Slabá formulace jsou důležitými nástroji pro analýzu matematických rovnic , které umožňují přenos pojmů z lineární algebry vyřešit problémy v jiných oblastech, jako jsou parciálních diferenciálních rovnic . Ve slabé formulaci již není nutné, aby rovnice nebo podmínky držely absolutně (a to není ani dobře definováno), a místo toho má slabá řešení pouze s ohledem na určité „testovací vektory“ nebo „ testovací funkce “. V silné formulaci je prostor řešení konstruován tak, že tyto rovnice nebo podmínky jsou již splněny.
V tomto článku jsou slabé formulace představeny několika příklady a poté je představena hlavní věta řešení, věta Lax – Milgram . Věta je pojmenována po Peteru Laxovi a Arthurovi Milgramovi , kteří to dokázali v roce 1954.
Obecný koncept
Pojďme být Banachovým prostorem . Chceme najít řešení rovnice
kde a , s bytí duální prostor o .
To je ekvivalentní k nalezení takové, že pro všechny ,
Zde nazýváme testovací vektor nebo testovací funkce.
Přinášíme to do obecné podoby slabé formulace, konkrétně takové
definováním bilineární formy
Jelikož je to velmi abstraktní, následujme to několika příklady.
Příklad 1: Lineární soustava rovnic
Nyní a být lineární mapování . Potom slabá formulace rovnice
zahrnuje nalezení takového, že pro všechny následující rovnice platí:
kde označuje vnitřní produkt .
Jelikož jde o lineární mapování, stačí testovat s bazickými vektory a dostaneme
Ve skutečnosti se rozšiřováním získáme maticový tvar rovnice
kde a .
Bilineární forma spojená s touto slabou formulací je
Příklad 2: Poissonova rovnice
Naším cílem je vyřešit Poissonovu rovnici
na doméně s její hranicí a chceme později určit prostor řešení . Budeme používat -scalar produkt
odvodit naši slabou formulaci. Pak, testování s diferencovatelnými funkcemi , dostaneme
Můžeme udělat levou stranu této rovnice symetrickější integrací pomocí částí pomocí Greenovy identity a za předpokladu, že na :
Tomu se obvykle říká slabá formulace Poissonovy rovnice . Musíme ještě určit prostor, ve kterém můžeme najít řešení, ale minimálně nám to musí umožnit zapsat tuto rovnici. Proto požadujeme, aby funkce v byly na hranici nula a aby byly deriváty integrovatelné do čtverce . Odpovídající prostor ke splnění těchto požadavků je Sobolev prostor funkcí se slabými deriváty v as nulovými okrajových podmínek, takže jsme si stanovili .
Obecnou formu získáme přiřazením
a
Věta Lax – Milgram
Toto je formulace věty Lax – Milgram, která se opírá o vlastnosti symetrické části bilineární formy . Není to nejobecnější forma.
Dovolit být prostor Hilbert a na formu bilineární na , což je
-
ohraničený : a
-
donucovací :
Pak pro každého existuje jedinečné řešení rovnice
a platí
Aplikace na příklad 1
Zde je aplikace věty Lax – Milgram rozhodně silnějším výsledkem, než je potřeba, ale stále ji můžeme použít a dát tomuto problému stejnou strukturu jako ostatní.
- Omezenost: všechny bilineární formy jsou ohraničené. Zejména máme
- Coercivity: V praxi to znamená, že reálné části těchto čísel z nejsou menší než . Protože to zejména znamená, že žádné vlastní číslo není nula, je systém řešitelný.
Navíc získáme odhad
kde je minimální skutečná část vlastního čísla z .
Aplikace na příklad 2
Zde, jak jsme zmínili výše, volíme s normou
kde normou vpravo je -norm on (toto poskytuje skutečnou normu podle Poincarého nerovnosti ). Ale vidíme, že i podle Cauchy-Schwarz nerovnost , .
Proto je pro všechny , je unikátním řešením z Poissonova rovnice a máme odhad
Viz také
Reference
-
Lax, Peter D .; Milgram, Arthur N. (1954), „Parabolické rovnice“, Příspěvky k teorii parciálních diferenciálních rovnic , Annals of Mathematics Studies, 33 , Princeton, NJ : Princeton University Press , s. 167–190, doi : 10,1515 / 9781400882182- 010 , MR 0067317 , Zbl 0058.08703
externí odkazy