupným úvodem do mřížkové teorie“ „stejného zájmu jak pro počítačové vědce, tak pro matematiky“.
Jak Blyth, tak Cohen si všimli, jak kniha LaTeX při tvorbě diagramů dobře využívá , a také užitečné popisy toho, jak byly diagramy vytvořeny.