Rozměrová analýza - Dimensional analysis

V inženýrství a vědě je dimenzionální analýza analýzou vztahů mezi různými fyzikálními veličinami identifikací jejich základních veličin (jako je délka , hmotnost , čas a elektrický proud ) a měrných jednotek (například míle vs. kilometry nebo libry vs. (kilogramy) a sledování těchto rozměrů při provádění výpočtů nebo srovnání. Převod jednotek z jedné trojrozměrné jednotky do druhé, je často snazší v metrické nebo SI systému než v jiných, v důsledku pravidelného 10-báze ve všech jednotkách. Dimenzionální analýza, nebo konkrétněji metoda označování faktorů , také známá jako metoda jednotkového faktoru , je široce používanou technikou pro takové převody pomocí pravidel algebry .

Přiměřitelné fyzikální veličiny jsou stejného druhu a mají stejný rozměr a lze je navzájem přímo porovnávat, i když jsou původně vyjádřeny v různých měrných jednotkách, např. Yardech a metrech, librách (hmotnost) a kilogramech, sekundách a letech . Nesrovnatelné fyzikální veličiny jsou různého druhu a mají různé rozměry a nelze je navzájem přímo porovnávat, bez ohledu na to, v jakých jednotkách jsou původně vyjádřeny, např. Metry a kilogramy, sekundy a kilogramy, metry a sekundy. Nemá smysl například ptát se, zda je kilogram větší než hodinu.

Jakékoli fyzicky smysluplné rovnice , nebo nerovnost , musí mít stejné rozměry na jeho levé a pravé straně, vlastnost známou jako trojrozměrné homogenity . Kontrola dimenzionální homogenity je běžnou aplikací dimenzionální analýzy, která slouží jako kontrola věrohodnosti odvozených rovnic a výpočtů. Slouží také jako vodítko a omezení při odvozování rovnic, které mohou popisovat fyzikální systém při absenci přísnější derivace.

Pojem fyzické dimenze a dimenzionální analýzy zavedl Joseph Fourier v roce 1822.

Konkrétní čísla a základní jednotky

Mnoho parametrů a měření ve fyzikálních vědách a inženýrství je vyjádřeno jako konkrétní číslo - numerická veličina a odpovídající dimenzionální jednotka. Veličina je často vyjádřena několika dalšími veličinami; například rychlost je kombinací délky a času, např. 60 kilometrů za hodinu nebo 1,4 kilometru za sekundu. Sloučené vztahy s „na“ jsou vyjádřeny dělením , např. 60 km/1 h. Jiné vztahy mohou zahrnovat násobení (často zobrazeno se středovou tečkou nebo vedle sebe ), mocniny (jako m 2 pro metry čtvereční) nebo jejich kombinace.

Sada základních jednotek pro systém měření je konvenčně zvolená sada jednotek, z nichž žádná nemůže být vyjádřena jako kombinace ostatních a ve smyslu kterých mohou být vyjádřeny všechny zbývající jednotky systému. Například jednotky délky a času jsou obvykle vybrány jako základní jednotky. Jednotky objemu však lze započítat do základních jednotek délky (m 3 ), takže jsou považovány za odvozené nebo složené jednotky.

Někdy názvy jednotek zakrývají skutečnost, že jde o odvozené jednotky. Například newton (N) je jednotka síly , která má jednotky hmotnosti (kg) krát jednotky zrychlení (m⋅s −2 ). Newton je definován jako 1 N = 1 kg⋅m⋅s −2 .

Procenta, deriváty a integrály

Procenta jsou bezrozměrná množství, protože jsou poměry dvou veličin se stejnými rozměry. Jinými slovy, znak % lze číst jako „setiny“, protože 1 % = 1/100 .

Když vezmeme derivát s ohledem na veličinu, přidáme dimenzi proměnné, která se liší ve jmenovateli. Tím pádem:

  • pozice ( x ) má rozměr L (délka);
  • derivace polohy vzhledem k času ( dx / dt , rychlost ) má rozměr T −1 L - délka od polohy, čas kvůli přechodu;
  • druhá derivace ( d 2 x / dt 2 = d ( dx / dt ) / dt , zrychlení ) má rozměr T −2 L.

Podobně, přijetí integrálu přidá dimenzi proměnné, kterou integrační vzhledem k, ale v čitateli.

  • síla má rozměr T −2 L M (hmotnost vynásobená zrychlením);
  • integrálu síly s ohledem na vzdálenost ( s ) je objekt urazil ( , práce ) má rozměr T -2 L 2 M .

V ekonomii se rozlišuje mezi akciemi a toky : akcie mají jednotky „jednotek“ (řekněme widgetů nebo dolarů), zatímco tok je derivátem akcie a má jednotky „jednotek/čas“ (řekněme dolary/ rok).

V některých kontextech jsou rozměrové veličiny vyjádřeny jako bezrozměrné veličiny nebo procenta vynecháním některých dimenzí. Například poměry dluhu k HDP jsou obecně vyjádřeny v procentech: celkový dluh nesplacený (dimenze měny) děleno ročním HDP (dimenze měny)-lze však tvrdit, že při porovnávání akcií s tokem by roční HDP měl mít rozměry měna/čas (například dolary/rok), a tedy dluh vůči HDP by měl mít jednotky let, což naznačuje, že dluh vůči HDP je počet let potřebných pro konstantní HDP k zaplacení dluhu, pokud je na dluh vynaložen veškerý HDP a dluh se jinak nezmění.

Převodní faktor

Hlavní článek: Převodní faktor

V dimenzionální analýze se poměr, který převádí jednu měrnou jednotku na jinou beze změny množství, nazývá konverzní faktor . Například kPa a bar jsou obě jednotky tlaku a 100 kPa = 1 bar . Pravidla algebry umožňují dělení obou stran rovnice stejným výrazem, takže to odpovídá 100 kPa / 1 bar = 1 . Protože jakékoli množství lze vynásobit 1 bez jeho změny, lze výraz „ 100 kPa / 1 bar “ použít k převodu z barů na kPa jeho vynásobením převáděným množstvím, včetně jednotek. Například 5 barů × 100 kPa / 1 bar = 500 kPa, protože 5 × 100 /1 = 500 a bar / bar se zruší, takže 5 barů = 500 kPa .

Dimenzionální homogenita

Viz také: Jablka a pomeranče

Nejzákladnějším pravidlem dimenzionální analýzy je pravidlo dimenzionální homogenity.

Pouze úměrné množství (fyzikální veličiny, které mají stejný rozměr), mohou být porovnány , srovnávat , přidán nebo odečteny .

Dimenze však při násobení tvoří abelianskou skupinu , takže:

Jeden může mít poměry z neslučitelných množství (množství s různými rozměry), a vícenásobně nebo rozdělit je.

Nemá například smysl ptát se, zda je 1 hodina více, stejně nebo méně než 1 kilometr, protože tyto mají různé rozměry, ani přidávat 1 hodinu až 1 kilometr. Je však naprosto logické ptát se, zda je 1 míle více, stejné nebo méně než 1 kilometr, což je stejný rozměr fyzické veličiny, přestože se jednotky liší. Na druhou stranu, pokud objekt urazí 100 km za 2 hodiny, lze je rozdělit a dojít k závěru, že průměrná rychlost objektu byla 50 km/h.

Z pravidla vyplývá, že ve fyzicky smysluplném výrazu lze sčítat, odčítat nebo porovnávat pouze veličiny stejné dimenze. Například pokud m člověk , m krysa a L muž označují hmotnost nějakého člověka, hmotnost krysy a délku tohoto muže, rozměrově homogenní výraz m člověk + m krysa má smysl, ale heterogenní výraz m člověk + L člověk nemá smysl. Nicméně, m man / L 2 man je v pořádku. Dimenzionální analýzu lze tedy použít jako kontrolu rozumnosti fyzikálních rovnic: obě strany jakékoli rovnice musí být srovnatelné nebo musí mít stejné rozměry.

To má za následek, že většina matematických funkcí, zejména transcendentálních funkcí , musí mít jako argument bezrozměrnou veličinu, čisté číslo a jako výsledek musí vrátit bezrozměrné číslo. To je jasné, protože mnoho transcendentálních funkcí lze vyjádřit jako nekonečnou mocninnou řadu s bezrozměrnými koeficienty .

Aby byly podmínky souměřitelné, musí mít všechny mocniny x stejný rozměr. Pokud ale x není bezrozměrné, pak různé síly x budou mít různé, nesouměřitelné rozměry. Nicméně, výkonové funkce včetně kořenové funkce mohou mít rozměrovou argumenty a vrátí výsledek dimenzi mající která je stejná síla působící na rozměr argumentu. Důvodem je, že mocenské funkce a kořenové funkce jsou volně pouze výrazem násobení veličin.

I když mají dvě fyzikální veličiny stejné rozměry, může být nesmyslné je porovnávat nebo přidávat. Přestože například točivý moment a energie sdílejí rozměr T −2 L 2 M , jedná se o zásadně odlišné fyzikální veličiny.

Chcete -li porovnávat, sčítat nebo odčítat veličiny se stejnými rozměry, ale vyjádřené v různých jednotkách, je standardním postupem nejprve převést je všechny na stejné jednotky. Chcete -li například porovnat 32 metrů s 35 yardy, použijte 1 yard = 0,9144 m pro převod 35 yardů na 32,004 m.

Související zásadou je, že jakýkoli fyzikální zákon, který přesně popisuje skutečný svět, musí být nezávislý na jednotkách použitých k měření fyzikálních proměnných. Například Newtonovy pohybové zákony musí platit, ať už se vzdálenost měří v mílích nebo kilometrech. Tento princip dává vzniknout formě, kterou musí mít převodní faktory mezi jednotkami, které měří stejnou dimenzi: násobení jednoduchou konstantou. Rovněž zajišťuje rovnocennost; například pokud jsou dvě budovy stejně vysoké ve stopách, pak musí mít stejnou výšku v metrech.

Metoda označování faktorů pro převod jednotek

Metoda faktorového značení je postupné použití konverzních faktorů vyjádřených jako zlomky a uspořádaných tak, že jakoukoli dimenzionální jednotku, která se objevuje jak v čitateli, tak ve jmenovateli kterékoli z frakcí, lze zrušit, dokud se nezíská pouze požadovaná množina dimenzionálních jednotek. Například 10 mil za hodinu lze převést na metry za sekundu pomocí sekvence konverzních faktorů, jak je uvedeno níže:

Každý převodní faktor je vybrán na základě vztahu mezi jednou z původních jednotek a jednou z požadovaných jednotek (nebo nějakou zprostředkující jednotkou), než bude znovu uspořádán tak, aby vytvořil faktor, který zruší původní jednotku. Například, protože „míle“ je čitatel v původním zlomku a „míle“ bude muset být jmenovatelem konverzního faktoru. Dělením obou stran rovnice o 1 míli se získá , což při zjednodušení vede k bezrozměrnosti . Násobení libovolného množství (fyzického množství nebo ne) bezrozměrným 1 toto množství nezmění. Jakmile se tento a konverzní faktor pro sekundy za hodinu vynásobí původní frakcí, aby se zrušily jednotky míle a hodiny , 10 mil za hodinu se převede na 4,4704 metru za sekundu.

Jako složitějšího příkladu je koncentrace z oxidů dusíku (tj ), v kouřovém plynu z průmyslového pece, může být přeměněn na hmotnostnímu průtoku vyjádřená v gramech za hodinu (tj, g / h) z pomocí následující informace je uvedeno níže:

Koncentrace NO x
= 10 dílů na milion objemových = 10 ppmv = 10 objemů / 10 6 objemů
NO x molární hmotnost
= 46 kg/kmol = 46 g/mol
Průtok spalin
= 20 metrů krychlových za minutu = 20 m 3 /min
Spaliny opouštějí pec při teplotě 0 ° C a absolutním tlaku 101,325 kPa.
Molární objem plynu, při teplotě 0 ° C a 101,325 kPa je 22,414 m 3 / kmol .

Po zrušení všech rozměrových jednotek, které se objevují jak v čitatelích, tak ve jmenovatelích zlomků ve výše uvedené rovnici, se koncentrace NO x 10 ppm v převede na hmotnostní průtok 24,63 gramů za hodinu.

Kontrola rovnic, které zahrnují dimenze

Metodu označování faktorů lze také použít na jakékoli matematické rovnici ke kontrole, zda jsou rozměrové jednotky na levé straně rovnice stejné jako rozměrové jednotky na pravé straně rovnice. Mít stejné jednotky na obou stranách rovnice nezaručuje, že je rovnice správná, ale mít různé jednotky na obou stranách (vyjádřeno jako základní jednotky) rovnice znamená, že rovnice je špatná.

Například zkontrolujte rovnici Universal Gas Law rovnice PV = nRT , když:

  • tlak P je v pascalech (Pa)
  • objem V je v metrech krychlových (m 3 )
  • množství látky n je v molech (mol)
  • univerzální plynová konstanta zákon R je 8,3145 Pa⋅m 3 / (mol⋅K)
  • teplota T je v kelvinech (K)

Jak je vidět, když jsou dimenzionální jednotky objevující se v čitateli a jmenovateli pravé strany rovnice zrušeny, obě strany rovnice mají stejné dimenzionální jednotky. Dimenzionální analýzu lze použít jako nástroj pro konstrukci rovnic, které se týkají nesouvisejících fyzikálně-chemických vlastností. Rovnice mohou odhalit dosud neznámé nebo přehlížené vlastnosti hmoty ve formě zbývajících dimenzí-dimenzionálních upravovačů-kterým pak lze přiřadit fyzický význam. Je důležité zdůraznit, že taková „matematická manipulace“ není bez předchozího precedentu ani bez značného vědeckého významu. Planckova konstanta , základní konstanta vesmíru, byla skutečně „objevena“ jako čistě matematická abstrakce nebo reprezentace, která stavěla na Rayleighově -Jeansově zákonu pro prevenci ultrafialové katastrofy. Bylo to přiřazeno a vystoupalo ke svému kvantovému fyzikálnímu významu buď v tandemu, nebo po matematické dimenzionální úpravě - ne dříve.

Omezení

Metoda faktor-label dokáže převést pouze jednotkové veličiny, u nichž jsou jednotky v lineárním vztahu protínajícím se na 0. ( Poměrová stupnice v Stevensově typologii) Většina jednotek odpovídá tomuto paradigmatu. Příkladem, pro který jej nelze použít, je převod mezi stupni Celsia a kelviny (nebo stupni Fahrenheita ). Mezi stupni Celsia a kelviny existuje spíše konstantní rozdíl než konstantní poměr, zatímco mezi stupni Celsia a stupni Fahrenheita neexistuje ani konstantní rozdíl, ani konstantní poměr. Existuje však mezi nimi afinní transformace ( spíše než lineární transformace ).

Například bod tuhnutí vody je 0 ° C a 32 ° F (0 ° C) a změna o 5 ° C je stejná jako změna o -13 ° C o 9 ° F (-13 ° C). Chcete -li tedy převést z jednotek Fahrenheita na jednotky Celsia, odečteme 32 ° F (posun od referenčního bodu), vydělíme 9 ° F (−13 ° C) a vynásobíme 5 ° C (měřítka podle poměru jednotek) a přidá 0 ° C (posun od referenčního bodu). Obrácením to dává vzorec pro získání množství v jednotkách Celsia z jednotek Fahrenheita; dalo by se začít s ekvivalencí mezi 100 ° C a 212 ° F (100 ° C), i když by to vedlo ke stejnému vzorci na konci.

K převodu hodnoty numerické veličiny teploty T [F] ve stupních Fahrenheita na hodnotu numerické veličiny T [C] ve stupních Celsia lze tedy použít tento vzorec:

T [C] = ( T [F] - 32) × 5/9.

K převodu T [C] ve stupních Celsia na T [F] ve stupních Fahrenheita lze použít tento vzorec:

T [F] = ( T [C] × 9/5) + 32.

Aplikace

Dimenzionální analýza se nejčastěji používá ve fyzice a chemii - a v její matematice - ale nachází uplatnění i mimo tyto obory.

Matematika

Jednoduchá aplikace dimenzionální analýzy na matematiku spočívá ve výpočtu tvaru objemu n -koule (pevné koule v n rozměrech) nebo plochy jejího povrchu, n -sféry : jako n -rozměrné figury, objem stupnice jako při povrchové plochy, kterými jsou rozměrný, váhy jako Tak objemu n -Ball, pokud jde o poloměru, je pro některé konstanty Stanovení konstantní trvá Složitější matematiku, ale forma lze odvodit a kontrolovat rozměrová analýza sama.

Finance, ekonomika a účetnictví

V oblasti financí, ekonomiky a účetnictví je dimenzionální analýza nejčastěji označována jako rozdíl mezi akciemi a toky . Obecněji se dimenzionální analýza používá při interpretaci různých finančních poměrů , ekonomických poměrů a účetních poměrů.

  • Například poměr P/E má rozměry času (jednotky let) a lze jej interpretovat jako „roky výdělku k získání zaplacené ceny“.
  • V ekonomii má poměr dluhu k HDP také jednotky let (dluh má měnové jednotky, HDP má měnové jednotky/rok).
  • Ve finanční analýze mají některé typy durace dluhopisů také časový rozměr (jednotka let) a lze je interpretovat jako „roky do rovnováhy mezi platbami úroků a nominálními splátkami“.
  • Rychlost peněz má jednotky 1/rok (HDP/peněžní zásoba má jednotky měny/rok nad měnou): jak často jednotka měny obíhá za rok.
  • Úrokové sazby jsou často vyjádřeny v procentech, ale vhodněji v procentech ročně, které mají rozměry 1/rok.

Mechanika tekutin

V mechanice tekutin se provádí rozměrová analýza, aby se získaly bezrozměrné pi členy nebo skupiny. Podle zásad dimenzionální analýzy lze jakýkoli prototyp popsat řadou těchto výrazů nebo skupin, které popisují chování systému. Pomocí vhodných pi termínů nebo skupin je možné vyvinout podobnou sadu pi výrazů pro model, který má stejné dimenzionální vztahy. Jinými slovy, výrazy pi poskytují zkratku pro vývoj modelu představujícího určitý prototyp. Mezi běžné bezrozměrné skupiny v mechanice tekutin patří:

  • Reynoldsovo číslo (Re), obecně důležité u všech typů problémů s tekutinami:
    .
  • Froude číslo (Fr), modelování toku s volným povrchem:
  • Eulerovo číslo (Eu), používané při problémech, o které je zajímavý tlak:
  • Machovo číslo (Ma), důležité při vysokorychlostních tocích, kde se rychlost blíží nebo překračuje místní rychlost zvuku:
    kde: c je místní rychlost zvuku.

Dějiny

Historikové zpochybňují původ dimenzionální analýzy.

První písemná aplikace dimenzionální analýzy byla připsána na článek Françoise Davieta na Turínské akademii věd. Daviet měl za učitele mistra Lagrangeho . Jeho základní díla jsou obsažena v aktech Akademie ze dne 1799.

To vedlo k závěru, že smysluplné zákony musí být homogenní rovnice v jejich různých měrných jednotkách, což je výsledek, který byl později formalizován v Buckinghamově π větě . Simeon Poisson také zpracoval stejný problém paralelogramového zákona Davietem ve svém pojednání z let 1811 a 1833 (díl I, s. 39). Ve druhém vydání z roku 1833 Poisson výslovně zavádí termín dimenze místo Davietovy homogenity .

V roce 1822 provedl důležitý napoleonský vědec Joseph Fourier první připsané důležité příspěvky na základě myšlenky, že fyzikální zákony jako F = ma by měly být nezávislé na jednotkách používaných k měření fyzikálních proměnných.

James Clerk Maxwell hrál hlavní roli při zavádění moderního používání rozměrové analýzy rozlišováním hmotnosti, délky a času jako základních jednotek, přičemž odkazoval na jiné jednotky jako odvozené. Ačkoli Maxwell definoval délku, čas a hmotnost jako „tři základní jednotky“, poznamenal také, že gravitační hmotnost lze odvodit z délky a času za předpokladu formy Newtonova zákona o univerzální gravitaci, ve které je gravitační konstanta G brána jako jednota , čímž definujeme M = T −2 L 3 . Předpokládáním formy Coulombova zákona, ve které je Coulombova konstanta k e brána jako jednota, Maxwell poté určil, že rozměry elektrostatické jednotky náboje byly Q = T −1 L 3/2 M 1/2 , což po nahrazení jeho M = T −2 L 3 rovnice pro hmotnost, vede k náboji, který má stejné rozměry jako hmotnost, viz. Q = T −2 L 3 .

Dimenzionální analýza se také používá k odvození vztahů mezi fyzikálními veličinami, které jsou zapojeny do konkrétního jevu, který si přeje porozumět a charakterizovat. Poprvé ( Pesic 2005 ) to bylo poprvé použito tímto způsobem v roce 1872 lordem Rayleighem , který se pokoušel pochopit, proč je obloha modrá. Rayleigh tuto techniku ​​poprvé publikoval ve své knize The Theory of Sound z roku 1877 .

Původní význam slova dimenze ve Fourierově Theorie de la Chaleur byla číselná hodnota exponentů základních jednotek. Například se uvažovalo, že zrychlení má rozměr 1 s ohledem na jednotku délky a rozměr −2 s ohledem na jednotku času. To mírně změnil Maxwell, který řekl, že rozměry zrychlení jsou T −2 L, namísto pouze exponentů.

Matematická formulace

Buckingham n věta popisuje každý fyzicky smysluplná rovnice zahrnující n proměnné mohou být ekvivalentně přepsána jako rovnice n - m bezrozměrné parametry, kde m je číslo o trojrozměrné matice . Kromě toho, a co je nejdůležitější, poskytuje způsob výpočtu těchto bezrozměrných parametrů z daných proměnných.

Dimenzionální rovnice může mít rozměry redukované nebo eliminované pomocí nedimenzionalizace , která začíná dimenzionální analýzou a zahrnuje škálování veličin charakteristickými jednotkami systému nebo přírodních jednotek přírody. To dává přehled o základních vlastnostech systému, jak je znázorněno v příkladech níže.

Definice

Dimenze fyzikální veličiny může být vyjádřena jako součin základních fyzikálních dimenzí, jako je délka, hmotnost a čas, z nichž každá získá racionální sílu . Rozměr fyzikální veličiny je zásadní než nějaké měřítko jednotky použité k vyjádření množství této fyzikální veličiny. Například hmotnost je rozměr, zatímco kilogram je konkrétní jednotka měřítka zvolená pro vyjádření množství hmotnosti. S výjimkou přírodních jednotek je výběr měřítka kulturní a libovolný.

Existuje mnoho možných voleb základních fyzických dimenzí. Standardní SI doporučuje použití následujících rozměrů a odpovídajícími symboly: čas (T), délka (L), hmotnost (M), elektrický proud (I), absolutní teplotě (Θ), množství látky (N) a svítivosti (J). Symboly jsou podle konvence obvykle psány římským bezpatkovým písmem. Matematicky je rozměr veličiny Q dán vztahem

kde a , b , c , d , e , f , g jsou rozměrové exponenty. Další fyzikální veličiny by mohly být definovány jako základní veličiny, pokud tvoří lineárně nezávislý základ - například lze nahradit dimenzi (I) elektrického proudu báze SI dimenzí (Q) elektrického náboje , protože Q = TI.

Jako příklad, rozměr rychlosti fyzikální veličiny v je

a rozměr síly fyzikální veličiny F je

Jednotka zvolená k vyjádření fyzikální veličiny a její dimenze jsou příbuzné, ale ne identické pojmy. Jednotky fyzikální veličiny jsou definovány konvencí a vztahují se k nějaké normě; např. délka může mít jednotky metrů, stop, palců, mil nebo mikrometrů; ale jakákoli délka má vždy rozměr L, bez ohledu na to, jaké jednotky délky jsou vybrány pro její vyjádření. Dvě různé jednotky stejné fyzikální veličiny mají konverzní faktory, které je spojují. Například 1 in = 2,54 cm; v tomto případě je 2,54 cm/in převodní faktor, který je sám bezrozměrný. Násobení tímto konverzním faktorem tedy nemění rozměry fyzické veličiny.

Existují také fyzici, kteří zpochybňují samotnou existenci nekompatibilních základních dimenzí fyzikální veličiny, ačkoli to neznehodnocuje užitečnost dimenzionální analýzy.

Matematické vlastnosti

Hlavní článek: Buckinghamova π věta

Dimenze, které lze vytvořit z dané kolekce základních fyzických dimenzí, jako jsou T, L a M, tvoří abelianskou skupinu : Identita je zapsána jako 1; L 0 = 1 a inverzní hodnota L je 1/L nebo L −1 . L zvýšené na jakoukoli racionální mocninu p je členem skupiny, která má převrácenou hodnotu L - p nebo 1/L p . Činnost skupiny je násobení, která má obvyklá pravidla pro zacházení s exponenty ( L n × L m = L n + m ).

Tuto skupinu lze popsat jako vektorový prostor nad racionálními čísly, přičemž dimenzionální symbol T i L j M k odpovídá vektoru ( i , j , k ) . Když jsou fyzikálně měřené veličiny (ať už jsou dimenzovány s podobnými nebo odlišnými rozměry) násobeny nebo děleny navzájem, jejich rozměrové jednotky jsou rovněž násobeny nebo děleny; to odpovídá sčítání nebo odčítání ve vektorovém prostoru. Když se měřitelné veličiny zvýší na racionální sílu, totéž se provede s rozměrovými symboly připojenými k těmto veličinám; to odpovídá skalárnímu násobení ve vektorovém prostoru.

Základ pro takový vektorový prostor dimenzionálních symbolů se nazývá sada základních veličin a všechny ostatní vektory se nazývají odvozené jednotky. Jako v každém vektorovém prostoru, jeden může zvolit různé báze , což poskytuje různé systémy jednotek (např. Volba, zda je jednotka pro nabíjení odvozena od jednotky pro proud, nebo naopak).

Skupinová identita, dimenze bezrozměrných veličin, odpovídá původu v tomto vektorovém prostoru.

Množina jednotek fyzikálních veličin zahrnutých v problému odpovídá sadě vektorů (nebo matici). Neplatnost popisuje určitý počet (např, m ) způsobů, kterými mohou být tyto vektory umožňují výrobu nulový vektor. Ty odpovídají produkci (z měření) řady bezrozměrných veličin, {π 1 , ..., π m }. (Ve skutečnosti tyto způsoby zcela překlenují nulový podprostor jiného odlišného prostoru, mocností měření.) Každý možný způsob násobení (a umocňování ) společně naměřených veličin za vzniku něčeho se stejnými jednotkami, jako má nějaká odvozená veličina X, lze vyjádřit v obecné podobě

V důsledku toho lze všechny možné úměrné rovnice pro fyziku systému přepsat do formuláře

Znalost tohoto omezení může být silným nástrojem pro získání nového vhledu do systému.

Mechanika

Dimenzi fyzikálních veličin, které nás zajímají v mechanice, lze vyjádřit pomocí základních rozměrů T, L a M-ty tvoří trojrozměrný vektorový prostor. Toto není jediná platná volba základních rozměrů, ale je to nejčastěji používaná. Například lze zvolit sílu, délku a hmotnost jako základní rozměry (jak někteří udělali), s přidruženými rozměry F, L, M; to odpovídá jinému základu a mezi těmito reprezentacemi lze převádět změnou základu . Volba základní sady rozměrů je tedy konvence, s výhodou zvýšené užitečnosti a známosti. Volba základních rozměrů není zcela libovolná, protože musí tvořit základ : musí zasahovat do prostoru a být lineárně nezávislá .

Například F, L, M tvoří soubor základních dimenzí, protože tvoří základ, který je ekvivalentní T, L, M: první lze vyjádřit jako [F = LM/T 2 ], L, M, zatímco posledně uvedené lze vyjádřit jako [T = (LM/F) 1/2 ], L, M.

Na druhou stranu délka, rychlost a čas (T, L, V) netvoří pro mechaniku sadu základních rozměrů, a to ze dvou důvodů:

  • Neexistuje způsob, jak získat hmotu - nebo cokoli z ní odvozené, jako je síla - bez zavedení další základní dimenze (tedy nepřesahují prostor ).
  • Rychlost, vyjádřitelná délkou a časem (V = L/T), je nadbytečná (množina není lineárně nezávislá ).

Další obory fyziky a chemie

V závislosti na oblasti fyziky může být výhodné zvolit jeden nebo jiný rozšířený soubor dimenzionálních symbolů. V elektromagnetismu může být například užitečné použít rozměry T, L, M a Q, kde Q představuje rozměr elektrického náboje . V termodynamice je základní sada rozměrů často rozšířena o rozměr pro teplotu Θ. V chemii je množství látky (počet molekul dělen Avogadrovou konstantou , ≈6,02 × 10 23  mol −1 ) je také definován jako základní rozměr, N.V interakci relativistického plazmatu se silnými laserovými pulsy je z dimenze sestrojen bezrozměrný parametr relativistické podobnosti spojený se symetrickými vlastnostmi bezkolizní Vlasovovy rovnice. kromě potenciálu elektromagnetického vektoru také plazmatické, elektronové a kritické hustoty. Volba dimenzí nebo dokonce počtu dimenzí, které mají být použity v různých oblastech fyziky, je do jisté míry libovolná, ale konzistentnost v používání a snadná komunikace jsou běžné a nezbytné vlastnosti.

Polynomy a transcendentální funkce

Skalární argumenty transcendentálních funkcí, jako jsou exponenciální , trigonometrické a logaritmické funkce, nebo nehomogenních polynomů , musí být bezrozměrné veličiny . (Poznámka: tento požadavek je poněkud uvolněný v níže popsané Sianově orientační analýze, ve které je čtverec určitých dimenzovaných veličin bezrozměrný.)

Zatímco většina matematických identit o bezrozměrných číslech se přenáší přímočaře na rozměrové veličiny, je třeba dávat pozor na logaritmy poměrů: log identity ( a / b ) = log  a - log  b , kde je logaritmus převzat v jakékoli bázi, platí pro bezrozměrná čísla a a b , ale neplatí , pokud a a b jsou dimenzionální, protože v tomto případě je levá strana dobře definována, ale pravá strana není.

Podobně, zatímco lze hodnotit monomály ( x n ) rozměrných veličin, nelze hodnotit polynomy smíšeného stupně s bezrozměrnými koeficienty na rozměrových veličinách: pro x 2 má výraz (3 m) 2  = 9 m 2 smysl (jako oblast ), zatímco pro x 2  +  x výraz (3 m) 2  + 3 m = 9 m 2  + 3 m nedává smysl.

Polynomy smíšeného stupně však mohou dávat smysl, pokud jsou koeficienty vhodně zvolené fyzikální veličiny, které nejsou bezrozměrné. Například,

Jedná se o výšku, do které objekt stoupá v čase  t, pokud je gravitační zrychlení 9,8 metru za sekundu za sekundu a počáteční rychlost vzhůru je 500 metrů za sekundu . Není nutné, aby t bylo v sekundách . Předpokládejme například, že t  = 0,01 minuty. Pak by byl první termín

Začlenění jednotek

Hodnota dimenzionální fyzikální veličiny Z je zapsána jako součin jednotky [ Z ] v dimenzi a bezrozměrný numerický faktor, n .

Když se sčítají nebo odčítají nebo porovnávají stejně dimenzované veličiny, je vhodné je vyjádřit v konzistentních jednotkách, takže číselné hodnoty těchto veličin lze přímo sčítat nebo odčítat. Ale v pojetí není problém přidat množství stejné dimenze vyjádřené v různých jednotkách. Například 1 metr přidaný k 1 stopě je délka, ale nelze ji odvodit pouhým sčítáním 1 a 1. Je zapotřebí převodního faktoru , který je poměrem stejně dimenzovaných veličin a rovná se bezrozměrné jednotě:

je identický s

Faktor je identický s bezrozměrným 1, takže vynásobením tímto konverzním faktorem se nic nezmění. Potom při sčítání dvou veličin stejné dimenze, ale vyjádřených v různých jednotkách, se použije příslušný převodní faktor, což je v podstatě bezrozměrná 1, k převodu veličin na identické jednotky, takže jejich číselné hodnoty lze sčítat nebo odčítat.

Pouze tímto způsobem je smysluplné hovořit o přidání stejně dimenzovaných množství různých jednotek.

Poloha vs posunutí

Hlavní článek: Afinní prostor

Některé diskuse o dimenzionální analýze všechny veličiny implicitně popisují jako matematické vektory. (V matematice jsou skaláry považovány za zvláštní případ vektorů; vektory lze sčítat nebo odečítat od jiných vektorů a mimo jiné je násobit nebo dělit skaláry. Pokud je k definování polohy použit vektor, předpokládá to implicitní bod odkaz: původ . I když je to užitečné a často naprosto adekvátní, což umožňuje zachytit mnoho důležitých chyb, může selhat modelování určitých aspektů fyziky. Přísnější přístup vyžaduje rozlišování mezi polohou a posunem (nebo moment v čase versus trvání, nebo absolutní teplota versus změna teploty).

Zvažte body na přímce, každý s pozicí vzhledem k danému počátku, a vzdálenosti mezi nimi. Pozice a posunutí mají všechny jednotky délky, ale jejich význam není zaměnitelný:

  • přidání dvou posunutí by mělo přinést nové posunutí (chůze deseti kroků a poté dvacet kroků vás dostane o třicet kroků vpřed),
  • přidání posunutí do polohy by mělo přinést novou pozici (procházením jednoho bloku po ulici z křižovatky se dostanete na další křižovatku),
  • odečtením dvou poloh by mělo dojít k posunutí,
  • ale jeden nesmí přidat dvě pozice.

To ilustruje jemné rozlišení mezi afinními veličinami (ty modelované afinním prostorem , jako je poloha) a vektorovými veličinami (ty modelované vektorovým prostorem , jako je posun).

  • Veličiny vektoru se mohou navzájem přidávat, čímž se získá nové množství vektoru, a množství vektoru lze přidat k vhodné afinní kvantitě (vektorový prostor působí na afinní prostor), čímž se získá nové afinní množství.
  • Afinní množství nelze přidat, ale lze je odečíst, čímž se získají relativní veličiny, které jsou vektory, a tyto relativní rozdíly pak mohou být přidány k sobě navzájem nebo k afinitnímu množství.

Správně tedy mají pozice rozměr afinní délky, zatímco posunutí mají rozměr délky vektoru . Chcete -li přiřadit číslo afinní jednotce, musíte si vybrat nejen měrnou jednotku, ale také referenční bod , zatímco přiřadit číslo vektorové jednotce vyžaduje pouze měrnou jednotku.

Některé fyzikální veličiny jsou tedy lépe modelovány vektorovými veličinami, zatímco jiné mají tendenci vyžadovat afinní reprezentaci a rozdíl se odráží v jejich dimenzionální analýze.

Toto rozlišení je zvláště důležité v případě teploty, pro kterou číselná hodnota absolutní nuly není v některých měřítcích počátkem 0. Pro absolutní nulu,

−273,15 ° C ≘ 0 K = 0 ° R ≘ −459,67 ° F,

kde symbol ≘ prostředky odpovídá na , protože i když tyto hodnoty na příslušné teplotní stupnice odpovídají, představují různé množství stejným způsobem, že vzdálenost od různých výchozích bodů na stejný koncový bod jsou odlišné množství, a nelze všeobecně srovnávat.

Pro teplotní rozdíly,

1 K = 1 ° C ≠ 1 ° F (−17 ° C) = 1 ° R.

(Zde ° R odkazuje na Rankinovu stupnici , ne na Réaumurovu stupnici ). Převod jednotek pro teplotní rozdíly je jednoduše otázkou vynásobení např. 1 ° F / 1 K (i když poměr není konstantní hodnota). Ale protože některé z těchto měřítek mají původ, který neodpovídá absolutní nule, převod z jedné teplotní stupnice do druhé vyžaduje účtování. V důsledku toho může jednoduchá rozměrová analýza vést k chybám, pokud je nejednoznačné, zda 1 K znamená absolutní teplotu rovnající se −272,15 ° C nebo teplotní rozdíl rovný 1 ° C.

Orientace a referenční rámec

Podobně jako problém referenčního bodu je problém orientace: posunutí ve 2 nebo 3 rozměrech není jen délkou, ale je délkou spolu se směrem . (Tento problém nevzniká v 1 dimenzi, respektive je ekvivalentní rozdílu mezi pozitivním a negativním.) Abychom tedy mohli porovnávat nebo kombinovat dvourozměrné veličiny ve vícerozměrném prostoru, je potřeba také orientace: je třeba je porovnávat do referenčního rámce .

To vede k níže diskutovaným rozšířením , konkrétně k Huntleyho směrovaným dimenzím a Sianově orientační analýze.

Příklady

Jednoduchý příklad: perioda harmonického oscilátoru

Jaká je doba kmitání T hmotnosti m připojené k ideální lineární pružině s pružinovou konstantou k zavěšenou v gravitaci síly g ? Toto období je řešením pro T nějaké bezrozměrné rovnice v proměnných T , m , k a g . Čtyři veličiny mají následující rozměry: T [T]; m [M]; k [M / T 2 ]; a g [L/T 2 ]. Z nich můžeme vytvořit pouze jeden bezrozměrný součin sil námi zvolených proměnných, = [T 2 · M / T 2 / M = 1] , a zadáním nějaké bezrozměrné konstanty C získáte hledanou bezrozměrnou rovnici. Bezrozměrný součin sil proměnných je někdy označován jako bezrozměrná skupina proměnných; zde výraz „skupina“ znamená spíše „sbírka“ než matematická skupina . Často se jim také říká bezrozměrná čísla .

Proměnná g se ve skupině nevyskytuje. Je snadné vidět, že je nemožné vytvořit bezrozměrný součin sil, který kombinuje g s k , m a T , protože g je jediná veličina, která zahrnuje dimenzi L. To znamená, že v tomto problému není g relevantní. Dimenzionální analýza může někdy přinést silná prohlášení o irelevantnosti některých veličin v problému nebo potřebě dalších parametrů. Pokud jsme vybrali dostatek proměnných, abychom problém správně popsali, pak z tohoto argumentu můžeme usoudit, že období hmoty na jaře je nezávislé na g : je stejné na Zemi nebo na Měsíci. Rovnici demonstrující existenci součinu sil pro náš problém lze zapsat zcela ekvivalentním způsobem: pro nějakou bezrozměrnou konstantu κ (rovná se z původní bezrozměrné rovnice).

Když se potýkáme s případem, kdy dimenzionální analýza odmítá proměnnou ( g , zde), u které intuitivně očekáváme, že bude patřit do fyzického popisu situace, je další možností, že odmítnutá proměnná je ve skutečnosti relevantní, ale že byla použita jiná relevantní proměnná vynecháno, což by se mohlo spojit s odmítnutou proměnnou a vytvořit bezrozměrné množství. To však v tomto případě neplatí.

Když dimenzionální analýza poskytne pouze jednu bezrozměrnou skupinu, jako zde, neexistují žádné neznámé funkce a řešení je považováno za „úplné“ - i když stále může zahrnovat neznámé bezrozměrné konstanty, například κ .

Složitější příklad: energie vibrujícího drátu

Uvažujme případ vibrujícího drátu délky ℓ (L) vibrujícího s amplitudou A (L). Drát má lineární hustotu ρ (M/L) a je pod napětím s (LM/T 2 ), a chceme znát energii E (L 2 M/T 2 ) v drátu. Nechť π 1 a π 2 jsou dva bezrozměrné součiny sil zvolených proměnných, daných vztahem

Lineární hustota drátu není zahrnuta. Tyto dvě nalezené skupiny lze jako rovnici spojit do ekvivalentní podoby

kde F je nějaká neznámá funkce, nebo ekvivalentně jako

kde f je nějaká další neznámá funkce. Zde neznámá funkce naznačuje, že naše řešení je nyní neúplné, ale dimenzionální analýza nám dala něco, co možná nebylo zřejmé: energie je úměrná první síle napětí. Kromě další analytické analýzy můžeme přistoupit k experimentům, abychom objevili formu neznámé funkce f . Naše experimenty jsou ale jednodušší než při absenci rozměrové analýzy. Nic bychom neprovedli, abychom ověřili, že energie je úměrná napětí. Nebo bychom mohli hádat, že energie je úměrná ℓ , a tak usoudit, že E = ℓs . Síla dimenzionální analýzy jako pomůcky k experimentování a vytváření hypotéz se stává evidentní.

Síla dimenzionální analýzy se skutečně projeví, když je aplikována na situace, na rozdíl od výše uvedených, které jsou komplikovanější, sada příslušných proměnných není zřejmá a základní rovnice jsou beznadějně složité. Zvažte například malý oblázek, který sedí na dně řeky. Pokud řeka teče dostatečně rychle, ve skutečnosti zvedne oblázek a způsobí, že bude plynout spolu s vodou. Jakou kritickou rychlostí k tomu dojde? Vytřídění uhádnutých proměnných není tak snadné jako dříve. Dimenzionální analýza však může být silnou pomocí při porozumění problémům, jako je tato, a je obvykle úplně prvním nástrojem, který lze použít na složité problémy, kde jsou špatně pochopeny základní rovnice a omezení. V takových případech může odpověď záviset na bezrozměrném čísle , jako je Reynoldsovo číslo , které lze interpretovat pomocí dimenzionální analýzy.

Třetí příklad: poptávka versus kapacita rotujícího disku

Rozměrová analýza a numerické experimenty pro rotující disk

Uvažujme případ tenkého, pevného, ​​rovnoběžně rotujícího kotouče s osovou tloušťkou t (L) a poloměrem R (L). Disk má hustotu ρ (M/L 3 ), otáčí se úhlovou rychlostí ω (T −1 ) a to vede k napětí S (T −2 L −1 M) v materiálu. K řešení tohoto problému existuje teoretické lineární elastické řešení dané Lame, když je disk tenký vzhledem k jeho poloměru, plochy disku se mohou pohybovat axiálně a konstitutivní vztahy rovinného napětí lze považovat za platné. Jak se kotouč zesiluje vzhledem k poloměru, pak se řešení rovinného napětí rozpadá. Pokud je kotouč axiálně zadržen na svých volných plochách, dojde ke stavu rovinného napětí. Pokud tomu tak není, pak lze stav napětí určit pouze s přihlédnutím k trojrozměrné elasticitě a pro tento případ není známo žádné teoretické řešení. Inženýr by proto mohl mít zájem o vytvoření vztahu mezi pěti proměnnými. Dimenzionální analýza v tomto případě vede k následujícím (5-3 = 2) nedimenzionálním skupinám:

poptávka / kapacita = ρR 2 ω 2 / S
tloušťka / poloměr nebo poměr stran = t / R

Použitím numerických experimentů využívajících například metodu konečných prvků lze získat povahu vztahu mezi dvěma nedimenzionálními skupinami, jak je znázorněno na obrázku. Jelikož tento problém zahrnuje pouze dvě nedimenzionální skupiny, je kompletní obrázek poskytnut v jediném grafu a ten lze použít jako návrhovou/hodnotící tabulku pro rotující disky

Rozšíření

Huntleyho rozšíření: směrované rozměry a množství hmoty

Huntley ( Huntley 1967 ) poukázal na to, že dimenzionální analýza se může stát silnější objevováním nových nezávislých dimenzí v uvažovaných veličinách, čímž se zvyšuje hodnost dimenzionální matice. Zavedl k tomu dva přístupy:

  • Velikosti složek vektoru je třeba považovat za rozměrově nezávislé. Například místo nediferencované dimenze délky L můžeme mít L x představující dimenzi ve směru x atd. Tento požadavek pramení v konečném důsledku z požadavku, že každá složka fyzicky smysluplné rovnice (skalární, vektorová nebo tenzorová) musí být rozměrově konzistentní.
  • Hmotnost jako míra množství hmoty je třeba považovat za rozměrově nezávislou na hmotnosti jako míru setrvačnosti.

Jako příklad užitečnosti prvního přístupu předpokládejme, že si přejeme vypočítat vzdálenost, kterou dělová koule urazí při výstřelu, se složkou svislé rychlosti a složkou s vodorovnou rychlostí za předpokladu, že je vystřelena na rovný povrch. Za předpokladu, že nevyužívá směřujících délek, množství zájmu jsou pak , jak rozměry, T -1 L, R , ujeté vzdálenosti, které mají rozměr L, a g směrem dolů gravitační zrychlení, s rozměrem T -2 L.

S těmito čtyřmi veličinami můžeme dojít k závěru, že rovnici pro rozsah R lze zapsat:

Nebo rozměrově

z čehož můžeme odvodit, že a , což ponechává jednoho exponenta neurčeného. To lze očekávat, protože máme dvě základní dimenze T a L a čtyři parametry s jednou rovnicí.

Pokud však použijeme směrované délkové rozměry, budou dimenzovány jako T −1 L x , jako T −1 L y , R jako L x a g jako T −2 L y . Dimenzionální rovnice se stává:

a můžeme řešit úplně jako , a . Zvýšení deduktivní síly získané použitím rozměrů s přímou délkou je zřejmé.

Ve svém druhém přístupu Huntley tvrdí, že je někdy užitečné (např. V mechanice tekutin a termodynamice) rozlišovat mezi hmotností jako mírou setrvačnosti (setrvačné hmotnosti) a hmotností jako mírou množství hmoty. Množství hmoty definuje Huntley jako množství (a) úměrné setrvačné hmotnosti, ale (b) neimplementující setrvačné vlastnosti. K jeho definici nejsou přidána žádná další omezení.

Zvažte například odvození Poiseuilleova zákona . Chceme najít rychlost hmotnostního toku viskózní tekutiny kruhovou trubkou. Bez kreslení rozdílů mezi setrvačnou a podstatnou hmotou můžeme zvolit jako relevantní proměnné

  • hmotnostní průtok s rozměrem T −1 M
  • tlakový gradient podél potrubí o rozměru T −2 L −2 M
  • ρ hustotu s rozměrem L −3 M
  • η dynamická viskozita kapaliny s rozměrem T −1 L −1 M
  • r poloměr potrubí o rozměru L

Existují tři základní proměnné, takže výše pěti rovnic se získá dvě bezrozměrné proměnné, které se mohou brát jako a a můžeme vyjádřit trojrozměrný rovnice

kde C a a jsou neurčené konstanty. Pokud nakreslíme rozdíl mezi setrvačnou hmotou s rozměrem a množstvím hmoty s rozměrem , pak hmotnostní průtok a hustota použijí jako hmotový parametr množství hmoty, zatímco tlakový gradient a koeficient viskozity použijí setrvačnou hmotnost. Nyní máme čtyři základní parametry a jednu bezrozměrnou konstantu, takže lze napsat rozměrovou rovnici:

kde nyní pouze C je neurčená konstanta (zjištěno, že se rovná metodám mimo dimenzionální analýzu). Tuto rovnici lze vyřešit pro hmotnostní průtok za vzniku Poiseuilleova zákona .

Huntleyho rozpoznání kvantity hmoty jako nezávislé kvantitativní dimenze je evidentně úspěšné v problémech, kde je použitelné, ale jeho definice kvantové hmoty je otevřená interpretaci, protože postrádá specifičnost nad rámec dvou požadavků (a) a (b) postulováno pro to. Pro danou látku množství dimenze SI látky s jednotkovým molem splňuje Huntleyovy dva požadavky jako měřítko množství hmoty a mohlo by být použito jako množství hmoty v jakémkoli problému dimenzionální analýzy, kde je použitelný Huntleyův koncept.

Huntleyův koncept rozměrů s přímou délkou má však některá vážná omezení:

  • Nezpracovává dobře vektorové rovnice zahrnující křížový součin ,
  • ani nezpracovává dobře použití úhlů jako fyzických proměnných.

Rovněž je často velmi obtížné přiřadit symboly L, L x , L y , L z fyzickým proměnným, které se týkají problému zájmu. Vyvolává proceduru, která zahrnuje „symetrii“ fyzického problému. To je často velmi obtížné spolehlivě aplikovat: Není jasné, ve kterých částech problému se vyvolává pojem „symetrie“. Je to symetrie fyzického těla, na kterou působí síly, nebo na body, čáry nebo oblasti, ve kterých působí síly? Co když je zapojeno více než jedno tělo s různými symetriemi?

Vezměme si sférickou bublinu připojenou k válcové trubici, kde chceme průtok vzduchu v závislosti na rozdílu tlaku v těchto dvou částech. Jaké jsou Huntleyovy rozšířené rozměry viskozity vzduchu obsaženého v spojených částech? Jaké jsou rozšířené rozměry tlaku obou částí? Jsou stejní nebo odlišní? Tyto potíže jsou zodpovědné za omezené použití Huntleyho směrovaných délkových rozměrů na skutečné problémy.

Sianovo rozšíření: orientační analýza

Úhly jsou podle konvence považovány za bezrozměrné veličiny. Jako příklad si vezměme znovu problém projektilu, ve kterém je bodová hmota vypuštěna z počátku ( x , y ) = (0, 0) rychlostí v a úhlem θ nad osou x , přičemž gravitační síla směřuje podél negativní y -osa. Je žádoucí najít rozsah R , v kterém okamžiku se hmotnost vrátí do osy x . Konvenční analýza poskytne bezrozměrnou proměnnou π = R g / v 2 , ale nenabízí pohled na vztah mezi R a θ .

Siano ( 1985-I , 1985-II ) navrhl, že namířené rozměry Huntley být nahrazeny pomocí orientační symboly 1 x  1 y  1 Z naznačovat vektorových směrů, a symbol orientationless 1 0 . Z Huntleyho L x se tedy stane L1 x, přičemž L udává rozměr délky a 1 x určuje orientaci. Siano dále ukazuje, že orientační symboly mají vlastní algebru. Spolu s požadavkem, že 1 i −1 = 1 i , vyplývá následující multiplikační tabulka pro orientační symboly:

Všimněte si, že orientační symboly tvoří skupinu ( Kleinova čtyřskupina nebo „Viergruppe“). V tomto systému mají skaláry vždy stejnou orientaci jako prvek identity, nezávisle na „symetrii problému“. Fyzikální veličiny, které jsou vektory, mají očekávanou orientaci: síla nebo rychlost ve směru z má orientaci 1 z . U úhlů zvažte úhel θ, který leží v rovině z. V rovině z vytvořte pravý trojúhelník, přičemž θ je jedním z ostrých úhlů. Strana pravoúhlého trojúhelníku sousedící s úhlem má pak orientaci 1 x a opačná strana má orientaci 1 y . Protože (pomocí ~ k označení orientační ekvivalence) tan ( θ ) = θ  + ... ~ 1 r /1 x usuzujeme, že úhel v rovině xy musí mít orientaci 1 y /1 x = 1 z , což je ne nepřiměřené. Analogické uvažování vyvozuje závěr, že sin ( θ ) má orientaci 1 z, zatímco cos ( θ ) má orientaci 1 0 . Ty jsou různé, takže člověk například dospěje k závěru (správně), že například neexistují žádná řešení fyzikálních rovnic, která mají tvar a cos ( θ ) + b sin ( θ ) , kde a a b jsou skutečné skaláry. Všimněte si, že výraz, jako není rozměrově nekonzistentní, protože se jedná o speciální případ vzorce součtů úhlů, a měl by být správně zapsán:

který pro a přináší . Siano rozlišuje geometrické úhly, které mají orientaci v trojrozměrném prostoru, a fázové úhly spojené s časově založenými kmity, které nemají prostorovou orientaci, tj. Orientace fázového úhlu je .

Přiřazení orientačních symbolů fyzikálním veličinám a požadavek, aby fyzikální rovnice byly orientačně homogenní, lze ve skutečnosti použít způsobem, který je podobný rozměrové analýze, k získání trochu více informací o přijatelných řešeních fyzikálních problémů. V tomto přístupu člověk nastaví dimenzionální rovnici a řeší ji, jak jen to jde. Pokud je nejnižší síla fyzické proměnné zlomková, obě strany řešení se zvýší na takovou moc, že ​​všechny síly jsou integrální. Tím se dostává do „normální podoby“. Orientační rovnice je poté vyřešena tak, aby poskytla restriktivnější podmínku pro neznámé síly orientačních symbolů, a dospěla k řešení, které je úplnější než řešení, které poskytuje samotná dimenzionální analýza. Přidanou informací často je, že jedna ze sil určité proměnné je sudá nebo lichá.

Jako příklad, pro projektil problém, s použitím orientačních symbolů, θ , bude v rovině xy tedy mít rozměr 1 z a rozsah střely R bude mít tvar:

Dimenzionální homogenita nyní správně poskytne a = −1 a b = 2 a orientační homogenita to vyžaduje . Jinými slovy, to c musí být liché celé číslo. Ve skutečnosti bude požadovanou funkcí theta sin ( θ ) cos ( θ ), což je řada skládající se z lichých mocnin θ .

Je vidět, že Taylorova řada sin ( θ ) a cos ( θ ) jsou orientačně homogenní pomocí výše uvedené multiplikační tabulky, zatímco výrazy jako cos ( θ ) + sin ( θ ) a exp ( θ ) nejsou a jsou (správně ) považováno za nefyzické.

Sianoova orientační analýza je kompatibilní s konvenčním pojetím úhlových veličin jako bezrozměrných a v rámci orientační analýzy může být radian stále považován za bezrozměrnou jednotku. Orientační analýza kvantitativní rovnice se provádí odděleně od běžné dimenzionální analýzy a poskytuje informace, které doplňují dimenzionální analýzu.

Bezrozměrné koncepty

Konstanty

Hlavní článek: Bezrozměrné množství

Bezrozměrné konstanty, které vznikají v získaných výsledcích, jako je C v problému Poiseuilleova zákona a v jarních problémech diskutovaných výše, pocházejí z podrobnější analýzy základní fyziky a často vyplývají z integrace nějaké diferenciální rovnice. Dimenzionální analýza sama o těchto konstantách má málo co říci, ale je užitečné vědět, že velmi často mají velikost jednoty řádu. Toto pozorování může člověku umožnit někdy provést výpočty „na zadní straně obálky “ o fenoménu zájmu, a tudíž být schopen efektivněji navrhovat experimenty k jeho měření nebo posoudit, zda je to důležité atd.

Formalismy

Dimenzionální analýza může být paradoxně užitečným nástrojem, i když jsou všechny parametry základní teorie bezrozměrné, např. Ke studiu fázových přechodů a kritických jevů lze použít mřížkové modely, jako je Isingův model . Takové modely mohou být formulovány čistě bezrozměrným způsobem. Jak se blížíme ke kritickému bodu blíž a blíž, vzdálenost, přes kterou jsou korelované proměnné v mřížkovém modelu (tzv. Korelační délka, ) se zvětšuje a zvětšuje. Korelační délka je nyní relevantní délkovou stupnicí související s kritickými jevy, takže lze například předpokládat na „dimenzionálních základech“, že by neanalytická část volné energie na místo mřížky měla být tam, kde je rozměr mřížky.

Někteří fyzici, např. MJ Duff , tvrdili , že fyzikální zákony jsou ve své podstatě bezrozměrné. Skutečnost, že jsme Délce, Času a Hmotě přiřadili nekompatibilní dimenze, je podle tohoto úhlu pohledu jen věcí konvence, což vyplývá z faktu, že před příchodem moderní fyziky neexistoval způsob, jak spojit hmotnost, délka a čas k sobě navzájem. Tři nezávislé dimenzionální konstanty: c , ħ a G , v základních fyzikálních rovnicích, pak musí být považovány za pouhé převodní faktory pro vzájemnou konverzi hmotnosti, času a délky.

Stejně jako v případě kritických vlastností mřížkových modelů lze výsledky dimenzionální analýzy obnovit v příslušném limitu škálování; např. dimenzionální analýzu v mechanice lze odvodit opětovným vložením konstant ħ , c a G (ale nyní je můžeme považovat za bezrozměrné) a požadováním, aby v limitu existoval nesingulární vztah mezi veličinami , a . V problémech zahrnujících gravitační pole by měla být brána poslední mez, aby pole zůstalo konečné.

Rozměrové ekvivalence

Následuje tabulky běžně se vyskytujících výrazů ve fyzice, vztahující se k rozměrům energie, hybnosti a síly.

Jednotky SI

Hlavní článek: jednotky SI
Energie, E.

T −2 L 2 M

Výraz Nomenklatura
Mechanické F = síla , d = vzdálenost
S = akce , t = čas, P = síla
m = hmotnost , v = rychlost , p = hybnost
L = moment hybnosti , I = moment setrvačnosti , ω = úhlová rychlost
Ideální plyny p = tlak, objem , T = teplota N = množství látky
Vlny I = intenzita vlny , S = Poyntingův vektor
Elektromagnetické q = elektrický náboj , ϕ = elektrický potenciál (pro změny je to napětí )
E = elektrické pole , B = magnetické pole ,
ε = permitivita , μ = permeabilita ,
V = 3d objem
p = elektrický dipólový moment , m = magnetický moment,
A = oblast (ohraničená proudovou smyčkou), I = elektrický proud ve smyčce
Hybnost, str

T -1 LM

Výraz Nomenklatura
Mechanické m = hmotnost, v = rychlost, F = síla, t = čas
S = akce, L = moment hybnosti, r = posunutí
Tepelný = střední kvadratická rychlost , m = hmotnost (molekuly)
Vlny ρ = hustota , V = objem , v = rychlost fáze
Elektromagnetické A = potenciál magnetického vektoru
Síla, F

T −2 LM

Výraz Nomenklatura
Mechanické m = hmotnost, a = zrychlení
Tepelný S = entropie, T = teplota, r = výtlak (viz entropická síla )
Elektromagnetické E = elektrické pole, B = magnetické pole, v = rychlost, q = náboj

Přírodní jednotky

Hlavní článek: Přírodní jednotky

Pokud c = ħ = 1 , kde c je rychlost světla a ħ je snížená Planckova konstanta a je zvolena vhodná pevná jednotka energie, pak lze vyjádřit všechny rozměry času T , délky L a hmotnosti M (rozměrově) jako síla energie E , protože délku, hmotnost a čas lze vyjádřit pomocí rychlosti v , akce S a energie E :

ačkoli rychlost a akce jsou bezrozměrné ( v = c = 1 a S = ħ = 1 ) - takže jedinou zbývající veličinou s dimenzí je energie. Pokud jde o síly dimenzí:

To je zvláště užitečné ve fyzice částic a fyzice vysokých energií, v tomto případě je energetickou jednotkou elektronvolt (eV). Dimenzionální kontroly a odhady jsou v tomto systému velmi jednoduché.

Pokud jsou však zahrnuty elektrické náboje a proudy, další jednotka, kterou je třeba opravit, je elektrický náboj, obvykle elektronový náboj e, i když jsou možné i jiné možnosti.

Množství p , q , r síly energie n
síla energie
p q r n
Akce, S. -1 2 1 0
Rychlost, v -1 1 0 0
Mše, M. 0 0 1 1
Délka, L 0 1 0 -1
Čas, t 1 0 0 -1
Hybnost, str -1 1 1 1
Energie, E. −2 2 1 1

Viz také

Související oblasti matematiky

Programovací jazyky

Správnost rozměrů jako součást kontroly typu byla studována od roku 1977. Implementace pro Ada a C ++ byly popsány v letech 1985 a 1988. Kennedyho práce z roku 1996 popisuje implementaci ve Standard ML a později v F# . Existují implementace pro Haskell , OCaml a Rust , Python a kontrola kódu pro Fortran .
Griffioenova práce z roku 2019 rozšířila Kennedyho systém typu Hindley – Milner na podporu Hartových matic.

Poznámky

Reference

externí odkazy

Převod jednotek