Bilineární forma - Bilinear form

V matematiky , je forma bilineární na vektorovém prostoru $V$ (prvky, které se nazývají vektory) během doby pole K (prvky, které se nazývají skaláry ) je bilineární mapa $V x V \to K$ . Jinými slovy, bilineární forma je funkce $B : V \times V \to K,$ která je lineární v každém argumentu samostatně:

$B (u + v, w) = B (u, w) + B (v, w)$ and $B$ $($ $λ$ $u$ $,$ $v$ $) =$ $λB$ $($ $u$ $,$ $v$ $)$
$B (u, v + w) = B (u, v) + B (u, w)$ a $B$ $($ $u$ $,$ $λ$ $v$ $) =$ $λB$ $($ $u$ $,$ $v$ $)$

Skalární součin na příklad bilineární formy. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Definici bilineární formy lze rozšířit tak, aby zahrnovala moduly přes prsten , přičemž lineární mapy jsou nahrazeny homomorfismy modulů .

Když $K$ je pole komplexních čísel $C$ , často se více zajímají o sesquilineární formy , které jsou podobné bilineárním formám, ale jsou konjugované lineárně v jednom argumentu.

Souřadnicová reprezentace

Nechť $V ≅ K n$ je $n$ - dimenzionální vektorový prostor se základem ${e 1,\dots, e n}$ .

$N x n$ matice , definovaný $A$ $ij$ $=$ $B$ $($ $e$ $i$ $,$ $e$ $j$ $)$ se nazývá matice formě bilineární na základě ${$ $e$ $1$ $, ...,$ $e$ $n$ $}$ .

Pokud $n \times 1$ matice $x$ představuje vektor $v$ vzhledem k tomuto základu a analogicky $y$ představuje další vektor $w$ , pak:

{\ Displaystyle B (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = \ mathbf {x} ^{\ textyf {T}} A \ mathbf {y} = \ sum _ {i, j = 1} ^{ n} x_ {i} a_ {ij} y_ {j}.}

Bilineární forma má různé matice na různých základnách. Matrice bilineární na různých základnách jsou však všechny shodné . Přesněji, je -li ${f 1,\dots, f n}$ dalším základem $V$ , pak

{\ Displaystyle \ mathbf {f} _ {j} = \ sum _ {i = 1}^{n} S_ {i, j} \ mathbf {e} _ {i},}

kde , tvoří regulární matice

S

. Potom matice bilineární formy na novém základě je

S

T

AS

.

{\ displaystyle S_ {i, j}}

Mapy do duálního prostoru

Každá bilineární forma $B$ na $V$ definuje dvojici lineárních map od $V$ do jejího duálního prostoru $V *$ . Definujte $B 1, B 2 : V \to V *$ podle

B 1 (v) (w) = B (v, w)

B 2 (v) (w) = B (w, v)

To je často označováno jako

B 1 (v) = B (v, \cdot)

B 2 (v) = B (\cdot, v)

kde tečka (⋅) označuje slot, do kterého má být umístěn argument pro výslednou lineární funkci (viz Currying ).

Pro vektorový prostor konečných rozměrů $V platí$ , že pokud je buď $B 1$ nebo $B 2$ izomorfismus, pak jsou oba a bilineární forma $B$ je považována za nedegenerovanou . Přesněji řečeno, pro vektorový prostor konečných rozměrů nedegenerovaný znamená, že každý nenulový prvek se netriviálně páruje s nějakým jiným prvkem:

{\ Displaystyle B (x, y) = 0}

pro všechny znamená, že

x

= 0

a

{\ Displaystyle y \ v V}

{\ Displaystyle B (x, y) = 0}

pro všechny znamená, že

y

= 0

.

{\ displaystyle x \ v V}

Odpovídající představa modulu nad komutativním prstencem je, že bilineární forma je unimodulární, pokud $V \to V *$ je izomorfismus. Vzhledem k finálně generovanému modulu přes komutativní prstenec může být párování injektivní (tedy „nedegenerované“ ve výše uvedeném smyslu), ale ne neimodulární. Například u celých čísel je párování $B (x, y) = 2 xy$ nedegenerované, ale není neimodulární, protože indukovaná mapa od $V = Z$ do $V * = Z$ je násobením 2.

Pokud $V$ je konečná dimenze, pak lze identifikovat $V$ s jeho dvojitým dvojitým $V **$ . Lze pak ukázat, že $B 2$ je transpozice lineární mapy $B 1$ (pokud $V$ je nekonečně dimenzionální, pak $B 2$ je transpozice $B 1$ omezená na obraz $V$ ve $V **$ ). Vzhledem k tomu, $B$ je možné definovat přemístit z $B$ za bilineární forma dána

^tB ( v , w ) = B ( w , v ).

Vlevo radikál a přímo radikální ve tvaru $B,$ jsou jádra z $B 1$ a $B 2$ v uvedeném pořadí; jsou to vektory kolmé na celý prostor vlevo a vpravo.

Jestliže $V$ je konečný-rozměrný, pak pořadí z $B 1$ se rovná hodnosti $B 2$ . Pokud se toto číslo rovná $dim (V),$ pak $B 1$ a $B 2$ jsou lineární izomorfismy od $V$ do $V *$ . V tomto případě je $B$ nedegenerované. Podle věty o nullitě je to ekvivalentní podmínce, že levý a ekvivalentně pravý radikál jsou triviální. U prostorů konečných rozměrů je to často bráno jako definice nedegenerativnosti:

Definice: B je nedegenerované, pokud

B (v, w) = 0

pro všechna w znamená

v = 0

.

Vzhledem k jakékoli lineární mapě $A : V \to V *$ lze získat bilineární formu B na V pomocí

B ( v , w ) = A ( v ) ( w ).

Tato forma bude nedegenerovaná, pouze pokud $A$ je izomorfismus.

Jestliže $V$ je konečný-rozměrný pak, vzhledem k nějaké základ pro $V$ , bilineární forma je degenerovaná tehdy a jen tehdy, pokud je determinant z přidruženého matice je nula. Podobně je nedegenerovaná forma taková, u které je determinant přidružené matice nenulový (matice není singulární ). Tato prohlášení jsou nezávislá na zvoleném základě. Pro modul přes komutativní kruh je unimodulární forma taková, pro kterou je determinantem přidružené matice jednotka (například 1), odtud tedy termín; všimněte si, že forma, jejíž maticový determinant je nenulový, ale není jednotkou, bude nedegenerovaná, ale nebude unimodulární, například $B (x, y) = 2 xy$ přes celá čísla.

Symetrické, šikmo symetrické a střídavé tvary

Definujeme bilineární formu, která má být

symetrický, pokud $B (v, w) = B (w, v)$ pro všechna $v$ , $w$ ve $V$ ;
střídavě, pokud $B (v, v) = 0$ pro všechna $v$ ve $V$ ;
šikmo symetrické, pokud $B (v, w) = -B (w, v)$ pro všechna $v$ , $w$ ve $V$ ;

Tvrzení

Každá střídající se forma je šikmo symetrická.

Důkaz

To lze vidět rozbalením $B (v + w, v + w)$ .

V případě, že charakteristika z $K$ není 2, pak platí i naopak: každý zešikmení symetrický tvar se střídá. Pokud však $char (K) = 2,$ pak šikmá symetrická forma je stejná jako symetrická forma a existují symetrické/šikmé symetrické formy, které se nestřídají.

Bilineární forma je symetrická (respektive šikmo symetrická) tehdy a jen tehdy, je-li její souřadnicová matice (vzhledem k jakémukoli základu) symetrická (respektive šikmo symetrická ). Bilineární forma se střídá právě tehdy, je-li její souřadnicová matice šikmo symetrická a všechny diagonální položky jsou nulové (což vyplývá ze šikmé symetrie, když $char (K) \neq 2$ ).

Bilineární forma je symetrická tehdy a jen tehdy, jsou-li mapy $B 1, B 2 : V \to V *$ stejné, a zkosené symetricky právě tehdy, jsou-li navzájem negativy. Pokud $char (K) \neq 2,$ pak lze bilineární formu rozložit na symetrickou a šikmo symetrickou část následujícím způsobem

{\ Displaystyle B^{+} = {\ tfrac {1} {2}} (B+{}^{\ text {t}} B) \ qquad B^{-} = {\ tfrac {1} {2} } (B-{}^{\ text {t}} B),}

kde

t B

je transpozice

B

(definováno výše).

Odvozená kvadratická forma

Pro jakoukoli bilineární formu $B : V \times V \to K$ existuje přidružená kvadratická forma $Q : V \to K$ definovaná $Q : V \to K : v \mapsto B (v, v)$ .

Když $char (K) \neq 2$ , kvadratická forma Q je určena symetrickou částí bilineární formy B a je nezávislá na asymetrické části. V tomto případě existuje soulad mezi symetrickou částí bilineární formy a kvadratickou formou a má smysl hovořit o symetrické bilineární formě spojené s kvadratickou formou.

Když $char (K) = 2$ a $dim V > 1$ , tato korespondence mezi kvadratickými formami a symetrickými bilineárními formami se rozpadne.

Reflexivita a ortogonalita

Definice: bilineární forma

B : V x V \to K

se nazývá reflexivní , jestliže

B (v, w) = 0

znamená

B (w, v) = 0

pro všechny V , w v V .

Definice: Nechť

B : V \times V \to K

je reflexivní bilineární forma. v , w ve V jsou ortogonální vzhledem k B, pokud

B (v, w) = 0

.

Bilineární forma $B$ je reflexivní právě tehdy, je -li symetrická nebo střídavá. Při absenci reflexivity musíme rozlišovat levou a pravou ortogonalitu. V reflexním prostoru se levý a pravý radikál shodují a nazývají se jádrem nebo radikálem bilineární formy: podprostor všech vektorů ortogonálních s každým dalším vektorem. Vektor $v$ , s maticovou reprezentací $x$ , je v radikálu bilineární formy s maticovou reprezentací $A$ , právě když $Ax = 0 \Leftrightarrow x T A = 0$ . Zbytek je vždy podprostor $V$ . Je to triviální právě tehdy, je -li matice $A$ nesingulární, a tedy právě tehdy, je -li bilineární forma nedegenerovaná.

Předpokládejme, že $W$ je podprostor. Definujte ortogonální doplněk

{\ Displaystyle W^{\ perp} = \ left \ {\ mathbf {v} \ mid B (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = 0 {\ text {for all}} \ mathbf {w} \ ve W \ vpravo \}.}

U non-degenerované podobě na prostor konečný-rozměrné, mapa $V / W \to W ⊥$ je bijective , a rozměr $W ⊥$ je $dim (V) - dim (W)$ .

Různé prostory

Velká část teorie je k dispozici pro bilineární mapování ze dvou vektorových prostorů přes stejné základní pole do tohoto pole

B : V x W \to K

.

Zde stále máme indukované lineární mapování od $V$ do $W *$ a od $W$ do $V *$ . Může se stát, že tato mapování jsou izomorfismy; za předpokladu, že konečné rozměry, pokud je jeden izomorfismus, druhý musí být. Když k tomu dojde, říká se , že B je perfektní párování .

V konečných rozměrech je to ekvivalentní tomu, že párování je nedegenerované (prostory nutně mají stejné rozměry). U modulů (namísto vektorových prostorů), stejně jako je nedegenerovaná forma slabší než unimodulární forma, je nedegenerované párování slabší pojem než dokonalé párování. Párování může být nedegenerované, aniž by šlo o dokonalé párování, například $Z \times Z \to Z$ přes $(x, y) \mapsto 2 xy$ je nedegenerované, ale vyvolává násobení 2 na mapě $Z \to Z *$ .

Terminologie se liší v pokrytí bilineárních forem. Například F. Reese Harvey pojednává o „osmi typech vnitřních produktů“. K jejich definování používá diagonální matice A _ij mající pouze +1 nebo -1 pro nenulové prvky. Některé z „vnitřních produktů“ jsou symplektické formy a některé jsou sesquilineární formy nebo

hermitovské formy . Spíše než obecné pole

K

jsou vysvětleny instance se skutečnými čísly

R

, komplexními čísly

C

a kvaterniony

H.

Bilineární forma

{\ Displaystyle \ sum _ {k = 1}^{p} x_ {k} y_ {k}-\ sum _ {k = p+1}^{n} x_ {k} y_ {k}}

se nazývá skutečný symetrický případ a je označen

R (p, q)

, kde

p + q = n

. Poté artikuluje spojení s tradiční terminologií:

Některé ze skutečných symetrických případů jsou velmi důležité. Pozitivní určitý případ R ( n , 0) se nazývá euklidovský prostor , zatímco případ jediného mínusu R ( n −1, 1) se nazývá Lorentzianův prostor . Pokud n = 4 , pak se Lorentzianův prostor také nazývá Minkowski prostor nebo Minkowski prostoročas . Zvláštní případ R ( p , p ) bude označován jako dělený případ .

Vztah k tenzorovým produktům

Do univerzální vlastnost tohoto tensor produktu , je kanonická korespondence mezi bilineární formy na $V$ a lineárních map $V \otimes V \to K$ . Pokud $B$ je bilineární forma na $V,$ odpovídající lineární mapa je dána vztahem

v \otimes w \mapsto B (v, w)

V opačném směru, pokud $F : V \otimes V \to K$ je lineární mapa, je odpovídající bilineární forma dána složením F s bilineární mapou $V \times V \to V \otimes V,$ která posílá $(v, w)$ do $v \otimes w$ .

Soubor všech lineárních map $V \otimes V \to K$ je duální prostor o $V \otimes V$ , takže bilineární formy mohou být myšlenka jako prvků $(V \otimes V) *$ , které (pokud $V$ je konečný-rozměrný) je canonically izomorfní $V * \otimes V *$ .

Stejně tak symetrické bilineární formy může být považován za prvků $Sym 2 (V *)$ (druhý symetrický napájení z $V *$ ), a na střídavý, bilineární formy jako prvky $lambda 2 V *$ (druhá vnější síla z $V *$ ).

Na normovaných vektorových prostorech

Definice: Bilineární forma na normovaném vektorovém prostoru $(V, ‖\cdot‖)$ je ohraničená , pokud existuje konstanta $C$ taková, že pro všechna $u, v \in V$ ,

{\ Displaystyle B (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) \ leq C \ left \ | \ mathbf {u} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {v} \ right \ |.}

Definice: Bilineární forma na normovaném vektorovém prostoru $(V, ‖\cdot‖)$ je eliptická nebo donucovací , pokud existuje konstanta $c > 0$ taková, že pro všechny $u \in V$ ,

{\ Displaystyle B (\ mathbf {u}, \ mathbf {u}) \ geq c \ left \ | \ mathbf {u} \ right \ |^{2}.}

Zobecnění na moduly

Vzhledem k prstenu $R$ a pravému $R$ -modulu $M$ a jeho duálnímu modulu $M *$ se mapování $B : M * \times M \to R$ nazývá bilineární forma, pokud

B (u + v, x) = B (u, x) + B (v, x)

B (u, x + y) = B (u, x) + B (u, y)

B (αu, Xp) = aB (u, x) β

pro všechny $u, v \in M *$ , všechny $x, y \in M$ a všechny $α, beta \in R$ .

Mapování $⟨\cdot, \cdot⟩: M * x M \to R : (u, x) \mapsto u (x)$ je známý jako přírodní párování , také nazývané kanonický bilineární forma na $M * x M$ .

Lineární mapu $S : M * \to M * : u \mapsto S (u)$ indukuje bilineární forma $B : M * x M \to R : (u, x) \mapsto ⟨ S (u), x ⟩$ , a lineární mapa $T : M \to M : x \mapsto T (x)$ indukuje bilineární forma $B : M * x M \to R : (u, x) \mapsto ⟨ u, T (x))⟩$ .

Naopak bilineární forma $B : M * \times M \to R$ indukuje R -lineární mapy $S : M * \to M * : u \mapsto (x \mapsto B (u, x))$ a $T': M \to M ** : x \mapsto (u \mapsto B (u, x))$ . Tady, $M **$ označuje dvojitý dvojí of $M$ .

Viz také

Citace

Reference

Adkins, William A .; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An approach via Module Theory , Graduate Texts in Mathematics , 136 , Springer-Verlag , ISBN 3-540-97839-9, Zbl 0768.00003
Bourbaki, N. (1970), Algebra , Springer
Cooperstein, Bruce (2010), „Ch 8: Bilinear Forms and Maps“, Advanced Linear Algebra , CRC Press , s. 249–88, ISBN 978-1-4398-2966-0
Grove, Larry C. (1997), Skupiny a postavy , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-16340-4
Halmos, Paul R. (1974), konečno-rozměrné vektorové prostory , bakalářské texty z matematiky , Berlín, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90093-3, Zbl 0288.15002
Harvey, F. Reese (1990), „Kapitola 2: Osm typů vnitřních prostorů produktů“, Spinory a kalibrace , Academic Press , s. 19–40, ISBN 0-12-329650-1
Popov, VL (1987), „Bilineární forma“ , in Hazewinkel, M. (ed.), Encyclopedia of Mathematics , 1 , Kluwer Academic Publishers , s. 390–392. Také: Bilineární forma , s. 390, v Knihách Google
Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra , I (2. vyd.), ISBN 978-0-486-47189-1
Milnor, J .; Husemoller, D. (1973), Symmetric Bilinear Forms , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , 73 , Springer-Verlag , ISBN 3-540-06009-X, Zbl 0292.10016
Porteous, Ian R. (1995), Clifford Algebras and the Classical Groups , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 50 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55177-9
Shafarevich, IR ; AO Remizov (2012), Linear Algebra and Geometry , Springer , ISBN 978-3-642-30993-9
Shilov, Georgi E. (1977), Silverman, Richard A., ed., Linear Algebra , Dover, ISBN 0-486-63518-X
Zhelobenko, Dmitriĭ Petrovich (2006), Hlavní struktury a metody teorie reprezentace , Překlady matematických monografií, Americká matematická společnost , ISBN 0-8218-3731-1

externí odkazy

„Bilineární forma“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
„Bilineární forma“ . PlanetMath .

Tento článek včlení materiál od Unimodular na PlanetMath , který je chráněn licencí Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Languages

In other projects