Čára integrální - Line integral

V matematiky , je křivkový integrál je integrální , kde se funkce , které mají být integrovány se vyhodnocuje podél křivky . Termíny cesta integrál , křivka integrální a křivočarý integrální se také používají; používá se také obrysový integrál , i když ten je obvykle vyhrazen pro přímkové integrály v komplexní rovině .

Integrovanou funkcí může být skalární pole nebo vektorové pole . Hodnota integrálu úsečky je součet hodnot pole ve všech bodech křivky, vážený nějakou skalární funkcí na křivce (obvykle délka oblouku nebo u vektorového pole skalární součin vektorového pole s rozdílem vektor v křivce). Toto vážení odlišuje liniový integrál od jednodušších integrálů definovaných v intervalech . Mnoho jednoduchých vzorců ve fyzice, jako je definice práce jako , má přirozené spojité analogy, pokud jde o liniové integrály, v tomto případě , které počítají práci vykonanou na objektu pohybujícím se elektrickým nebo gravitačním polem F po dráze . ${\ displaystyle W = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {s}}$ ${\ displaystyle \ textstyle W = \ int _ {L} \ mathbf {F} (\ mathbf {s}) \ cdot d \ mathbf {s}}$ ${\ displaystyle L}$

Vektorový počet

Z kvalitativního hlediska lze linii integrálu ve vektorovém počtu považovat za míru celkového účinku daného tenzorového pole podél dané křivky. Například linii integrálu nad skalárním polem (tenzor pořadí 0) lze interpretovat jako oblast pod polem vyřezanou určitou křivkou. To lze vizualizovat jako povrch vytvořený z = f ( x , y ) a křivkou C v rovině xy . Čárový integrál f by byla plocha vytvořené „opony“ - když jsou vyříznuty body povrchu, které jsou přímo nad C.

Čárový integrál skalárního pole

Čárový integrál nad skalárním polem f lze považovat za oblast pod křivkou C podél plochy z = f ( x , y ), kterou pole popisuje.

Definice

Pro některá skalární pole, kde je integrální čára podél po částech hladké křivky definována jako ${\ displaystyle f \ colon U \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ podmnožina U}$

{\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {C}} f (\ mathbf {r}) \, ds = \ int _ {a} ^ {b} f \ left (\ mathbf {r} (t) \ right) \ left | \ mathbf {r} '(t) \ right | \, dt.}

kde je libovolná bijektivní parametrizace křivky tak, že $r$ $($ $a$ $)$ a $r$ $($ $b$ $)$ dávají koncové body a $a$ $<$ $b$ . Tady a ve zbytku článku pruhy absolutní hodnoty označují standardní (euklidovskou) normu vektoru. ${\ displaystyle \ mathbf {r} \ dvojtečka [a, b] \ do {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Funkce $f$ se nazývá integrand, křivka je doménou integrace a symbol $ds$ lze intuitivně interpretovat jako elementární délku oblouku . Lineární integrály skalárních polí nad křivkou nezávisí na zvolené parametrizaci $r$ z . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Geometricky, když je skalární pole $f$ definováno nad rovinou $(n = 2)$ , je jeho grafem plocha $z = f (x, y)$ v prostoru a integrál přímky udává (podepsanou) plochu průřezu ohraničenou křivka a graf $f$ . Podívejte se na animaci vpravo. ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Derivace

Pro vedení integraci přes skalárního pole, integrální mohou být konstruovány z Riemann částky za použití výše uvedené definice $F$ , $C$ a nastavení jeho parametrů $r$ o $C$ . To lze provést rozdělením intervalu $[ , b]$ do $n$ dílčích intervalů $[t i -1, t i]$ o délce $Δ t = (b - a) / N$ , pak $r (t i)$ označuje nějaký bod, nazývat to ukázka bod na křivce $C$ . Můžeme použít sadu vzorkových míst ${r (t i): 1 \leq i \leq n}$ pro aproximaci křivky $C$ pomocí polygonální cestou zavedením řádku díl, mezi každou z bodu odběru vzorku $r (t i -1)$ a $r (t i)$ . Poté označíme vzdálenost mezi každým ze vzorků na křivce jako $Δ s i$ . Produkt z $f (r (t i))$ a $Δ to i$ může být spojena s podepsaným plochy obdélníku s výškou a šířkou $f (r (t i))$ a $delta s i$ , v daném pořadí. Vezmeme-li limitu na součtu těchto podmínek, jaké délky příček blíží k nule nám dává

{\ displaystyle I = \ lim _ {\ Delta s_ {i} \ až 0} \ součet _ {i = 1} ^ {n} f (\ mathbf {r} (t_ {i})) \, \ Delta s_ {i}.}

Podle věty o střední hodnotě je vzdálenost mezi následujícími body na křivce

{\ displaystyle \ Delta s_ {i} = \ vlevo | \ mathbf {r} (t_ {i} + \ Delta t) - \ mathbf {r} (t_ {i}) \ vpravo | \ přibližně \ vlevo | \ mathbf {r} '(t_ {i}) \ vpravo | \ Delta t.}

Když to dosadíme do výše uvedených Riemannův součtových výnosů

{\ displaystyle I = \ lim _ {\ Delta t \ až 0} \ součet _ {i = 1} ^ {n} f (\ mathbf {r} (t_ {i})) \ left | \ mathbf {r} '(t_ {i}) \ doprava | \ Delta t}

což je Riemannova suma pro integrál

{\ displaystyle I = \ int _ {a} ^ {b} f (\ mathbf {r} (t)) \ left | \ mathbf {r} '(t) \ right | dt.}

Čárový integrál vektorového pole

Definice

Pro vektorové pole F : U ⊆ R ⁿ → R ⁿ je čára integrální podél po částech hladké křivky C ⊂ U ve směru r definována jako

{\ displaystyle \ int _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot \, d \ mathbf {r} = \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) \, dt}

kde · je skalární součin , a R : [ , b ] → C je bijective parametrizace křivky C, tak, že r ( ) a R ( b ), čímž se získá koncové body C .

Lineární integrál skalárního pole je tedy liniový integrál vektorového pole, kde jsou vektory vždy tangenciální k linii.

Lineární integrály vektorových polí jsou nezávislé na parametrizaci r v absolutní hodnotě , ale závisí na její orientaci . Obrácení orientace parametrizace konkrétně změní znaménko integrálního řádku.

Z hlediska diferenciální geometrie je přímkový integrál vektorového pole podél křivky integrálem odpovídající 1 formy pod hudebním izomorfismem (který přenáší vektorové pole do odpovídajícího pole vektoru ), přes křivku považovanou za ponořenou 1 potrubí.

Derivace

Trajektorie částice (červeně) podél křivky uvnitř vektorového pole. Počínaje , částice sleduje cestu C podél vektorového pole F . Tečkový součin (zelená čára) jeho tečného vektoru (červená šipka) a vektor pole (modrá šipka) definuje oblast pod křivkou, která je ekvivalentem integrálu čáry cesty. (Podrobný popis získáte kliknutím na obrázek.)

Čárový integrál vektorového pole lze odvodit způsobem velmi podobným případě skalárního pole, ale tentokrát se zahrnutím tečkového součinu. Znovu pomocí výše uvedených definic $F$ , $C$ a jeho parametrizace $r (t)$ sestrojíme integrál z Riemannova součtu . Rozdělíme interval $[a, b]$ (což je rozsah hodnot parametru $t$ ) do $n$ intervalů délky $Δ t = (b - a) / n$ . Necháme-li $t i$ být $i$ - tým bodem na $[a, b]$ , pak $r (t i)$ nám dá polohu $i-$ tého bodu na křivce. Namísto výpočtu vzdáleností mezi následujícími body však musíme vypočítat jejich vektory posunutí , $Δ r i$ . Stejně jako dříve, vyhodnocování $F$ na všechny body na křivce a brát tečku produkt při každém posunutí vektoru nám dává nekonečně příspěvku každého rozdělení $F$ na $° C$ . Nechat velikost oddílů jít na nulu nám dá součet

{\ displaystyle I = \ lim _ {\ Delta t \ až 0} \ součet _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t_ {i})) \ cdot \ Delta \ mathbf {r} _ {i}}

Podle věty o střední hodnotě vidíme, že vektor posunutí mezi sousedními body na křivce je

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} (t_ {i} + \ Delta t) - \ mathbf {r} (t_ {i}) \ přibližně \ mathbf {r} ' (t_ {i}) \, \ Delta t.}

Když to dosadíme do výše uvedených Riemannův součtových výnosů

{\ displaystyle I = \ lim _ {\ Delta t \ až 0} \ součet _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t_ {i})) \ cdot \ mathbf {r} '(t_ {i}) \, \ Delta t,}

což je Riemannova suma pro integrál definovaný výše.

Cesta nezávislost

Pokud vektorového pole F je přechod z skalárního pole G (jestliže F je konzervativní ), to znamená,

{\ displaystyle \ mathbf {F} = \ nabla G,}

poté i více proměnných řetězce pravidlo derivát o složení z G a r ( t ) je

{\ displaystyle {\ frac {dG (\ mathbf {r} (t))} {dt}} = \ nabla G (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) = \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t)}

který se stane integrandem pro liniový integrál F na r ( t ). Z toho vyplývá, vzhledem k cestě C , že

{\ displaystyle \ int _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot \, d \ mathbf {r} = \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) \, dt = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {dG (\ mathbf {r} (t))} {dt }} \, dt = G (\ mathbf {r} (b)) - G (\ mathbf {r} (a)).}

Jinými slovy, integrál F přes C závisí pouze na hodnotách G v bodech r ( b ) a r ( a ), a je tedy nezávislý na cestě mezi nimi. Z tohoto důvodu se liniový integrál konzervativního vektorového pole nazývá cesta nezávislá .

Aplikace

Lineární integrál má mnoho využití ve fyzice. Například práce provádí na pohybující se částice na křivce C uvnitř silového pole reprezentován jako vektorového pole F je křivkový integrál F na C .

Průtok křivkou

Pro vektorové pole , $F$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = ($ $P$ $($ $x$ $,$ $y$ $),$ $Q$ $($ $x$ $,$ $y$ $))$ , je čára integrální přes křivku C ⊂ U , nazývaná také integrál toku , definována pomocí po částech plynulá parametrizace $r$ $: [$ $a$ $,$ $b$ $] \to$ $C$ , $r$ $($ $t$ $) = ($ $x$ $($ $t$ $),$ $y$ $($ $t$ $))$ , jako: ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ dvojtečka U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2} \ do \ mathbb {R} ^ {2}}$

{\ displaystyle \ int _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot d \ mathbf {r} ^ {\ perp} = \ int _ {a} ^ {b} {\ begin {bmatrix } P {\ big (} x (t), y (t) {\ big)} \\ Q {\ big (} x (t), y (t) {\ big)} \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} y '(t) \\ - x' (t) \ end {bmatrix}} ~ dt = \ int _ {a} ^ {b} -Q ~ dx + P ~ dy.}

Zde • je bodový součin a je ve směru hodinových ručiček kolmý na vektor rychlosti . ${\ displaystyle \ mathbf {r} '(t) ^ {\ perp} = (y' (t), - x '(t))}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} '(t) = (x' (t), y '(t))}$

Tok se počítá v orientovaném smyslu: křivka $C$ má specifikovaný směr dopředu od $r (a)$ do $r (b)$ a průtok se počítá jako kladný, když $F (r (t))$ je na pravé straně vektor rychlosti vpřed $r ' (t)$ .

Složitá linka integrální

Ve složité analýze je integrál čáry definován z hlediska násobení a přidání komplexních čísel. Předpokládejme, že U je otevřená podmnožina v komplexní rovině C , F : U → C je funkce, a je křivku konečné délky, parametrized $y$ $: [$ $s$ $,$ $b$ $] \to$ $L$ , kde $γ$ $($ $t$ $) =$ $x$ $($ $t$ $) +$ $iy$ $($ $t$ $)$ . Čára integrální ${\ displaystyle L \ podmnožina U}$

{\ displaystyle \ int _ {L} f (z) \, dz}

lze definovat rozdělením intervalu [ a , b ] na a = t ₀ < t ₁ <... < t _n = b a zvážení výrazu

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} f (\ gamma (t_ {k})) \, [\ gamma (t_ {k}) - \ gamma (t_ {k-1})] = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f (\ gamma _ {k}) \, \ Delta \ gamma _ {k}.}

Integrál je pak limitem této Riemannovy sumy, když se délky intervalů dělení blíží nule.

V případě, že parametrizace $γ$ je spojitě diferencovatelná , křivkový integrál lze hodnotit jako integrál funkce reálné proměnné:

{\ displaystyle \ int _ {L} f (z) \, dz = \ int _ {a} ^ {b} f (\ gamma (t)) \ gamma '(t) \, dt.}

Když $L$ je uzavřená křivka (počáteční a konečný bod se shodují), je integrál čáry často označován někdy označován v inženýrství jako cyklický integrál . ${\ textstyle \ mast _ {L} f (z) \, dz,}$

Čára integrálu vzhledem k rozdílu sdruženého komplexu je definována jako ${\ displaystyle {\ overline {dz}}}$

{\ displaystyle \ int _ {L} f (z) {\ overline {dz}}: = {\ overline {\ int _ {L} {\ overline {f (z)}} \, dz}} = \ int _ {a} ^ {b} f (\ gamma (t)) {\ overline {\ gamma '(t)}} \, dt.}

Řádkové integrály komplexních funkcí lze vyhodnotit pomocí řady technik. Nejpřímější je rozdělit se na skutečnou a imaginární část, čímž se problém sníží na vyhodnocení dvou řádkových integrálů se skutečnou hodnotou. Cauchyova integrální věta se může použít, aby se rovnaly křivkový integrál jako analytické funkce na stejnou základní přes vhodnějším křivky. To také znamená, že přes uzavřenou křivku obklopující oblast, kde $f (z)$ je analytické bez singularit , je hodnota integrálu jednoduše nula, nebo v případě, že oblast zahrnuje singularity, věta o zbytku vypočítá integrál z hlediska singularit.

Příklad

Uvažujme funkci f ( z ) = 1 / z a nechme obrys L být jednotkový kruh proti směru hodinových ručiček kolem 0, parametrizovaný z ( t ) = e ^it s t v [0, 2π] pomocí komplexního exponenciálu . Nahrazením zjistíme:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mast _ {L} {\ frac {1} {z}} \, dz & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {1} {e ^ {it}}} tj. ^ {it} \, dt = i \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {- it} e ^ {it} \, dt \\ & = i \ int _ { 0} ^ {2 \ pi} dt = i (2 \ pi -0) = 2 \ pi i. \ End {zarovnáno}}}

Toto je typický výsledek Cauchyho integrálního vzorce a věty o zbytku .

Vztah komplexního liniového integrálu a liniového integrálu vektorového pole

Při pohledu na komplexní čísla jako 2-dimenzionální vektory má liniový integrál funkce s komplexní hodnotou skutečné a komplexní části rovné liniovému integrálu a integrálu toku vektorového pole odpovídající konjugované funkci. Konkrétně, pokud parametrizuje L a odpovídá vektorové pole pak: ${\ displaystyle f (z)}$ ${\ displaystyle {\ overline {f (z)}}.}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = (x (t), y (t))}$ ${\ displaystyle f (z) = u (z) + iv (z)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} (x, y) = {\ overline {f (x + iy)}} = (u (x + iy), - v (x + iy)),}$

{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ int _ {L} f (z) \, dz & = \ int _ {L} (u + iv) (dx + i \, dy) \\ & = \ int _ { L} (u, -v) \ cdot (dx, dy) + i \ int _ {L} (u, -v) \ cdot (dy, -dx) \\ & = \ int _ {L} \ mathbf { F} (\ mathbf {r}) \ cdot d \ mathbf {r} + i \ int _ {L} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot d \ mathbf {r} ^ {\ perp} . \ end {zarovnáno}}}

Podle Cauchyho věty je levý integrál nula, když je analytický (splňující Cauchy-Riemannovy rovnice ) pro jakoukoli hladkou uzavřenou křivku L. Odpovídajícím způsobem, podle Greenovy věty , jsou pravé integrály nulové, když je irrotační ( zvlnění bez ) a nestlačitelné (bez divergence ). Ve skutečnosti, Cauchy-Riemannovy rovnice jsou totožné s vymizení zkadeření a odchylek u F . ${\ displaystyle f (z)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ overline {f (z)}}}$ ${\ displaystyle f (z)}$

Podle Greenovy věty je oblast oblasti ohraničené hladkou, uzavřenou a pozitivně orientovanou křivkou dána integrálem. Tato skutečnost se používá například v důkazu věty o ploše . ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {2i}} \ int _ {L} {\ overline {z}} \, dz.}$

Kvantová mechanika

Cesta základní formulace z kvantové mechaniky ve skutečnosti neodkazuje na dráhových integrálů v tomto smyslu, ale funkční integrály , to znamená, integrálů přes prostor cest, z funkce z možné cesty. Integrály cest ve smyslu tohoto článku jsou však důležité v kvantové mechanice; například komplexní integrace obrysů se často používá při hodnocení amplitud pravděpodobnosti v teorii kvantového rozptylu .

Languages

In other projects

Čára integrální - Line integral

Obsah

Vektorový počet

Čárový integrál skalárního pole

Definice

Derivace

Čárový integrál vektorového pole

Definice

Derivace

Cesta nezávislost

Aplikace

Průtok křivkou

Složitá linka integrální

Příklad

Vztah komplexního liniového integrálu a liniového integrálu vektorového pole

Kvantová mechanika

Viz také

Reference

externí odkazy