Jerk (fyzika) - Jerk (physics)

Blbec
Časové deriváty polohy, včetně trhnutí
Společné symboly	j , j , ȷ →
V základních jednotkách SI	m / s 3
Dimenze	L T −3

Ve fyzice je trhnutí nebo otřes rychlost, s jakou se zrychlení objektu mění s ohledem na čas. Je to vektorová veličina (má velikost i směr). Jerk je nejčastěji označován symbolem j a vyjádřen v m /s ³ ( jednotky SI ) nebo standardní gravitace za sekundu ( g ₀ /s).

Výrazy

Jako vektor, trhnutí j může být vyjádřena jako první časové derivaci o zrychlení , druhé časové derivace z rychlosti , a třetího časového derivátu z polohy :

${\ Displaystyle \ mathbf {j} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {a} (t)} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {v} (t)} {\ mathrm {d} t ^{2}}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^{3} \ mathbf {r} (t)} {\ mathrm {d} t^{3}}}}$

kde

a je zrychlení

v je rychlost

r je pozice

t je čas

Diferenciální rovnice třetího řádu formy

${\ displaystyle J \ left ({\ overset {...} {x}}, {\ ddot {x}}, {\ dot {x}}, x \ right) = 0}$

někdy se jim říká trhavé rovnice . Při převodu na ekvivalentní systém tří obyčejných nelineárních diferenciálních rovnic prvního řádu jsou trhnuté rovnice minimálním nastavením pro řešení vykazující chaotické chování . Tato podmínka vytváří matematický zájem o trhavé systémy . Systémy zahrnující deriváty čtvrtého řádu nebo vyšší se proto nazývají hyperjerk systémy .

Psychologické efekty a lidské vnímání

Poloha lidského těla je řízena vyvažováním sil antagonistických svalů . Při vyvažování dané síly, jako je zvedání závaží, vytváří postcentrální gyrus kontrolní smyčku k dosažení požadované rovnováhy . Pokud se síla mění příliš rychle, svaly se nemohou dostatečně rychle uvolnit nebo napnout a přestřelit v obou směrech, což způsobí dočasnou ztrátu kontroly. Reakční doba na reakci na změny síly závisí na fyziologických omezeních a úrovni pozornosti mozku: očekávaná změna bude stabilizována rychleji než náhlé snížení nebo zvýšení zátěže.

Aby cestující ve vozidle neztratili kontrolu nad pohybem těla a nezranili se, je nutné omezit působení maximální síly (zrychlení) a maximálního trhnutí, protože na nastavení svalového napětí a přizpůsobení se i omezeným změnám stresu je zapotřebí čas. Náhlé změny zrychlení mohou způsobit zranění, jako je například krční páteř . Nadměrné trhání může také vést k nepohodlné jízdě, a to i na úrovních, které nezpůsobují zranění. Inženýři vynakládají značné konstrukční úsilí na minimalizaci „trhaného pohybu“ u výtahů , tramvají a dalších dopravních prostředků.

Zvažte například účinky zrychlení a trhnutí při jízdě v autě:

• Zruční a zkušení řidiči mohou plynule zrychlovat, ale začátečníci často poskytují trhavou jízdu. Při změně rychlostních stupňů v automobilu s nožní spojkou je akcelerační síla omezena výkonem motoru, ale nezkušený řidič může způsobit prudké trhnutí kvůli přerušovanému uzavírání síly nad spojkou.
• Pocit přitlačení do sedadel ve sportovním voze s vysokým výkonem je způsoben zrychlením. Když se auto rozjede, dojde k velkému pozitivnímu trhnutí, protože jeho zrychlení se rychle zvyšuje. Po startu dochází k malému, trvalému negativnímu trhnutí, protože síla odporu vzduchu roste s rychlostí vozu, postupně se snižuje zrychlení a snižuje síla tlačící cestujícího na sedadlo. Když auto dosáhne své nejvyšší rychlosti, zrychlení dosáhlo 0 a zůstává konstantní, poté už žádné trhnutí neprobíhá, dokud řidič nezpomalí nebo nezmění směr.
• Při náhlém brzdění nebo při nárazu cestující vyrazí vpřed s počátečním zrychlením, které je větší než ve zbytku procesu brzdění, protože svalové napětí rychle získá kontrolu nad tělem po začátku brzdění nebo nárazu. Tyto efekty nejsou modelovány při testování vozidel, protože mrtvoly a nárazové testovací figuríny nemají aktivní kontrolu svalů.

Síla, zrychlení a trhnutí

Pro konstantní hmotnost m je zrychlení a přímo úměrné síle F podle druhého Newtonova pohybového zákona :

${\ displaystyle {\ mathbf {F}} = m \ cdot {\ mathbf {a}}}$

V klasické mechanice tuhých těles neexistují žádné síly spojené s derivacemi zrychlení; fyzické systémy však zažívají oscilace a deformace v důsledku trhnutí. Při navrhování Hubbleův teleskop , NASA stanovit limity na obou trhnutím a strkat .

Abraham-Lorentzova síla je zpětný ráz síla na zrychlujícím nabitých částic emitující záření. Tato síla je úměrná trhnutí částice a druhé mocnině jejího náboje . Wheeler-Feynman absorbér teorie je pokročilejší teorie, použitelné v relativistické a kvantové prostředí a účtování vlastní energii .

V idealizovaném prostředí

Nespojitosti v akceleraci se v reálném světě nevyskytují kvůli deformacím , účinkům kvantové mechaniky a dalším příčinám. V idealizovaném prostředí, jako je idealizovaná bodová hmota pohybující se po částech hladká , celá souvislá dráha , je však možné provést skokovou diskontinuitu ve zrychlení a podle toho neomezené trhnutí . K nespojitosti skoku dochází v bodech, kde cesta není hladká. Extrapolací z těchto idealizovaných nastavení lze kvalitativně popsat, vysvětlit a předvídat účinky trhnutí v reálných situacích.

Nespojitost skoku při akceleraci lze modelovat pomocí funkce Dirac delta v trhnutí, škálované do výšky skoku. Integrace trhnutí v průběhu času v deltě Diracovy vede k nespojitosti skoku.

Zvažte například cestu podél oblouku o poloměru r , který se tangenciálně připojuje k přímce. Celá cesta je souvislá a její kousky jsou hladké. Nyní předpokládejme, že bodová částice se po této dráze pohybuje konstantní rychlostí, takže její tangenciální zrychlení je nulové. Dostředivé zrychlení dána v ²/rje normální pro oblouk a dovnitř. Když částice projde spojením kusů, zažije skokovou diskontinuitu ve zrychlení danémv ²/r, a prochází trhnutím, které lze modelovat pomocí Diracovy delty, škálované do skokové nespojitosti.

Pro hmatatelnější příklad nespojité akcelerace zvažte ideální systém hmotnosti pružiny s hmotou kmitající na idealizovaném povrchu třením. Síla na hmotu se rovná vektorovému součtu síly pružiny a kinetické třecí síly . Když se změní znaménko rychlosti (při maximálním a minimálním posunutí ), velikost síly na hmotu se změní na dvojnásobek velikosti třecí síly, protože síla pružiny je spojitá a třecí síla mění směr s rychlostí. Skok při zrychlení se rovná síle hmotnosti dělené hmotností. To znamená, že pokaždé, když hmota projde minimálním nebo maximálním posunem, hmota zažije diskontinuální zrychlení a trhnutí obsahuje Diracovu deltu, dokud se hmota nezastaví. Statická třecí síla se přizpůsobuje zbytkové síle pružiny a vytváří rovnováhu s nulovou čistou silou a nulovou rychlostí.

Vezměme si příklad brzdícího a zpomalujícího auta. Tyto brzdové destičky vytvářet kinetické třecí síly a konstantní brzdné momenty na základě disky (nebo bubnů ) koleček. Rychlost otáčení klesá lineárně k nule s konstantním úhlovým zpomalením. Třecí síla, točivý moment a zpomalení auta najednou dosáhnou nuly, což ukazuje na Diracovu deltu ve fyzickém trhnutí. Diracova delta je vyhlazena skutečným prostředím, jehož kumulativní efekty jsou analogické s tlumením fyziologicky vnímaného trhnutí. Tento příklad opomíjí klouzání pneumatik, namáčení odpružení, skutečné vychýlení všech ideálně tuhých mechanismů atd.

Dalším příkladem výrazného trhnutí, analogického prvnímu příkladu, je přestřižení lana částici na jeho konci. Předpokládejme, že částice kmitá v kruhové dráze s nenulovým dostředivým zrychlením. Když se lano přestřihne, dráha částice se prudce změní na přímou dráhu a síla směrem dovnitř se náhle změní na nulu. Představte si monomolekulární vlákno řezané laserem; částice by díky extrémně krátké době řezání zažila velmi vysoké trhnutí.

V rotaci

Uvažujme tuhé těleso rotující kolem pevné osy v setrvačném referenčním rámci . Pokud je jeho úhlová poloha v závislosti na čase θ ( t ) , lze úhlovou rychlost, zrychlení a trhnutí vyjádřit následovně:

• Úhlová rychlost , je časová derivace θ ( t ) .${\ Displaystyle \ omega (t) = {\ dot {\ theta}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta (t)} {\ mathrm {d} t}}}$
• Úhlové zrychlení , je derivát času Q ( t ) .${\ Displaystyle \ alpha (t) = {\ dot {\ omega}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} \ omega (t)} {\ mathrm {d} t}}}$
• Úhlové trhnutí, je časová derivace α ( t ) .${\ Displaystyle \ zeta (t) = {\ dot {\ alpha}} (t) = {\ ddot {\ omega}} (t) = {\ overset {...} {\ theta}} (t)}$

Úhlové zrychlení se rovná točivému momentu působícímu na těleso děleno momentem setrvačnosti těla vzhledem k momentální ose otáčení. Změna točivého momentu má za následek úhlové trhnutí.

Obecný případ rotujícího tuhého tělesa lze modelovat pomocí kinematické teorie šroubů , která zahrnuje jeden osový vektor , úhlovou rychlost Ω ( t ) a jeden polární vektor , lineární rychlost v ( t ) . Z toho je úhlové zrychlení definováno jako

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ boldsymbol {\ Omega}} (t) = {\ dot { \ boldsymbol {\ Omega}}} (t)}$

a úhlové trhnutí je dáno vztahem

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ zeta}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ boldsymbol {\ alpha}} (t) = {\ dot { \ boldsymbol {\ alpha}}} (t) = {\ ddot {\ boldsymbol {\ Omega}}} (t)}$

Uvažujme například o ženevském pohonu , zařízení používaném k vytváření přerušovaného otáčení poháněného kola (modré kolo v animaci) nepřetržitým otáčením hnacího kola (červené kolo v animaci). Během jednoho cyklu hnacího kola se úhlová poloha hnaného kola θ změní o 90 stupňů a poté zůstane konstantní. Vzhledem k konečné tloušťce vidlice hnacího kola (štěrbina pro hnací kolík) vytváří toto zařízení nespojitost úhlového zrychlení α a neomezené úhlové trhnutí ζ v hnaném kole.

Jerk nevylučuje použití ženevského disku v aplikacích, jako jsou filmové projektory a vačky. U filmových projektorů film postupuje po jednotlivých snímcích, ale provoz projektoru má nízký šum a je vysoce spolehlivý díky nízkému zatížení filmu (poháněna je pouze malá část filmu o hmotnosti několika gramů), střední rychlosti (2,4 m/s) a nízké tření.

U systémů vačkových pohonů se použití dvojité vačky může vyhnout trhnutí jedné vačky; duální kamera je však objemnější a dražší. Systém dvou vaček má dvě vačky na jedné nápravě, které posouvají druhou nápravu o zlomek otáčky. Grafika ukazuje krokové pohony s šestinovou a třetinovou rotací na jednu otáčku hnací nápravy. Neexistuje žádná radiální vůle, protože dvě ramena stupňovitého kola jsou vždy v kontaktu s dvojitou vačkou. Obecně lze použít kombinované kontakty, aby se zabránilo trhnutí (a opotřebení a hluku) spojenému s jediným sledovačem (jako je například to, že se jeden sledovač klouže po štěrbině a změně jeho kontaktního bodu z jedné strany štěrbiny na druhou lze zabránit pomocí dvou stoupaček klouzajících po stejné štěrbině, každá na jedné straně).

V elasticky deformovatelné hmotě

An elasticky deformovatelná hmota deformuje pod použitou silou (nebo zrychlení); deformace je funkcí jeho tuhosti a velikost síly. Pokud je změna síly pomalá, trhnutí je malé a šíření deformace je považováno za okamžité ve srovnání se změnou zrychlení. Zkreslené tělo působí, jako by bylo v kvazistatickém režimu , a pouze měnící se síla (nenulové trhnutí) může způsobit šíření mechanických vln (nebo elektromagnetických vln pro nabitou částici); proto by pro nenulové až vysoké trhnutí měla být zvážena rázová vlna a její šíření tělem.

Šíření deformace je znázorněno na grafu „Vzory kompresních vln“ jako vlna v tlakové rovině elasticky deformovatelným materiálem. Také je ukázáno, pro úhlové trhnutím, jsou deformační vlny šířící se v kruhovém vzoru, což způsobuje smykové napětí a případně i další způsoby z vibrací . Odraz vln podél hranic způsobuje konstruktivní interferenční obrazce (není na obrázku) a vytváří napětí, která mohou překročit limity materiálu. Deformační vlny mohou způsobovat vibrace, které mohou vést k hluku, opotřebení a selhání, zejména v případech rezonance.

Grafický titulek „Pól s masivním vrcholem“ ukazuje blok spojený s pružným pólem a masivním vrcholem. Pól se při zrychlení bloku ohýbá a když se zrychlování zastaví, vršek bude v režimu tuhosti pólu oscilovat ( tlumit ). Dalo by se namítnout, že větší (periodické) trhnutí by mohlo nabudit větší amplitudu oscilace, protože malé kmity jsou tlumeny před zesílením rázovou vlnou. Lze také tvrdit, že větší trhnutí by mohlo zvýšit pravděpodobnost buzení rezonančního režimu, protože složky větších rázů rázové vlny mají vyšší frekvence a Fourierovy koeficienty .

Aby se snížila amplituda vzrušených stresových vln a vibrací, lze omezit trhnutí tvarováním pohybu a zrychlením plynulým se svahy tak plochými, jak je to jen možné. Vzhledem k omezením abstraktních modelů zahrnují algoritmy pro snížení vibrací vyšší deriváty, jako je jounce , nebo navrhují spojité režimy pro zrychlení i trhnutí. Jedním z konceptů pro omezení trhnutí je tvarovat zrychlení a zpomalování sinusově s nulovým zrychlením mezi nimi (viz obrázek s titulky „Profil sinusového zrychlení“), takže rychlost se bude jevit jako sinusová s konstantní maximální rychlostí. Trhnutí však zůstane nespojité v místech, kde zrychlení vstupuje a opouští nulové fáze.

V geometrickém designu silnic a tratí

Silnice a koleje jsou navrženy tak, aby omezovaly trhnutí způsobené změnami jejich zakřivení. Na železnici používají projektanti 0,35 m/s ³ jako konstrukční cíl a 0,5 m/s ³ jako maximum. Přechodové křivky stopy omezují trhnutí při přechodu z přímky na křivku nebo naopak. Připomeňme si, že při pohybu konstantní rychlostí po oblouku je trhnutí nulové v tangenciálním směru a nenulové ve vnitřním normálním směru. Přechodové křivky postupně zvyšují zakřivení a následně dostředivé zrychlení.

Klotoida je teoreticky optimální přechodka, lineárně zvyšuje dostředivé zrychlení a má za následek konstantní trhnutím (viz obrázek). V reálných aplikacích je rovina trati nakloněna ( převýšena ) podél zakřivených částí. Sklon způsobuje vertikální zrychlení, což je konstrukční hledisko opotřebení dráhy a náspu. Wiener Kurve (Vídeňská křivka) je patentovaná křivka navržená tak, aby minimalizovala toto opotřebení.

Rollercoasters jsou také navrženy s kolejovými přechody, které omezují trhnutí. Při vstupu do smyčky mohou hodnoty zrychlení dosáhnout kolem 4 g (40 m/s ² ) a jízda v tomto prostředí s vysokou akcelerací je možná pouze s přechody tratí. Křivky ve tvaru písmene S, jako jsou osmičky, také využívají přechody kolejí pro plynulé jízdy.

V pohybovém ovládání

Při řízení pohybu se design zaměřuje na přímý lineární pohyb s potřebou přesunout systém z jedné stabilní polohy do druhé (pohyb z bodu do bodu). Z pohledu trhnutí jde o svislé trhnutí; trhnutí z tangenciálního zrychlení je ve skutečnosti nulové, protože lineární pohyb není rotační.

Mezi aplikace pro řízení pohybu patří osobní výtahy a obráběcí nástroje. Omezení svislého trhnutí je považováno za zásadní pro pohodlí při jízdě výtahem. ISO 18738 specifikuje metody měření kvality jízdy výtahem s ohledem na trhnutí, zrychlení, vibrace a hluk; norma však specifikuje úrovně přijatelné nebo nepřijatelné kvality jízdy. Uvádí se, že většina cestujících hodnotí svislé trhnutí 2 m/s ³ jako přijatelné a 6 m/s ³ jako netolerovatelné. Pro nemocnice je doporučený limit 0,7 m/s ³ .

Primárním cílem návrhu pro řízení pohybu je minimalizovat dobu přechodu bez překročení omezení rychlosti, zrychlení nebo trhnutí. Zvažte profil řízení pohybu třetího řádu s kvadratickými fázemi rampování a derampování v rychlosti (viz obrázek).

Tento pohybový profil se skládá z následujících sedmi segmentů:

1. Budování zrychlení - kladný limit trhnutí; lineární zvýšení zrychlení na kladnou mez zrychlení; kvadratické zvýšení rychlosti
2. Horní mez zrychlení - nulové trhnutí; lineární nárůst rychlosti
3. Zrychlovací rampa dolů - záporný limit trhnutí; lineární pokles zrychlení; (negativní) kvadratické zvýšení rychlosti, blížící se požadovanému rychlostnímu limitu
4. Rychlostní limit - nulové trhnutí; nulové zrychlení
5. Zvyšování zpomalení - záporný limit trhnutí; lineární pokles zrychlení na záporný limit zrychlení; (negativní) kvadratický pokles rychlosti
6. Dolní mez zpomalení - nulové trhnutí; lineární snížení rychlosti
7. Zpomalovací rampa dolů - kladný limit trhnutí; lineární zvýšení zrychlení na nulu; kvadratické snížení rychlosti; přibližování k požadované poloze nulovou rychlostí a nulovým zrychlením

Časové období segmentu čtyři (konstantní rychlost) se mění se vzdáleností mezi těmito dvěma polohami. Pokud je tato vzdálenost tak malá, že by vynechání segmentu čtyři nestačilo, pak by segmenty dva a šest (konstantní zrychlení) mohly být stejně redukovány a nebylo by dosaženo limitu konstantní rychlosti. Pokud tato úprava dostatečně nesníží zkříženou vzdálenost, pak by segmenty jedna, tři, pět a sedm mohly být zkráceny o stejnou částku a nebylo by dosaženo mezí konstantního zrychlení.

Používají se další strategie pohybových profilů, jako je minimalizace čtverce trhnutí pro daný přechodový čas a, jak je uvedeno výše, profily zrychlení ve tvaru sinusovky. Pohybové profily jsou přizpůsobeny konkrétním aplikacím včetně strojů, přesouvačů osob, řetězových kladkostrojů, automobilů a robotiky.

Ve výrobě

Trhnutí je důležitým faktorem ve výrobních procesech. Rychlé změny zrychlení řezného nástroje mohou vést k předčasnému opotřebení nástroje a mohou mít za následek nerovnoměrné řezy; v důsledku toho moderní pohybové ovladače obsahují funkce omezující trhnutí. Ve strojírenství je trhání, kromě rychlosti a zrychlení, zvažováno při vývoji vačkových profilů kvůli tribologickým důsledkům a schopnosti poháněného tělesa sledovat vačkový profil bez drnčení . Trhnutí je často zvažováno, když jsou vibrace problémem. Zařízení, které měří trhnutí, se nazývá „trhák“.

Další deriváty

Další časové deriváty byly také pojmenovány jako snap or jounce (čtvrtá derivace), praskání (pátá derivace) a pop (šestá derivace). Časové deriváty polohy vyššího řádu než čtyři se však objevují jen zřídka.

Výrazy snap , praskání a pop ‍ — ‌pro čtvrtý, pátý a šestý derivát pozice‍ — ‌ byly inspirovány reklamními maskoty Snap, Crackle a Pop .

Viz také

• Geomagnetické trhnutí
• Šok (mechanika)
• Škubnutí

Reference

• Sprott JC (2003). Analýza chaosu a časových řad . Oxford University Press. ISBN 0-19-850839-5.
• Sprott JC (1997). „Některé jednoduché chaotické funkce trhnutí“ (PDF) . Am J Phys . 65 (6): 537–43. Bibcode : 1997AmJPh..65..537S . doi : 10,1119/1,18585 . Archivováno z originálu (PDF) dne 13. června 2010 . Citováno 2009-09-28 .
• Blair G (2005). „Making the Cam“ (PDF) . Technologie závodního motoru (10) . Citováno 2009-09-29 .

externí odkazy

• Jaký je termín používaný pro třetí derivaci pozice? , popis blbce ve FAQ Usenet Physics
• Matematika profilů řízení pohybu
• Kvalita jízdy výtahem
• Brožura výrobce výtahu
• Patent Wiener Kurve
• (v němčině) Popis Wiener Kurve